備考2024高考一輪總復習數學人教a版第九章§9.2　用樣本估計總體

§9.2用樣本估計總體考試要求1.會用統計圖表對總體進行估計，會求n個數據的第p百分位數.2.能用數字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．知識梳理1．百分位數一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值．2．平均數、中位數和眾數(1)平均數：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數：將一組數據按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數據(當數據個數是奇數時)或最中間兩個數據的平均數(當數據個數是偶數時)．(3)眾數：一組數據中出現次數最多的數據(即頻數最大值所對應的樣本數據)．3．方差和標準差(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)標準差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).4．總體(樣本)方差和總體(樣本)標準差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.(2)加權式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.常用結論巧用三個有關的結論(1)若x1，x2，…，xn的平均數為1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數為m＋a；(2)數據x1，x2，…，xn與數據x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數據經過平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數據來說，平均數和中位數總是非常接近．(×)(2)方差與標準差具有相同的單位．(×)(3)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這組數的平均數改變，方差不變．(√)(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數．(√)教材改編題1．(多選)給出一組數據：1,3,3,5,5,5，下列說法正確的是()A．這組數據的極差為4B．這組數據的平均數為3C．這組數據的中位數為4D．這組數據的眾數為3和5答案AC解析這組數據的極差為5－1＝4，A正確；平均數為eq\f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq\f(11,3)，B錯誤；中位數為eq\f(3＋5,2)＝4，C正確；眾數為5，D錯誤．2．(多選)下列說法正確的是()A．眾數可以準確地反映出總體的情況B．一組數據的平均數一定大于這組數據中的每個數據C．平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢D．一組數據的方差越大，說明這組數據的波動越大答案CD解析對于A，眾數體現了樣本數據的最大集中點，但對其他數據信息的忽略使得無法客觀反映總體特征，所以A錯誤；對于B，一組數的平均數不可能大于這組數據中的每一個數據，所以B錯誤；對于C，平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢，所以C正確；對于D，方差可以用來衡量一組數據波動的大小，方差越小，數據波動越小，方差越大，數據波動越大，所以D正確．3．一個容量為20的樣本，其數據按從小到大的順序排列為：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，則該組數據的第75百分位數為________．答案14.5解析∵75%×20＝15，∴第75百分位數為eq\f(14＋15,2)＝14.5.題型一樣本的數字特征和百分位數的估計例1(1)從某中學抽取10名同學，他們的數學成績如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位：分)，則這10名同學數學成績的眾數、第25百分位數分別為()A．92,85 B．92,88C．95,88 D．96,85答案B解析數據92出現了3次，出現的次數最多，所以眾數是92；將一組數據按照由小到大的順序排列，計算10×25%＝2.5，取第三個數，第25百分位數是88.延伸探究本題中，第70百分位數是多少？解10×70%＝7，第70百分位數是第7項與第8項的平均數，為eq\f(92＋96,2)＝94.(2)已知某7個數的平均數為4，方差為2，現加入一個新數據4，此時這8個數的平均數為eq\x\to(x)，方差為s2，則()A.eq\x\to(x)＝4，s2<2 B.eq\x\to(x)＝4，s2＝2C.eq\x\to(x)>4，s2<2 D.eq\x\to(x)>4，s2>2答案A解析設7個數為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，則eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，eq\f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，則這8個數的平均數為eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq\f(1,8)×(28＋4)＝4，方差為s2＝eq\f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝eq\f(1,8)×(14＋0)＝eq\f(7,4)<2.教師備選某高校分配給某中學一個保送名額，該中學進行校內舉薦評選，評選條件除了要求該生獲得該?！叭脤W生”稱號，還要求學生在近期連續(xù)3次大型考試中，每次考試的名次都在全校前5名(每次考試無并列名次)．現有甲、乙、丙、丁四位同學都獲得了“三好學生”稱號，四位同學在近期連續(xù)3次大型考試名次的數據分別為甲同學：平均數為3，眾數為2；乙同學：中位數為3，眾數為3；丙同學：眾數為3，方差小于3；丁同學：平均數為3，方差小于3.則一定符合推薦要求的同學有()A．甲和乙 B．乙和丁C．丙和丁 D．甲和丁答案D解析對于甲同學，平均數為3，眾數為2，則3次考試的成績的名次為2,2,5，滿足要求；對于乙同學，中位數為3，眾數為3，可舉反例：3,3,6，不滿足要求；對于丙同學，眾數為3，方差小于3，可舉特例：3,3,6，則平均數為4，方差s2＝eq\f(1,3)×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不滿足要求；對于丁同學，平均數為3，方差小于3，設丁同學3次考試的名次分別為x1，x2，x3，若x1，x2，x3中至少有一個大于等于6，則方差s2＝eq\f(1,3)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2]>3，與已知條件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，滿足要求．思維升華計算一組n個數據第p百分位數的步驟跟蹤訓練1(1)(多選)已知100個數據的第75百分位數是9.3，則下列說法不正確的是()A．這100個數據中一定有75個數小于或等于9.3B．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據C．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據和第76個數據的平均數D．把這100個數據從小到大排列后，9.3是第75個數據和第74個數據的平均數答案ABD解析因為100×75%＝75為整數，所以第75個數據和第76個數據的平均數為第75百分位數，是9.3，則C正確，其它選項均不正確，故選ABD.(2)(多選)(2021·新高考全國Ⅰ)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數，則()A．兩組樣本數據的樣本平均數相同B．兩組樣本數據的樣本中位數相同C．兩組樣本數據的樣本標準差相同D．兩組樣本數據的樣本極差相同答案CD解析設樣本數據x1，x2，…，xn的平均數、中位數、標準差、極差分別為eq\x\to(x)，m，σ，t，依題意得，新樣本數據y1，y2，…，yn的平均數、中位數、標準差、極差分別為eq\x\to(x)＋c，m＋c，σ，t，因為c≠0，所以C，D正確．題型二總體集中趨勢的估計例2棉花是我國紡織工業(yè)重要的原料．新疆作為我國最大的產棉區(qū)，對國家棉花產業(yè)發(fā)展、確保棉糧安全以及促進新疆農民增收、實現鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略都具有重要意義．準確掌握棉花質量現狀、動態(tài)，可以促進棉花產業(yè)健康和穩(wěn)定的發(fā)展．在新疆某地收購的一批棉花中隨機抽測了100根棉花的纖維長度(單位：mm)，得到樣本的頻數分布表如下：纖維長度頻數頻率[0,50)40.04[50,100)80.08[100,150)100.10[150,200)100.10[200,250)160.16[250,300)400.40[300,350]120.12(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；(2)根據(1)中作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數、中位數與平均數，并對這批棉花的眾數、中位數和平均數進行估計．解(1)樣本的頻率分布直方圖如圖所示．(2)由樣本的頻率分布直方圖，得眾數為eq\f(250＋300,2)＝275(mm)；設中位數為x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位數為252.5mm；設平均數為eq\x\to(x)，則eq\x\to(x)＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12＝222(mm)，故平均數為222mm.由樣本的這些數據，可得購進的這批棉花的眾數、中位數和平均數分別約為275mm、252.5mm和222mm.教師備選(多選)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分(分數為整數，滿分100分)，從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現數據均在[40,100]內．現將這些分數分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，則下列說法正確的是()A．頻率分布直方圖中第三組的頻數為10B．根據頻率分布直方圖估計樣本的眾數為75分C．根據頻率分布直方圖估計樣本的中位數為75分D．根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數為75分答案ABC解析分數在[60,70)內的頻率為1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三組的頻數為100×0.10＝10，故A正確；因為眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點的橫坐標，從圖中可看出眾數的估計值為75分，故B正確；因為(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位數位于[70,80)內，設中位數為x，則0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位數的估計值為75分，故C正確；樣本平均數的估計值為45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D錯誤．思維升華頻率分布直方圖的數字特征(1)眾數：最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數：中位數左邊和右邊的矩形的面積和應該相等．(3)平均數：平均數在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應頻率之積的和．跟蹤訓練2首次實施新高考的八省(市)于2021年1月23日統一舉行了新高考適應性考試，在聯考結束后，根據聯考成績，考生可了解自己的學習情況，作出升學規(guī)劃，決定是否參加強基計劃．在本次適應性考試中，某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本，并按照分數段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出圖中a的值并估計本次考試及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學生所占比例)；(2)估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數；(3)估計該校學生聯考數學成績的眾數、平均數．解(1)由頻率分布直方圖的性質，可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110分以下的學生所占比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130分以下的學生所占比例為0．66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位數位于[110,130)內，由110＋20×eq\f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估計第80百分位數為120分．(3)由圖可得，眾數估計值為100分．平均數估計值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．題型三總體離散程度的估計例3(2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．解(1)由表格中的數據易得eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數據可得eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))＝eq\r(\f(2,5)s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2))＝eq\r(0.0304)，顯然教師備選從某企業(yè)生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：質量指標值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數62638228(1)根據上表補全如圖所示的頻率分布直方圖；(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定？解(1)補全后的頻率分布直方圖如圖所示．(2)質量指標值的樣本平均數為eq\x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產品質量指標值的平均數約為100，方差約為104.(3)質量指標值不低于95的產品所占比例約為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定．思維升華總體離散程度的估計標準差(方差)反映了數據的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標準差(方差)越大，數據的離散程度越大；標準差(方差)越小，數據的離散程度越?。櫽柧?(2022·蚌埠質檢)某校計劃在秋季運動會期間開展“運動與健康”知識大賽，為此某班開展了10次模擬測試，以此選拔選手代表班級參賽，下表為甲、乙兩名學生的歷次模擬測試成績．場次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲、乙兩名學生測試成績的平均數分別記作eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，方差分別記作seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)以這10次模擬測試成績及(1)中的結果為參考，請你從甲、乙兩名學生中選出一人代表班級參加比賽，并說明你作出選擇的理由．解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.(2)答案一：由(1)可知，eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，甲、乙兩人平均分相同，但甲發(fā)揮更穩(wěn)定，所以可以派甲同學代表班級參賽.答案二：由(1)可知，eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，甲、乙兩人平均分相同，兩人成績的方差差距不大，但從10次測試成績的增減趨勢可以發(fā)現，甲的成績總體呈下降趨勢，乙的成績總體呈上升趨勢，說明乙的狀態(tài)越來越好，所以可以派乙同學代表班級參賽．課時精練1．給定一組數據5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，則這組數據()A．眾數為2 B．平均數為2.5C．方差為1.6 D．標準差為4答案C解析由題中數據可得，眾數為2和3，故A錯誤；平均數為eq\x\to(x)＝eq\f(5＋5＋…＋2＋1,10)＝3，故B錯誤；方差s2＝eq\f(5－32＋5－32＋…＋2－32＋1－32,10)＝1.6，標準差為eq\r(1.6)≠4，故C正確，D錯誤．2．某機構調査了10種食品的卡路里含量，結果如下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.則這組數據的第25百分位數和中位數分別是()A．138,160.5 B．138,146C．138,175 D．135,160.5答案A解析將10個數按從小到大排列，因為10×25%＝2.5，所以第25百分位數為第3項138；中位數為eq\f(146＋175,2)＝160.5.3．若數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，方差為s2，則4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均數和標準差分別為()A.eq\x\to(x)，s B．4eq\x\to(x)－3，sC．4eq\x\to(x)－3,4s D．4eq\x\to(x)－3，eq\r(16s2－24s＋9)答案C解析因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均數為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)[(4x1－3)＋(4x2－3)＋…＋(4xn－3)]＝eq\f(1,n)[4(x1＋x2＋…＋xn)－3n]＝4eq\x\to(x)－3，標準差為eq\r(\f(1,n)[4x1－3－4\x\to(x)＋32＋4x2－3－4\x\to(x)＋32＋…＋4xn－3－4\x\to(x)＋32])＝4eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])＝4eq\r(s2)＝4s.4．某大學共有12000名學生，為了了解學生課外圖書閱讀量情況，該校隨機地從全校學生中抽取1000名，統計他們每年閱讀的書籍數量，由此來估計全體學生當年的閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是(注：同一組數據用該組區(qū)間的中點值作為代表)()A．中位數為6B．眾數為10C．平均數為6.88D．該校讀書不低于8本的人數約為3600答案C解析由圖知，中位數x在[4,8)內，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A錯誤；由圖知，眾數在[4,8)內，故眾數為6，B錯誤；平均數為4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正確；由圖知，該校讀書不低于8本的頻率之和為1－0.16×4＝0.36，所以該校讀書不低于8本的人數約為0.36×12000＝4320，D錯誤．5．(多選)(2021·新高考全國Ⅱ)下列統計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A．樣本x1，x2，…，xn的標準差B．樣本x1，x2，…，xn的中位數C．樣本x1，x2，…，xn的極差D．樣本x1，x2，…，xn的平均數答案AC解析由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢．6．(多選)(2022·深圳模擬)若甲組樣本數據x1，x2，…，xn(數據各不相同)的平均數為2，方差為4，乙組樣本數據3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均數為4，則下列說法正確的是()A．a的值為－2B．乙組樣本數據的方差為36C．兩組樣本數據的樣本中位數一定相同D．兩組樣本數據的樣本極差不同答案ABD解析由題意可知，3×2＋a＝4，故a＝－2，故A正確；乙組樣本數據方差為9×4＝36，故B正確；設甲組樣本數據的中位數為xi，則乙組樣本數據的中位數為3xi－2，所以兩組樣本數據的樣本中位數不一定相同，故C錯誤；甲組數據的極差為xmax－xmin，則乙組數據的極差為(3xmax－2)－(3xmin－2)＝3(xmax－xmin)，所以兩組樣本數據的樣本極差不同，故D正確．7．2021年高考某題的第(1)問的得分情況如下：得分(分)01234百分率(%)37.08.66.028.220.2其中得分的眾數是________．答案0解析眾數是指一組數據中出現次數最多的數據，根據所給表格知，百分率最高的是0.8．已知數據x1，x2，…，x9的方差為5，則數據3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差為________．答案45解析原數據的方差為5，則線性變換后的數據的方差為32×5＝45.9．自中國進入工業(yè)化進程以來，個人的文化水平往往影響或在某種程度上決定了個人的薪酬高低，文化水平較高的人往往收入較高．將個人的文化水平用數字表示，記“沒有接受過系統學習或自學的成年人”為最低分25分，“頂級尖端人才”為最高分95分．為了分析A市居民的受教育程度，從A市居民中隨機抽取1000人的文化水平數據X，將樣本分成小學[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，?？芠55,65)，本科[65,75)，碩士[75,85)，博士[85,95]七組，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求樣本數據的眾數和中位數(保留一位小數)；(2)請估計該市居民的平均文化水平．(同組中的每個數據用該組區(qū)間的中點值代替)解(1)樣本數據的眾數為eq\f(65＋75,2)＝70.0.X∈[25,65)的頻率為0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45<0.50，X∈[25,75)的頻率為0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75>0.50.所以中位數在區(qū)間[65,75)上，中位數為65＋10×eq\f(0.50－0.45,0.30)＝65＋eq\f(5,3)≈66.7.(2)平均文化水平eq\x\to(X)＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.10．某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位：kg)，并繪制頻率分布直方圖如圖．(1)請根據頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數、中位數和平均數；(同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表)(2)一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求)．請問每天應該進多少千克蘋果？解(1)由題圖可知，區(qū)間[80,90)的頻率最大，所以眾數為85，中位數設為x，則0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.平均數為eq\x\to(x)＝(65×0.0025＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.0025)×10＝89.75.(2)日銷售量[60,100)的頻率為0.875<0.9，日銷售量[60,110)的頻率為0.975>0.9，故所求的量位于[100,110)．由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，得100＋eq\f(0.025,0.01)＝102.5，故每天應該進102.5千克蘋果．11．已知一組數據1,2，a，b,5,8的平均數和中位數均為4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一個最大數后，該組數據一定不變的是()A．平均數 B．眾數C．中位數 D．標準差答案B解析由題意知，eq\f(16＋a＋b,6)＝4，可得a＋b＝8，又中位數為4，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,a＝5，))當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,a＝5，))時，眾數為5，標準差為eq\f(4\r(3),3)；當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4))時，眾數為4，標準差為eq\r(5).∴去掉其中的一個最大數后，數據為1,2，a，b,5，當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,a＝5，))時，平均數為eq\f(16,5)，眾數為5，中位數為3，標準差為eq\f(8,5)；當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4))時，平均數為eq\f(16,5)，眾數為4，中位數為4，標準差為eq\f(3\r(6),5).綜上，數據變化前后一定不變的是眾數．12．(2022·東三省四市聯考)某同學擲骰子5次，并記錄了每次骰子出現的點數，得出平均數為2，方差為2.4的統計結果，則下列點數中一定不出現的是()A．1B．2C．5D．6答案D解析因為eq\f(6－22,5)＝3.2，根據方差的計算公式知，方差大于2.4，因此不能出現點數6，因為eq\f(5－22,5)＝1.8<2.4，eq\f(2－22,5)＝0<2.4，eq\f(1－22,5)＝0.2<2.4，則其余的點數1,2,5都有可能出現．13．小華同學每天晚上睡覺前要求自己背誦15個英文單詞，若超出記為“＋”，不足記為“－”，則上周一至周五，他的完成情況分別為－2，－1，x，＋4，y，已知這五個數據的平均數是0，方差是5.2，則上周一至周五，小華背誦的單詞數量的眾數和中位數分別是()A．13,14 B．－2，－1C．13,13 D．－2，－2答案A解析因為－2，－1，x，＋4，y這五個數據的平均數是0，方差是5.2，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2－1＋x＋4＋y,5)＝0，,\f(－2－02＋－1－02＋x－02＋4－02＋y－02,5)＝5.2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))不管取哪一組解，這5天的單詞量均是以下幾個數，13,14,13,19,16，所以眾數和中位數分別是13,14.14．已知一組數據a，b,3,5的中位數為7，平均數為8，則ab＝________.答案135解析因為一組數據a，b,3,5的平均數為8，所以eq\f(1,4)(a＋b＋3＋5)＝8，解得a＋b＝24，若a＝b，則a＝b＝12，此時4個數為3,5,12,12，顯然中位數不是7，不妨設a<b，若a≤3，則b≥21，此時4個數排列為a,3,5，b，中位數為4，不符合題意，若3<a≤5，則19≤b<21，此時4個數排列為3，a,5，b，顯然中位數不是7，若a>5，則4個數排列為3,5，a，b，則中位數為eq\f(5＋a,2)＝7，解得a＝9，則b＝15，所以ab＝9×15＝135.15．(多選