工程力學(xué) 第2版 課件 第6、7章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)、動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)能定理

工程力學(xué)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)之間的關(guān)系

第六章剛體的平面運(yùn)動(dòng)§6.1

概述和運(yùn)動(dòng)分解剛體平面運(yùn)動(dòng)實(shí)例在運(yùn)動(dòng)中，剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運(yùn)動(dòng)稱為平面運(yùn)動(dòng)。剛體平面運(yùn)動(dòng)簡化MNSA1A2A剛體上每一點(diǎn)都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。過A點(diǎn)作一平面N與平面M平行,以平面N去截剛體得一平面圖形S?？芍撈矫鎴D形S始終在平面N內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然做平動(dòng)。A1A2的運(yùn)動(dòng)可用其與圖形S的交點(diǎn)

A的運(yùn)動(dòng)來替代。剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。這就是平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程。SMO'yxOj

平面圖形S在其平面上的位置完全可由圖形內(nèi)任意線段O'M的位置來確定：

1)線段上任一點(diǎn)O'的位置；2)線段O'M與固定坐標(biāo)軸Ox間的夾角j。平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程可由兩部分組成：1)平面圖形按點(diǎn)O'的運(yùn)動(dòng)方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移；

2)平面圖形繞O'點(diǎn)轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)動(dòng)。

對(duì)于任意的平面運(yùn)動(dòng)，可在平面圖形上任取一點(diǎn)O'，稱為基點(diǎn)。在這一點(diǎn)假想地安上一個(gè)平移參考系O'x'y'；平面圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標(biāo)軸Ox和Oy。于是平面圖形的平面運(yùn)動(dòng)可看成為隨同基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)這兩部分運(yùn)動(dòng)的合成。y'x'O'yxO剛體平面運(yùn)動(dòng)分解

平面運(yùn)動(dòng)的這種分解也可以按上一章合成運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)加以解釋。以沿直線軌道滾動(dòng)的車輪為例，取車廂為動(dòng)參考體，以輪心點(diǎn)O'為原點(diǎn)取動(dòng)參考系O'x'y'，則車廂的平動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng)，車輪繞平動(dòng)參考系原點(diǎn)O'的轉(zhuǎn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，二者的合成就是車輪的平面運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)運(yùn)動(dòng))。單獨(dú)輪子做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可在輪心O'處固連一個(gè)平動(dòng)參考系O'x'y'，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種簡單的運(yùn)動(dòng)。y'x'O'y'x'O'O'M

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和,這就是平面運(yùn)動(dòng)的速度合成法或稱基點(diǎn)法。1.基點(diǎn)法

已知O'點(diǎn)的速度及平面圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，求M點(diǎn)的速度?！?.2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法wvMvO'vMO'vO'

同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在其連線上的投影相等。這就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是將等式兩邊同時(shí)向AB方向投影:ABwvBvAvBAvA例6-1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB的長度l=20cm，滑塊A的速度vA=10cm/s，求連桿與水平方向夾角為30°時(shí)，滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度。

解:AB做平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，分析B點(diǎn)的速度。由圖中幾何關(guān)系得：方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A為基點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya例6-2用速度投影定理解例1中滑塊B的速度。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°例6-3行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為ωO。求輪II的角速度ωII及其上B、C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪II做平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA

＝wII·DA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度vBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B速度大小以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度vCA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C速度大小定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)?！?.3瞬心法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度wS平面圖形S角速度為w,點(diǎn)A的速度為vA在vA的垂線上取一點(diǎn)C(使vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，則如果取AC＝vA/w

，則NCvAvCA該點(diǎn)稱為瞬時(shí)速度中心，或簡稱為速度瞬心。vAA

圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。CAwvAvBBDvDwC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在兩點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上。

wABwOCvAABvB(2)已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB，則速度瞬心必定在AB連線與速度矢vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)C上。

ABvBvACABvBvAC(3)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等，如圖所示，圖形的速度瞬心在無窮遠(yuǎn)處。(瞬時(shí)平動(dòng)：此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同，但加速度不一定相等)wOvAAvBB另外注意：瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的，它只是在某瞬時(shí)的速度為零，加速度并不為零。(4)平面圖形沿一固定表面做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上做無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)。vC例6-4用速度瞬心法解例1。解：AB做平面運(yùn)動(dòng)AvAvBB30°CvMwM瞬心在C點(diǎn)例6-5已知輪子在地面上做純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1

各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。O45o90o90oO1OBAD例6-6已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1)AB桿的角速度；(2)B和D點(diǎn)的速度。w解：AB做平面運(yùn)動(dòng)，OA和O1B都做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)是AB桿做平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vAvBvDCwAB例6-7直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無滑動(dòng)，如圖，求

時(shí)圓柱的角速度。解：圓柱做平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在點(diǎn)，設(shè)其角速度為。AB桿做平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在點(diǎn)，則即亦即故例6-8圖示機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為ω，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角α=β=60o，求滑塊C的速度。解：AB和BC做平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心分別為C1和C2點(diǎn)，則wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C1點(diǎn)，則例6-9曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，AB=BC=BD=l，當(dāng)曲柄與水平線成30o角時(shí)，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30o角。試求圖示位置時(shí)，桿AB、BC的角速度以及沖頭C的速度。AOBDC30o30ovAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC做平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C2點(diǎn)，則例6-10曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機(jī)構(gòu)由曲柄O1A帶動(dòng)。已知曲柄的角速度為w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1A⊥O1O2時(shí)，AB∥O1O2

，且AD與AO1在同一直線上，j=30o。試求三角板ABD的角速度和點(diǎn)D的速度。解:運(yùn)動(dòng)分析——O1A和O2B做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；ABD做平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在點(diǎn)C。O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB如圖所示，由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的加速度合成定理，有而其中故由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，所以ae=aA，于是有§6.4基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)加速度BAaAaBaAaBAwa

平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這就是平面運(yùn)動(dòng)的加速度合成法，稱為基點(diǎn)法。BAaAaBaAaBAwaABCDO100100vCvB45o45o例6-11平面四連桿機(jī)構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w=1rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求C點(diǎn)的加速度。解：AB和CD做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BC做平面運(yùn)動(dòng)，其B、C兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個(gè)速度矢量的垂線得交點(diǎn)O即為該瞬時(shí)BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知wBCwABCDaB45oaB80.54o取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度，有將C點(diǎn)的加速度向BC方向投影得：aC負(fù)值表明實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。例6-12如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，系桿以勻角速度ω1繞O1轉(zhuǎn)動(dòng)。大齒輪固定，行星輪半徑為r，在大輪上只滾不滑。設(shè)A和B是行星輪緣上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在O1O的延長線上，而點(diǎn)B在垂直于O1O的半徑上。求：點(diǎn)A和B的加速度。解:1、輪Ⅰ做平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。2、選O為基點(diǎn)?！獭獭獭獭獭糖螅很囕喩纤俣人残牡募铀俣?。例6-13車輪沿直線滾動(dòng)。已知車輪半徑為R，中心O的速度為，加速度為，車輪與地面接觸，無相對(duì)滑動(dòng)。解：1、車輪做平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為C。3、選O為基點(diǎn)工程力學(xué)理論力學(xué)篇——

動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體)。質(zhì)點(diǎn):具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。剛體：質(zhì)點(diǎn)系的一種特殊情形，其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點(diǎn)系。

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題艦載機(jī)從甲板上起飛

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題若已知初速度、一定的時(shí)間間隔后飛離甲板時(shí)的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道？若已知推力和跑道的可能長度，則需要多大的初速度和多長的時(shí)間隔后才能達(dá)到飛離甲板時(shí)的速度？載人飛船的交會(huì)與對(duì)接

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題航空航天器的姿態(tài)控制

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題高速列車的運(yùn)行

第七章動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)能定理

§7.1

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程7.1.1動(dòng)力學(xué)基本定律7.1.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程7.1.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題

牛頓是17-18世紀(jì)英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、爵士、國會(huì)議員、皇家學(xué)會(huì)會(huì)長等。1687年的巨作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，開辟了大科學(xué)時(shí)代。

他發(fā)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)三定律和萬有引力定律，為近代物理學(xué)和力學(xué)奠定了基礎(chǔ)，他的萬有引力定律和哥白尼的日心說奠定了現(xiàn)代天文學(xué)的理論基礎(chǔ)。直到今天，人造地球衛(wèi)星、火箭、宇宙飛船的發(fā)射升空和運(yùn)行軌道的計(jì)算，都仍以此作為理論根據(jù)。

在2005年，英國皇家學(xué)會(huì)進(jìn)行了一場“誰是科學(xué)史上最有影響力的人”的民意調(diào)查，在被調(diào)查的皇家學(xué)會(huì)院士和網(wǎng)民投票中，牛頓被認(rèn)為比愛因斯坦更具影響力。牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn)★牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說?！锱ｎD在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理。★牛頓在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。7.1.1動(dòng)力學(xué)的基本定律

不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。第一定律(慣性定律)在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。

因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。

上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。第二定律(力與加速度關(guān)系定律)第三定律（作用與反作用定律）

兩個(gè)物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。

以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。

必須指出：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。

一般，把固定于地面的坐標(biāo)系或相對(duì)于地面做勻速直線平動(dòng)的坐標(biāo)系作為慣性坐標(biāo)系。7.1.2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上投影3.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上投影1.矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程7.1.3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題第一類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問題實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問題實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。例7-1OA=r，AB=l，λ=r/l比較小，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫為如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)和時(shí)，連桿AB所受的力。xyOABφβω解：以滑塊B為研究對(duì)象，當(dāng)φ=ωt時(shí)，受力如圖。連桿應(yīng)受平衡力系作用，由于不計(jì)連桿質(zhì)量，AB為二力桿，它對(duì)滑塊B的拉力F沿AB方向。由題設(shè)的運(yùn)動(dòng)方程，可以求得

當(dāng)時(shí)，且，得AB桿受的拉力xBmgFNFβ寫出滑塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程xyOABφβω得

時(shí)，，而AB桿受壓力。則有xBmgFNFβxyOABφβω

例7-2質(zhì)量為1kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點(diǎn)A、B，如圖。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑r＝0.5m,求兩繩的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，任一瞬時(shí)小球受力如圖。方向指向O點(diǎn)。MOrBA45o60o小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。mgFBFAvanB60oArOM

建立自然坐標(biāo)系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有當(dāng)時(shí)，兩繩才同時(shí)受力。否則將只有其中一繩受力。mgFBFAvanB60oArOMbnt例7-3質(zhì)量為m的小球以水平速度v0射入靜水之中，如圖所示。如水對(duì)小球的阻力F與小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c為阻力系數(shù)。忽略水對(duì)小球的浮力，試分析小球在重力和阻力作用下的運(yùn)動(dòng)。xyxmaxv0vFmgOm

小球在任意位置M處，受力有重力mg和阻力F=–cvxi–cvyj。為求vx，vy將上兩式分離變量，得解：小球沿x，y軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為xyxmaxv0vFmgOM上兩式的不定積分為按題意，t=0時(shí)，vx=v0，vy=0。代入上兩式求得兩個(gè)定積分常數(shù)將C1值代入式改寫為可得xyxmaxv0vFmgOM整理為或

可得將D1值代入式可得可得xyxmaxv0vFmgOM取初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，即t=0時(shí)，x=y=0。代入上兩式，求得常數(shù)再積分得xyxmaxv0vFmgOM則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為xyxmaxv0vFmgOM例7-4單擺M的擺錘重W,繩長l,懸于固定點(diǎn)O,繩的質(zhì)量不計(jì)。設(shè)開始時(shí)繩與鉛垂線成偏角

0≤/2,并被無初速釋放，求繩中拉力的最大值。OMM0φφ0解:采用自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程

任意瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的投影為寫出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程

考慮到則式(1)化成OMM0φφ0enetanatOMM0φφ0FWanat對(duì)上式采用定積分,把初條件作為積分下限從而得F=W(3cos

2cos

0)顯然,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)最低位置

=0時(shí),有最大值。故

Fmax=W(32cos

0)把式(4)代入式，有

剛體對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到軸z的垂直距離的平方乘積的算術(shù)和。即對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)，單位:kg·m2。同一剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的，而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，必須指明哪一軸?！?.2剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1.均質(zhì)細(xì)桿一、

簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z1dxxxCzdxxxOl

設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長l，質(zhì)量為m，取微段dx,則

2.均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。則3.均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其定義為如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處，并保持物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長度。對(duì)于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同。二、回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)

定理：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積，即證明：將三、平行軸定理代入Jz，得y1yzdxmCOz=z1x=x1r1ryy1x1z1

在Cx1y1坐標(biāo)系中，有質(zhì)心坐標(biāo)公式

由定理可知：剛體對(duì)于所有平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。則y1yzdxmCOz=z1x=x1r1ryy1x1z1

例7-5如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對(duì)z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，求桿對(duì)z2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2

。解：由，得(2)－(1)得zz1z2abC一、常力的功設(shè)物體在常力F作用下沿直線走過路程s，則力所做的功W定義為功是標(biāo)量，表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng)。在國際單位制中，功的單位為J

(焦耳)：1J＝1N·m。sFF§7.3力的功二、變力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，力F在微小弧段上所做的功稱為力的元功,記為dW,于是有M'M1M2qdsMdrF力在全路程上做的功等于元功之和上式稱為自然法表示的功的計(jì)算公式。稱為矢徑法表示的功的計(jì)算公式。在直角坐標(biāo)系中上兩式可寫成矢量點(diǎn)積形式上式稱為直角坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式，也稱為功的解析表達(dá)式。1)重力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，在重力作用下從M1運(yùn)動(dòng)到M2，則代入功的解析表達(dá)式得三、常見力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，其重力所做的功為

由此可見，重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重心走過的路徑無關(guān)。2)彈力的功(直線軌跡)l0δ1F2F1δ2yOA1A2彈力的功(任意軌跡)

物體受到彈性力的作用,作用點(diǎn)的軌跡為曲線A1A2,在彈簧的彈性極限內(nèi),彈性力的大小與其變形量d成正比。設(shè)彈簧原長為l0,則彈性力為A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr為沿矢徑r方向

的單位矢量得或由

彈性力做的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān)，與力的作用點(diǎn)A的軌跡形狀無關(guān)。A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr3)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上A點(diǎn)的力為F,將該力分解為Ft、Fn和Fz，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角j與弧長s有R為力作用點(diǎn)A到軸的垂直距離。FtFrFzFnOzO1Aq力F在剛體從角j1轉(zhuǎn)到j(luò)2所做的功為力F的元功為其中4)摩擦力的功動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功圓輪沿固定面做純滾動(dòng)滾動(dòng)摩擦阻力偶M的功靜滑動(dòng)摩擦力的功()通常M很小，因此vsFd5)平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功即:平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功,等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶做功之和.說明:(1)對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的剛體,上述結(jié)論都適用;(2)C點(diǎn)不是質(zhì)心,而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí),上述結(jié)論也成立。

平面力系向質(zhì)心簡化：主矢為F′R,主矩為MC。

當(dāng)質(zhì)心由C1移到C2

,轉(zhuǎn)角由φ1轉(zhuǎn)到φ2時(shí),力系的功為a例7-6如圖所示滑塊重P＝9.8N，彈簧剛度系數(shù)k＝0.5N/cm，滑塊在A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為2.5N，滑塊在20N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B，求作用于滑塊上所有力的功之和。解：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖。由于P與N始終垂直于滑塊位移，因此，它們所做的功為零。在運(yùn)動(dòng)過程中，T的大小不變，但方向在變，因此T的元功為T15cmBA20cmTPFN因此T在整個(gè)過程中所做的功為由題意：F在整個(gè)過程中所做的功為因此所有力的功為T15cmBA20cm

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為動(dòng)能是標(biāo)量，在國際單位制中動(dòng)能的單位是焦耳(J)。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即§7.4質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

剛體是工程實(shí)際中常見的質(zhì)點(diǎn)系，當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí)，其動(dòng)能的表達(dá)式也不同。1)平移剛體的動(dòng)能2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能三、剛體的動(dòng)能3)平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能由JP＝JC

+md

2得又d·w＝vC

,得平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。dwCP瞬心質(zhì)心CvC均質(zhì)圓盤在地面上做純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能:w解：I

為AB桿的瞬心例7-7均質(zhì)細(xì)桿長為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱做純滾動(dòng)，中心速度為v，桿與水平線的夾角

=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。vAB

CI例7-8長為l，重為P的均質(zhì)桿OA由球鉸鏈O固定，并以等角速度w

繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，如桿與鉛直線的交角為a，求桿的動(dòng)能。桿OA的動(dòng)能是解：取出微段dr到球鉸的距離為r，該微段的速度是微段的質(zhì)量微段的動(dòng)能aOrdrO1wPABCBjA例7-9滑塊A以速度vA在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上鉸接一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)桿AB，桿以角速度w繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為j

時(shí)，桿的動(dòng)能。解：AB桿做平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C的速度為速度合成矢量圖如圖。由余弦定理則桿的動(dòng)能vAwjBAlvAvCAvCvAw§7.5動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式在方程兩邊點(diǎn)乘dr，得因dr＝vdt，于是上式可寫成或質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。積分上式，得或

在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力做的功。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式，有式中dWi表示作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有力所做的元功之和。

對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可以列出如上的方程，將n個(gè)方程相加，得即或

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所做的元功之和。對(duì)上式積分，得

質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過程中所做的功之和。1)光滑接觸面2)固定端FyMFx三、理想約束剛性二力桿3)不可伸長的細(xì)繩4)鉸鏈連接鉸鏈固定鉸鏈滾動(dòng)鉸鏈FNFyFx理想約束：約束力做功為零的約束。光滑接觸面、不可伸長的繩索、鉸鏈、固定端等約束，約束力均不做功，都是理