高中數(shù)學(xué)選修第一冊：3 .3 .2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用

1.已知拋物線x2=2py（p>0）的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（-1,O）B.（O,-1）

C.（1,O）D.（O,1）

2.已知點(diǎn)P（6,y）在拋物線y2=2px（p〉0）上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8,則焦

點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于（）

A.2B.lC.4D.8

3.已知拋物線y2=2px（p〉0）的準(zhǔn)線與圓（x-3）2+y2=16相切，則p的值為（）

1

A.1B.lC.2D.4

4.已知點(diǎn)A是拋物線y2=2px（p〉0）上一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)

|AF|=4時,NOFA=120。,則拋物線的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=-1B.y=-1

C.x—2D.y—2

5.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，當(dāng)

△FPM為等邊三角形時，其面積為（）

A.2V3B.4C.6D.4V3

6.一條光線從拋物線y2=2px（p〉0）的焦點(diǎn)F射出，經(jīng)拋物線上一點(diǎn)B反射后，反射光

線經(jīng)過點(diǎn)A（5,4）,若|AB|+|FB|=6,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

題組二直線與拋物線的位置關(guān)系

7.已知直線l:y=x-l與拋物線C:y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，則68|為()

A.5B.6C.7D.8

8.已知直線y=kx-k及拋物線y2=2px(p>0),KlJ()

A.直線與拋物線有一個公共點(diǎn)

B.直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)

C.直線與拋物線有一個或兩個公共點(diǎn)

D.直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)

9.過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點(diǎn)的直線有()

A.1條B.2條

C.3條D.0條

10.(2020山東荷澤高二上期末)已知斜率為k的直線1與拋物線C:y2=4x交于A、B

兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,l),則直線1的方程為()

A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0

C.x-2y=0D.x-y-l=0

H.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l:y=x-2與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).

(1)求弦AB的長；

(2)求4FAB的面積.

12.(2020海南中學(xué)高二上期中)已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+l)相交于A,B兩

點(diǎn),0是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求證:OA，OB;

(2)當(dāng)AOAB的面積等于，花時，求k的值.

題組三拋物線的綜合運(yùn)用

13.在同一平面直角坐標(biāo)系中，方程a2x2+b2y2=l與ax+by2=0(a>b〉0)的曲線大致為

LBCrD4^

”2

14.已知雙曲線？-x2=l的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A,B兩

4

點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若aOAB的面積為1,則p的值為()

A.lB.V2C.2V2D.4

15.拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()

A.|B.|C.|D.3

16.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若A,B在準(zhǔn)線上

的射影分別為AB,則NAFBi等于()

A.90°B,45℃.60°D.120°

能力提升練

題組一拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用

1.(城)設(shè)拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,P為拋物線上一點(diǎn),PALI,A為垂足，如果

直線AF的傾斜角等于60。,那么|PF|等于()

A.2V3B.4V3C.|D.3

2.(多選)(2020山東淄博一中高二上期中,#7)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F.點(diǎn)M

在y軸上,若線段FM的中點(diǎn)B在拋物線上，且點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為孚，則點(diǎn)

M的坐標(biāo)為()

A.(0,-l)B.(0,-2)

C.(0,2)D.(0,l)

3.(*)若拋物線y2=2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為e，則點(diǎn)M到該拋物線

焦點(diǎn)的距離為.

4.(2020北京通州高二上期末,水?)已知雙曲線x23=l,拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與

雙曲線的一個焦點(diǎn)相同，點(diǎn)P(xo,yo)為拋物線上一點(diǎn).

(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5,求X。的值.

題組二直線與拋物線的位置關(guān)系

5.(2019黑龍江牡丹江一中高二上期中,*?)已知直線l:y=k(x+2)(k〉0)與拋物線

C:y2=8x相交于A、B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|,則k=()

A.|B佟C.|D.竽

6.(2019黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中,")已知y2=x，點(diǎn)A,B在該拋物線上且位

于x軸的兩側(cè),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雨?赤=12,則AAOB面積的最小值為()

A.6B.8C.10D.12

7.(2020河南開封高二上期末聯(lián)考,技)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)

P(xo,ap)在拋物線C上，且|PF|=3.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點(diǎn)F的直線1與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為

(xbyi),(x2,y2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若。/,麗=-(xi+x2),求直線1的方程.

題組三拋物線的綜合運(yùn)用

8.（2020山東泰安高二上期末,"?）已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),

點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|,當(dāng)m取最大值時，點(diǎn)P恰

好在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為

V2+1

A.B.V2+1

2

D.V5-1

9.（多選）（2020山東煙臺高二上期末學(xué)業(yè)水平診斷W）已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為

F,準(zhǔn)線為1,過F的直線與E交于A,B兩點(diǎn),C,D分別為A,B在1上的射影，且

|AF|=3|BF|,M為AB中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是（深度解析）

A.ZCFD=90°

B.ACMD為等腰直角三角形

C.直線AB的斜率為土日

D.AAOB的面積為4

10.（*）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿

足麗+函，過M作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,若|PF|=2,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

為,|AB|=.

n.（2020湖南長沙長郡中學(xué)高二上期中,"）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（l,2）在拋物線

2

C:y=4x上，過點(diǎn)P作兩直線分別交拋物線C于點(diǎn)A,B,若kpA+kpB=0,則kAB?kOp的

值為

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.D?.,拋物線x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,-1),即p=2,

，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

2.C拋物線y2=2px(p〉0)的準(zhǔn)線為x=?因?yàn)镻(6,y)為拋物線上的點(diǎn),所以點(diǎn)P到焦

點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以6+臺8,所以p=4,即焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距

離等于4,故選C.

3.C拋物線y2=2px(p〉0)的準(zhǔn)線方程為x=g,因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p〉0)的準(zhǔn)線與圓

(x-3)2+y2=16相切，所以3+1=4,解得p=2.

4.A如圖所示，過A作準(zhǔn)線的垂線AC,過F作AC的垂線FB,垂足分別為C,B,由

題意，得NBFA=NOFA-9(r=30。,所以|AB|=|AF|?sin30。=2,點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離

d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,則拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-l,故選A.

5.D由題意知,AFPM為等邊三角形,『月=『乂|=尸14|,..114，拋物線的準(zhǔn)線.

設(shè)則?.等邊三角形的邊長為1+9，

又F(l,0),|PM|=|FM|,.\1+.=J(1+1)2+謁,解得m=±2遮，

，等邊三角形的邊長為4,其面積為4百，故選D.

6.答案y2=4x

解析拋物線具有光學(xué)性質(zhì)，即從焦點(diǎn)出發(fā)的光經(jīng)拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線

沿平行于拋物線對稱軸的方向射出,???|AB|+|FB|=6,5+矢6,，p=2,，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

方程為y2=4x.

7.D由條件知，直線y=x-l過拋物線的焦點(diǎn)，

將y=x-l代入拋物線方程y2=4x,整理得x2-6x+l=0,

設(shè)A(xi,yD,B(X2,y2),則XI+X2=6,

二?|AB|=XI+X2+2=8.

8.C因?yàn)橹本€y=kx-k=k(x-l),

所以直線過點(diǎn)(1,0).又點(diǎn)(1,0)在拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)部，

所以當(dāng)k=0時，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；

當(dāng)kWO時，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn).

故選C.

9.C易知過點(diǎn)(0,1),且斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公

共點(diǎn).當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線方程為y=kx+l,與y2=4x聯(lián)立并整理，得k2x2+(2k-

4)x+l=0,當(dāng)k=0時，方程有一個解,即直線與拋物線只有一個公共點(diǎn);當(dāng)kWO時，令

A=(2k-4)Z4k2=0,解得k=l,即直線與拋物線有一個公共點(diǎn).所以滿足題意的直線有3

條.故選C.

10.A設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),

0"i'=(yi-y2)(yi+y2)=4(xi-x2).

yl=4%2

又AB的中點(diǎn)為

yi+y2=2,k=^^=2,

xrx2

因此直線AB的方程為y-l=2(x-2),

化簡得2x-y-3=0,故選A.

4；消去y整理得x/+4=。,其中A^64-4x4=48>0,

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),

則X1+X2=8,X1X2=4,

2

所LU|XI-X2|=V(^I+X2)-4X1X2=4V3,

所以|AB|=A/1+I??|XI-X2|=V2X4V3=4V6.

(2)由題意得點(diǎn)F(l,0),

故點(diǎn)F到直線1的距離(1=竿=正，

所以SAFAB=-x|AB|xd=-x4V6x^=2V3.

222

12.解析⑴證明:當(dāng)k=0時，直線與拋物線僅一個交點(diǎn)，不合題意,.,.kWO.

由y=k(x+l),得x*l,代入y2=-x,整理得,y2+】y-l=0.

kk

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),

則yi+y2=-；,yiy2=-l.

,點(diǎn)A,B在拋物線y2=-x上，

，A(-yKyi),B(-y幺y2),

koA?koB=T?V=—=-l,

-y\一兆一丫2

AOAXOB.

(2)設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)E,則E(-l,0),

?,.|OE|=1,

1i5+4=0。解得k=土:.

22222

13.D解法一:將方程ax+by=l與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為？+r=1與y2=2x.因?yàn)閍>b>0,

..?理〃

所以4〉0,所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，且開口向左.故選D.

ba~

解法二:方程ax+by2=0（a〉b〉0）中，將y換成-y,其結(jié)果不變，即ax+by2=0的曲線關(guān)于x

軸對稱，排除B,C;由解法一知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，排除A.故選D.

2

14.B雙曲線匕二=1的兩條漸近線方程是y=±2x「.?拋物線y2=2px（p〉0）的準(zhǔn)線方程

4

是x=-^.\A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對值是2p,又AAOB的面積為l,.*x多2P=1,

.,也=讓.故選B.

15.A設(shè)拋物線y=-x2上一點(diǎn)為A(m,-m2),A點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離

d=W^」3(m?+T,...當(dāng)m=：時,d取得最小值，為故選A.

16.A如圖，由拋物線的定義，知|AAi|=|AF|,|BBi|=|BF|,

所以NAAiF=NAFAi.

又NAAF=NAiFO,

所以NAFAi=NAFO.

同理NBFBi=NBiFO,

于是NAFAi+NBFBi=NAiFO+NBFO=NAiFBi,

故NAFBi=90。.故選A.

能力提升練

1.C在4APF中，由拋物線的定義，可得|PA|=|PF|.Y|AEsin60。=4,...|AF|=假.過P作

V3

PBLAF于NPAF=NPFA=3(F,，|PF|=^^=2故選C.

cos3003

2.BC設(shè)M(O,y),易知Fg,O),

則B(Y),如圖所示.

貝IJ|BBi|*=&.p=VI

424「

???拋物線方程為y2=2岳，且B停,》，

又B在拋物線上,，乎二?四*今因此y2=4,解得y=±2.故選BC.

3.答案三

解析設(shè)點(diǎn)M&y),

V|M0|=V3,1.-0)2+(y-0)2=3,

y2=2或y2=-6(舍去),/.x=y=1.

???M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線x=-；的距離d=l-(-0=^.

?點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離,

.?.點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為：，故答案為，

4.解析(1)因?yàn)殡p曲線的方程為x2《=l,

所以a2=l,b2=3.

所以c2=a?+b2=4.所以c=2.

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0).

(2)因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)相同，

所以拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),所以p=4.

因?yàn)辄c(diǎn)P(x°,yo)為拋物線上一點(diǎn)，

所以點(diǎn)P(xo,yo)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P(xo,yo)到拋物線的準(zhǔn)線x=-2的距離.

因?yàn)辄c(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離是5,即xo+2=5,所以x0=3.

5.D設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),xi>0,x2>0,yi>0,y2>0,

因?yàn)閨FA|=2|FB|,所以XI+2=2(X2+2),

因?yàn)?'=2■，所以yi=2y2,所以犬=4泥，即8XI=4X8X2,所以x【=4x2,與XI+2=2(X2+2)?<

%1+2X2+2

立，解得X2=l,

所以y2=2V2,

因此k=*_=2,故選D.

X2+23

6.B設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,點(diǎn)A(xi,yD,B(X2,y2),直線AB與x軸的交點(diǎn)為

M(m,O),將x=ty+m代入y?=x，可得y2-ty-m=0,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得yiy2—m,yi+y2=t.

,-"OA?0B=12,：.xi?x2+yi?y2=12,又xiX2=y：y，,；.(yi?y2>+yi?y2-12=0,令yiy2=u,

則u2+u-12=0,解得u=-4或u=3,,點(diǎn)A,B位于x軸的兩側(cè),，u=yi?y2=-4,故m=4.

故直線AB所過的定點(diǎn)坐標(biāo)是(4,0),

2

故AAOB的面積S=^X4x|y1-y2|=2xA/(y1+y2)2.4y1y2=2Vt+16^8,

當(dāng)t=0時，直線AB垂直于x$S,AAOB的面積取得最小值，為8,故選B.

7.解析⑴由點(diǎn)P(xo,/p)在拋物線C上，得(V^p)2=2px。,解得x0=p,

由拋物線定義得,|PF|=xo與±3,解得p=2,

故拋物線C的方程為y2=4x.

⑵設(shè)直線1的方程為x=my+l,

聯(lián)立［V=4x,消去x,得2_4m4=0,

lx=my+1,

故yi+y2=4m,yiy2=-4,

2

所以xix2=—X—=—=1,xi+x2=(myi+1)+(my2+1)=m(yi+y2)+2=4m+2,

4416

貝?05=-(xi+x2)=xiX2+yiy2=-3,BP4m?+2=3,解得m=±j

所以所求直線1的方程為y=2x-2或y=2-2x.

8.B由x?=4y,得p=2,

焦點(diǎn)B(0,l),準(zhǔn)線l:y=-l,

從而A(0,-l),如圖所示.設(shè)NPAQ=0.

V|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,

.|P4|\PA\1

..m=—=—=一.

\PB\|p<2|sine

結(jié)合圖形知，當(dāng)AP與拋物線相切時,sin。最小，從而m最大.

設(shè)直線AP的方程為y=kx-l(kWO),

由產(chǎn)一,4y；得x2_4kx+4=0,

(y=kx-1,

令A(yù)=16k2-16=0,解得k=±l,

不妨取k=l,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).

22

設(shè)雙曲線的方程為q3=l(a>0,b>0).

22

在雙曲線為/=l(a>0,b>0沖,2c=2,即c=l,

2a=|PA|-|PB|=2V2-2=>a=V2-l,

離心率e=￡="^=V^+l,故選B.

a72-1

解題模板在解決圓錐曲線問題時,對條件的運(yùn)用，可用代數(shù)法，借助方程的手段解

決問題;也可用幾何法，利用幾何性質(zhì)、幾何圖形解決問題.如本題中條件

“|PA|=m|PB|"就是借助圖形，利用幾何性質(zhì)解決問題，簡化運(yùn)算.

9.AC由y2=4x,得2P=4,即p=2,

???焦點(diǎn)F(1,O),準(zhǔn)線l:x=-l.

設(shè)直線AB的方程為x=my+l,A(xi,yi),B(x2,y2).

由0-4x：1得丫2_4nly_4=0,

(.X=my+1

?'?yi+y2=4m,yi?y2=-4,

從而xi+x2=4m2+2,xi?X2=l.

又|AF|=3|BF|,；.x酉=33+)即XI=3X2+2.

X

因止匕X2=m2,且3X2+2X2-1=O^>2=^X2=-l(舍去).

.,.m2=3；.m=±￡即直線AB的斜率為±V5C正確;

33

選項(xiàng)A中,C(-l,yi),D(-l,y2),

：.FC?FD=4+yiy2=4-4=0AWZCFD=90°,