高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案(1-9章)

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案

第一章集合與簡易邏輯

主備人：李淑蕓

第1課時集合的概念及運(yùn)算

【考點導(dǎo)讀】

1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能選擇自然語言，圖形語言，集合語言描述不同的具體問題，感受集合語言的意

義和作用.

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；了解全集與空集的含義.

3.理解兩個集合的交集與并集的含義，會求兩個集合的交集與并集；理解在給定集合中一個子集補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集;

能使用文氏圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

4.集合問題常與函數(shù)，方程，不等式有關(guān)，其中字母系數(shù)的函數(shù)，方程，不等式要復(fù)雜一些，綜合性較強(qiáng)，往往滲透數(shù)形思想和分

類討論思想.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.集合{(X,>)[04X42,04y<2,X,ywZ}用列舉法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}.

2.設(shè)集合4={x|x=2Z-l,keZ}，B={x\x=2k,keZ}<則Ac8=0.

/02}

3.已知集合”={0,1,2}，N={x|x=,則集合McN=.'

4.設(shè)全集/={],3,5,7,9}，集合A={l,|a-5|,9}，C,A={5,7}>則實數(shù)a的值為8或2.

【范例解析】

例.已知R為實數(shù)集，集合A={X|X2-3X+240}.若BUCRA=R，8CCRA={X[0<X<1或2Vx<3}，求集合B.

分析：先化簡集合4由BUCRA=/?可以得出A與8的關(guān)系；最后，由數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸直觀地解決問題.

解：(1)A=VxV2}，={x|x<1或x>2}.又8DC,A=R，AuC*A=R，

可得AU8.

而BCCRA={X[0<X<1或2Vx<3}，

，{x[O<x<l或2Vx<3}CB.

借助數(shù)軸可得8=Ad{x[0<x<1或2<x<3}={x[0<x<3}?

【反饋演練】

1.設(shè)集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，貝iJ(Ac8)UC=______.

2.設(shè)只。為兩個非空實數(shù)集合，定義集合力+Q},若尸={0,2,5},Q={1,2,6}，則代。中元素的個數(shù)是個.

3.設(shè)集合p="-x-6<0}，Q={x\la<x<a+3}.

(1)若PuQ=P,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若PCQ=0,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若pCQ={x[0VX<3}，求實數(shù)a的值-

解：<1)由題意知：P={x|-2<x<3}>PuQ=P■QcP.

①當(dāng)Q=0時，得2a>a+3，解得。>3.

②當(dāng)。工0時，得一2<2aW〃+3<3,解得一1<〃<().

綜上,ae.(-1,0)kJ(3,+?5)?

(2)①當(dāng)Q=0時，得2a>a+3，解得a>3：

②當(dāng)QH0時，得Va+3,，解得a<-5或之VaV3.

1a+34-2或2a232

綜上，aw(-8,—5]D[5，+8).

(3)由pcQ={x[0Vx<3}，則a=0.

第2課命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞

【考點導(dǎo)讀】

1.了解命題的逆命題，否命題與逆否命題的意義；會分析四種命題的相互關(guān)系.

2.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，“且”，“非”的含義；能用“或”，“且”，“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

3.理解全稱量詞與存在量詞的意義；能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數(shù)學(xué)內(nèi)容.理解對含有一個量詞的命題的否定的意義；能

正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.下列語句中：①％2一3=0；②你是高三的學(xué)生嗎？③3+1=5；④5x—3>6.

其中，不是命題的有①②④.

2.一般地若用p和g分別表示原命題的條件和結(jié)論，則它的逆命題可表示為若。則。，否命題可表示為苣二幽二g,逆否命題可

表示為若rg則；原命題與逆否命題互為逆否命題,否命題與逆命題互為逆否命題.

【范例解析】

例】.寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題并判斷真假.

(1)平行四邊形的對邊相等；

(2)菱形的對角線互相垂直平分；

(3)設(shè)a,b,c,deR>若a=b,c=d>則a+c=/?+4.

分析：先將原命題改為“若P則0”，在寫出其它三種命題.

解：⑴

原命題：若一個四邊形是平行四邊形，則其兩組對邊相等；真命題；

逆命題：若一個四邊形的兩組對邊相等，則這個四邊形是平行四邊形；真命題；

否命題：若?個四邊形不是平行四邊形，則其兩組對邊至少一組不相等；真命題；

逆否命題：若一個四邊形的兩組對邊至少一組不相等，則這個四邊形不是平行四邊形；真命題.

(2)

原命題：若一個四邊形是菱形，則其對角線互相垂直平分；真命題；

逆命題：若一個四邊形的對角線互相垂直平分，則這個四邊形是菱形；真命題；

否命題：若一個四邊形不是菱形，則其對角線不垂直或不平分；真命題：

逆否命題：若一個四邊形的對角線不垂直或不平分，則這個四邊形不是菱形；真命題.

(3)

原命題：設(shè)a,b,c,d€R,若a=b,c=d,則a+c=Z?+d；真命題;

逆命題：設(shè)a,b,c,deR，若a+c=b+4,則a=8,c=d；假命題；

否命題：設(shè)a，b,c,dwR，若匕或cwd,則“+cxb+d；假命題；

逆否命題：設(shè)a,b,c,deR,若a+c#b+d，則a片?；騝*4；真命題.

點評：已知原命題寫出其它的三種命題首先應(yīng)把命題寫成“若〃則，’的形式，找出其條件0和結(jié)論s再根據(jù)四種命題的定義寫出其

它命題；對于含大前提的命題，在改寫命題時大前提不要動；在寫命題〃的否定即10時，要注意對〃中的關(guān)鍵詞的否定，如“且”

的否定為“或”，“或”的否定為“且”，“都是”的否定為“不都是”等.

例2.寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或g”，“p且“非p”形式的命題，并判斷真假.

(Dp：2是4的約數(shù)，q：2是6的約數(shù)；

(2)p-.矩形的對角線相等，q：矩形的對角線互相平分；

(3)p：方程X?-x+1=0的兩實根的符號相同，q：方程x?-x+1=0的兩實根的絕對值相等.

分析：先寫出三種形式命題，根據(jù)真值表判斷真假.

解：(1)P或q：2是4的約數(shù)或2是6的約數(shù)，真命題；

P且q：2是4的約數(shù)且2是6的約數(shù)，真命題；

非P：2不是4的約數(shù)，假命題.

(2)p或q：矩形的對角線相等或互相平分，真命題；

P且q：矩形的對角線相等且互相平分，真命題；

非P：矩形的對角線不相等，假命題.

(3)p或q：方程x2-x+1=0的兩實根的符號相同或絕對值相等，假命題；

p且q：方程i-X+1=0的兩實根的符號相同且絕對值相等，假命題；

非P：方程-X+1=0的兩實根的符號不同，真命題.

點評：判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，“且”，“非”的命題的真假，先要把結(jié)構(gòu)弄清楚，確定命題構(gòu)成的形式以及構(gòu)成它們的命題P，q的

真假然后根據(jù)真值表判斷構(gòu)成新命題的真假.

例3.寫出下列命題的否定，并判斷真假.

(1)P：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；

(2)p-.每一個非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；

(3)p-.存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180°；

(4)p-.有的四邊形沒有外接圓；

(5)p：某些梯形的對角線互相平分.

分析：全稱命題"VxeM,p(x)"的否定是"■wM特稱命題"入eM,p(x)"的否定是"V.reM"■

解：(1)「p：存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)，但它不能被5整除，假命題；

(2)「p：存在一個非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)，真命題；

(3)可：任意一個三角形，它的內(nèi)角和都不大于180°,真命題；

(4)—1/7：所有四邊形都有外接圓，假命題；

(5)可：任一梯形的對角線都不互相平分，真命題.

點評：一些常用正面敘述的詞語及它的否定詞語列表如下：

正面詞語等于大于小于是都是

否定詞語不等于不大于不小于不是不都是

正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的…

否定詞語至少有兩個一個也沒有某個某些

【反饋演練】

1.命題“若aeM，則b亡M”的逆否命題是.

2.已知命題p：Vx€R,sinxW1，則--3xeR,sinx>1-

3.若命題力的否命題，，命題〃的逆命題夕，則。是勿的逆否命題.

4.命題“若a>。，則2">2&-1”的否命題為__________若0Wb，—則T<2fc-l

5.分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.

(1)設(shè)a,beR,若a/?=0,則a=0或b=0；

(2)設(shè)a,beR,若a>0,b>0,則ab〉0.

解：(i)逆命題：設(shè)R,若a=0或/?=0,則。。=0；真命題；

否命題：設(shè)a,beR,若ab￥。,則a/0且b，0；真命題：

逆否命題：設(shè)a,beR,若awO且匕。0,則真命題；

(2)逆命題：設(shè)R,若。。>0,則a>0,Z?>0；假命題；

否命題：設(shè)a,beR,若aW0或Z?W0,則a/?W0；假命題；

逆否命題：設(shè)a,b€R,若abWO,則aWO或Z?WO：真命題.

第3課時充分條件和必要條件

【考點導(dǎo)讀】

1.理解充分條件，必要條件和充要條件的意義；會判斷充分條件，必要條件和充要條件.

2.從集合的觀點理解充要條件，有以下一些結(jié)論：

若集合PuQ，則尸是Q的充分條件；

若集合P?Q，則P是。的必要條件；

若集合P=Q,則P是Q的充要條件.

3.會證明簡單的充要條件的命題，進(jìn)一步增強(qiáng)邏輯思維能力.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.若pnq,則p是q的充分條件.若qnp,則〃是<7的必要條件.若p。q,則〃是<7的充要條件.

2.用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”填空.

(1)已知p:x>2,q:x>2,那么p是.q的充分不必要條件.

(2)已知p:兩直線平行，“：內(nèi)錯角相等，那么〃是。的充要條件.

(3)已知p:四邊形的四條邊相等，q:四邊形是正方形，那么。是g的必要不充分條件.

3.若xeR,則x>1的一個必要不充分條件是x>0.

【范例解析】

例.用“充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件和既不充分也不必要條件”填空.

x>2,[x+y>4,

(1)是《”的_條件；

y>2.[xy>4.

Y—4

(2)(x-4)(x+l)20是------20的條件；

x+1

(3)a=/?是tana=tan￡的一條件;

(4)》+丫。3是無工1或^。2的__條件.

分析：從集合觀點“小范圍=大范圍”進(jìn)行理解判斷，注意特殊值的使用.

x>2,fx+y>4,1{x+y>4,fx>2,

解：(i)因為，結(jié)合不等式性質(zhì)易得《，反之不成立，若x=-,y=10,有《，但《不成立,

y>2,[xy>4.2[xy>4.[y>2.

x>2,是24,

所以《的充分不必要條件.

y>2.xy>4.

x—4X-4

(2)因為(x-4)(x+l)20的解集為[—1,4],----20的解集為(-1,4],故(x-4)(x+l)N0是------20的必要不充分

x+lX+1

條件.

(3)當(dāng)a=$=2時,tana,tan/均不存在；當(dāng)tana=tan4時,取。=二'0=,但■a#夕,所以<7=夕是

、244

tana=tan/的既不充分也不必要條件.

(4)原問題等價其逆否形式，即判斷“x=l且y=2是x+y=3的—條件"，故x+y，3是xHl或的充分不必要條

件.

點評：①判斷。是0的什么條件，實際上是判斷“若P則/'和它的逆命題''若<?則的真假，若原命題為真，逆命題為假，則P為

g的充分不必要條件；若原命題為假，逆命題為真，則〃為<?的必要不充分條件；若原命題為真，逆命題為真，則〃為<7的充要條件；

若原命題，逆命題均為假，則P為e的既不充分也不必要條件.②在判斷時注意反例法的應(yīng)用.③在判斷“若o則/'的真假困難時，

則可以判斷它的逆否命題”若[4則的真假.

【反饋演練】

1.設(shè)集合M={xI0<x<3},N={x|0<xW2},則“aeM”是“aeN”的必要不充分條件.

2.已知0：lVx<2,<?：%(%—3)<0.則.是<?的充分不必要條件.

3.已知條件p:A={xe+ax+l40}，條件g:B={xeR-3x+2W0}.若一>夕是可的充分不必要條件，求實

數(shù)a的取值范圍.

解：=R|lWxW2},若「q是的充分不必要條件，則AqB.

若A=0，則a2-4<0，即一2<a<2；

a2—420,(

若AH0,貝JI—————解得_)4o=_2.

-a-yJa'-4-a+\Ja~-42

------------------<x<-------------------,

綜上所述，0<2.

2-

第二章函數(shù)

主備人：徐永川

【知識導(dǎo)讀】

表示方法

概念

定義域侑域

圖像

單調(diào)性奇偶性

宴函和

蛀礎(chǔ)廠招新

腫--------?南基本初等—指和雨和

E皿T4說

時和雨和

I—對和

一次函和

函數(shù)與方

應(yīng)用問題

【方法點撥】

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高中函數(shù)以具體的基函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和三角

函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對象，適當(dāng)研究分段函數(shù)，含絕對值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時要對初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解.

1.活用“定義法”解題.定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點.利用定義，可直接判斷所給的對應(yīng)是否滿足函數(shù)的條

件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等.

2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透.“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.當(dāng)你所研究的問題較為抽象時，當(dāng)你的思維陷入困境時，當(dāng)你

對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題.

3.強(qiáng)化“分類討論思想”應(yīng)用.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為

零、積零為整的思想與歸類整理的方法.進(jìn)行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不

重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”.

4.掌握“函數(shù)與方程思想”.函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之它在整個高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高.函數(shù)的

思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題.

第1課函數(shù)的概念

【考點導(dǎo)讀】

1.在體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念

中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1(x>0),

1.設(shè)有函數(shù)組：①〉二%，y=V?；②>=%，y=V?：③y=6,y=；④y=<_\x\

-，y=一；

-1(x<0),?x

Y

⑤y=lgx-l,y-1g—.其中表示同一個函數(shù)的有②④⑤

2.設(shè)集含M={x|0{y|0<y<2}

<x<2}fN=,從M到N有四種對應(yīng)如圖所示:

其中能表示秀M到N的函數(shù)關(guān)緊的②③

3.寫出下列函數(shù)定義域：

③

{x|x'±l}

(i)/(x)=l—3尤的定義域為R；(2)/(x)=一一的定義域為；

X-1

(3)/(X)=Jx+lH—的定義域為[―1,0)3(0,*891)f(JC)=(八])的定義域為___(―0)

Xa-X

4.已知三個函數(shù)：⑴y=±0；⑵y=20P(x)(〃eN*)；⑶y=log。⑺尸(x).寫出使各函數(shù)式有意義時，P(x),。(尤)

Q(x)

的約束條件：

⑴—一。(幻。0__；⑵——P(x)>0；⑶

5.寫出下列函數(shù)值域：

⑴/(x)=d+x,xe{1,2,3}：值域是{2,6,12}.。(幻>0且P(x)>0且。(x)W1

⑵f(x)=x2—2A*+2；值域是[1,+8).

(3)/(x)=x+l,xe(1,2].值域是(2,3].

【范例解析】

%2_]_____________

例1.設(shè)有函數(shù)組：①/(x)=------,g(x)=x+I；②/(x)=Jx+1?Jx-l,g(x)-yjx2-1；

x-\

③/(x)=6-2x+l,g(x)=|x-l|；@f(x)-2x-\,g")=2r-l.其中表示同一個函數(shù)的有③④.

分析：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同.

解：在①中，/(x)的定義域為{尤卜。1},g(x)的定義域為R,故不是同一函數(shù)；在②中，/(x)的定義域為口,+°°),g(x)的

定義域為?？?+8),故不是同一函數(shù)；③④是同一函數(shù).

點評：兩個函數(shù)當(dāng)它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數(shù).而當(dāng)一個函數(shù)定義域和對應(yīng)法則確定時，它的值域也就確定，故判

斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷它的定義域和對應(yīng)法則是否相同即可.

例2.求下列函數(shù)的定義域：①I「—②/(x)=r=====

y=--n+"-1/log,(2-%)

2-\x\\2

解：(1)①由題意得：_p-|x|w0,解得xw—i且XH-2或xzi且工H2,

[x2-1>0,

故定義域為(-8,-2)u(-2,-1]u[1,2)u(2,+8).

②由題意得：k)g|(2-x)>0，解得1<x<2，故定義域為(1,2).

例3.求下列函數(shù)的值域:

（1）y=-x2+4x-2>xe[0,3）：

2_______

(2)y=—---(X€R)：(3)y=x-2y/x+1-

x2+1

分析：運(yùn)用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域.

(1)解：y=—f+4x—2=—(x—2)'+2,丁尤￡[0,3),.,?函數(shù)的值域為[―2,2]；

(2)解法一：由),=上_=1..o<_!—<1，則.._i<____!_<o,??.()<y<l,故函數(shù)值域為[0,1).

%2+1X2+1X2+1X2+1

解法二：由y=1,則?/X2>0,A.,.0<y<l,故函數(shù)值域為[0,1).

X2+11-y1-J

(3)解：令V7TT=r?20),則X=〃一1,y=產(chǎn)一2,一1=。一1)2一2,

當(dāng)ENO時，,2-2,故函數(shù)值域為[-2,+8).

點評：二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法；逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域；用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新元的

取值范圍.

【反饋演練】

1?函數(shù)F（x）=J1-2'的定義域是（-<x>,0],

2.函數(shù)〃丫）=--------!----------的定義域為（l,2）u（2,3）

2

log2（-x+4x-3）-------------

3.函數(shù)y=—/?）的值域為.

1+JT

4.函數(shù)y=2x-3+的值域為(-8,4].

5.函數(shù)y=Jiogos(41一3])的定義域為:〔一；，0)D(*，U

6.記函數(shù)/'(x)=ru+3的定義域為力,g(x)=/g[(x—a—1)(2d—才)](水1)的定義域為笈

V-x+I

(1)求力；

(2)若8=4求實數(shù)a的取值范圍.

解：(1)由2—x+320,得x-130,點一1或才21,即左(-8,-1)u[l,+8).

X+1X+1

(2)由(x—a—1)(2a—x)>0,得(x—a—1)(x—2a)<0.

\*a<1,/.a+l>2a,AB=(2a,a+1).

1

VB(ZA,???2a》l或a+l〈一l,即aN一或aW-2,而a〈L

一2

???一Wa〈l或aW-2,故當(dāng)B=A時，實數(shù)a的取值范圍是(-8,-2]U[—，1).

2-2

第2課函數(shù)的表示方法

【考點導(dǎo)讀】

1.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法，列表法，解析法)表示函數(shù).

2.求解析式?般有四種情況：(1)根據(jù)某個實際問題須建立一種函數(shù)關(guān)系式；(2)給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式；(3)換

元法求解析式；(4)解方程組法求解析式.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.設(shè)函數(shù)/(x)=2x+3,g(x)=3尤一5,則/(g(x))=6x-Jg(/(x))=6x+4

2.設(shè)函數(shù)〃x)=—L-，g(x)=f+2,則g(-1)=_3_____；/[g(2)]=L；/[g(x)]=_J—

1+x7.1+3

3.已知函數(shù)/(x)是一次函數(shù)，且/(3)=7,/(5)=-1,則/(1)=15

4.設(shè)f(x)=JA"".Ix\<\,則/(/?(1)]=_____4__

,1|x|>i213

11+x33

5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為y=5一豆以二1」(().這x<2)

【范例解析】

例1.己知二次函數(shù)y=f(x)的最小值等于4,且/(0)=/(2)=6,求/(%)的解析式.

分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解.

4=2,

解法一：設(shè)f(x)-cue2+bx+c(a>0),則'：=6，解得.h=-4,

4a+2b+c=6,

c=6.

4ac-b2,

--------=4.

4a

故所求的解析式為f(x)-2x2-4x+6.

解法二：?.?/(0)=/(2),.?.拋物線y=/(x)有對稱軸x=l.故可設(shè)/(x)=a(x-l)2+4(。>0).

將點(0,6)代入解得<7=2.故所求的解析式為f(x)=2X2-4X+6.

解法三：設(shè)P(x)=/(x)-6.,由/(0)=/(2)=6,知/(尤)=0有兩個根0,2,

可設(shè)F(x)=f(x)-6=a(x-0)(x-2)(a>0),/.f(x)=a(x—0)(x—2)+6,

將點(1,4)代入解得a=2.故所求的解析式為/(x)=2九2—4x+6.

點評：三種解法均是待定系數(shù)法，也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式：?般式，頂點式，零點式.

例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km,甲10時出發(fā)前往乙家.如圖，表示

甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時間x(分)的關(guān)系.試寫出y=/(x)的函數(shù)解析式.

分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式.

解：當(dāng)xe[0,30]時，直線方程為y=1-x,當(dāng)xe[40,60]時，直線方程為y=」-x-2,

[0,30],

(30,40),

1xe[40,60].

—X—2.

點評：建立函數(shù)的解析式是解決實際問題的關(guān)鍵，把題中文字語言描述的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá).要注意求出解析式后，一定

要寫出其定義域.

【反饋演練】

??若/(九)=?26，g(?=,則/(2x)=(D)

A.2/(x)B.2"(x)+g(x)]c,2g(x)D,2[/(x)g(x)]

2.已知/(；x-l)=2x+3,且/(〃z)=6,則次等于4.

3.己知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)=V+2x.求函數(shù)g(x)的解析式.

解：設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象上任意一點。(毛，為)關(guān)于原點的對稱點為P(x,y),

券=。

?.,點在函數(shù)y=/(x)的圖象上

/.—y=x2-2x,BPy=-x2+2x,=—x2+2x.

第3課函數(shù)的單調(diào)性

【考點導(dǎo)讀】

1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大(小)值及其兒何意義；

2.會運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.下列函數(shù)中：

①/(x)=L②/(》)=尤2+2x+l；③/(x)=-x；?/(x)=|x-l|.

其中，在區(qū)間(0,2)上是遞增函數(shù)的序號有②.

2.函數(shù)y=的遞增區(qū)間是N.

3.函數(shù)y=JX2-2X-3的遞減區(qū)間是(一8,;11

(已知函數(shù)y=/(無)在定義域？上是單調(diào)減函數(shù)，且/'(a+l)>/(2a),則實數(shù)a的取值范圍

5.已知下列命題：

①定義在R上的函數(shù)/(幻滿足/(2)>/(1),則函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù):

②定義在R上的函數(shù)f（x）滿足/（2）>/（I），則函數(shù)/（x）在R上不是減函數(shù);

③定義在R上的函數(shù)/（尤）在區(qū)間（-8,0］上是增函數(shù)，在區(qū)間［0,+8）上也是增函數(shù)，則函數(shù)/（x）在R上是增函數(shù);

④定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-8,0］上是增函數(shù)，在區(qū)間（0,+8）上也是增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).

其中正確命題的序號有②.

【范例解析】

例.求證：（1）函數(shù)/（幻=-2尤2+3X—1在區(qū)間（-O。,］］上是單調(diào)遞增函數(shù)；

2x—1

（2）函數(shù)/（幻=------在區(qū)間（一0。,一1）和（-i,+o。）上都是單調(diào)遞增函數(shù).

X+1

分析：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意符號的確定.

3

證明：（1）對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值玉，x2,且％<%2，

因為/（芭一九）=-玉一々~+—西~+尤］—々

）/（22xj+31—（―23x21）—2x,--233

=（王一無2）［3-2（玉+%）］，

33

又玉<尤2<］，則%一工2<0，玉+”2<5，得3—2（玉+々）>0，

故（石一七）［3—2（%+工2）］<0,即/（網(wǎng)）一/（工2）<°，即/（%）</（%2）?

所以，函數(shù)/（x）=-2x2+3無-1在區(qū)間（-OO,-］上是單調(diào)增函數(shù).

4

（2）對于區(qū)間（一8,—1）內(nèi)的任意兩個值不，x2,且％<%2，

2x-x）

}-12X2-1_3（%12

因為/（m）-/（尤2）=

玉+x（西+

12+1l）（x2+1）

又百則不一工2<0，（X1+1）<0,（々+1）<0得，（%+1）（犬2+1）>0

故&7.

<0,即/（X,）—/（9）<0,即。（石）—

（西

+l）（x2+l）

2x-l

所以，函數(shù)/（%）=-------在區(qū)間（-8,—1）上是單調(diào)增函數(shù).

x+1

2x—1

同理，對于區(qū)間（一1,+8）,函數(shù)/（*）=------是單調(diào)增函數(shù)；

X+1

2x-l

所以，函數(shù)/（%）=-------在區(qū)間（-00,-1）和（-1,+8）上都是單調(diào)增函數(shù).

x+l

點評：利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，一般分三步驟：（1）在給定區(qū)間內(nèi)任意取兩值內(nèi)，X2；（2）作差/（王）一/（九2），化成

因式的乘積并判斷符號；（3）給出結(jié)論.

例2.確定函數(shù)/（X）=一：——=的單調(diào)性.

\ll-2x

分析：作差后，符號的確定是關(guān)鍵.

解：由得定義域為（一8,；）.對于區(qū)間（—8,g）內(nèi)的任意兩個值不，龍2，且不＜當(dāng)，

12（X]~"工2）____________

則/（玉）-/（々）=

71-2%龍yjl-

J1-2.■J1-22（J1-2%+2X2）

又X[一々<0，J]-2%]?J1?-2々（Jl-2X|+J1-2々）>0,

＜0

?-?/U1）-/U2）1即/（內(nèi)）＜/（々）-

所以，/（X）在區(qū)間（—8,g）上是增函數(shù).

點評：運(yùn)用有理化可以對含根號的式子進(jìn)行符號的確定.

【反饋演練】

1.已知函數(shù)〃x）=」一，則該函數(shù)在H上單調(diào)遞減，（填“增”“減”）值域為.（0,1）

2"+1

2.已知函數(shù)/（%）=4/—，加+5在（-8,—2）上是減函數(shù)，在（-2,+8）上是增函數(shù)，則f⑴=25

3.函數(shù)y—J-X、-x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為[—2,—5].

蟲函數(shù)f（x）=|x2-l|+x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-oo,-l],[1,l].

5.已知函數(shù)/（彳）=絲士1在區(qū)間（―2,+8）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

x+2

解：設(shè)對于區(qū)間（一2,+8）內(nèi)的任意兩個值％,x2,且％＜尤2，

則/（%）-/（%）=竺上-竺山=（1—2“）（一芭）

,2<0,

%+2x2+2（%+2）（々+2）

,/%1-%,<0,（玉+2）>0,（%2+2）>0得，（Xj+2）（%,+2）>0./.1-2tz<0,即a>；.

第4課函數(shù)的奇偶性

【考點導(dǎo)讀】

1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性；

2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件；不具備上述對稱性的，既不是奇函數(shù),

也不是偶函數(shù).

【基礎(chǔ)練習(xí)】

r4—1

1.給出4個函數(shù)：①/（%）=》5+5》；②/（*）=———；?/（x）=-2x+5；?f（x）=ex-e-x.

其中奇函數(shù)的有①④；偶函數(shù)的有②：既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有③.

2.設(shè)函數(shù)/（X）=0*I""*"）為奇函數(shù),則實數(shù)。=一1.

X

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（A）

R-y=sinx”Rc.y=x”H"蟲孑4R

【范例解析】

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(2)/(X)=lg(X4-VX2+1)：

⑴八,2，

⑶〃x)=lg/+lg*(4)〃x）=（"x）M

2-x2+x(x>0),

(5)f(X)=X+|x—1|+1；(6)fW=

x2+x(X<0).

分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點對稱，再利用定義判斷.

解：（1）定義域為xeR,關(guān)于原點對稱；；/（_》）"0+2=2一（+2-'）。=（1+2*），=

2-x22x-2~x2'

所以/（x）為偶函數(shù).

(2)定義域為X€R,關(guān)于原點對稱；:/(—x)+/(x)=lg(—x+Ji+1)+聯(lián)尢+/〃+==笆1=0,

/.f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).

⑶定義域為(-<?,0)u(0,+oo),關(guān)于原點對稱：：/'(x)=0,/(-x)=-/(X)且f(-x)=y(x),

所以/（X）既為奇函數(shù)又為偶函數(shù).

（4）定義域為XC,不關(guān)于原點對稱；故/（X）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

（5）定義域為xeH,關(guān)于原點對稱；=4,/（1）=2,則/X—DH/a）且/（一1）。一/■（1）,故/（X）既不是奇函

數(shù)也不是偶函數(shù).

（6）定義域為xeR,關(guān)于原點對稱;

-(-x)2+(-x)(-x>0),卜1_x(x>0),又f(o)=0

???f(~x)=f(~x)=|x2-x(x<0).,

(-x)2+(-x)(-X<0).