高中數(shù)學(xué)人教B版必修二學(xué)案第一單元疑難規(guī)律方法

立體幾何初步

教材延伸《1學(xué)習(xí)空間幾何體要“三會”

一、會區(qū)分

例1以下說法：①一個幾何體有五個面，那么該幾何體可能是球、棱錐、棱臺、棱柱；②假

設(shè)一個幾何體有兩個面平行，且其余各面均為梯形，那么它肯定是棱臺；③直角三角形繞其

任意一條邊旋轉(zhuǎn)一周都可以圍成圓錐.其中說法正確的個數(shù)為.

分析可依據(jù)柱體、錐體、臺體和球體的概念進行推斷.

解析一個幾何體有五個面，可能是四棱錐、三棱臺，也可能是三棱柱，但不行能是球，所

以①錯；由于棱臺的側(cè)棱是原棱錐側(cè)棱的一局部，所以棱臺的各側(cè)棱的延長線相交于一點，

而②中的幾何體其側(cè)棱延長線并不肯定會交于一點，所以②錯；③中如繞直角邊旋轉(zhuǎn)可以形

成圓錐，但繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是由兩個圓錐組成的組合體，所以③錯.故填0.

答案0

評注要精確????？區(qū)分各種幾何體，可從軸、側(cè)面、底面、母線、平行于底面的截面等方面

入手，當然把握定義是大前提.

二、會折展

例2紙制的正方體的六個面依據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方

體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如下圖的平面圖形，那么標“△”的面的方位

是.

分析將平面綻開圖按要求折疊成正方體，依據(jù)方位推斷即可.

解析將平面綻開圖折疊成正方體，如下圖，標的面的方位應(yīng)為北.故填北.

_____c,

「上B/

西1A

答案北

評注將空間幾何體綻開成平面圖形，或?qū)⒕`開圖折疊成空間幾何體，在后面的計算或證明

中常常用到，應(yīng)引起重視.解決這類問題的關(guān)鍵是充分發(fā)揮空間想象力量或親自動手制作模

型進行實踐.

三、會割補

例3如下圖是一個三棱臺ABC-A由Ci.試用一個平面把這個三棱臺分成一個三棱柱和一個

多面體，并用字母表示.

/\

分析三棱柱要求兩個底面為平行且全等的三角形，其余三個面為四邊形，且相鄰兩個四邊

形的公共邊都相互平行.

解作CtE/ZBBi,連接。E,那么三棱柱為-多面體為AOECG4（如

下圖）.

/\

評注正確理解各類幾何體的概念是將幾何體進行割補的前提，在后面的空間幾何體的體積

或面積計算中常常要通過線、面，將不規(guī)那么的幾何體通過割補的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的幾何

體，從而可以利用公式求解.

2三視圖易錯點剖析

一、棱錐的視圖易出錯

我們在畫正三棱錐、正四棱錐時要留意從不同角度得到的三視圖.實際上，在上述幾何體的

三視圖中，左視圖最簡潔出錯，在畫這些常見錐體的三視圖時，可做出幾何體的高線，有了

高線的襯托，自然就可以得到正確的三視圖.

/主視

如圖，對于正三棱錐「一ABC來說，它的主視圖中，從前面對后面看，點B到了點。的位置,

點P到了點P'的位置，故主視圖為等腰三角形P'AC（包含高線P'￡＞）,從左側(cè)向右側(cè)看，

點A到了點。的位置，故左視圖為三角形P8D從上面對下面看，俯視圖中，點P到了點。

的位置，故俯視圖為等邊三角形A8C（外加三條線段OA、OB、0Q.

如圖，對于正四棱錐「一ABC。來說，它的主視圖和左視圖分別為等腰三角形PEF和等腰三

角形PGH,俯視圖為正方形ABCZ）（包含兩條對角線AC和80.對于此三視圖，左視圖和主

視圖易出錯，但有了高線P0的襯托，便可降低出錯率.

二、畫三視圖時，沒有把不行見的輪廓線用虛線表示而出錯

作幾何體的三視圖的過程中，可見的邊界輪廓線用實線表示，不行見的邊界輪廓線用虛線表

示.這一點不能無視，否那么易出錯.

例1畫出如下圖零件的三視圖.

錯解如圖零件可看作是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合，其三視圖如下圖.

主視圖左視圖

俯視圖

剖析錯誤緣由是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應(yīng)畫出其交線.

正解

主視圖左視圖

三、不能由三視圖復(fù)原正確的直觀圖而出錯

當幾何體的三視圖，而需要我們?nèi)?fù)原成直觀圖時，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點的投影，重要

的垂直關(guān)系等，綜合三個視圖，想象出直觀圖，然后畫出直觀圖，再通過的三視圖驗證直觀

圖的正確性.

例2如圖，通過三視圖復(fù)原物體的直觀圖.

主視圖左視圖

俯視圖

解通過三視圖可以畫出直觀圖，如下圖:

注其中PC為垂直于底面的直線.

跟蹤訓(xùn)練由下面的三視圖復(fù)原物體的直觀圖.

主視圖左視圖

俯視圖

解通過三視圖可以看出直觀圖如下圖：

DA

教材延伸《3直觀圖與原圖形的互化知多少

在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來考查斜二測畫法中角度和長度的變化，也實現(xiàn)

了原圖形與直觀圖的互化.關(guān)于兩者的互化，關(guān)鍵是要抓住它們之間的轉(zhuǎn)化規(guī)那么——“斜”

和“二測”.

“斜”也即是直角坐標系到斜45。坐標系之間的相互轉(zhuǎn)化，“二測”也即是兩者在轉(zhuǎn)化時，要

做到“水平長不變，垂直倍半化”.現(xiàn)通過例題敘述一下兩者之間的詳細轉(zhuǎn)化策略.

一、原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化

例1正三角形ABC的邊長為“，那么△A8C的平面直觀圖△△'B'C的面積為（）

分析先依據(jù)題意，在原圖形中建立平面直角坐標系（以A8所在直線為x軸，以A8邊上的高

所在直線為），軸），然后完成由原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化，然后依據(jù)直觀圖AA'B'C的邊長

及夾角求解.

解析依據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標系，再依據(jù)斜二測畫法畫出其直觀圖，如

圖②所示.

AO\O'D'B'x'

(D

易知，A'B'=AB=a,O'C=^0C=乎4作C'

D'_L4'B'于點D',那么CD'

答案D

評注通過斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與實物圖的面積之比為坐：1.在求解

中留意面積中的水平方向與垂直方向的選擇與定位.

二、直觀圖到原圖形的轉(zhuǎn)化

例2用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形，得到一個邊長為1的正方體，那么原來圖形

的外形是（）

解析由直觀圖知，原圖形在y軸上的對角線長應(yīng)為2啦.

答案A

評注當由直觀圖向原圖形轉(zhuǎn)化時，關(guān)鍵是在直觀圖中建立斜45。坐標系，有了斜45。坐標系，

便可按“二測”的畫圖規(guī)那么逆推回去，而在正方形中建立45°坐標系是很簡潔的(正方形的對

角線與任一邊所成的角均為45。)，從而實現(xiàn)了由直觀圖向原幾何圖形的轉(zhuǎn)化.

例3如下圖，四邊形ABCD是一平面圖形水平放置的斜二測直觀圖，在斜二測直觀圖中，

ABC。是始終角梯形，AB//CD,A￡>J_C￡>,且BC與y軸平行，假設(shè)AB=6,DC=4,A￡>=2,

那么這個平面圖形的實際面積是.

分析由/BCx=45。，先計算BC的長度.

解析由斜二測直觀圖畫法規(guī)那么知該平面圖形是梯形，且AB與CQ的長度不變，仍為6和

4,高為4g，故平面圖形的實際面積為3X(6+4)X4啦=2即.

答案2M

學(xué)法指導(dǎo)<4柱、錐、臺的外表積求法精析

由于柱、錐、臺的外表積是各個面的面積之和，因此計算的關(guān)鍵在于對幾何體各個面的正確

熟悉以及對外表積公式的正確運用.

一、錐體的外表積

例1正三棱錐的底面邊長為4cm,它的側(cè)棱與高所成的角為45。，求正三棱錐的外表積.

分析此題的關(guān)鍵在于求正三棱錐的斜高.

解如下圖，過S點作.平面A8C于。點，那么。為AABC的中心，連接A0并延長與

8c相交于。點.由正三角形的性質(zhì)得。為BC的中點，連接SQ,那么SQ為正三棱錐的斜高.

在RtAASO中，ZASO=45°,

AO=坐X4=4^(cm),，SO=A。=^^(cm).

2s

在RtASOD中，。。=￥乂4=寸901),

故SD=y/Sb2+01^=7號(cm).

依據(jù)正棱錐的側(cè)面積公式：

Sflu=^X3X4X^^=4V15(cm2),

又△ABC的面積為45cm2,

故正三棱錐的外表積為(4A/Z+4、「)cm2.

評注有關(guān)棱錐、棱臺的外表積問題，常常涉及到側(cè)棱、高、斜高、邊心距和底面外接圓半

徑五個量之間的關(guān)系.解決問題時，往往把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形，即由側(cè)棱、高、底面外接

圓半徑所組成的直角三角形或由高、斜高、邊心距所組成的直角三角形，求出所需要的量，

從而使問題得以解決.

二、柱體的外表積

例2如圖，直三棱柱ABC—48C1，其底面是等腰直角三角形，且AB=BC=也，AC=A\A

=2.

(1)求該幾何體的外表積；

(2)假設(shè)把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，求拼得的棱柱外表積的最小值.

解(1)該幾何體有5個面，兩個底面的面積和為2X；X啦X也=2,三個側(cè)面面積和為2X(也

+也+2)=4(6+1),故其外表積S=6+441

(2)設(shè)兩個這樣的直三棱柱重合的面的面積為S,那么組合后的直棱柱的外表積為2S—25i,故

當且僅當重合的面的面積最大時，拼得的棱柱的外表積最小.

又側(cè)面A4cle的面積最大，此時拼得的棱柱的外表積最小值為2S-2S四邊形A4GC=4+

8^2.

評注本例中(1)的關(guān)鍵在于精確?????識別幾何體的各個面的外形；(2)的關(guān)鍵在于找到影響拼

合后的面積變化量，當然也可以分類爭論，列舉出各種拼合的方法，一一計算外表積，再進

行比擬.

三、臺體的外表積

例3一個正三棱臺的兩底面邊長分別為20cm和30cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，

求棱臺的高.

分析求棱臺的側(cè)面積要留意利用公式及正棱臺中的特別直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問題來求解

所需的幾何元素.

解如下圖，正三棱臺ABC—481G中，O,Oi分別為兩底面中心，D,5分別為BC和BC1

中點，那么為棱臺的斜高.

由4B|=20cm,A8=30cm,

那么OiD\cm,。。=5小cm,

由S側(cè)=S上+S下，得

京20+30)X3XDD1=^p(202+302),

?二DO］」3ycm.???棱臺的斜高為13ycm.

在直角梯形。。。。］中，

彳一(00—05)2=44(cm).

，棱臺的高為4小cm.

評注此題的關(guān)鍵是找到正棱臺中的特別直角梯形.

為你支招＜5空間幾何體體積的求解“三法"

空間幾何體的體積公式在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，但在詳細求解過程中，僅僅記住公式

是遠遠不夠的，還要把握圖形的內(nèi)在因素，把握一些常見的求解策略，敏捷選擇恰當?shù)姆椒?/p>

進行求解.

一、直接用公式求解

依據(jù)柱體、錐體、臺體、球體的體積公式，明確公式中各幾何量的值，把未知的逐個求出，

再代入公式進行求解.

例1圓錐的外表積為ISjtcn?,側(cè)面綻開圖的圓心角為60。，求該圓錐的體積.

分析依據(jù)錐體的體積公式丫=；5力=；兀/兒知應(yīng)分別求出圓錐的底面半徑和高，代入公式計

算.

兀3+?！?15兀,

60X7T/

(2nr=180■

解得4

所以h—yjp—r—ylffir)2-/2=共35戶

—y[35r—y[35X-\j^=5事.

所以丫=；兀XX5小=25^7t(cmJ).

評注直接利用幾何體的體積公式求體積時，需堅固把握公式，明確各幾何量之間的關(guān)系，

精確?????進行計算.

二、分割補形求解

當給出的幾何體比擬簡單，有關(guān)的計算公式無法運用時，可以采納“分割〃或“補形”的方

法，化簡單的幾何體為簡潔的幾何體(柱、錐、臺、球)，利用各簡潔幾何體的體積和或差求解.

例2如下圖，在三棱臺ABC-ABCi中，AB：AiBi=l：2,求三棱錐A-ABC、三棱錐B

一A18C、三棱錐C-481G的體積之比.

A

分析如圖，三棱錐8-4BC可以看作棱臺減去三棱錐4一A8C和三棱錐C-4BiCi后剩余

的幾何體，然后相比即可.

解設(shè)三棱臺的高為力，SAABC=S,那么SZ\ABCj=4S.

所以吃棱甄-w-s&ABC-h=^Sh,

咚棱錐cf4G=(SZ\AiB|Cr/i=gs/?.

匕桂臺ABC—A4G亭，

又

匕：棱錐片?！骼馀_AAC-AMG_咚棱制一麗_

所以咚棱錐。一4與G=爭/2—/汽—/。=會"

所以匕棱錐A_AAC:憶.棱錐—A4c:吟棱錐c_AMG=]?2：4

評注三棱柱、三棱臺可以分割成三個三棱錐，分割后可由錐體的體積求柱體和臺體的體

積.在立體幾何中，通過分割或補形，將原幾何體割成或補成較易計算體積的幾何體，從而

求出原幾何體的體積，這是求體積的重要思路與方法.

三、等積轉(zhuǎn)換求解

對于一個幾何體，可以從不同的角度去看待它，通過轉(zhuǎn)變頂點和底面，利用體積不變的原理,

求原幾何體的體積.

例3如下圖的三棱錐。一ABC為長方體的一角，其中OA,OB,0C兩兩垂直，三個側(cè)面OAB,

OAC,OBC的面積分別為cn?,1cm23cm2,求三棱錐O—A8c的體積.

分析三棱錐O—A8C的底面和高不易求解，可以轉(zhuǎn)換視角，將三棱錐0—A8C看作C為頂

點，△048為底面.由三棱錐的體積得出三棱錐。一ABC的體積.

落=,

x=\,

解設(shè)。A,OB,0C的長分別為xcm,ycm,zcm,那么由可得V5z=l,解得，y=3,

].z=2.

宓=3.

12，

于是VWO-ABC=VC-OAB=^S^OAB^OC

=3X2X1X3X2=l(cm3).

熱點跟蹤＜6“三共”問題的證法精析

一、證明點共線

例1如下圖，在正方體ABCD-AiBiCQi中，設(shè)線段4c與平面ABCQi交于。.求證：B、

。、。共線.

證明..,QC平面A8G。，?！昶矫?|。|。3,

5G平面ABCiG,3G平面AQiCB,

二平面ABCiD]Cl平面A\D\CB=BD].

?.?AC。平面ABCiDi=Q,且AiCU平面A{D\CB,

二。6平面AQ1C8；而QG平面ABGOi.

，。在兩平面的交線BO上，，B、。、功共線.

評注證明點共線的問題，一般可轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，這樣可依據(jù)公

理3證明這些點同在兩平面的交線上.

二、證明線共點

例2如圖，△48C與△48G三條邊對應(yīng)平行，且兩個三角形不全等，求證：三對對應(yīng)頂點

的連線相交于一點.

p

分析要證三線共點，可證其中兩條直線有交點，且該交點在第三條直線上.

證明由A山i〃AB,知A/1與AB可確定平面a.

同理CLBI,CB和AC,AC可分別確定平面￡和小

又△ABC與△AICi不全等，那么48WAB.

假設(shè)A4,BBi的交點為P,那么P6A4,且「CB8.

又/CI尸CG,BB\U}那么PG夕；AAiUy,那么PGy.

所以點P在夕Dy的交線上，

即PGCG,這樣點尸在A4,BBl,CG上，即三對對應(yīng)頂點的連線相交于一點.

評注解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證該點也在其他直線上.

三、證明線共面

例3求證：兩兩相交但不過同一點的四條直線共面.

分析四條直線不共點，但有可能三線共點，或沒有三線共點，所以應(yīng)分兩種狀況加以證明.

證明分兩種狀況證明：

①有三條直線過同一點，如圖，

由于入住/4,所以過A,4可確定平面a.

由于8,C,Oe/4,所以8,C,DRa.

所以ABUa,ACUa,AD^a.

因此四條直線l2,h,/4共面.

②任意三條直線都不過同一點，如圖.

由于/|C，2=A,所以過/I,，2可以確定平面a.

又由于。，EC/2,B,ce/1,所以。，E,B,Cea.

由EGa,BWa,可得BEUa,即bUa.

同理可證，/4ua.因此四條直線6，h,h,/4共面.

評注證明線共面問題，一般有兩種方法：一是先由兩條直線確定一個平面，再證明第三條

直線在這個平面內(nèi)；二是由其中兩條直線確定一個平面a,另兩條直線確定一個平面夕，再證

a,用重合，從而三線共面.

學(xué)法指導(dǎo)＜

7平行問題證明的三個突破口

一、由中點聯(lián)想三角形的中位線，查找平行關(guān)系

例1如圖，在長方體A8CD—AiBCiCi中，E是C。的中點，求證：A2〃平面

分析要在平面8OE內(nèi)查找與4。1平行的直線，由條件E是CDi的中點，易想到利用三角形

的中位線來查找.由于底面ABC。是平行四邊形，其對角線的交點就是AC的中點，這樣就找

到了中位線，從而問題就解決了.

證明連接AC,與BD交于點0.

由于底面ABCD是平行四邊形，

所以。是AC的中點.

連接0E,由于E是CQ的中點，

所以0E是△AAC的中位線.所以。E〃AG.

又OEU平面BDE,平面BDE,

所以A?！ㄆ矫鍮DE.

評注運用直線與平面平行的判定定理證明線面平行時，不能無視限制條件：一條直線在平

面內(nèi)，一條直線在平面外，如此題中OEU平面B￡)E,AOg平面BOE,否那么證明不完善.

二、由平行四邊形查找平行關(guān)系

例2如圖，在正方體48CZ5-48IG￡>I中，點N在上，點〃在8C上，且CM=ON,

求證：MN〃平面ABBiAi.

分析要在平面內(nèi)找一條直線與MN平行，可依據(jù)平行關(guān)系作ME〃BC,N/〃A。來

構(gòu)造平行四邊形，從而找到與MN平行的直線.

證明作ME〃BC交BBi于點、E,作NF〃/1。交AB于點F,連接EF

A,

AFB

由于A￡)〃BC,所以NF〃ME.

由于CM=Z)N,BD=B\C,

所以BiM=BN.

NF_BN

由寸蔗=瓦下'AD=BD,

所以ME=NF.

所以四邊形MEFN為平行四邊形.所以MN〃EF.

又MW平面AB81A1,EFU平面A8BA,

所以MN〃平面ABB\A\.

評注構(gòu)造平行四邊形的關(guān)鍵在于抓住條件特征，合理引入平行線.肯定要留意平行四邊形

的一條邊在要證的平面內(nèi)，其對邊為待證直線，如此題中直線EF與MN.

三、由對應(yīng)線段成比例查找平行關(guān)系

例3如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD是正方形，M,N分別是P4,8。上的點，

PM_BN

宿一彷

求證：〃平面P8C.

分析條件中給出一個比例關(guān)系，由此想到運用比例線段在平面P8C內(nèi)查找一條直線與

平行.

證明連接AN并延長，交BC于點E,連接尸E.

在正方形A8CZ）內(nèi)，BC//AD,

「所以ND-AN

1pMBNPMNE

由于r而一而'助'以而=麗，

所以MN〃PE.

又PEU平面PBC,MNQ平面PBC,

所以MN〃平面PBC.

熱點跟蹤＜

8轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系

空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面

面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì)，運用三者之間的轉(zhuǎn)

化關(guān)系.

一、證明線面垂直

證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直；

二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直.

例1如圖，AB是圓。的直徑，以垂直于圓。所在的平面，M是圓周上任意一點，ANLPM,

垂足為點N.求證：4ML平面P8M.

證明由于%垂直于圓。所在的平面，所以南

由于M是圓周上一點，所以

又由于B4CIAM=A,所以8M_L平面

所以BMA.AN.

又由于AN_LPM,PMCBM=M,所以AN_L平面P8M.

評注此題是考查線面垂直很好的載體，它融合了學(xué)校所學(xué)的圓的特征，在求解時要留意線

線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

二、證明面面垂直

證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過求二面角的平面角為直角而

得到，這種方法在證明面面垂直時應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到

面面垂直.

例2如圖，ZXABC為等邊三角形，EC_L平面ABC,BD//EC,且EC=C4=2BO,M是E4

的中點.

⑴求證：DE—DA；

(2)求證：平面平面EC4.

證明(1)如圖，取EC的中點F,連接。F,易知DF//BC.

由于EC_LBC,所以。尸_LEC.

在RtA￡F￡>和RtADBA中，

由于EF=*C=BD,FD=BC=AB,

所以絲.所以DE=DA.

(2)如圖，取CA的中點N,連接MV,BN,那么MN〃EC,且MN=；EC.

又EC//BD,且BD=*C,

所以MN〃BD,且MN=8D所以四邊形8DWN是平行四邊形.所以點N在平面BDW內(nèi).

由于EC_L平面ABC,所以EC_LBM

又CALBN,ECQCA=C,所以BN_L平面ECA.

由于BNU平面MN8。，所以平面2￡>M_L平面ECA

評注在證明面面垂直時通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題.

三、證明線線垂直

證明線線垂直，往往依據(jù)線面垂直的性質(zhì),即假如一條直線垂直于一個平面，那么它和這個

平面內(nèi)的任意一條直線垂直.

例3如圖，平面aC平面4=CD,EAla,EB邛,垂足分別為A,B,求證：CO_LA8

證明由于E4_La,CDUa,所以CD_LEA.

又由于EB_L￡,CD",所以EB_LCD

又由于EACE8=E,所以CD_L平面ABE

由于ABU平面ABE,QX平面ABE,

所以CDLAB.

評注證明空間中的垂直關(guān)系的問題時，常常要用到化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，主要表達在線

線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過程之中.其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：

判定定理判定定理

線線垂直線面垂直面面垂直

性質(zhì)定理性質(zhì)定理

教材延伸（9空間中垂直關(guān)系的探究型問題

隨著新課程的普及，創(chuàng)新型問題越來越受到高考命題者的青睞，并且滲透到各個章節(jié)之中,

下面就直線與空間中垂直關(guān)系的開放探究型問題列舉兩例，供同學(xué)們學(xué)習(xí).

例1如圖，設(shè)△ABC內(nèi)接于。。，力垂直于。。所在的平面.

圉