大單元視域下的初中函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

函數(shù)是以變量的觀點研究現(xiàn)實世界的一種工具，是反映數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的直觀模型，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有舉足輕重的地位。根據(jù)課程標準的要求和數(shù)學(xué)學(xué)科“大概念”的思考，本文從制約函數(shù)學(xué)習(xí)的因素進行剖析，提出了有效的函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略。以大概念為核心，以大單元主題為引領(lǐng)，促進教學(xué)內(nèi)容情景化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識橫向、縱向連接，促進學(xué)生思維螺旋式上升，進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，優(yōu)化初中數(shù)學(xué)課程改革。一、制約初中生函數(shù)學(xué)習(xí)能力提升的因素函數(shù)是初中數(shù)學(xué)一個非常重要的學(xué)習(xí)模塊，也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，可是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識是比較困難的，究其原因發(fā)現(xiàn)制約初中生函數(shù)學(xué)習(xí)能力提升的主要因素有以下幾點：（一）函數(shù)的概念表達抽象函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長而復(fù)雜的過程，前后大概有200年的歷史。中學(xué)數(shù)學(xué)課本對函數(shù)的概念采用變量說定義如下：一般的，在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么我們就稱y是x的函數(shù)。函數(shù)的定義是抽象的，學(xué)生很難理解，如果教學(xué)時對定義不做分析直接給出，這樣會導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)的認知僅僅停留在識記層面，對函數(shù)本質(zhì)的理解是很不利的。（二）函數(shù)教學(xué)的跨度過大以魯教版數(shù)學(xué)教材為例，函數(shù)內(nèi)容分布在六年級下冊《變量之間的關(guān)系》、七年級上冊《一次函數(shù)》、九年級上冊《反比例函數(shù)》《銳角三角函數(shù)》與《二次函數(shù)》。從七年級到九年級，函數(shù)的學(xué)習(xí)中間斷開了兩年，可是難度卻上了一個大臺階，這些內(nèi)容對于學(xué)生而言是模糊的、抽象的、零散的?？墒墙滩挠植豢赡軐⑦@些函數(shù)湊到一起呈現(xiàn)，畢竟每種函數(shù)所需要的知識儲備是有梯度的。這就導(dǎo)致學(xué)生不僅在學(xué)習(xí)函數(shù)新知時前后知識銜接困難，而且在應(yīng)用函數(shù)知識解決實際問題時更加困難。（三）學(xué)生學(xué)習(xí)的思維局限函數(shù)是用來刻畫變量之間關(guān)系的一種工具，數(shù)學(xué)中的極值問題、動點問題、存在性問題等等，都是在變化的過程中尋找一個靜態(tài)的瞬間來解決問題，而學(xué)生看到了問題中變化的量卻往往不會想到利用函數(shù)這一工具來解決。這是由于現(xiàn)階段學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)重點關(guān)注的是函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象性質(zhì)，對于為什么要研究這些函數(shù)、如何去研究、從哪些方面去研究，學(xué)生并沒有理清這些問題的實質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生的高階思維得不到很好的培養(yǎng)與發(fā)展。二、初中數(shù)學(xué)函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略教師該如何幫助學(xué)生深刻地理解函數(shù)的本質(zhì)，提高學(xué)生對函數(shù)的理解與應(yīng)用，這是一個值得關(guān)注和研究的課題。法國數(shù)學(xué)家布爾巴基指出，“數(shù)學(xué)不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的”。單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是基于結(jié)構(gòu)化理論的一種教學(xué)方式，它可以將具有共性的一類知識模塊，把其最本質(zhì)的內(nèi)在邏輯關(guān)系抽象出來，將分散、零碎的知識條理化、系統(tǒng)化，幫助學(xué)生形成清晰、完整的知識結(jié)構(gòu)，最終內(nèi)化生成學(xué)生自身的知識體系。筆者在教學(xué)實踐中，對初中函數(shù)知識模塊進行了結(jié)構(gòu)化教學(xué)的嘗試，通過三種課型引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)對函數(shù)的認知體系，提升思維能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。（一）單元起始課——引導(dǎo)學(xué)生抽象和分類數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)得以發(fā)展的基石，但數(shù)學(xué)概念又比較抽象。初中生處于具體形象思維到形式邏輯思維過渡時期，抽象能力還比較弱。遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。單元起始課承擔(dān)了兩個重要的任務(wù)：一是采用從特殊到一般的歸納思維，從大量的具體現(xiàn)實問題情境中讓學(xué)生學(xué)會分析、比較、概括，逐步抽象出對函數(shù)概念的認知和理解；二是采用分類的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生建立有序的學(xué)習(xí)路徑，分門別類地開展函數(shù)的探究與學(xué)習(xí)。1.抽象函數(shù)概念《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》強調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象性，即“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系”。這樣的表述不僅強調(diào)了數(shù)學(xué)的研究對象是抽象的，還強調(diào)了數(shù)學(xué)的研究對象是通過對現(xiàn)實世界的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象得到的。這意味著數(shù)學(xué)教育要關(guān)注數(shù)學(xué)的抽象，特別要關(guān)注數(shù)學(xué)如何對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系進行抽象，如何得到和表達數(shù)學(xué)的研究對象。函數(shù)單元起始課需要呈現(xiàn)大量實際問題，包含行程問題、購物問題、幾何問題、利潤問題、工程問題等等，例如，A、B兩地的路程為900km，求一輛汽車從A到B地所需時間t（h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的關(guān)系式；有一張長方形紙片，長、寬分別為8cm和6cm，現(xiàn)在長、寬上分別剪去寬為xcm(x<6)的紙條，求剩余部分的面積y與x的關(guān)系式；已知某商品每箱盈利10元，現(xiàn)每天可售出50箱，如果每箱商品每漲價1元，日銷售量就減少2箱。設(shè)每箱漲價x元時（其中x為正整數(shù)），每天的總利潤為y元，求y與x之間的關(guān)系式，等等。課堂中可以讓學(xué)生進行大量的列關(guān)系式的練習(xí)。之所以在這個過程中強調(diào)大量列關(guān)系式的訓(xùn)練，是因為每種新鮮事物的出現(xiàn)，必須要反復(fù)刺激學(xué)生的感知，學(xué)生有大量的感知積累后，可以發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系式中的兩個量是在不斷變化的，在這個變化過程中，對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定值，y都有唯一的值與它對應(yīng)。知識不是講會的，而是做會的，所以一定要讓學(xué)生自己做，讓學(xué)生有機會獨立面對問題，經(jīng)歷觀察、分析、歸納、抽象等各種思維活動，形成概括概念所需要的素材(舍棄無關(guān)屬性,聚焦關(guān)鍵屬性,得到共同屬性等)，然后定義函數(shù)。學(xué)生獲得函數(shù)的概念后，為了鞏固加深對概念的理解，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)變量與方程中的未知數(shù)是有區(qū)別的：方程中的未知數(shù)是可以確定具體值的，在對比過程中讓學(xué)生體會方程僅僅是函數(shù)的一個瞬間，從而體會到用函數(shù)研究現(xiàn)實世界是必然的。2.將函數(shù)進行分類代數(shù)函數(shù)的分類與代數(shù)式的分類類似，代數(shù)函數(shù)包括有理函數(shù)、無理函數(shù)，有理函數(shù)又包括整式函數(shù)和分式函數(shù)。在義務(wù)教育階段，不研究無理函數(shù)。初中階段主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其中一次函數(shù)、二次函數(shù)屬于整式函數(shù)，反比例函數(shù)屬于分式函數(shù)。初中階段的函數(shù)是按照從最高次冪的角度進行分類的，為了讓學(xué)生更好地體驗分類標準，讓學(xué)生對抽取概念時獲得的大量的函數(shù)關(guān)系式進行分類，并說明分類標準。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程的分類、不等式的分類，他們具備從最高次冪的角度進行分類的思維。將初中涉及到的幾類函數(shù)在解析式層次進行分類建構(gòu)，一方面可以幫助學(xué)生梳理初中的函數(shù)類型，另一方面也利于橫向?qū)Ρ群涂v向勾連，在后續(xù)進一步分門別類地研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)發(fā)揮重要的作用。當(dāng)學(xué)生了解了初中階段需要學(xué)習(xí)的函數(shù)類型有哪幾種之后，他就會在建立自己的知識結(jié)構(gòu)框架，就會在學(xué)習(xí)新函數(shù)時，不自覺地對比已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)類型，然后遷移研究方法，從而更好地幫助學(xué)生后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)，正所謂“隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲”。（二）單元深化課——引導(dǎo)學(xué)生推理和建模單元深化課要在初步感知函數(shù)概念、類型的基礎(chǔ)上，進一步理解函數(shù)的三重表征方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言進行表達，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力；還要能夠通過學(xué)習(xí)建立研究函數(shù)的一般策略，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型學(xué)會應(yīng)用。1.引導(dǎo)學(xué)生推理很早以前人類就有了函數(shù)的觀念，只是一直停留在關(guān)系式的層面，直到法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了平面直角坐標系，他用一對有序數(shù)對刻畫點的位置，而有序數(shù)對恰好和函數(shù)定義中的自變量與因變量的一一對應(yīng)關(guān)系吻合起來，于是人們想到把每一組對應(yīng)的自變量和因變量的值列到表格里表達函數(shù)，函數(shù)的表格法形式就誕生了。之后人們又把自變量和因變量作為有序數(shù)對在平面直角坐標系中描出位置，再用平滑的曲線連接起來，就獲得了函數(shù)的圖象。教師順勢拋出問題：函數(shù)的三種表征分別側(cè)重表達哪些方面？引導(dǎo)學(xué)生對比各自的優(yōu)缺點，發(fā)現(xiàn)：圖象法的優(yōu)點是直觀，能夠形象地反映出當(dāng)自變量的值變化時函數(shù)值的變化趨勢，所以常用來研究函數(shù)的性質(zhì)和變化趨勢；不足之處是不能準確地由已知自變量的值求出函數(shù)值。列表法的優(yōu)點是已知表中給出的部分自變量的值時，可以不通過計算直接查出對應(yīng)的函數(shù)值；不足之處是只能表示出自變量的有限個離散值及其函數(shù)值。解析法的優(yōu)點是全面、準確、方便，對于自變量在可以取值的范圍內(nèi)任取一個確定的值，都可以通過表達式計算求出它的函數(shù)值；不足之處是不夠形象直觀，而且并不是每一個函數(shù)都可寫出它的表達式。比如心電圖，我們可以畫出它的圖象，但是卻無法用解析式表達；還有一些函數(shù)表達式存在，比如y=，但是我們很難描畫出它的圖象。因此在研究函數(shù)時，往往將三種表示方法聯(lián)合運用，互相補充。學(xué)生理解了函數(shù)的三種表征的優(yōu)缺點之后，我們遵循從簡單到復(fù)雜的原則，先研究一次函數(shù)。一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），教學(xué)中讓學(xué)生任取k和b的值得到一個具體的一次函數(shù)，然后列表格并畫圖，全班可獲得50多個一次函數(shù)的圖象，之后教師借助幾何畫板將大家繪制的一次函數(shù)放到一個坐標系中，學(xué)生共同觀察發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖象是一條直線，直線從左到右有兩種走向，k>0上升，k<0下降，b決定了直線與y軸的交點位置。通過動手操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖象受到k和b的影響。教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生：從圖象中可以觀察這些規(guī)律，從解析式和表格中你能發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律嗎？在函數(shù)教學(xué)中，通過“形”研究“數(shù)”固然重要，但也不要忽視培養(yǎng)學(xué)生從“數(shù)”的角度觀察，分析、歸納、證明的能力，以此提高學(xué)生的代數(shù)推理他力。在教學(xué)中，要注重函數(shù)思想方法的滲透，因為函數(shù)思想是解決初中數(shù)學(xué)問題的常用思想，可以有效地解決許多復(fù)雜的問題。教師要及時將學(xué)生自然生發(fā)的研究過程進行提升歸納。學(xué)生歸納的在同一類一次函數(shù)中穩(wěn)定不變的規(guī)律性的東西，稱之為是函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)就是研究它們的性質(zhì)，研究的方法就是系數(shù)討論法和圖象法。比如，研究一次函數(shù)，因為k>0與k<0有兩種情況，b>0，b<0，b=0有三種情況，將k和b結(jié)合起來，我們總共需要研究六種一次函數(shù)，分別是k>0且b>0，k>0且b=0，k>0且b<0，k<0且b>0，k<0且b=0，k<0且b<0，然后分別從每一類一次函數(shù)中選取具體的例子進行研究就可以了。有了一次函數(shù)的研究經(jīng)驗，再研究其他函數(shù)比如反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生很自然就能考慮到對于解析式，只要分別研究k＞0和k＜0兩種情況就能夠分析圖象特點和性質(zhì)。再到學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時候，學(xué)生就能順理成章地獨立剖析二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，實現(xiàn)函數(shù)的研究方法在各種函數(shù)探究過程中的遷移應(yīng)用。2.引導(dǎo)學(xué)生建模一次函數(shù)是初中函數(shù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其知識內(nèi)容與探究方法對后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)具有參考價值。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩大數(shù)學(xué)思想：一是對應(yīng)思想，二是數(shù)形結(jié)合思想。其中對應(yīng)思想體現(xiàn)在解析式的列表計算中，即變量之間的一一對應(yīng)；而數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在繪圖的過程中，即解析式、坐標、點、線四者之間的關(guān)聯(lián)構(gòu)建過程。教學(xué)中還要突出“什么是函數(shù)的性質(zhì)”“如何研究函數(shù)性質(zhì)”等問題，既要注意研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的一般思路，又要注意函數(shù)性質(zhì)的特殊性——變化中的規(guī)律性、不變性。研究方法上，要加強通過代數(shù)運算和圖象直觀揭示函數(shù)性質(zhì)的引導(dǎo)；要構(gòu)建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，歸納概括出精確刻畫單調(diào)性的方法，從而提升數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng)，提升學(xué)生的抽象思維水平，促使學(xué)生學(xué)會思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力?？傊?，經(jīng)過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要建構(gòu)起研究函數(shù)的思路和方法，把我研究函數(shù)的思想精髓。三、單元延伸課——引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用和創(chuàng)新研究函數(shù)的目的是為了用變化的觀點研究現(xiàn)實世界，因此教師需注重滲透函數(shù)模型思想，讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)建函數(shù)模型，能夠站在數(shù)學(xué)的角度對問題進行思考與解決，從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)“三會”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。1.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實生活中的許多問題都可以通過建立函數(shù)模型得以解決。函數(shù)的應(yīng)用題已經(jīng)滲透到日常生活的各個方面，比如經(jīng)濟問題、購買問題、運輸問題、信息收費問題、水產(chǎn)品加工問題等，因此教師要注重提高學(xué)生利用函數(shù)模型解決實際問題的能力。2.引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新除了已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在函數(shù)大家庭中還有很多其他成員，比如腦電波圖、分段函數(shù)，通過單元延伸課讓學(xué)生走近函數(shù)大家庭。函數(shù)大家庭的成員盡管都個性十足，但它們卻能夠和諧相處，因為它們都反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化這一共性。盡管學(xué)生對這些函數(shù)比較陌生，但是通過應(yīng)用建構(gòu)起來的研究函數(shù)的模型，學(xué)生采用系數(shù)討論法和圖象法完全可以描繪圖象并總結(jié)性質(zhì)，然后展開相應(yīng)的研究學(xué)習(xí)，實現(xiàn)知識遷移，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。比如要求學(xué)生設(shè)計一個方案：用籬笆圍一塊面積為1m2的長方形土地，要求所用籬笆的長度最省。通過單元起始課、單元深化課、單元延伸課三種課型，開展數(shù)學(xué)函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，強調(diào)了函數(shù)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，