函數(shù)的概念及表示 （學(xué)生版）

PAGE21授課主題函數(shù)的概念及表示年級高一知識梳理知識點一：函數(shù)關(guān)系與依賴關(guān)系的聯(lián)系(1)具有依賴關(guān)系的兩個變量，不一定具有函數(shù)關(guān)系；(2)當(dāng)且僅當(dāng)對于其中一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一確定值時，才稱這兩個變量之間有函數(shù)關(guān)系；(3)運用圖形語言說明變量x，y間的關(guān)系：結(jié)合依賴關(guān)系及函數(shù)（初中）的定義可知，圖2-1中變量x，y間具有依賴關(guān)系，但不具有函數(shù)關(guān)系；而圖2-2中變量x，y間具有函數(shù)關(guān)系和依賴關(guān)系．知識點二：函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，xA．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域.注：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）可以“多對一”、“不可一對多”；（4）A中元素的無剩余性；（5）B中元素的可剩余性。知識點三：區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.區(qū)間的左端點必小于右端點；2.區(qū)間符號里面的兩個字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；3.用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用實心點表示，不屬于這個區(qū)間端點的實數(shù)用空心點表示；4.無窮大(∞)是一個符號，不是一個數(shù)，因此它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運算法則；5.包含端點用閉區(qū)間，不包含端點用開區(qū)間，以“＋∞”或“－∞”為區(qū)間的一個端點時，這一端必須是小括號．知識點四：同一個函數(shù)1.前提條件：①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系相同.(2)結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).知識點五：常見函數(shù)的值域(1)一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域為R，值域是R.(2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，當(dāng)a>0時，值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當(dāng)a<0時，值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).知識點六：函數(shù)的三種表示方法表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系知識點八.分段函數(shù)分段函數(shù)在書寫時要用大括號，把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式，并寫出各段的定義域.1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù).2.分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.3.作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別作出每一段的圖象.4.注意事項(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)；(2)分段函數(shù)中各段自變量的取值范圍的交集是空集；(3)處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪一個范圍，從而選擇相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系.例題講解知識點1、函數(shù)關(guān)系的判斷例1、下列對應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是(

)A．，B．，，C．，D．，例2、下面圖象中，不能表示函數(shù)的是(

)A．B．C．D．練習(xí)：1．(多選)下列對應(yīng)關(guān)系是實數(shù)集上的函數(shù)的是()A．：把對應(yīng)到 B．：把對應(yīng)到C．：把對應(yīng)到 D．：把對應(yīng)到2．(多選)托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關(guān)系屬于集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是(

)A．B．C．D．3．已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是(

)A．B．C．D．4．(多選)下列是函數(shù)圖象的是(

)A．B．C．D．知識點二、區(qū)間的表示例1、把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.練習(xí)：1．集合可用區(qū)間表示為()A． B． C． D．2．若實數(shù)滿足，則用區(qū)間表示為()A． B． C． D．知識點三、函數(shù)的定義域例1、函數(shù)的定義域為(2)求函數(shù)的定義域為________．例2、已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是__________.(2)已知函數(shù)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)的定義域為______.(3)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是__________.例3、已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是(

)A． B． C． D．例4、已知等腰三角形ABC的周長為10,且底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域為()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．練習(xí)：1．函數(shù)的定義域為______．2．函數(shù)的定義域為________.3．已知函數(shù)的定義域為則的定義域為_________________4．函數(shù)的定義域為，則的定義域為________.5．如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長為x(單位：m)的矩形草坪(陰影部分)，要求草坪面積不小于，則x的取值范圍為______.知識點四、同一函數(shù)的判斷例1、下列函數(shù)表示同一個函數(shù)的是(

).A．與 B．與

C．與 D．與練習(xí)：1．下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是(

)A． B．C． D．2．下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是(

)A．， B．，C．， D．，3．下列各組函數(shù)為同一函數(shù)的是()①與;②與;③與.A．①② B．① C．② D．③知識點五、三種函數(shù)的表示方法例1、某公共汽車，行進(jìn)的站數(shù)與票價關(guān)系如下表：行進(jìn)的站數(shù)123456789票價111222333此函數(shù)的關(guān)系除了圖表之外，能否用其他方法表示？練習(xí)：1．司生產(chǎn)了10臺機(jī)器，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.2．某種筆記本的單價是5元，買個筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù).3．已知完成某項任務(wù)的時間與參加完成此項任務(wù)的人數(shù)之間滿足關(guān)系式，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且參加此項任務(wù)的人數(shù)不能超過8．(1)寫出關(guān)于的解析式；(2)用列表法表示此函數(shù)；(3)畫出此函數(shù)的圖象．知識點六、求函數(shù)值或值域例1、已知，，求：(1)；(2)；(3).例2、試求下列函數(shù)的定義域與值域．(1)，；(2)；(3)；(4).練習(xí)：1．)(多選)下列函數(shù)與的值域相同的是(

)A． B．C． D．2．求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3),.(4)知識點三函數(shù)解析式例1、根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足練習(xí)：1．根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足2．根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為__________．(2)已知滿足，求的解析式．(3)已知，對任意的實數(shù)x，y都有，求的解析式．知識點八、分段函數(shù)例1、已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.例2、已知函數(shù)．(1)求的值；(2)畫出函數(shù)的圖象．例3、已知.(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù).(2)畫出區(qū)間上的的圖象；(3)根據(jù)圖象寫出區(qū)間上的值域.練習(xí)：1．已知函數(shù)(1)求，，；(2)若，求的值．2．已知函數(shù).(1)求，的值；(2)作出函數(shù)的簡圖；(3)由簡圖指出函數(shù)的值域；3．已知函數(shù).(1)在所給坐標(biāo)系中作出的簡圖；(2)解不等式.4．某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定：①公里以內(nèi)(含公里)，票價元；②公里以上，每增加公里，票價增加元(不足公里的按公里計算)．如果某條線路的總里程為公里，(1)請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出該函數(shù)的圖像．舉一反三1．函數(shù)的定義域為(

)A．B．C．D．2．若函數(shù)的定義域為，則的定義域為(

)A． B． C． D．3．若函數(shù)的定義域為，則的定義域為(

)A．B．C．D．4．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是(

)A． B． C． D．5．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)A．與B．與C．與D．與6．下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是(

)．A．， B．，C．， D．，7．下列函數(shù)中，值域是的是()A．B．，C．，D．8．某同學(xué)離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，圖中d軸表示該學(xué)生離學(xué)校的距離，t軸表示所用的時間，則符合學(xué)生走法的只可能是()A．B．C．D．9．(多選)下列四個圖象中，是函數(shù)圖象的是(

)A．

B．

C．

D．

10．(多選)下列各組函數(shù)不是同一個函數(shù)的是(

)A．與B．與C．與D．與11．(多選)下列函數(shù)定義域和值域相同的是(

)A． B． C． D．12．(多選)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是(

)

A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為D．當(dāng)30≤x≤60時，y與x的關(guān)系式為13．(多選)下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是(

)A．B．C．D．14．函數(shù)的定義域為______.15．若函數(shù)的定義域為[－2,1]，則的定義域為_______，的定義域為______．16．(1)已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．(2)已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．17.試求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)，(2)(3)(4)18．(1)已知，求的解析式；(2)已知，求函數(shù)的解析式；(3)已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；(4)已知，求的解析式．(5)已知的定義在R上的函數(shù)，，且對任意的實數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．19．甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發(fā)前往乙家．如圖所示，表示甲從家出發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時間x(分)的關(guān)系．試寫出y＝f(x)的函數(shù)解析式．20．已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值；(3)請在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域和值域．21．已知函數(shù)(1)求；(2)若，求的值；(3)在給定的坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖像.22．求下列函數(shù)的值域．(1)，；(2)；(3)，；(4)y＝；(5)y＝2x－.課堂小結(jié)一.根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法1.任取一條垂直于x軸的直線l；2.在定義域內(nèi)平行移動直線l；3.若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù).二.判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法三．求函數(shù)定義域1.如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.2.如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子不小于零的實數(shù)的集合.4.如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實數(shù)的集合的交集.5.如果f(x)是根據(jù)實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集合.四．判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)1.定義域、對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個不同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù).2.函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.3.在化簡解析式時，必須是等價變形.五．求函數(shù)值1.方法：①已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.2.關(guān)注點：用來替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無意義.六．求函數(shù)值域的常用方法1.觀察法：通過對解析式的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數(shù)的值域，求出函數(shù)的值域.2.配方法：若函數(shù)是二次函數(shù)形式，即可化為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函數(shù)，則可通過配方再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域，但要注意給定區(qū)間的二次函數(shù)最值的求法.3.換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域.4.分離常數(shù)法：此方法主要是針對分式函數(shù)，即將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”的形式，便于求值域.七．求函數(shù)解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時，可構(gòu)造方程組求解.3.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設(shè)出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.八．分段函數(shù)1.函數(shù)值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗函數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.3.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟：(1)定類型：根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)圖象的特點，先確定函數(shù)的類型；(2)設(shè)函數(shù)式：設(shè)出函數(shù)的解