(高清版)GBT 40681.6-2021 生產過程能力和性能監(jiān)測統(tǒng)計方法　第6部分：多元正態(tài)過程能力分析

ICS03.120.30A41GB/T40681.6—2021生產過程能力和性能監(jiān)測統(tǒng)計方法第6部分：多元正態(tài)過程能力分析國家市場監(jiān)督管理總局國家標準化管理委員會IGB/T40681.6—2021 Ⅲ 1 13術語和定義 1 3 3 37過程能力和過程性能的計算 47.1I型和Ⅱ型指數(shù)的描述 47.2指數(shù)的設定和符號表示 47.3Ic型和Ⅱc型過程能力指數(shù) 67.4Ⅱa型和Ⅱb型過程能力指數(shù) 8 98.1二維位置容差 98.2插槽的位置和尺寸 附錄A(資料性附錄)公式推導 附錄B(資料性附錄)軸不平衡示例 20附錄C(資料性附錄)孔位示例 24附錄D(資料性附錄)變換函數(shù)構造 28 29ⅢGB/T40681.6—2021GB/T40681《生產過程能力和性能監(jiān)測統(tǒng)計方法》計劃分為以下8個部分：——第1部分：通用原則和概念；——第2部分：時間相依過程模型的過程能力和性能； 第3部分：分立產品測量數(shù)據(jù)的機器性能研究：——第4部分：過程能力估計和性能測量；——第5部分：計數(shù)特性的過程能力和性能估計；——第6部分：多元正態(tài)過程能力分析；——第7部分：測量過程能力；—-——第8部分：多狀態(tài)生產過程的設備性能分析。本部分為GB/T40681的第6部分。本部分按照GB/T1.1—2009給出的規(guī)則起草。本部分使用重新起草法修改采用ISO22514-6:2013《過程管理中的統(tǒng)計方法能力與性能第6部分：多元正態(tài)過程能力分析》。本部分與ISO22514-6:2013的技術性差異及其原因如下：——修改了適用范圍的表述；——將術語3.4“過程能力”改為GB/T3358.2—2009中對應術語的定義并刪除了注2,以保持與現(xiàn)行國家標準一致；——將術語3.6“過程性能”改為GB/T3358.2—2009中對應術語的定義并刪去原定義的注，以保持與現(xiàn)行國家標準一致； 將7.2.2中的F分布修改為卡方分布，更為準確：———將7.4.2中D的估計的公式修改為本部分做了下列編輯性修改：——將標準名稱修改為《生產過程能力和性能監(jiān)測統(tǒng)計方法第6部分：多元正態(tài)過程能力分析》;—-——將7.4.2中的x?,x?2,.,xa表示的含義更正為“橢球半軸的長度”;——將附錄A的A.1中{x|(x-μ)Tf-1(x-μ)=c2}更正為{x|(x-μ)z-1(x—μ)=c2}; 在附錄C中的協(xié)方差陣∑、和2,后加上等號“=”;——修改了附錄C中圖C.1的右圖；本部分由全國統(tǒng)計方法應用標準化技術委員會(SAC/TC21)提出并歸口。本部分起草單位：北京工業(yè)大學、中國標準化研究院、內蒙古蒙牛乳業(yè)(集團)股份有限公司、山西壺化集團金星化工有限公司、湖州榮柯建材科技有限公司、湖州銘豐企業(yè)管理咨詢有限公司、中機生產力促進中心、中通客車控股股份有限公司、聊城卓群汽車部件有限公司。本部分主要起草人：謝田法、劉寒、趙靜、丁文興、楊志剛、田桂艷、李冰蕓、丁麗慧、錢鑫暉、顧楓、GB/T40681.6—2021分析。本部分的目的是在多元過程或多元產品特征情形下，給出過程性能和過程能力指數(shù)不同計算方法借鑒ISO22514-2中的方法，本部分提供了多元過程性能和過程能力指數(shù)的計算公式，變量指數(shù)的推廣，這些公式將過程離散度和過程位置同時考慮在內。本部分的指數(shù)實際上是在一維情形下經典的C,和C指數(shù)基礎上提出的。附錄A給出了從一元情形擴展到多元情形的詳細解釋。本部分可能的應用實例有產品的二維或三維位置、不平衡性(見附錄B)或化學產品的若干相關量。測量結果的離散度取決于產品實現(xiàn)過程的離散度和測量過程的精確度。本部分中假設，所使用的測量系統(tǒng)的能力在產品實現(xiàn)過程能力分析之前已經得到驗證。——生產方法或供應商的過程能力比較；1GB/T40681.6—2021生產過程能力和性能監(jiān)測統(tǒng)計方法第6部分：多元正態(tài)過程能力分析GB/T40681的本部分提供了在有必要考慮一族相互關聯(lián)的單變量的情況下，用于計算過程或產ISO22514-1過程管理中的統(tǒng)計方法能力與性能第1部分：通用原則和概念(Statisticalmethodsinprocessmanagement—Capabilityandperformance—Part1:Generalprinciplesandcon-cepts)ISO22514-2過程管理中的統(tǒng)計方法能力與性能第2部分：時間相依過程模型的過程能力和性能(Statisticalmethodsinprocessmanagement—Capabilityandperformance—Part2:Processcapa-bilityandperformanceoftime-dependentprocessmodels)3.1[JJF1001—2018,定義3.1]3.2變量可被視為產品的特征向量。多變量的值由d維特征空間中的點表示。的維數(shù)為d=3。2GB/T40681.6—2021示例2:為了評估一個鉆孔過程的能力，鉆孔軸線的位置根據(jù)X坐標和Y坐標進行測量。將坐標組合為二維變量示例3:輪子的不平衡。3.3或者復合棱柱體。圖1是二維空間中容差區(qū)域的示例。合功能要求。這些產品就會被認定為不合格品示例：GB/T1182—2008中為幾何形態(tài)產品特征所定義的容差帶可被視為容差區(qū)域。在這種情況下，要限定對應b)具有參數(shù)d、x和y的圓形容差區(qū)域圖1二維空間中二元向量(x?,x?)1的容差區(qū)域示例3GB/T40681.6—2021已被證明處于統(tǒng)計受控狀態(tài)的過程特性的輸出的統(tǒng)計度量對未被證明處于統(tǒng)計受控狀態(tài)的過程特性的輸出的統(tǒng)計度量。[GB/T3358.2—2009,定義2.6.1]3.7MMC:最大實體狀態(tài)(maximummaterialcondition)PCI:過程能力指數(shù)(processcapabilityindex)過程分析的目的是為了充分了解過程。這對于有效控制過程是必要的，進而使該過程產出的產品滿足質量要求。附錄C給出了質量上要保障的量和質量上要控制的量未必相同的例子。過程分析通常是對過程中一個或多個關鍵特征進行分析。所考慮的特征取值通常由從過程中采集的樣本來確定。樣本量和抽樣頻率宜根據(jù)過程類型和產品類型來決定，以便及時檢測到全部至關重要的變化。樣本的選取宜對多變量特征具有較好的代表性。6多元過程能力和性能的評估過程能力指數(shù)是衡量過程加工內在一致性的指標，是反映生產過程中的產品質量特性適合規(guī)格和接近目標值的能力。多元過程能力指數(shù)比多個獨立的單元過程能力指數(shù)能夠更好地反映過程行為。由于存在多種不同的多元過程能力指數(shù)的定義，所以選擇使用哪個特定定義將由用戶視具體情況而定。以下給出首選多元過程能力指數(shù)的情形：——使用一綜合統(tǒng)計量來描述過程能力和性能，比對每個產——容差區(qū)域的邊界不能簡單用各個分量的容差區(qū)間來聯(lián)合表示，即至少存在一個單變量的一個4GB/T40681.6—2021延伸特定距離的圓，見8.1。孔中心的測量結果會以X軸和Y軸的7過程能力和過程性能的計算7.1I型和Ⅱ型指數(shù)的描述在多元情形下，存在各種不同的用于度量過程能力和過程性能的方法。本部分描述了兩種不同類類型適用范圍說明如下：——I型：基于產品合格或不合格的概率P,此類指數(shù)是使用在單元正態(tài)分布情形下指數(shù)與所述概率之間的關系來計算的；-—Ⅱ型：此類指數(shù)以容差區(qū)域的面積或體積與過程實際變差所覆蓋區(qū)域的面積或體積之比來計考慮大多數(shù)實際情況，本部分是基于多元正態(tài)分布來進行統(tǒng)計計算的。但是在某些特殊場合下不部分選擇了橢圓形的過程離差區(qū)域。附錄A中給出了多元正態(tài)分布最重要的一些性質解釋。a)將容差區(qū)域的形狀修正為過程離差區(qū)域的形狀；b)將過程離差區(qū)域的形狀改變?yōu)槿莶顓^(qū)域的形狀；c)將容差區(qū)域的形狀和/或過程離差區(qū)域的形狀統(tǒng)一用新的函數(shù)形式表示。上述類型和原則都可以任意組合來定義多變量PCI。然而，并不是每種組合都實用。例如，關于Ib型的PCI就沒有公認的定義。下，區(qū)分異常原因和一般原因通常比在單變量情形下更困難。如果該過程尚未被證明處于統(tǒng)計受控狀7.2指數(shù)的設定和符號表示目前在工業(yè)和科學領域有不同的符號用于多元過程能力指數(shù)的定義。目前所使用的符號試圖將不同的計算類型區(qū)分開來或僅限某些計算類型特定使用。本部分使用Cp和/或Cpk作為多元過程能力指“性能(performance)”,從而將過程能力指數(shù)和過程性能指數(shù)區(qū)分開來。7.2.2Ia型過程能力指數(shù)考慮一個均值向量為μ、協(xié)方差矩陣為2的d元正態(tài)分布Na(μ,2)。如果容差區(qū)域不呈橢圓狀(若d=2,則橢圓狀指圓或橢圓；若d=3,則是指球體或橢球；若d>3,則指超球體或超橢球),則將通5GB/T40681.6—2021過變換將其修正為一個呈橢圓形狀的容差區(qū)域。修正后的容差區(qū)域為包含于原容差區(qū)域內的最大橢圓(橢球或超橢球),且其中心與目標值重合。為了計算多變量Cp指數(shù)，設定正態(tài)分布的均值為橢圓容差區(qū)域的中心。在該正態(tài)分布下，確定完全包含在橢圓容差區(qū)域內的最大等高橢圓，基于均值為橢圓容差區(qū)域中心、協(xié)方差矩陣為2的d元正態(tài)分布計算落入最大等高橢球內的概率，記為P,則多元過程能力指數(shù)為：其中，φ-1是標準正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)；P為觀測值x落在等高橢圓(橢球或超橢球)內的概率，它可通過自由度為d的卡方分布計算。詳細解釋見A.1。為了由d維觀測數(shù)據(jù)(即樣本)來估計C。指數(shù)，首先要通過樣本估計多元正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣。設協(xié)方差陣估計值為2,并用它來確定等高橢圓及相應的概率P,則多元過程能力指數(shù)估計值為：在圖2中，概率為99.73%的等高橢圓完全包含在用于計算過程能力指數(shù)的等高橢圓中。在這種情形下，過程能力指數(shù)將大于1。說明：2——用于計算能力指數(shù)的等高橢圓；3——對應99.73%概率的等高橢圓。圖2用于計算d=2情形下過程能力指數(shù)等高橢圓和容差區(qū)域此處仍沿用一元正態(tài)分布下經典的能力指數(shù)的符號C。表示多元過程能力指數(shù)。這樣做是因為這種計算過程能力指數(shù)的方法在一元情形算出的就是經典的C。指數(shù)。A.1給出了相關解釋。6GB/T40681.6—2021Cpk指數(shù)的計算涉及分布的均值和方差，因此要考慮均值為μ、協(xié)方差矩陣為2的d元正態(tài)分布。對于Na(μ,∑)分布，先做如下計算(見圖3):——如果過程均值μ包含在容差區(qū)域內，則找到完全包含在橢圓容差區(qū)域內的最大等高橢圓(橢球或超橢球);——如果過程均值μ不包含在容差區(qū)域內，則找到不包含在容差區(qū)域內的最大等高橢圓(橢球或然后在過程服從Na(μ,Z)的多元正態(tài)分布情形下，計算過程值落入等高橢圓(橢球)內的概率P。此處使用與一元正態(tài)分布的經典Cpk指數(shù)相同的符號。同樣，這是因為這種計算方法在一元情形下給出的即為經典指數(shù)。A.1給出了相關解釋。圖3給出了一個計算Cpk的圖示，其中概率為99.73%的等高橢圓完全包含在用于計算最小過程能力指數(shù)的等高橢圓中。注：本部分所描述的Ia型指數(shù)可應用于幾何尺寸和位置偏差的容差。這里，容差區(qū)域通常描述了一個圓形容差帶。在這種情形下經常使用符號Cp.和Cpok來分別代替C,和Cp。X坐標3-——對應99.73%概率的等高橢圓。圖3用于計算d=2情形下過程能力指數(shù)的容差區(qū)域和輪廓橢圓Ic型及Ⅱc型過程能力指數(shù)的特點是，可通過一個與功能相關的變換函數(shù)將過程的多元特征轉換為單一特征。在這種類型下，原始特征向量x間的相關性可以通過變換函數(shù)q(x)得到合理的解釋。這7GB/T40681.6—2021種變換可以最大程度地提取x中單一變量的原始信息并合理地解釋原始變量間的相關性。例如，變換量化函數(shù)。圖4計算Ic型或Ⅱc型過程能力指數(shù)的步驟第一步涉及d維容差域的變換函數(shù)q(x)的定義。該函數(shù)在容差區(qū)域內的目標值點取到最大值記為qmx。在容差區(qū)域的邊界，q(x)的值為qound。在某些情可以用顯式方程或者分段線性函數(shù)表示。圖5給出了分段線性函數(shù)的示例。y1AA32說明：圖5MMC下寬度/對稱容差區(qū)域的變換函數(shù)示例在圖5中，多變量由兩個幾何特征組成：寬度和位置。最大實體狀態(tài)(MMC)下的容差區(qū)域呈復合矩形和三角形。第8章中給出了相關示例的進一步說明。目標設在qmx=1時對應的名義值。從該點8圖5中，函數(shù)q(x)就由三個線性函數(shù)組成。q(x)也可以有完全不同的構造方法。在第二步中，對生產的產品進行采樣和測量。然后，由測量值構成多元特征向量x,并進一步依據(jù)變換函數(shù)q(x)將數(shù)據(jù)轉化為與功能相關的量值。在第三步中，基于這些值，匹配一個合適的一元分布F(q)?；蛘?，也可以通過再次變換轉化為一元正態(tài)分布。如果變換函數(shù)q(x)從邊界到目標點呈單調遞增，且隨機向量x服從多元正態(tài)分布，那么F(q)的概率密度函數(shù)將是單峰的。在第四步中，根據(jù)已確定的“q值”的分布、經變換后的目標值和規(guī)范限便可計算PCI。如果設定qmx=1且qhound=0.5,則0.5給出了下規(guī)范限，而1為自然的上限。由于q只提供了單側容差區(qū)間和單側限分布，所以只能使用Ck進行過程評估。如果要計算I型指數(shù)，則Ck的計算類似于7.2.3。概率P的值由一元分布函數(shù)F(q)得出，其中P=1-F(qbound)。如果要計算Ⅱ型指數(shù)，可以按照ISO22514-2中的方法?；贑pkL的定義，通過選擇F(q)的中位數(shù)作為Xmid,選擇L為qbound,且△L=Xmid一X0.15%,則C由下面的公式給出：其中q,描述了F(q)的x%百分位數(shù)。Cpk包含了過程的相對于容差邊界qboum的離散性和位置兩方面的信息，但有時可能僅需要包含離散性信息的指數(shù)。這時可以使用ISO22514-2中的方法計算Cp。但是由于x取目標值時q(x)最大，所以C。值可能小于Ck。如果在第一步中定義了損失函數(shù)l(x)而不是變換函數(shù)，那么該函數(shù)在功能目標處取最小值lmin,并且在容差域的邊界處取數(shù)值lbound。雖然這不是原始含義的損失函數(shù)，在鉆孔的例子中可以將實際軸孔中心的坐標到目標位置點的距離D視為l(x)函數(shù)。該函數(shù)在目標處有最小值lmim=0,在容差位置的Ⅱ型多元過程能力指數(shù)遵循的原則為：建立容差區(qū)域即規(guī)格區(qū)域范圍和過程變差區(qū)域范圍間的聯(lián)系。這些范圍以面積或體積的形式表示。V表示容差區(qū)域的面積或體積，Vpro表示過程變差區(qū)域的面引入指數(shù)a是為了一元情形下面積或體積的概念仍適用。因此，a通常取1/d。否則，a取1。為了使面積或體積具有可比性，有時需要改變區(qū)域(容差區(qū)域或過程變差區(qū)域)的形狀。Ⅱa型指數(shù)將原始容差區(qū)域變換為一個與過程變差區(qū)域形狀相似的容差區(qū)域(例如，在多元正態(tài)分布的情形下為橢圓/橢球/超橢球)。對于Ⅱb型指數(shù)來說，則是將過程變差區(qū)域進行變換。在這種情形下，要調整過程變差區(qū)域的形狀以適合容差區(qū)域的形狀。參考文獻[10]中比較了Ⅱa型和Ⅱb型指數(shù)。此類過程能力指數(shù)僅考慮與容差相關的過程離散性方面的信息，因此該指數(shù)應同時與一個或多個包含由均值向量μ表征的位置和目標值之間關系信息的指數(shù)配合使用。7.4.2Ⅱa型修正的容差區(qū)域仍是以目標值為中心且完全包含在原始容差區(qū)域內的最大橢圓(橢球或超橢球),見圖2和圖3。對此容差區(qū)域，若用參數(shù)x?,x??,…,xa表示橢球半軸的長度，則體積Va由下式給出：9為了估算Cp,包含99.73%過程觀測值的橢球體積可通過下式估算出來：|S|是S(表達式見附錄A)的行列式。為了考慮過程位置與目標點μo的偏離信息，該指數(shù)使用時應乘以1/D。其中D可通過下式來估計：兩者綜合得到Cpm,其值可由下式估計：參考文獻[8]中描述了此類PCI的示例。Ⅱb型PCI的定義參見參考文獻[9]。過程變差區(qū)域的形狀由橢圓形變換為容差區(qū)域的形狀。在容差區(qū)域形狀為矩形(長方體/超長方體)的情形下，修正的過程變差區(qū)域形狀應是包含給定橢圓(橢球超橢球)的最小矩形(長方體/超長方體)?；诿恳粋€維度下L和U的橢圓(橢球/超橢球)投影區(qū)間，便可定義PCI。參考文獻[9]中描述了此類PCI的示例。8示例8.1二維位置容差8.1.1Ia型過程能力指數(shù)在生產的零件上，對所鉆孔的中心進行測量。如圖6所示，X方向的標稱值為80mm,Y方向的標稱值為-116.5mm?？椎闹睆綖棣?0mm,容差為士0.05mm。關于幾何容差的信息在GB/T1182中給出?，F(xiàn)得到100套生產零件的位置測量值(見表1)。Ly=—116.750mmUy=—116.250mm根據(jù)表1中的數(shù)值，構建了兩套控制圖，見圖7。在圖8中給出了(X,Y)觀測值的散點圖，并計算出了離差區(qū)間。用于計算區(qū)間的方法參見附錄A。GB/T40681.6—2021單位為毫米Aφ50±0.05AB圖6測量鉆孔的位置表1測量值和計算出的中心偏差單位為毫米序號X坐標Y坐標序號偏差DX坐標Y坐標序號偏差DX坐標Y坐標123456789GB/T40681.6—2021表1測量值和計算出的中心偏差(續(xù))單位為毫米序號偏差DY坐標序號偏差DX坐標Y坐標序號偏差DX坐標Y坐標UCLUCLtarxtarxUCLtarRLCL-116.360-116.38-116.42-116.44-116.46E0LCLtarRCL20055圖7X坐標和Y坐標的x-R控制圖Y坐標/Y坐標/mmGB/T40681.6—2021圖8以橢圓區(qū)域(3)為參照的位置容差和規(guī)范區(qū)域的圖示圖7中的X坐標和Y坐標的控制圖均表明過程是失控的。因此，只能計算過程性能。結果：Pp.=1.99,Pp.=2.88。8.1.2通過使用與目標的距離計算Ⅱc型能力指數(shù)將圖6中的孔的中心指定為目標位置(xo,y?)=(80,-116.5)。測量了實際每個孔中心的位置坐標(x,y),它與目標位置的距離偏差為：D=√(x—xo)2+(y-yo)2在表1中可找到距離D的實際計算值。所有偏差值都繪制在圖9所示的直方圖中。最大允許偏差為0.25mm,因為容差帶是以目標值為中心的、直徑為0.5mm的圓形區(qū)域，所以此處最大允許偏差即為該圓的半徑。絕對頻數(shù)→相對頻數(shù)/%→絕對頻數(shù)→相對頻數(shù)/%→GB/T40681.6—2021偏差值/mmUU50.000.050.100.150.200.2540.1偏差值/mm圖9直方圖和概率圖如果產品是以目標值為中心生產出的，則實際數(shù)據(jù)集的分布將會呈瑞利分布。然而，在這種所有觀測值都位于目標值之上的特殊情形下，正態(tài)分布擬合良好?？刂茍D中數(shù)據(jù)沒有顯示出穩(wěn)定性(見圖10)。在這種情形下，只能計算Ppk指數(shù)。過程能力指數(shù)的計算：——由于不存在下規(guī)范限，所以無法計算過程能力指數(shù)。最小過程能力指數(shù)：8LCL0.06tarxUCLUCLtarR圖10控制圖8.2插槽的位置和尺寸如圖5所示，要在一個零件上開個插槽，其技術功能是將第二個零件放在特定位置。凹槽的寬度為GB/T40681.6—2021“A”的位置容差為0.1mm。該最大實體狀態(tài)由符號網表示。實際上，如果算上插槽的實際寬度與最大實體尺寸之間的差，插槽位置的偏差值不超過0.1mm,則零件仍是可以接受的。圖5中的矩形給出了在不應用最大材料條件的情況下的容差區(qū)域。矩形右側擴展出的直角三角形給出了由于MMC而引起第一步，定義多變量x的函數(shù)q(x),其中x?表示寬度，x2表示位置。所選函數(shù)由三個線性函數(shù)q;組成，函數(shù)形式為：q;=a1;x?+a?x?+a?,其中i=1,2,3。設置適當?shù)南禂?shù)值以滿足q(x)在目標值處取得最大值qmax=1,在容差區(qū)域邊界處取得qboud=0.5。附錄D給出了確定q(x)函數(shù)的方法。的測量值匯總在表2中。對于每個點，計算變換函數(shù)q(x?,x?)的對應值。在圖5中給出數(shù)據(jù)的散點圖且在圖11中給出單個量的控制圖。表2測量值和計算的q值序號q寬度位置序號q寬度mm位置序號q寬度mm位置123456789從圖5可以看出，寬度和位置偏差是相關的。較高的寬度值對應著較低的位置偏差值。圖11中的b)和c)表明該過程的起初階段寬度值高且位置值符合規(guī)范限。由于刀具磨損或其他系統(tǒng)的影響，寬度域。圖11中的a)顯示了q值的走向。隨著過程向量朝著目標值的方向移動，這些數(shù)值呈現(xiàn)出小幅度寬度/mm→寬度/mm→位置/mm→相對頻數(shù)/%→為q值找到合適的分布。圖12給出了用于擬合q值的皮爾遜(Pearson)型分布的密度函數(shù)?；谠撁芏惹€以及容差限處qhound=0.5,Ⅱ型PCI的估計如下：Ⅱc型過程能力指數(shù)：由于測量值的個數(shù)太少而不足以判斷過程是否處于統(tǒng)計控制狀態(tài)，故使用過程性能指數(shù)P而不是過程能力指數(shù)。為了計算I型PCI,需要計算產品合格品率。對于已確定的皮爾遜(Pearson)型分布，不合格品率為0.01×10-?。Ic型過程能力指數(shù)的估計為：此外，在適用寬度互易性要求的情形下(通過在圖中寬度的后面加上因),可簡化q;的表達式。通過對寬度的額外監(jiān)控，可使用表達式q=x?-19.7—x?作為變換函數(shù)的定義。在這種情形下，Qhound=0GB/T40681.6—2021(資料性附錄)公式推導A.1計算過程能力指數(shù)中多元正態(tài)分布有用的性質均值為μ、協(xié)方差矩陣為2的d元正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：如果協(xié)方差矩陣∑是正定矩陣，則它的逆矩陣∑-1存在。這里x和μ是d維向量，2是d×d矩陣為∑的d元正態(tài)分布記為Na(μ,2)。密度等高輪廓為：{x|(x—μ)Tz-1(x—μ)=c2}過程值落在橢圓輪廓區(qū)域內的概率可以根據(jù)自由度為d的X2分布來計算。如果X服從均值為P((X—μ)Tz-1(X—μ)≤c2)=Fx2(a)(c2)其中Fx2(a)表示自由度為d的X2分布的分布函數(shù)。{x|(x—μ)Tz-1(x—μ)=(√Fx(p))2}為邊界的區(qū)域的概率為p。此處Fxa)(p)是自由度為d的X2分布的p分位數(shù)，有時也記為X3(d)。且A.2定義多元過程能力的出發(fā)點首先考慮一維情形下的C,指數(shù)。容差區(qū)間為[L,U]。設X～N(μ,o2),其中μ=(U+L)/2,即過程分布的中心與容差中心重合。那么過程值落入容差區(qū)間(規(guī)格區(qū)間)內的概率為：由此得出其中P是過程分布服從均值為容差中心、方差為o2的正態(tài)分布時，過程值位于容差區(qū)間內的大于(U+L)/2但小于U,即過程均值μ在容差區(qū)間內，但是μ更接近容差區(qū)間這種情形下以過程均值為中心且完全包含于容差區(qū)間的最大區(qū)間為[2μ-U,U],則過程值位于該區(qū)間P=PN(u,2)(2μ—U<X<U)=PN(,o2)(2μ—U-μ<X一μ<U-μ)由此得出如果μ介于L和(U+L)/2且Cpk=min{Cpk,Cpk}=CpkyCpk=min{Cpk,Cpki.}=Cpk.需要考慮過程均值μ位于容差區(qū)間之外的情形。假設μ大于U,則仍然希望計算過程值位于以μ為中心的、并從最接近于μ的容差區(qū)間的邊界開始延伸的區(qū)間內的概率。在這種情形下，該區(qū)間為[U,2μ-U]。P=PN(w,s?)(U<X<2μ—U)=PN(μ.a2)(U-μ<X-μ<2μ—U-μ)由此得出Cpk=min{Cpk,Cpk.}=CpkyGB/T40681.6—2021把該定義推廣到多元正態(tài)分布過程的能力指數(shù)，其想法是原定義中的區(qū)間在二元正態(tài)分布情形下考慮協(xié)方差矩陣為∑的d元正態(tài)分布。為了計算多元Cp指數(shù)，應將該正態(tài)分布的均值設定在容差區(qū)域的中心。在此假設條件下要確定完全包含在容差區(qū)域內的最大輪廓橢球，并確定在協(xié)方差矩陣為2均值位于容差區(qū)域中心的d元正態(tài)分布下，過程值位于該最大輪廓橢球內的概率。由P表示此概率。那么,多元C。指數(shù)為Ck指數(shù)的計算涉及分布的均值和方差，因此考慮均值為μ、協(xié)方差矩陣為2的d元正態(tài)分布。對于Na(μ,2)分布，如果過程均值μ含在容差區(qū)域內，那么最大的輪廓橢球完全含于容差區(qū)域內；如果過程均值μ不包含在容差區(qū)域內，那么最大的輪廓橢球不包含在容差區(qū)域內。現(xiàn)在，在N(μ,2)分布為從d維數(shù)據(jù)來估計Cpk指數(shù)，首先要由該數(shù)據(jù)中估計多元正態(tài)分布的均值和協(xié)方差矩陣，分別記GB/T40681.6—2021(資料性附錄)軸不平衡示例B.1不平衡示例測量尺寸不平衡描述了以轉子的形狀軸為基礎，轉子的(實際)質量分布與理想質量分布之間的偏差。不平衡的軸向分布通過與兩個不同平面相關的不平衡指數(shù)來評估。目前轉子方案的選擇是隨機測量尺寸不平衡的一個特征是它是二元的量。在此示例中，描述了過程能力的計算。校準過程的分通過使用PCI而進行了闡釋。作為結果，完全明確地區(qū)分二元量或單變量形式下的正確計算或錯誤計算是不可能的。因此，(正常情況下)二元量變量是更為優(yōu)選的。而在所描述的兩種例外情況下，單變量計算則最符合實際情況。以這種方式出現(xiàn)的指數(shù)是根據(jù)單變量尺寸過程能力的經驗按比例進行縮放的。盡管過程能力指數(shù)對于二元測量過程的要求比單變量測量過程的要求更高。另一個對校準過程統(tǒng)計評估有影響的重要量是存在或不存在轉子內角系統(tǒng)。例如電錨通常不具有衡測量(假定每次測量的結果都沒有錯誤)通常對該不平衡顯示出相同的效果，盡管每次測量都是來自滿足此處所描述的計算。B.2檢查能力指數(shù)的示例下面給出了通過審核一臺對準曲軸的校準機器的校準過程能力指數(shù)來驗收該設備的示例。通過使用控制圖可以證明過程的穩(wěn)定性。不平衡測量在兩個不同的測量水平進行。不平衡的規(guī)范限是140gmm。在機器上進行校準的曲軸樣本量為n=40。表B.1可獲得殘余不平衡值。它們的圖示見圖B.1和圖B.2。21GB/T40681.6—2021表B.1單獨的觀測值水平1數(shù)值序號X坐標Y坐標數(shù)值序號X坐標Y坐標112233445566778899坐標水平1/gmm坐標水平1/gmmY坐標水平2/gmmGB/T40681.6—2021圖B.1殘余不平衡水平1——帶有隨機變化區(qū)間和容差的不平衡的圖示23GB/T40681.6—2021GB/T40681.6—2021(資料性附錄)孔位示例C.1偏離目標點距離的數(shù)值示例考慮在零件生產過程中的鉆孔活動。指定目標位置(x?,yo)為孔的中心。位置坐標(xo,yo)相對于某個指定的參照點測量得到。用坐標(x,y)表示所鉆孔的中心，則孔位的位置偏差D定義如式(C.1)所示(參見GB/T1182)。在這種情形下，規(guī)范限通常由圓心為(x。,y?)且直徑為D。的圓給出。因此，D作為過程的一個量可用于質量保證中的過程能力分析。D=√(x—xo)2+(y-yo)2……(C.1)D可視為所實現(xiàn)的孔位二維坐標的一維概括。假設有兩個如圖C.1所示的二元正態(tài)分布。這些分布被視為兩個過程的過程位置分布，分別記這兩個過程為過程A和過程B(見圖C.1)。它們的協(xié)方差矩陣分別為其中δ很小。圖C.1過程A(左圖)和過程B(右圖)的兩個分布明顯地從圖C.1中可以看出過程B比過程A的過程能力更高。但是：故從D的標準差來判斷，過程A比過程B的過程能力更高。D明顯是質量上需要保障的一個量。該數(shù)值示例表明，要保障的量未必與要控制的量一致。C.2實際示例考慮下面的由連續(xù)自動工作機床進行的零件生產過程，如圖C.2所示，該機床為一個水平軸方向(X坐標方向)的轉臺系統(tǒng)。在這個過程中，鉆孔、器材切割、螺釘出絲等依次在各個工位上進行加工。本實例關注的是鉆孔。主要零件如圖C.3所示。要確保的量為孔位，即公式(C.1)中所示的幾何量D。在這種情形下，其規(guī)格區(qū)域為一個直徑為0.1mm的圓。GB/T40681.6—2021程能力處于高水平。然而，當生產階段進入大規(guī)模生產時，出現(xiàn)了一個不合格的問題。雖然過程能力已經高度可接受了，但是為什么還會出現(xiàn)這個問題呢?YX131工位9工位2工位9工位1工位10工位12——夾具；圖C.2連續(xù)自動工作機床26GB/T40681.6—2021圖C.4幾何量D的直方圖圖C.5給出了所鉆孔中心點的二維散點圖，其中目標位置(x?,y?)坐標的離散程度遠大于y坐標的離散程度。記x坐標和y坐標的標準偏差分別為s。和s,。則sz=0.0177,s,=0.0050。結果，過程能力C,(x)和C,(y)分別為C,(x)=0.94且C,(y)=3.35。x坐標y(x?.y%)x圖C.5生成孔中心的二維散點圖GB/T40681.6—2021(資料性附錄)變換函數(shù)構造8.2中給出了變換函數(shù)q(x)的構造。首先，定義一組變換函數(shù)g(△x),其中i=1(1)M。這些函數(shù)定義了容差域。每個容差限制都給定了一個函數(shù)。規(guī)格給出了目標點agt與q(xtargt)=qmax=1。將偏離目標向量xtmge的偏差(每個維度中從測量值到目標值之間的差)表示為△x并進行計算。變換函數(shù)g;(△x)(示例中M=3)被選擇為下列形式的線性函數(shù)：g;(△x)=b]·△x+c