高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (38)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（38）

一、單項選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.如圖，在長方體ABCD-&BiCiA中，E是4公的中點，點F是

A。上一點，AB=44i=2,BC=3,AF=1.動點尸在上底面

4&GD1上，且滿足三棱錐P—BEF的體積等于1,則線段GP的

最大值為（）

A.V5

B.V6

C.2V2

D.2

2.己知a,夕為不重合的兩個平面，直線mua,那么_L是"a_L的（）

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.在邊長為2的菱形A8CQ中，BD=273,將菱形ABCQ沿對角線AC折起，使得平面ABC1平

面ACD,則所得三棱錐4-8C。的外接球表面積為（）

A87r口147r.20元—327r

T~C虧~

4.正四棱臺ZBCD-AiBCCi中，側(cè)棱44i與底面ABC。所成角為a,側(cè)面44山1。與底面ABC。

所成二面角為0,側(cè)棱力4與底面ABCD的對角線8。所成角為y,平面CGA。與平面力為。道所

成二面角為。，則a,0,Y，。之間的大小關(guān)系是（）.

A.a<P<6<yB.a<y<^<9C.a<^<y<0D.（i<a<y<6

5.如圖，矩形ABC。中，AB=1,BC=2,點E為A。中點，將△ABE沿BE折起，在翻折過程

中，記二面角A-DC-B的平面角大小為a,則當(dāng)a最大時，tana=

A

A

A.在B.立C.；D.J

2332

二、多項選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

6.如圖，正方體ABCD-&B1C1D1中，P為線段上的動點（不含端

點），則下列結(jié)論正確的是

A.直線DiP與AC所成的角可能是看

B.平面Di4P1平面4Ap

C.三棱錐5-CDP的體積為定值

D.平面APDi截正方體所得的截面可能是直角三角形

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

7.如圖，矩形A8C。中，M為BC的中點，將44BM沿直線AM翻折至ABiM,連結(jié)8道，N為名。的

中點.則在翻折過程中，下列說法中所有正確的序號是.

①存在某個位置，使得CNLABi；

②翻折過程中，CN的長是定值;

③若4B=BM,則AMI&D；

④若4B=BM=1,當(dāng)三棱錐Bi-AMD的體積最大時,

三棱錐Bi-力MC的外接球的表面積是47T.

8.已知團力BC是邊長為4的等邊三角形，D,E分別是AB,AC的中點，將團ADE沿OE折起，使

平面ADE1平面BCED,則四棱錐4-BCED外接球的表面積為,若尸為四棱錐4-

BCEC外接球表面上一點，則點P到平面BCED的最大距離為.

9.在三棱錐。-4BC中，己知。C14C,AB1BD,DC=AC,AB=BD,若三棱錐。-ABC的外

接球的表面積為25兀，則三棱錐D-4BC體積的最大值為.

10.四面體A8CZ）中，AB1BC,CD1BC,BC=2,且異面直線4B和C￡＞所成的角為60。，若四

面體ABCD的外接球半徑為石，則四面體ABCD的體積的最大值為一.

11.如圖,正方體4BC0-的棱長為動點P在對角線8久上，

過點尸作垂直于BC1的平面y,記這樣得到的截面多邊形（含三角形）

的周長為y,設(shè)BP=x,則當(dāng)尤e［日見誓a］時，函數(shù)y=/（無）的值

域為.

12.已知回4BC是邊長為4的等邊三角形，D,￡分別是AB,AC的中點，將回AOE沿OE折起，使

平面4DEJL平面BCEO,則四棱錐4-BCED外接球的表面積為,若P為四棱錐4一

BCED外接球表面上一點，則點尸到平面BCED的最大距離為.

13.仇章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵,

將一塹堵沿其一頂點與相對的棱剖開，得到一個陽馬（底面是長方

形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉席（四個面均為直

角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵ABC-ABiG中，BB、=

BC=2y/3,AB=2,AC=4,且有鱉席Q-ABBI和鱉膈Q-ABC,

現(xiàn)將鱉HG-ABC沿線BC1翻折，使點C與點Bi重合，則鱉蠕ABC經(jīng)翻折后，與鱉腌的一

ABB1拼接成的幾何體的外接球的表面積是.

14..如圖已知菱形A8CD邊長為3,NB4。=60°,點E為對角線

AC上一點，AC=64E.將團4BC沿80翻折到UM'BO的位置，E

記為E',且二面角4一80-。的大小為120。，則三棱錐ABC。的

外接球的半徑為;過E'作平面a與該外接球相交，所得截

面面積的最小值為.

15.如圖已知菱形A8C。邊長為3/BAD=60。，點E為對角線AC上一點，

4c=6AE.將44BD沿3。翻折到zM'BD的位置，E記為E',且二面角4一

BD-。的大小為120。，則三棱錐4BCD的外接球的半徑為；過

E'作平面a與該外接球相交，所得截面面積的最小值為.

四、解答題(本大題共15小題，共180.0分)

16.如圖，在四棱錐P—4BCD中，PC1底面ABC￡>,AB=AD=1,AB//CD,ABLAD,點E為

PC的中點，平面ABE交側(cè)棱尸。于點H四邊形48EF為平行四邊形.

(1)求證：平面PBD1平面PBC-,

(2)若二面角4-PB-C的余弦值為一手，求P。與平面PAB所成角的正弦值.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CD為平行四邊形，AB=2AD,BD=WAD，且PD1底

面ABCD.

(1)證明：平面PBD_L平面PBC；

(2)若。為PC的中點，且存?的=1,求二面角Q-BD-C的大小.

18.如圖，已知ADEF與AABC分別是邊長為1與2的正三角形，AC//DF,四邊形8CDE為直角梯形,

且DE//BC,BC1CD,點G為AABC的重心，N為中點，AGl￥jflBCDE,M為線段A尸上

靠近點尸的三等分點.

(1)求證：GM〃平面QFM

(2)若二面角M-BC-。的余弦值為試求異面直線MN與8所成角的余弦值.

19.如圖，四棱錐P—ABCD中，已知J_平面A8CD,ZMBC為等邊三角形，P4=2AB=2,AC1CD,

尸。與平面PAC所成角的余弦值為四.

4

(/)證明：BC〃平面PA。；

(〃)點M為PB上一點，且匕^^二宗試判斷點M的位置.

20.如圖，已知四棱錐P-4BCD,平面P/W1平面A8CD,△PAD是以A。為斜邊的等腰直角三角

形，AB//CD,AB1BC,PD=CD=BC=^AB,E為AB的中點

(1)證明：AD1PE；

(2)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。是矩形，側(cè)棱PA，底面ABC。，E,尸分別是4B,PC的

中點，PA=AD=2,CD=V2.

p

(I)求證:EF〃平面PAD；

(II)求二面角F-DE-C的余弦值；

(HI)在棱BC上是否存在一點M,使得DE，平面PAM?若存在，求出器的值；若不存在，請說

DC

明理由.

22.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面4BCO是

乙4DC=60。的菱形，M為PB的中點.

(1)求PA與底面ABCD所成角的大小;

(2)求證：PA1平面CDM：

(3)求二面角D-MC-B的余弦值.

23.如圖，直三棱柱ABC—的高為2,AB=2,BC=?C4=述，為側(cè)面力BBi4的中

心，P棱eq上的一個動點.

(1)若P為CQ的中點，求證：平面4。傳，平面PA&

(2)求直線P8與平面401C所成角的正弦值的最大值.

24.如圖①，在矩形ABCC中，AB=2,AD=2五,M,N分別為A。和8c的中點，對角線

與交于點。.沿直線MN把矩形A8NM折起，使平面ABNM與平面MNCQ成60。角，如圖②

所示.

AMD

BNC

①

(1)求證：BO1DO.

(2)連接A。，BD,求直線AO與平面BOO所成的角的正弦值.

25.如圖所示，在長方形A8C。中，AB=2,AD=1,E為的中點，以AE為折痕，把△折

起到△D3E的位置，且平面D'AE1平面ABCE.

(1)求證：AD'1BE;

(2)求四棱錐。'-4BCE的體積;

(3)在棱D'E上是否存在一點P,使得D'B〃平面PAC,若存在，求出點尸的位置，若不存在，請

說明理由.

26.如下左圖，四邊形ABC。為菱形，^BAD=60°,E為AO的中點，連結(jié)BE交4c于尸，以BE

為折痕將回ABE折起，使點A到達(dá)點P,且平面PBE_L平面BCDE,得到四棱錐P-BCDE,如

下右圖.

(1)證明：PF1DE-,

(2)求直線。F與平面PFC所成角的正弦值.

27.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO是矩形，平面PAB1平面4BCD,E為AP的中點,

4ABP=120°,BA=BP=3BC=3.

(1)證明：平面BCE1平面4CP；

(2)求二面角C一BE—。的余弦值.

28.如圖，已知四棱錐P-力BCD的底面ABC。是菱形，Z.ABC=60°,PAABCD,AB=2,

P。與平面A2C￡＞所成的角為45。，點M為PC的中點.

(1)求證：平面PAC1平面8DM；

(2)求二面角C-MD-B的正切值.

29.如圖，四棱錐P-A8C。的底面ABCC是菱形，PA=BD=痘AB=2炳,且PB=PD

(1)證明：平面%CJ■平面A8CD：

(2)若產(chǎn)人LAC,棱PC上一點M滿足求直線8。與平面所成角的正弦.

30.如圖，已知四棱錐P-4BCD,BC//AD,CDLAD,PC=AD=2CD=2CB=^2PA=y/2PD,

產(chǎn)為A。的中點.

p

AD

(I)證明：P8_LBC；

(口)求直線CF與平面PBC所成角的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查線面平行的性質(zhì)和棱錐體積的計算，屬于難題.

根據(jù)題意因為E、F、8為定點，且三棱錐P-BEF的體積為定值，則P到面EF8的距離為定值，又

動點P在上底面為B1C1%上，則P必在與B尸平行的直線上，求出平行線的具體位置，即可求解.

解：因為E、F、B為定點，且三棱錐P—BEF的體積為定值，

所以P到面EFB的距離為定值，

又動點P在上底面4&GD1上，則P必在與B尸平行的直線上，

設(shè)該線與力道1交于N,

則三棱錐P-8EF的體積等于三棱錐N-BEF的體積，即N-BEF的體積等于1,VN_BEF=VB_NEF=

]SANEFxAB

二,SANEF=L

則三角形NEF的面積，NEF=|.

設(shè)4/=x,

貝內(nèi)(1+x)x2—1x1x1—%=%+工=a,

2、J22222

所以x=2,

在4山1上取N,使AN=1,在BiG上取Q,M,使GQ=1.QM=2,AB=AA1=2,BC=3,AF=1,

連接MN,DiQ,BQ,FA,如圖，

DI

Cl

則BQ//FDlfBF//QD1MN//QD1，所以MN"BF,

當(dāng)P在線段MN上時，因為SAEFN，，

所以Vp-8EF=VB-NEF=與義5*2=1,

所以滿足條件的點P在線段MN上，

由平面幾何知識易知：當(dāng)尸在點N處時，線段GP最大，最大值為V/+22=6,

則線段GP的最大值為6.

故選A.

2.答案：B

解析：

本題考查平面垂直的判定定理、考查各種條件的定義并利用定義如何判定一個命題是另一個命題的

什么條件.利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判斷出后者推不出前者；利用各種

條件的定義得到選項.

解析：

解：???平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則兩平面垂直，

二直線mua,那么"mA.0"成立時，一定有“aJ./?”成立，

反之，直線mua,若“a_L￡”不一定有1/'成立，

所以直線mua,那么是“al￡”的充分不必要條件，

故選B.

3.答案：C

解析:

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，屬于中檔題.

根據(jù)題意可知三角形AC。為正三角形，取AC的中點G,連接BG,DG,則BG_L平面ACD,記三

棱錐力-BCD的外接球的球心為。，半徑為R,過點0作。OJ/BG,與平面AC。交于點。口貝ij。。1_L

平面AC。，Oi為三角形AC。的內(nèi)心，過0作0H垂直于BG,設(shè)GH=X,根據(jù)勾股定理列方程求解

即可.

解：由題意，菱形ABC。中，AB=AD=2,BD=26,

由余弦定理得COSNBAD=242-12=

2X2X22

所以4BAD=120。,4WC=60°,

所以三角形AC。為正三角形，

取AC的中點G,連接BG,DG,

因為平面力BC，平面ACD,

又BG14C,平面ABCn平面4CD=AC,BGu平面ABC,

所以BG1平面ACZ),

記三棱錐4-BC。的外接球的球心為O,半徑為R,

過點。作OO//BG,與平面AC。交于點01，貝I］。。］，平面4CZ),01為三角形ACD的內(nèi)心,

過。作0,垂直于BG,設(shè)G〃=x,

由題意知，0^=-x2X—=—,OH=GOj=—.

132313

在RtZkZJO”和RtAOOiD中，

有R2=(5/3—X)2+)==2+￡解得％=爭

所以/?2=)；也

所以S球=4?、：=等

故選C.

4.答案:C

解析：

本題考查了正四棱臺的性質(zhì)，空間角的定義及度量.三角函數(shù)的單調(diào)性.考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)

化、計算能力，屬于中檔題.

將正四棱臺力的側(cè)棱延長交于點匕在正四棱鍵找出空間角的平面角,

考慮通過三角函數(shù)的值大小關(guān)系得出角的大小關(guān)系.

解：如圖，將正四棱臺/BCD—4B1GD1的側(cè)棱延長交于點匕

在正四棱錐P-4BCD,設(shè)AB=2,高I/。=九.”為A8中點.

二在RtAVOA中，tana=tan/lM。=工=與

AOv2

在Rt△U?！爸?，tan(i=tanzKHO=—HO=ft,

0<tana<tan。,[a<0<],

側(cè)棱與底面ABCD的對角線80所成角為y,

BD1AC,VO_L底面ABCD,BDu底面ABCD,

VO1BD,ACW。=0,AC、VOu平面VAC,

ABDVAC,1/4(=平面30二8。1^力，：.丫=今

：.a<pc<Y=~7T.

過點C作CE1UD于E,連接EA,由于△VOA三△口)(7,

EA1VD,NAEC為平面CC1D1。與平面AAiDiD所成二面角。.

22241)

S^VDA=^VDxAE=^xABxVH,gpiV/i+2xAE=^x2x>Jh+1,AE=^,

則ZE?+CE2=2AE2<AC2,NAEC為鈍角，

a<p<y<6.

故選C.

5.答案：D

解析:

本題主要考查了二面角的大小，涉及平面的翻折、線面垂直的判定、三角函數(shù)的最值，屬于較難題.

根據(jù)半個長方形是正方形，所以對角線互相垂直，在折起過程中始終有線面垂直，進而作出二面角

的平面角，分三種情況討論得到a的最大值可能在折起平面與底面垂直或面面垂直之后，利用三角函

數(shù)知識分別求出這兩種情況下的正切值，比較后作答.

解：如下圖所示，取BC的中點F,連結(jié)EF,則在原平面圖形中4BFE為正方形，所以對角線交于

G且互相垂直，在折起過程中8G始終垂直于AG,GF,即BE1面4G凡所以點A在底面的投影始

終在對角線GF上，記點A的投影為。，過點。作。Q1CD于點Q,連結(jié)AQ,則乙1Q。為二面角的

平面角a，

當(dāng)折起過程中點。在FG的延長線上，AO<AG,但OQ>GH,a不可能最大，

V2

當(dāng)面BFA_L面8COE時即/G_L面8COE時，a=^AHG,tana=—=

GH13

當(dāng)折起過程中點。在G尸上，a=Z.AQO,tana=設(shè)乙4G。=0,則40=4G?sin?=￥sintp,

GO=AG-cos(p,00=--GO?cos45°=--AG-coscp?—=---cos(p>

y22"222*

sn(p

Atana=—=/：呻=^',當(dāng)且僅當(dāng)simp=Wcos(p=工時，tcma取得最大值：，

OQi-lCos(p3-cos(p，3，，32

.V21

??—v

32

故選D

A

6.答案：BC

解析：

本題考查考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系、動點截面等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

考查數(shù)形結(jié)合思想，是較難題.

也可利用空間坐標(biāo)系利用向量來判斷各選項的正誤.

在A中，當(dāng)P點位于B點時,直線DiP與4c所成的角為:，當(dāng)P點位于4點時，直線QP與AC所

成的角為:，所以當(dāng)P點位于4和B之間時，直線。iP與AC所成的角的范圍為（［，），故A錯誤；

442

在8中，1平面41AP,4刀u平面Di&P,.?.平面D14P1平面4AP,故8正確;

在C中，又4/平面BiCDi，D】Cu平面8也以,

???418〃平面8也。1，又尸為線段上的動點，

P到平面與劣。的距離即為點B到平面當(dāng)。住的距離，是定值，

又,；△的面積是定值，二力j-CDP=Up-cDD］為定值，故C正確；

在。中，延長AP交正方形ABB14于。點，當(dāng)。點位于之間時，截面為梯形，當(dāng)。點與名重合

時，截面為等邊三角形，當(dāng)Q點位于81冬之間時，截面為三角形，但是乙181。1（60。）<44<2。1<

乙44。式90。），所以截面不可能為直角三角形，故。錯誤.

故選BC.

7.答案：②④

解析：

本題主要考查了線面、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，考查多面體和旋轉(zhuǎn)體上的最短距離（折疊

與展開圖），考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于較難題.

對于①②，利用CN=PM,分析即可判斷；對于③，利用線面垂直判定與性質(zhì)定理得.4ALL3A/,

與矛盾，從而判斷錯誤，對于④，利用平面A”Bi_L平面時，三棱錐體積最大，

從而得到表面積，即可判斷.

解：取AB1中點為P,連結(jié)PN,PM,

如圖：

對于①，由于ABJBiA/,則力比不垂直PM,

即AB】不垂直NC,所以①錯誤；

對于②，由于CN=PM（PM的長為定值），

則CN的長是定值，所以②正確；

對于③，由于4B=BM,貝ILLULUD.

若AA/JJ51。，MDnBrD=D,

BXD,MDu平面

則AA/J■平面小DM,

又BiMC平面BiDM,

即小/,這與矛盾，則③錯誤;

對于④，由于當(dāng)平面4MBiJ■平面AMD時，

三棱錐a-4MD的體積最大，

此時AQ即為其外接球的直徑，所以④正確.

故答案為②④.

8?答案：支；亨

解析：

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體外接球表

面積的求法，是較難題.

由題意畫出圖形，找出四棱錐外接球的球心，利用勾股定理求半徑，代入球的表面積公式求球的表

面積，再由球的對稱性可知，球表面上的點到平面8CED距離的最大值為半徑加球心到面的距離.

解:如圖，

取BC的中點G,連接OG,EG,可知DG=EG=BG=CG,

則G為等腰梯形BCED的外接圓的圓心，過G作平面BCED的垂線，

再過折起后的三角形AOE的外心作平面ADE的垂線，設(shè)兩垂線的交點為0,

則。為四棱錐A-BCED外接球的球心.

3

則四棱錐力-BCEC外接球的半徑0B=舊+（92=怨.

???四棱錐a-BCED外接球的表面積為4兀x（叵）2=空；

k373

由對稱性可知，

四棱錐A-8CED外接球表面上一點P到平面BCED的最大距離為：迤+3=經(jīng)更

333

故答案為左;叵氈.

33

9.答案：等

24

解析:

本題主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，較難.

根據(jù)題意找到球心、求出球的半徑，把三棱錐ABC的體積表示出來即可解答.

解：取AO的中點為0,連接08,0C,由。CJ.AC,AB1BD,得04=。8=0C=。0,

所以。為外接球的球心，

所以三棱錐D-4BC外接球的表面積為4加（學(xué)）2=25兀，

所以AD=5,OB=0C=|,

因為DC=4C,AB=BD.

所以4D，平面OBC,

所以三棱錐。-4BC的體積為

，△麗?AD=?OCsinZBOC）-AD=siuZBOC《段,

當(dāng)且僅當(dāng)4B0C=]時，等號成立，所以最大值為愛.

224

10.答案：2^3

解析：

本題考查空間幾何體的外接球體積問題，考查正弦定理、余弦定理，是難題.

由題意，該四面體為直三棱柱4BE-FCD中的一部分，其中44BE=60?；?20。，這樣四面體ABC。

的外接球就是直三棱柱4BE-FCD的外接球，由勾股定理求出三角形ABE的外接圓半徑，然后由正

弦定理求AE,由余弦定理求得力BE的最大值，再根據(jù)

】飛而體:七枝性ABE-FCD=：x：xAB-BEsinWIx2求得四面體的體積最大值，要注意

?5J/

^ABE=60?；?20。處易出錯.

解：由已知可知：四面體A8C。是直三棱柱4BE-FCD中的一部分，則四面體A8CO的外接球就是

直三棱柱ABE-FCC的外接球，

旦BE“CD,因為AB和CQ所成的角為60。，所以乙4BE=60?；?20。，

設(shè)外接球的球心為O,過點。作底面ABE的垂線，交底面ABE于點。'，則。'是三角形ABE的外接

圓圓心，且OO'=[BC=1,0B=后

所以三角形ABE的外接圓半徑為02=y/OB2-OO'2=2,

所以在三角形ABE中，由正弦定理得一%=-%=—之=4,AE=2V3，

sinZ.ABEs\nz.AEBs\n^.BAE

當(dāng)NABE=60°時，由余弦定理得ZE?=12=AB2+BE2-2AB-BE-cos60°=AB2+BE2-AB-

BE>AB-BE,即AB?BEM12,

此時，%而體4BCD=彳咚雌4BE-FC。=XxzxAB-BEsill60°X2<2y/3;

JJ/

當(dāng)N4BE=120。時，由余弦定理得W=12=AB2+BE2-2AB-BE-cos600=AB2+BE2+AB-

BE>3AB-BE,即AB?BEW4,

此時，％而體4BCD=1咚雌4BE-FCQ=Ixx'打'BE疝160°X2W?

<5J￡J

所以四面體ABCD的體積的最大值為2國.

11.答案：{3V2a}

解析：

本題考查了幾何體中動點問題，截面周長問題.轉(zhuǎn)化思想，平移平面，找到截面最大時動點位置是

關(guān)鍵，考查運算求解能力，是中檔題.

正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為“，體對角線BDi=遍a，根據(jù)對稱性，只需研究％6停a,苧a］，

函數(shù)y=f(x)的值域即可.

解：由題意，連接BQAC,BD,設(shè)AC、8。交于點。，

則4c1BD.AC1DD1,

又BDCDDrO.BDDOiU平面BOOi,

AC±平面BO。,又B。U平面BDDi,

.-.ACIBD^同理，ABilBOi，

?:ACABi=A.AC,AB{C平面AB\C,

???BD]J_平面ABC

故過點尸作垂直于BDi的平面y均平行于平面2BiC,

當(dāng)期=白時，&,P,0三點在一條直線上，BQU平面八場「，

所以截面周長為AABiC的周長，即3夜a,

當(dāng)8P=苧a時，即當(dāng)截面過體對角線BDi的中點時，此時截面為正六邊形,

其余各點為各個棱的中點，（如圖）截面周長為6后+4=3近a，

易知隨著8P的變化，結(jié)合相似比關(guān)系，中間的六邊形長度始終為定值,

再由對稱關(guān)系可知,BP長度從當(dāng)a到雪a,周長依然保持定值，

?,?函數(shù)y=f(x)的值域為{3&a}.

故答案為：｛3四。｝.

12?答案：棄寫

解析：

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體外接球表

面積的求法，是較難題.

由題意畫出圖形，找出四棱錐外接球的球心，利用勾股定理求半徑，代入球的表面積公式求球的表

面積，再由球的對稱性可知，球表面上的點到平面8CED距離的最大值為半徑加球心到面的距離.

解:如圖，

取BC的中點G,連接OG,EG,可知DG=EG=BG=CG,

則G為等腰梯形BCE。的外接圓的圓心，過G作平面8CEZ）的垂線，

再過折起后的三角形AOE的外心作平面ADE的垂線，設(shè)兩垂線的交點為0,

則。為四棱錐A-BCED外接球的球心.

3

則四棱錐力-BCEC外接球的半徑0B=舊+（亨￥=怨.

???四棱錐a-BCED外接球的表面積為4兀x（叵）2=空；

k373

由對稱性可知，

四棱錐4-BCED夕卜接球表面上一點P到平面BCED的最大距離為：號+品智

故答案為等;手

l(M>7r

13.答案:

解析:

【試題解析】

本題考查了空間幾何體外接球的表面積的計算問題，是中檔題.

根據(jù)題意可知，鱉麻G-4BC經(jīng)翻折后，所拼成的幾何體為三棱錐G-4EB1，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特

征及球的表面積公式求解即可.

解：當(dāng)G-4BC沿線BG翻折，使點C與點名重合，

則鱉脯Q-4BC經(jīng)翻折后，A點翻折到E點，4E關(guān)于B對稱，所拼成的幾何體為三棱錐的-

如圖，

由BBi=BC=2>/3,AB=2,AC=4,

可得力B]=yjBB^+AB2=4，BiE=+BE2=4，

即4Bp4E為正三角形，所以外接圓圓心為三角形中心Oi，

設(shè)三棱錐外接球球心為O,連接內(nèi)。，則/。_L平面

連接0G，0B],在團OBiQ中作0M18傳1，垂足為M,

如圖，因為0G=0B】=R,OMIBiG，

所以M是BiG的中點，由矩形”0。出可知。。1=并心=,BC=V3,

因為01為三角形的中心，

所以為。1=|BiB=|x2g=產(chǎn)，

在Rt0口1。。1中，R=[00；+BjO：=^3+=1

所以S—4兀R2_號

14.答案：手；?

解析:

本題考查了幾何體中的截面問題，二面角，球的相關(guān)知識，屬于較難題.

根據(jù)圖形確定球心位置，根據(jù)二面角，三角形知識和勾股定理計算球的半徑，由條件可知過E'且與。E'

垂直的截面圓面積最小，求出截面圓的半徑，即可得解.

解：如圖：

取BD的中點從連接AH,CH,

則BO'H,BD1CH,

NA'HC為二面角A-BD-C的平面角，

故乙A'HC=120°,

由題意可知△48。和4BCD都是邊長為3的等邊三角形，

設(shè)M,N分別是AABD和ABCO的中心，過M,N分別作兩平面的垂線,

則垂線的交點就是三棱錐外接球的球心，

???A'H=CH=乒斗爭

???MH=NH=y，CN=近,

由4OMH*0NH可得乙OHM="HN=60°,

3

??.ON=

2

OC=WN2+NC2=J(|)2+(網(wǎng)2=亨,即外接球的半徑為亨?

由條件可知過E'且與0E’垂直的截面圓面積最小，

又AC=6AE=3V3，

所以4E=攻，即E為A”的三等分點，靠近A端，

2

所以E'M=漁，

2

由圖可知0E'=V0M2+E'M2=V3?

則0E',與。。垂直的截面圓半徑，外接球的半徑構(gòu)成直角三角形,

所以招到一(回=|,

故答案為叵；也.

24

15.答案：叵:-

24

解析：

【試題解析】

本題考查了幾何體中的截面問題，二面角，球的相關(guān)知識，屬于較難題.

根據(jù)圖形確定球心位置，根據(jù)二面角，三角形知識和勾股定理計算球的半徑，由條件可知過E'且與0E'

垂直的截面圓面積最小，求出截面圓的半徑，即可得解.

解：如圖：

取8。的中點“，連接A'H,CH,

則BDlAH,BD1CH,

.?.乙47/C為二面角A-BC-C的平面角，

故乙4'HC=120°,

由題意可知△48。和^BCD都是邊長為3的等邊三角形，

設(shè)M,N分別是△4BD和△BCD的中心，過M,N分別作兩平面的垂線,

則垂線的交點就是三棱錐外接球的球心，

A'H=CH=&一(J=學(xué)，

MH=NH=y,CN=百，

由小OMH*ONH可得上OHM=4OHN=60°,

3

??.ON=

2

OC=WN2+NC2=J(|)2+(⑹2=吟即外接球的半徑為亨.

由條件可知過E'且與0E’垂直的截面圓面積最小，

又4c=6AE=3V3，

所以4E=攻，即E為A”的三等分點，靠近A端，

2

所以E'M=@，

2

由圖可知OE'=>JOM2+E'M2=痘,

則0E',與。。垂直的截面圓半徑，外接球的半徑構(gòu)成直角三角形，

所以居J可=|,

』=(?=%.

故答案為巨；變.

24

16.答案：(1)證明：???四邊形ABEF為平行四邊形，

AB//EF,AB=EF,

XvAB//CD,

EF//CD,

又???點E為PC的中點，

???CD=2EF=2AB=2,

在直角梯形A3CZ)中，AB=AD=1,CD=2,

連接30，易得BD=BC=/，BD2+BC2=DC2,

BD1BC,

又PC_L底面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PC1BD,

又PCCBC=C,

所以8。_L平面PBC,

又BOu平面PBD,

???平面PBO，平面PBC-,

(2)由(1)知CD=2,

???在直角梯形中可得NDCB=45°,

又PC，底面ABCD,

???以C為原點，CD為x軸，CP為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則4(2,1,0),5(1,1,0),0(2,0,0),設(shè)尸(0,0,九)(九>0),

???~BA=(1,0,0),麗=(-1,一1,九)，~DP=(-2,0,九)，~BD=(1,-1,0)，

???BD，平面PBC,

.??平面P8C的法向量可取而=(1,-1,0).

設(shè)平面A8P法向量為1=(x,y,z),

由曲麗=0,得儼=。

(五?而=0,l-x_y+hz=°'

??.可取N=(0j,1),

???cos<a,前>==一~9

VzVi+n25

???九=2,

???麗=(一2,0,2),a=(0,2,1),

cos<五>=葭定=縹，

y8xV510

???P。與平面PAB所成角的正弦值為運.

10

解析：本題考查面面垂直的判定，考查利用空間向量求二面角和線面角，屬于中檔題.

(1)由題意可得8。1BC,PC1BD,即可證明BD，平面PBC,再利用面面垂直的判定得到平面PBD1

平面PBC；

(2)以C為原點，CQ為x軸，CP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(0,0,/i)(/i>0),利用二面角4一

PB-C的余弦值為一叵求出h,再利用法向量求出線面角即可.

5

17.答案：(1)證明：???4以+8￡)2=482,

???ADA.BD,

?.,底面ABC。為平行四邊形，

.-.AD//BC,

???BC1BD.

又PD1底面ABCD,BCu底面ABCD,

PD1BC.

?：PDCBD=D,PDu平面PBD,BDu平面PBD,

BCJ?平面PBD.

而BCu平面PBC,

平面PBCL平面PBD.

(2)解：由⑴知,BC1平面尸80,則4D_L平面

分別以D4,DB,OP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則4(1,0,0),F(0,73,0).C(一1,8,0)，P(0,0,t),Q(一渭,力

..?希=(-l,O,t),=

.-.AP-'BQ=?=1,-??t=1.

故的BQ=

設(shè)平面QBD的法向量為記=(x,y,z),

J?前

則=00,

=040,y

-

的

iy

1-?1

-+-z=

X+2

即2

X-0,0

11

-+-Z=

22

令x=l,得記=(1,0,1).

易知平面8OC的一個法向量為訪=(0,0,1),

則cos<m,n>==y,

又二面角Q—BD-C為銳角，

.??二面角Q一BD—C的大小為

解析：本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面角的計算，屬于中檔題.

(1)根據(jù)勾股定理得出BC_LBD,結(jié)合PD1BC可得BC_L平面P8O,得出平面PB。_L平面PBC；

(2)建立坐標(biāo)系，根據(jù)存?的=1計算的長，求出平面QBO和平面BCQ的法向量，根據(jù)法向量

的夾角得出二面角的大小.

18.答案：(1)證明：在21ABe中，連AG,并延長交BC于O,

因為點G為/ABC的重心,

所以需=|,且。為BC中點,

又M為線段AF上靠近點F的三等分點，

匚匚t、i"G2AM

所以一=-=一

AO3AF

所以GM〃。心

又N為AB中點，所以N0〃4C,

5LAC//DF,

所以NO〃DF,所以。，D,F,N四點共面,

又OFu平面QFMGM不在平面。尸N上,

所以GM〃平面OFN;

(2)由題意，AG1BCDE,

所以4O1BC,平面ABCJ?平面BCDE,且交線為BC,

因為BC1CD,所以CO_L平面ABC,

又四邊形BCDE為直角梯形，BC=2,DE=1,

所以O(shè)E〃CZ),

所以0E1平面ABC,

因為AC〃DF,DEI/BC,

所以平面ABC〃平面DEF,

又ZDE尸與2MBe分別是邊長為1與2的正三角形,

故以。為原點，OC為x軸，OE為y軸，。4為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CD=m,則(1,0,0),0),0)

A(0,0,V3),F(1,m,^),W(-0,^).

因為京=|G，所以M([,警,警),

立=(2,0,0),俞=(瀉，爭

設(shè)平面MBC的法向量1=(a,b,c)，

n-BC=2a=0

則T二彳412rnb.2y[3C

n?BM=-aH--------1-------=0n

、333

取n=(0,V3,—m)>

平面8CO的法向量密=(0,0,1)，

所以二面角M-BC-C的余弦值cos"晶=信=今

解得巾=衛(wèi)，

3

又疝V=(一2一個,一？),而=(0,771,0),

,T7T777K、IMNCDIm2a

cos<MN,CD>=,——>,=/，?-二—

\MN\\CD\7，

直線MN與CO所成角的余弦值為迫.

7

解析：本題重點考查線面平行的判定及利用空間向量求解二面角及異面直線所成的角，屬于較難題.

(1)連AG,并延長交8c于0,通過證明GM〃。尸及0,D,F,N四點共面即可求證;

(2)以。為原點，0C為x軸，0E為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=m,由二面角M-

BC-D的余弦值為它求出m=叵,再利用向量法求解異面直線MN與CD所成角的余弦值.

43

19.答案：⑴證明：因為24_L平面A8C￡>,CDu平面ABC￡>,

所以PA1CD,

又ACJ.CD,CAHPA=A,C4u平面PAC,PAu平面P4C,

所以CD_L平面PAC,

???P。與平面PAC所成的角為ZDPC,

在RtSPCD中，

coszSDPCPD4.

又???在RtaPAC中，PC=V1T4=V5，APD=2V2.

在RtAPAD中，PA=2,.-.AD=2,

所以在RtMCD中，AD=2,ACAD=60°.

又4BC4=60。，所以在平面ABC。中，

BC//AD,ADu平面PAD,BCC平面PAD,

所以BC〃平面PAD；

(H)因為點用在P8上，設(shè)兩=4而，

則%/-PCD=^B-PCD=碼-BCD=^?2~■A=

所以a

故M為靠近尸的四等分點.

解析：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成的角，線面平行的判定以及三棱錐體積的

計算，屬于中檔題.

(/)先通過PAJ?平面A2CD,得到P41C0,進而證得CO_L平面PAC,得到尸。與平面尸AC所成的角

為乙DPC,進而根據(jù)題意，求得PD=2VL再通過解直角三角形得到4cAe=60°,再根據(jù)NBCA=60°,

得到BC〃/ID,最后通過線面平行的判定定理，即可得到BC〃平面PA。；

（〃）麗=；1而，通過等體積轉(zhuǎn)化，結(jié)合力_「8=嗝，得到%的方程，解得義的值，即可得到點M的

位置.

20.答案：（1）證明：取AO的中點尸，連接EF,P凡因為PA=PD,所以PF_L40.

另一方面，因為EF是△48。的中位線，所以EF〃BD.

設(shè)P。=CD=BC=1,則A8=2>AD-V2>BD=V2，

所以+=4=432,所以4D1BD,故ADJ.EF.

而EFClPF=F,所以4D1平面PEeffiPEF,所以40J.PE.

（2）解：因為平面PAOJL平面A8C￡>于AD,

PFu平面PAO,PFA.AD,,所以PF1平面ABCD

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，￥，0）,p（0,0,y）,D（-y，0,0）,

8（一孝，篇0）,C（一字，一今0）.所以前=（當(dāng),一直,當(dāng)，F(xiàn)C=（-f,-y,0），

設(shè)平面PBC的一個法向量為元=（招y,z）,

R

n?就=-x—\[2yH—z=0

則