甘肅省張掖市某校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)考試滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.3回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.2.若集合，則（）A.B.C.D.3.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量，則向量與夾角的余弦值為（）A.B.C.D.4.冬天，廣西南寧三位老師帶著11個(gè)歲的幼兒園小朋友到哈爾濱研學(xué)，一身橘紅色的羽線服，以她們獨(dú)特的服裝和歡快的姿態(tài)，在全國(guó)掀起了一股“小沙糖橘”熱潮.已知這11個(gè)小朋友中有5個(gè)男孩，6個(gè)女孩，隨機(jī)請(qǐng)出3個(gè)“小沙糖橘”與小企鵝一起拍照留念，則請(qǐng)出的“小沙糖橘”中至少有2個(gè)女孩的概率是（）A.B.C.D.5.已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與焦點(diǎn)為的拋物線在第一象限交于點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）A.B.C.1D.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，若，則（）A.-1B.1C.0D.7.若圓上存在唯一點(diǎn)，使得，其中，則正數(shù)的值為（）A.B.C.D.8.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A.0B.-1C.D.2二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則函數(shù)的解析式可以是（）A.B.C.D.10.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.D.若點(diǎn)是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，則11.已知正方體的棱長(zhǎng)為為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），如圖所示，若始終成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為C.向量與夾角的正弦值為D.三棱錐體積的最大值為二?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的面積為_(kāi)_________.13.已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則平面截此四棱柱的外接球所得的截面面積為_(kāi)_________.14.已知函數(shù)，若，則的最小值為_(kāi)_________.三?解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）近年來(lái)，馬拉松比賽受到廣大體育愛(ài)好者的喜愛(ài).某地體育局在五一長(zhǎng)假期間舉辦比賽，志愿者的服務(wù)工作是成功舉辦的重要保障.現(xiàn)抽取了200名候選者的面試成績(jī)，并分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.男生女生合計(jì)被錄取20未被錄取合計(jì)（1）求；（2）估計(jì)候選者面試成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）在抽出的200名候選者的面試成績(jī)中，若規(guī)定分?jǐn)?shù)不低于80分的候選者為被錄取的志愿者，已知這200名候選者中男生與女生人數(shù)相同，男生中有20人被錄取，請(qǐng)補(bǔ)充列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)”附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82816.（15分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面平面為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.（17分）已知橢圓左?右頂點(diǎn)分別為，短軸長(zhǎng)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若第一象限內(nèi)一點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與外接圓的圓心的連線交軸于點(diǎn)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.19.（17分）泰勒公式是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處展開(kāi)成無(wú)限項(xiàng)的多項(xiàng)式.當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，它的公式表達(dá)式如下：.注：表示函數(shù)在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，以此類推，表示在原點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù).（1）根據(jù)公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明；（3）設(shè)，證明：.數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選B.2.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選D.3.【答案】C【解析】由可得向量，由得，則，因此.故選C.4.【答案】C【解析】從11人中任請(qǐng)3人，基本事件共有種，恰好是3個(gè)女孩的方法數(shù)是種，恰好是2個(gè)女孩的方法數(shù)是種，故所求的概率是.故選C.5.【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo).又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為.故選A.6.【答案】D【解析】由前項(xiàng)和定義可得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，所以，所以，所以.故選D.7.【答案】B【解析】由題得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.設(shè)，則，.由可得，化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上.又唯一的點(diǎn)也在圓上，所以兩圓是外切或內(nèi)切，所以圓心距等于兩圓半徑相加，或者圓心距等于兩圓半徑差的絕對(duì)值，即，或，解得，或，因?yàn)槭钦龜?shù)，所以.故選B.8.【答案】A【解析】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的實(shí)數(shù)根，令，則，顯然，所以，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點(diǎn)，說(shuō)明，即.故選A.9.【答案】ABC【解析】選項(xiàng)，函數(shù)圖象由圖象沿軸向右平移1個(gè)單位，再把軸下方的圖象關(guān)于軸對(duì)稱翻折到軸上方，故關(guān)于直線對(duì)稱，正確；選項(xiàng)，函數(shù)的圖象是由圖象沿軸向右平移1個(gè)單位得到的，而函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，其圖象沿軸向右平移1個(gè)單位后的圖象剛好關(guān)于直線對(duì)稱，故符合條件，B正確；選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，故符合題意；選項(xiàng)D，，顯然，故此函數(shù)不是關(guān)于直線對(duì)稱的.故選ABC.10.【答案】AD【解析】如圖，由雙曲線定義可知，，由題意得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故且，因?yàn)椋炙?，由，得，即有，得，所?故A選項(xiàng)正確；又，所以漸近線方程為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槭侵本€與雙曲線的交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得，所以.又點(diǎn)在雙曲線上，代入可得，兩式相減可得，所以，故選AD.11.【答案】BD【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，則在平面中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形相似成比例，則對(duì)應(yīng)角相等，又由兩角互余可得.因?yàn)檎襟w，所以是等邊三角形，顯然可得，因?yàn)椋云矫?，故?dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，在中，，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)中的等面積法可得，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為.故選項(xiàng)正確.在平面中，，所以在中，，所以由余弦定理可得，所以正弦值為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由垂直平面可得三棱錐體積等于，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，取最大值，所以由的軌跡可知，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)到直線的距離最大，此時(shí)取最大值，故D正確.綜上可知，選BD.12.【答案】【解析】由，得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面積為.13.【答案】【解析】由正四棱柱可知底面為正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直徑等于正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)，所以，所以.如圖，取長(zhǎng)方形的中心，連結(jié)，易得，且平面，所以，球心到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則球心到平面的距離等于的長(zhǎng).在長(zhǎng)方形中，連結(jié)，則，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面為圓面，所以此圓的半徑為，故截面面積為.14.【答案】【解析】由得，所以是上增函數(shù).易得，所以，即.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故最小值為.15.【解析】（1），解得（2）平均數(shù)為：（3）列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)被錄取201030未被錄取8090170合計(jì)100100200所以沒(méi)有的把握認(rèn)為“候選者是否被錄取與性別有關(guān)”.16.【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)檎?xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得當(dāng)時(shí)，成立，所以，顯然，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以（2），所以數(shù)列的前項(xiàng)和所以17.【解析】（1）證明：在中，由，得，即，所以由平面，平面平面，且平面平面得平面（2）由（1）得平面，所以，在等邊三角形中，為中點(diǎn)，所以，即兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，又，所以，則，所以，設(shè)，則得到，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，由，令，得，所以，又一面角的大小為，所以，得到，又，解得，所以存在點(diǎn)使二面角的大小為，且18.【解析】（1）因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為，所以，又橢圓的離心率為，則有，解得，所以的方程為.（2