高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (11)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（11）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20.0分）

1.三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上.若2PAC是等邊三角形，平面P4C_1平

面ABC,4B1BC,則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）

A.2B.3C.2V3D.3V3

2.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，則三交線相互平行

②三個(gè)平面最多將空間分為8個(gè)部分

③一平面截一正方體，則截面不可能為五邊形

④過空間任意一點(diǎn)有且只有一條直線與兩異面直線垂直

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，己知點(diǎn)E、F、G、，分別是正方體4BC0-4B1C1D1中棱24、AB,CD、G5的中點(diǎn)，

記二面角E—FG-D的平面角為a,直線HG與平面ABC。所成的角為0,直線HG與直線0G

所成角為y,貝1（）

H

A.y>0=aB./3>a>yC.0=a>yD.a>0>y

4.如圖，正方體ABCD—4B1GD1的棱長(zhǎng)為2a,點(diǎn)。為底面ABC。的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BBiQC的

邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若2。J_0P,且ADiGP面積的最大值為4傷，則a的值為（）

A.1B.3C.D.2

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共13小題，共52.（）分）

5.對(duì)于四面體4-BCD,以下命題中正確的命題是（）

A.若4B=4C=4。，則A8,AC,AQ與底面所成的角相等

B.若ACLBD,則點(diǎn)A在底面△BCD內(nèi)的射影是的內(nèi)心

C.四面體A-BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形

D.若四面體力-BCD的6條棱長(zhǎng)都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為?

6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線AC與BCi所成的角為60°

B.直線4當(dāng)與平面4BCi￡）i所成角為45。

C.二面角力—B】C—B的正切值為

D.四面體D1-4B1C的外接球的體積為當(dāng)兀

7.已知正三棱錐P-4BC的底面邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P到底面ABC的距離為魚，則（）

A.該三棱錐的內(nèi)切球半徑為虺B.該三棱錐外接球半徑為逑

612

C.該三棱錐體積為上D.AB與PC所成的角為3

122

8.如圖，以等腰直角的斜邊上的高4。為折痕，把△ABD和△力CD折成相互垂直的兩個(gè)平面,

下列結(jié)論正確的是（）

A

A

A.

B./.BAC=60°

C.若4。=1,則三棱錐內(nèi)切球的半徑為警

D.二面角B—力C—0的平面角的正切值為當(dāng)

9.如圖，在正方體力BCD-aBiCiL?i中，平面4B15，垂足為4,則下面結(jié)論正確的是（）

A.直線與該正方體各棱所成角相等

B.直線與該正方體各面所成角相等

C.垂直于直線4"的平面截該正方體，所得截面可能為五邊形

D.過直線的平面截該正方體所得截面為平行四邊形

10..如圖直角梯形ABC。中，AB//CD.AB1BC.BC=CD=\AB=2,E為48中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕

把△4DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC=28，則（）

A.平面PED1平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-8的大小為；

D.PC與平面PED所成角的正切值為迎

11.已知四棱錐P-ABCC的底面A8C。是邊長(zhǎng)為3的正方形，PDJ■平面ABC。，PD=6,E為PD

的中點(diǎn)，過E8作平面a分別與線段PA、PC交于點(diǎn)M、N,S.AC//a,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BM//NEB.EM=MA

C.PM=3MAD.四邊形EM8N的面積為3e

12.在棱長(zhǎng)為1的正方體A3CD-中，點(diǎn)M在棱CC\上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線與平面ADO平行

B.平面BA/。1截正方體所得的截面為三角形

C.異面直線A。1與A】Ci所成的角為g

D.+的最小值為代

13.如圖直角梯形48CZ）,AB//CD.AB1BC,

BC=CD=-AB=2,笈為46中點(diǎn)，以。后為折痕把44DE折

2

起，使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC=2百.則（）

A.平面PED1平面EBCD

B.異面直線PC與。E所成的角的余弦值為逅

3

JT

C.二面角P—DC—8的大小為一

4

D.PC與平面PKO所成角的正切值為正

14.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC。-&B1GD1中，P,歷分別為棱

CD,CC1的中點(diǎn).。為面對(duì)角線上任一點(diǎn)，則下列說法正確的

是

A.平面APM內(nèi)存在直線與4Di平行

B.平面截正方體48C0-48也也所得截面面積為:

O

C.直線AP和。。所成角可能為60。

D.直線AP和OQ所成角可能為30。

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線AC與BG所成的角為60。

B.直線4當(dāng)與平面4BG5成角為45。

C.二面角4-B[C-B的正切值為V2

D.四面體Di-ABiC的外接球的體積為衛(wèi)兀

16.如圖，矩形ABC。，M為BC的中點(diǎn)，將團(tuán)4BM沿直線4M翻折

成E14BM,連接為。，N為8。的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列//

說法中所有正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CN1AB1“"

B.翻折過程中，CN的長(zhǎng)是定值

C.若4B=BM,貝ih4M1BXD

D.若AB=BM=1,則當(dāng)三棱錐&-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐&-4"。的外接球的表面積

是4兀

17.已知菱形A8C。中，/BAD=60。，將△ABD沿折起，使頂點(diǎn)A至點(diǎn)M,在折起的過程中，

下列結(jié)論正確的是（）

A.BD1CM

B.存在一個(gè)位置，使ACDM為等邊三角形

C.DM與BC不可能垂直

D.直線。"與平面BC。所成的角的最大值為60。

三、填空題（本大題共8小題，共40.0分）

18.如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形A8C。與正方形BCFE所在平面互相垂直，P為EF的中點(diǎn)，。為

線段FC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐P-48Q的體積最大時(shí)，三棱錐P-4BQ的外接球的表面積為

19.如圖所示，在長(zhǎng)方體48CD-AiBiGDi中,=當(dāng)劣，點(diǎn)E是棱CC】上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面BED1

交棱44i于點(diǎn)尸，給出下列命題：

①四棱錐&-8ED1F的體積恒為定值;

②存在點(diǎn)E,使得Bi。_L平面BAE；

③對(duì)于棱CG上任意一點(diǎn)E,在棱AQ上均有相應(yīng)的點(diǎn)G,使得CG〃平面EBDQ

④存在唯一的點(diǎn)E,使得截面四邊形BEDiF的周長(zhǎng)取得最小值.

其中真命題的是.（填寫所有正確答案的序號(hào)）

20.在高為1的正四面體P-ABC中，P在底面ABC上的射影為作平行

于平面ABC的平面，分別交線段PA,PB,尸C于點(diǎn)4,B',C'.當(dāng)三棱

錐P'-A'B'C'的體積最大時(shí)，三棱錐P'-4B'C'的外接球的表面積為

21.矩形ABC。中，AB=V3，BC=1,現(xiàn)將△4CD沿對(duì)角線AC向上翻折，得到四面體D—A8C,

則該四面體外接球的表面積為;若翻折過程中的長(zhǎng)度在［［，當(dāng)］范圍內(nèi)變化，則點(diǎn)

。的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是一.

22.如圖，等邊三角形A8C的中線AF與中位線。E相交于G,已知/4EC是44EC繞力E旋轉(zhuǎn)過程

中的一個(gè)圖形，給出以下四個(gè)命題：①4c〃平面ADF:②平面4GF，平面BCED；③動(dòng)點(diǎn)4在

平面ABC上的射影在線段A尸上；④異面直線HE與8。不可能垂直.其中正確命題的序號(hào)是

A'

A

23.如圖，正方體力BCD的棱長(zhǎng)為1,M,N分別是線段41cl和8。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷

正確的是.（請(qǐng)把所有正確命題的序號(hào)都填上）

①線段的長(zhǎng)度有最小值，且最小值為1；

②使MN=&成立的點(diǎn)M,N的位置情況只有四種；

③不論M,N如何運(yùn)動(dòng)，線段和當(dāng)。都不可能垂直；

④若M,N,B,C四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐，則其體積只與點(diǎn)N的位置有關(guān)，與M無關(guān);

⑤存在一個(gè)位置，使得MN所在直線與四個(gè)側(cè)面都平行.

24.我國(guó)古代《九章算術(shù)少中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童4BCD-EFG/7

有外接球，且48=4b，AD=4,EH=276,EF=6近，點(diǎn)E到平面A8C。的距離為4,則

VC_BDE=_______;該芻童外接球的半徑為.

25.矩形ABC。中，AB=陋,BC=1,現(xiàn)將團(tuán)4C。沿對(duì)角線AC向上翻折，得到四面體。一4BC,

則該四面體外接球的表面積為;若翻折過程中8。長(zhǎng)度在［?，￥］范圍內(nèi)變化，則點(diǎn)D

的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是.

四、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

26.如圖1所示，平面多邊形CQEF中，四邊形A8C。為正方形，EF//AB,AB=2EF=2,沿著

AB將圖形折成圖2,其中ZAED=9O。，AE=ED,H為的中點(diǎn).

圖2

(1)求證：EH1平面ABCD

(2)求四棱錐D-4BFE的體積

27.在四棱錐P-4BCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，Z.BAD=60°,

PA，面A8CD,PA=y[3,E,F分別為BC,PA的中點(diǎn).

(1)求證：BF〃面PDE；

(2)求二面角。-PE-A的大小的正弦值;

(3)求點(diǎn)C到面PQE的距離.

28.如下圖1,已知四邊形BC0E為直角梯形，4B=9。。,BE//CD,且BE=2C0=2BC=2,A

為BE的中點(diǎn).將團(tuán)ED4沿A3折到國(guó)PD4位置(如下圖2),連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐P-4BCD.

(1)求證4。1PB；

(2)若PAl￥ffiABCD.

①求二面角B-PC-D的大?。?/p>

②棱PC上一點(diǎn)例，滿足而=%時(shí)，使得直線AM與平面PBC所成的角為45。，求;I的值.

29.如圖，在四棱錐P-ZBCD中，P4LnABCD,AD//BC,AD1CD,S.AD=CD=?BC=2夜,

PA=1.

(1)求證：AB1PC；

(2)在線段PO上，是否存在一點(diǎn)M,使得二面角M—AC-D的大小為45。，如果存在，求

與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

30.如圖，PDl^ABCD.AD1CD,AB//CD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,點(diǎn)

E,凡M分別為4P,CD,BQ的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面MPC：

(2)求點(diǎn)B到面PMC的距離.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的外接球，考查基本不等式求最值，屬于較難題.

由題意求得P4=AC=PC=2V3.則POi1AC且POi=3,又由平面PAC1平面ABC,可得PO】_L平

面ABC,即三棱錐P-力BC的高九=3,在A/IBC中，利用基本不等式求得面積的最大值，進(jìn)而可得

三棱錐體積的最大值，得到答案.

解：由題意知，三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球。的球面上，△PAC是等邊三角形,

如圖所示，可得PA=4C=PC=2g,

則POi1ACHPO1=3,

又由平面PACJL平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,POXu平面PAC,

所以POi1平面ABC,

即三棱錐P-4BC的高h(yuǎn)=3,

又在三角形ABC中，ABLBC,

設(shè)AB=a,BC=b,則a2+必=AC2=",

所以SMBC=gab<|-|(a2+b2)=3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，即SMBC的最大值為3，

所以三棱錐P-ABC體積的最大值為V="S-8c)max?h=[x3x3=3.

故選B.

2.答案：B

解析：

本題考查空間中線線之間的關(guān)系，平面的概念，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，平面之間的關(guān)系，逐個(gè)進(jìn)行判斷.

解：①三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，三條交線兩兩平行或交于一點(diǎn)，如三棱柱的三個(gè)側(cè)面兩兩

相交，

交線是三棱柱的三條側(cè)棱，這三條側(cè)棱是相互平行的；

但有時(shí)三條交線交于一點(diǎn)，如長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰的表面兩兩相交，

交線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)就是長(zhǎng)方體的頂點(diǎn).故錯(cuò)誤；

②若三個(gè)平面兩兩平行，則把空間分成4部分；

若三個(gè)平面兩兩相交，且共線，則把空間分成6部分；

若三個(gè)平面兩兩相交，且有三條交線，則把空間分成7部分；

當(dāng)兩個(gè)平面相交，第三個(gè)平面同時(shí)與兩個(gè)平面相交時(shí)，把空間分成8部分，

故錯(cuò)誤；

③畫出截面圖形如圖，下圖中截面為五邊形但不是正五邊形：

④兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條;

故正確；

故選B.

3.答案：A

解析：

本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，屬于較難題.

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體

中棱長(zhǎng)為2,利用向量法能求出結(jié)果.

解：以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，DO1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABC。-中棱長(zhǎng)為2,

此時(shí)，4(2,0,0),C(0,2,0),E(2,0,1),F(2,l,0),

4(2,0,2),G(0,2,2),G(l,2,0),H(0,l,2),

則品=(0,1,-1)，F(xiàn)G=(-1,1,0)>HG=(1,1,-2)，DG=(1,2,0).

設(shè)平面EFG的法向量為記=(x,y,z),

，.理?記=。,即

tFG-m=0l-x+y=0

?。?1,m=(1,1,1),

平面DFG的法向量為五=(0,0,1),

則c°sa=嘉=焉=

sin/?=|cos師㈤|=|擊高J=冬

cos'=,1_si/]=y,

HGDG1+2V30

cosy—|^|.|DG|一V6X-75—10，

:.Y>a=6.

故選A.

4.答案：D

解析：

本題考查直線與平面的垂直的判定以及空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，屬于較難題.

由題意畫出圖形，由直線與平面垂直的判定可得P的軌跡，求出P到棱的劣的最大值，代入三角形

面積公式求解.

解：如圖，取BB］的中點(diǎn)尸，連接。尸、D/、CF、QF,連接。。、80、OC、D1C,

則/F=BF=a,DO=BO=OC=近a，=DjC=2近a,

BBXl￥ffiABCD,BBi_L平面4B1GD1，。也JL平面BBQC,

???ODi=y/OD2+DD^=遍a，OF=y/OB2+BF2=6a，D=/J。西+BF=3a，

2

ODl+OF=D/2,0D2+0C2=DC，

???ODX1OC,OD11OF,

OCCtOF=0,

OD1J?平面OCF,

???。41CF,

???點(diǎn)P的軌跡為線段CF.

又???GF=JB?+BF=V5a>(\C=2a，

2

△AGP面積的最大值S=|C1F-D?=|x2axV5a=V5a=4V5,

解得a=2.

故選。.

5.答案：ACD

解析:

本題考查了空間兒何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

對(duì)于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，。是△BCD的垂心，

對(duì)于C在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個(gè)數(shù)，對(duì)于。作出正四面體的

圖形，找到球的球心位置，說明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積.

解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳B=4C=4D,設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是0,

因?yàn)椤?—,。=—,smZ-ADO=—,

sinzJlBABsinzJlCACAD

所以sinz_4B。=sinZ-ACO=sinZ.ADO,

則A8,AC,AO與底面所成的角相等，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A在平面8C。內(nèi)的射影是0,

則4。，平面BCD,CDu平面BCD,

故AOJ.CD,又ABICD,

AOC\AB=A,AO,ABu平面ABO,

故CD!平面4B0,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正確；

如圖：將四面體4-BCD置于正方體中，直角三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故

C正確；

如圖，。為正四面體ABC。的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長(zhǎng)為1；

所以。E為內(nèi)切球的半徑，BF=AF=―,BE=—，

23

所以AE=不^=漁，

\33

因?yàn)?。2-0E2=BE2,所以（白-OE）2-OE2=（小，

所以。E=漁，所以球的表面積為47r-0E2=￡，故。正確.

126

故選：ACD.

6.答案：ACD

解析：

本題考查了球的表面積和體積，異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角，線面垂直的判定，

線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，屬于較難題.

利用異面直線所成角求法，對(duì)A進(jìn)行判斷，利用面面垂直的性質(zhì)得以。L平面4BC1%,再利用直線

與平面所成角求法，對(duì)B進(jìn)行判斷，利用線面垂直的判定得當(dāng)C，平面ABO,再利用線面垂直的性

質(zhì)得Z0J.B1C,再利用二面角的求法，對(duì)C進(jìn)行判斷，利用四面體Di-A&C的結(jié)構(gòu)特征得其外接

球半徑，再利用球的體積公式計(jì)算，對(duì)。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于A、在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC0-a當(dāng)口5中，

因?yàn)锳C〃4G，所以直線41cl與BCi所成的角就是異面直線AC與BG所成的角，

而^&BG是正三角形，因此直線4G與BQ所成角為60。，

即異面直線AC與BG所成的角為60。，因此A正確；

對(duì)于B、在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-&當(dāng)口劣中，

因?yàn)槠矫?8的。1平面BBiQC交于BCi，

設(shè)BGnBiC=O,則BiOlBG，而Bi。u平面BBiGC,

所以Bi。1平面ABGD1，

因此連接AO,則AO是直線4當(dāng)在平面48。1以內(nèi)的射影，

即4當(dāng)4。為直線AB】與平面4BC15成角，

而sinzSBi?!。=^所以NBIA。=30。，

即直線44與平面28C1D1成角為30。，因此B不正確；

對(duì)于C、由B知，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC0-A1B1C1D1中，

因?yàn)锽。1BCAB1BrC,

而力onZB=4,ABABO,40u平面AB。，

所以B]C_L平面ABO,而4。u平面AB。，因此A。_LB]C,

所以4408是二面角A-B1C-B的平面角,

因此tanz_40B=—=V2,

BO

即二面角力-B1C-B的正切值為VL因此c正確；

對(duì)于D、因?yàn)樗拿骟w一A&C的外接球就是棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—4B1GD1的外接球,

而棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4B1GD1的外接球半徑為，，

即四面體必-4B】C的外接球半徑為，，

所以四面體。1一低。的外接球的體積為*x（，）=9,因此。正確.

故選ACD.

7.答案：ABD

解析：

本題考查正棱錐的性質(zhì)，考查棱錐的體積，內(nèi)切球與外接球問題，異面直線所成的角，掌握正棱錐

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

解：如圖，PM是棱錐的高，則M是△ABC的中心，。是AB中點(diǎn)，

S”BC=fX12=亭Vp_4Bc=35AAe,PM=：X,X/=冬C錯(cuò);

DM=|xyXl=^,PD=l(V2)2+(y)2=￥，CM=y.

S“BC=：XBCxPD=：x1x歲=普,

所以S=3sAPBC+SAABC=3x整+9=手,

設(shè)內(nèi)切球半徑為心貝l《Sr=VpTBc，7=與爭(zhēng)=?，4正確；

~2~

易知外接球球心在高P例上，球心為0,設(shè)外接球半徑為R.

則(夜—R)2+(?)2=R2,解得R=*，B正確;

由PMJ_平面ABC,ABu平面ABC得PM_L4B,又COL4B,CDClPM=M,

所以A8_L平面PC￡>,PCu平面PCD,所以AB1PC,所以AB與PC所成的角為不。正確.

故選：ABD.

8.答案：AB

解析：

本題考查空間中直線的位置關(guān)系，考查三棱錐的內(nèi)切球的半徑問題及二面角的作法與運(yùn)算，屬于中

檔題.

設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為。，則斜邊BC=V^a，再結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

解：設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為“，則斜邊BC=ea,

對(duì)于A項(xiàng)，?.?￡)為3(7的中點(diǎn)，；.4。_18。，

又平面48。_L平面AC。，平面4BDn平面4CD=4D,BD1AD,BDu平面A8。，

BD1平面ADC,又ACu平面ADC,

BD14C,故4正確；

對(duì)于B項(xiàng)，由A知，BD平面ADC,CDu平面ADC,

???BD1CD,又BD=CD=—a,

2

：.BC=y/2X—a=a，又4B=AC=a,

2

.?.△ABC是等邊三角形，故B正確；

對(duì)于C項(xiàng)，若AD=1,則BC=CD=1,AB=AC=BC=&,

設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)?-BC0=lSHABD-r+^SABCD'R+gSMCD'r>

所以工x%xlxlxl=3(工xlxl+^xlxl+工xlxl)r

323\2227

解得r=/故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。項(xiàng)，???△ADC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)凡則DFJ.AC,又△ABC為等邊三角形,

連接3兄則BF1AC,

NBFD為二面角B—4C-D的平面角,

而。尸=竽=3,BD-—a，

222

則tan/BFO=—=-^―=V2>故力錯(cuò)誤;

DF-2

故選AB.

9.答案：ABD

解析:

本題考查棱柱及其結(jié)構(gòu)特征，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，空間中直線與平面的位置關(guān)系,

考查幾何體中的截面問題，考查空間思維能力與邏輯推理能力，屬于較難題.

利用空間中直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，判斷其正確性

即可求解.

解：如圖所示，連接4C,

根據(jù)正方體中面對(duì)角線與體對(duì)角線垂直，

所以4iC_LABi，AXC1AD1,5LAB1C\ADr=A,

即AZ_L平面/IBiA，

又因?yàn)?擔(dān)，平面ABiA，垂足為H,

所以直線與直線4C重合，

A項(xiàng)，因?yàn)橹本€41c與正方體48CD-4B1GD1各棱所成角都相等，設(shè)該角為。，均滿足tan。=魚,

即直線4H與正方體4BCD-&B1C1D1各棱所成角也相等，故A項(xiàng)符合題意;

B項(xiàng)，因?yàn)橹本€4c與正方體4BCD-&B1GD1各面所成角都相等，設(shè)該角為a,均滿足tana=號(hào),

即直線為〃與正方體4BCD-&B1GD1各面所成角也相等，故8項(xiàng)符合題意；

C項(xiàng)，垂直于直線的平面與平面ABiA平行，

截正方體力BCD-&B1C1D1所得截面為三角形或六邊形，故C項(xiàng)不符合題意，

。項(xiàng)，設(shè)過直線的平面截該正方體與前后兩個(gè)面相交所得的截面為&ECF,如圖，

???平面4BB1&〃平面DCC/i，

平面力n平面AiECF=ArE,平面OCCi￡)in平面AiECF=CF,

:'A\E"CF,同理可得&F〃CE,

.??四邊形&ECF為平行四邊形，

同理可得過直線的平面截該正方體與上下兩個(gè)面相交所得的截面也為平行四邊形,

即過直線的平面截該正方體所得截面為平行四邊形，故。項(xiàng)符合題意；

綜上所述，符合題意的序號(hào)為ABD,

故選ABD.

10.答案：AC

解析：

本題考查了線面垂直以及面面垂直的判定，考查空間角的計(jì)算，屬于中檔題.根據(jù)PC的長(zhǎng)證明PE1平

面EBCD,分別計(jì)算線線角、線面角、面面角的大小即可作出判斷.

解：如圖：

p

連接OE、EC.

對(duì)于A、因?yàn)橹苯翘菪蜛BC。中，AB]"D,AB1BC,BC=CD=^AB=2,E為AB中點(diǎn),

所以四邊形8C￡?E是邊長(zhǎng)為2的正方形，且4E=2,

因此以DE為折痕把△4DE折起后，PE1DE.

在APEC中，PE=AE=2,EC=2V2,PC=2圾，

則PE?+EC?=p，2,因此PE_LEC.

???ECnCE=E,EC、EDuC平面E8C。，PEEBCD.

又；PEuC平面PED,平面PED1?平面EBCD,因此A正確；

對(duì)于3、假設(shè)PCIE。，

因?yàn)镻EJ.DE,而PCnPE=E,PC、PEuC平面PEC,

所以ED1平面PEC,而ECu平面PEC,

因此ED1EC,這與/DEC=45。相矛盾，故8項(xiàng)錯(cuò)；

對(duì)于C、因?yàn)橛?4)知：PE1平面EBCQ,CDc￥ffiEBCD,

所以PE1CD.

又因?yàn)镃D1DE,PECDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以CD1平面PDE,而P。、DEu平面PDE,

因此CD1PD,CD1DE,

所以4POE為二面角P-DC-8的平面角.

由于折后，NPCE=NCAE=45。，因此C項(xiàng)正確；

對(duì)于力、因?yàn)橛蒀知：以)1平面「力￡

所以乙CPD為PC與平面PED所成角.

又因?yàn)橛蒀知：CD1PD,

所以在Rt△「￡>￡■中，因?yàn)镃D=2,PD=2,

所以tanzlCPD=—=3=—,

PD2\/22

即PC與平面PE力所成角的正切值為玄，因此。項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

故選AC.

11.答案:BD

解析：

本題考查線面平行的性質(zhì)，幾何體的截面問題，屬于較難題.

取的中點(diǎn)F,運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，可得平面4FC〃平面a,從而得出平面a,再逐一分析各選

項(xiàng)即可.

解：如圖，連接AC,BD,令A(yù)C和相交于。，取E￡＞的中點(diǎn)F,連接。凡AF,CF,

???F,。分別為ED,的中點(diǎn)，0/7/BE,

又OF，平面a,BEu平面a,二OF〃平面a,

又4C//平面a,S.ACnOF=0,AC,OFu平面AFC,.?.平面AFC//平面a,

平面PAE與平面AFC的交線平行于平面PAF與平面a的交線，平面PCF與平面AFC的交線平行

于平面PCF與平面a的交線，

在平面尸A。中，過E作EM〃/1F交PA于M,在平面PCQ中，過E作EN〃CF交PC于N,

可得平面a即為平面EMBN,

???PD，平面ABCD,ABu平面ABCD,：.PD1AB,

又ABA.AD,PDOAD=D,PD、ADu平面PAD,AB1平面PAD,

可知4B=DE=3,BD=3或，BE=79+18=3痘,

在平面PA。中，可得EM=空-4尸=24尸=三）9+-=V5.同理EN=要，

PF34

則AM=[P4=：x回布=遍，BM=V5T9=V14,PM=|P4=2遍，故8正確，C錯(cuò)誤；

可知ABME不是直角三角形，所以和NE不平行，故A錯(cuò)誤;

在"ME中，COSNBME=磊焉=一磊，S^BME=

所以S四之形E.MBA'=2x—x\/14x\/5x=3v/6>故。正確;

故選BD.

12.答案：ACD

解析：

本題考查了空間點(diǎn)線面位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想、空間想象能力，屬于中檔題.

對(duì)于A,平面BCC/i〃平面4DD1%的性質(zhì)即可判定直線8M與平面4DD1&平行;對(duì)于B,平面BM/

截正方體所得的截面為四邊形;對(duì)于C,異面直線與&G所成的角為乙Dp4C,即可判定;對(duì)于。，

原問題相當(dāng)于：AC//DB,直線AC,8。間距離為1,在AC上找一點(diǎn)加使得到。8上兩點(diǎn)間距離之

和最小，只需找到B關(guān)于4C的對(duì)稱點(diǎn)E即可.

對(duì)于A,?.?平面BCQBi〃平面4。。送1，BMu平面BCGBi，即可判定直線與平面40。遇1平行，

故正確；

對(duì)于8,如圖1,平面BMC1截正方體所得的截面為四邊形，故錯(cuò)；

對(duì)于C,如圖2,異面直線ZD】與所成的角為ND14C,即可判定異面直線AD1與4G所成的角為

60°,故正確；

對(duì)于O,如圖3,MB+MDX=MD+MDlt如圖4,原問題相當(dāng)于：AC//DB,直線AC,80間距

離為1,在AC上找一點(diǎn)M使得到OB上兩點(diǎn)間距離之和最小.只需找到8關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,,MD+

MD1的最小值即為線段ED的長(zhǎng)度，

ED=712+22=V5.故正確.

故選ACD.

Cl5

13.答案：ABC

解析：

本題考查了面面垂直的判定，異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角，線面垂直的判定和線

面垂直的性質(zhì)，屬于較難題.

利用線面垂直的判定得PE，平面再利用面面垂直的判定得A正確，利用異面直線所成角定

義得異面直線PC與力E所成的角就是PC與CB所成的角，即NPCB,再利用線面垂直的性質(zhì)得PE1

CB,PEA.EB,然后解直角三角形對(duì)8進(jìn)行判斷，再利用二面角定義得NPDE為二面角P-DC-B的

平面角，然后解直角三角形對(duì)C進(jìn)行判斷，再利用直線與平面所成角得4CP。為PC與平面PED所

成角，然后解直角三角形對(duì)C進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：在直角梯形A8C。中，

因?yàn)锳B〃CD,ABLBC,BC=CD=\AB=2,E為AB的中點(diǎn)，

所以DEJ.4E,DE1EB,AE=2,四邊形E8CQ是邊長(zhǎng)為2的正方形，

又因?yàn)橐設(shè)E為折痕把A.-1OE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，

所以CE_LPE,DE1EB,PE=2,

又因?yàn)镻C=2百，連接EC,所以PE2+EC2=p（:2,即PE_1.EC,

又因?yàn)镃EnEC=E,CEu平面EBCQ,ECu平面EBC。，

所以PE_L平面EBCD,

又因?yàn)镻Eu平面PE￡）,所以平面PED，平面EBC￡>,因此4正確，

因?yàn)镈E〃CB,

所以異面直線PC與OE所成的角就是PC與CB所成的角，即NPCB,

因?yàn)镻E1平面E8C。，EB、CBEBCD,所以PE_LCB,PE1EB,

又因?yàn)镻EnEB=E,EB、PEu平面PEB,因此CB1平面PE8,

而PBu平面PE8,所以CB_LPB,

在RtZXPJB中，因?yàn)镃B=2,PB=26，所以cos/PCB=生=立，

PC3

即異面直線尸C與。E所成的角的余弦值為更，因此3正確，

3

因?yàn)镻E1EB,EB//CD,所以PE_LCD,

又因?yàn)镃D_LDE,PEC\ED=E,ED、PEPED,因此CD1平面PED,

而PDu平面FEZ),所以CD1PD,

因此NPDE為二面角P-DC-B的平面角，

在RtaPED中，因?yàn)镻E=EO=2,所以NPDE彳，因此C正確，

因?yàn)镃D，平面PED交于D,

所以NCPD為PC與平面PED所成角，

因此在RtaPED中，因?yàn)镻O=2e，CD=2,

所以tan/CP。=絲=只因此。不正確.

PD2

故選ABC.

14.答案：BC

解析：

本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，截面問題，空間向量求出異面直線所成的角，屬于中檔題.

對(duì)各選項(xiàng)逐一求解，判定正誤，即可得到答案.

對(duì)于選項(xiàng)A,在正方體4BCD—4B1GD1中，BC"AQ1，

在平面A8C。中，直線AP,BC相交，所以直線BC與平面APAY相交，

故直線&以與平面4PM相交，則平面APM內(nèi)不存在直線與公劣平行，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,連接GD,P,M分別為棱CO,CCi的中點(diǎn)，

所以PM〃G。，PM=：G。，在正方體ABC。-&B1GD1中，

AB、〃C[D,所以PM〃/IB1，連&M,則梯形4aMP為所求的截面，

AP=BiM=Jl4-i=y-

所以等腰梯形ABiMP的高為

所以梯形的面積為工x%x越=2,選項(xiàng)8正確；

2248

對(duì)于選項(xiàng)C,D,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，4(1,0,0),P(0,|,0),B(l,l,0),4(1,0,1),

設(shè)寂=4砧=4(0,1,-1)=(0,2,一4),0<A<1,

.?.而=西+項(xiàng)=(1,4,1-；I)，PA=

|COS'兩’的)匚和舞導(dǎo)=而益而

2—A2—A

~^4107[(2-2)-2]2+(2-2)-1-7107(2-A)2-3(2-A)+3

y=3t2-3C+1=3(t-1)24-i>

等4V10/1+<V10,

ZyZ—A{Z—AJ

<Icos(PA，DQ)\<^，而邈<2<邈<烏

101x1510252

???直線AP和。。所成角可能為60。，但不可能為30。，

選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

15.答案：ACD

解析：

本題考查了球的表面積和體積，異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角，線面垂直的判定，

線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，屬于較難題.

利用異面直線所成角求法，對(duì)A進(jìn)行判斷，利用面面垂直的性質(zhì)得當(dāng)0_L平面4BGD1，再利用直線

與平面所成角求法，對(duì)8進(jìn)行判斷，利用線面垂直的判定得BiC_L平面ABO,再利用線面垂直的性

質(zhì)得ZOJLBiC,再利用二面角的求法，對(duì)C進(jìn)行判斷，利用四面體D1-4&C的結(jié)構(gòu)特征得其外接

球半徑，再利用球的體積公式計(jì)算，對(duì)。進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于A、在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC0-為當(dāng)口劣中，

因?yàn)锳C〃46,所以直線&C］與BCi所成的角就是異面直線AC與BG所成的角，

而44BG是正三角形，因此直線41G與BG所成角為60。，

即異面直線AC與BQ所成的角為60。，因此A正確；

對(duì)于3、在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO中，

因?yàn)槠矫媪GA平面BBiGC交于BCi，

設(shè)BGCB1C=。，則BiOlBG，而Bi。u平面BBiGC,

所以當(dāng)。J_平面4BG5，

因此連接AO,則AO是直線4當(dāng)在平面ABCiD］內(nèi)的射影，

即48送。為直線AB】與平面4BG5成角，

而sinzlBiA。==；,所以=30。，

即直線4名與平面48GD1成角為30。，因此B不正確；

對(duì)于C、由8知，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC0-AiBiGDi中，

因?yàn)锽O1BCAB1BC

而AOC4B=A,ABu平面AB。，力。u平面ABO,

所以BiC1平面ABO,而40u平面ABO,因此401&C,

所以乙40B是二面角4-BiC-B的平面角，

因此tanZTlOB=霹=V2,

即二面角4一81。一8的正切值為在，因此C正確；

對(duì)于。、因?yàn)樗拿骟wD1-AB］。的外接球就是棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-48傳15的外接球，

而棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-的外接球半徑為爭(zhēng)

即四面體2-AB1。的外接球半徑為爭(zhēng)

所以四面體劣一4當(dāng)。的外接球的體積為17rx（，）=號(hào)亓，因此。正確.

故選ACD.

16.答案：BD

解析：

本題主要考查了立體幾何中的翻折問題，考查了學(xué)生的空間想象能力以及立體幾何中的垂直性質(zhì)定

理，余弦定理，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

對(duì)于A取的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,則NE〃/1Bi,NF〃MB],由CN工A,則EN1CN,

從而判斷A,對(duì)于2,由判斷A的圖以及余弦定理可判斷B；對(duì)于C由線面垂直的性質(zhì)定理即可判

斷；對(duì)于。根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面1平面AM。時(shí)，三棱錐位-AMD的體積最大，取AZ）的

中點(diǎn)為E,連接OE,aE,ME,再由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷.

解：對(duì)于A,取A。的中點(diǎn)為E,連接CE交MQ于點(diǎn)F,如圖1

圖】

則NE//力Bi，NF//MB1

如果CNIABi，則ENJ.CN,

由于4當(dāng)_1,"當(dāng)，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確：

對(duì)于8,如圖1,由NNEC=NMABI，

且NE="Bi，AM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cosz.NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對(duì)于C,如圖2

取AM中點(diǎn)為O,vAB=BM,即4當(dāng)=則AM_1當(dāng)。

若AM1.B1。，由于B[0nB[Z)=B],

且當(dāng)。,a。u平面ODBi，

AAM1平面。ODu平面。g,

OD1AM,貝IJ4O=MD,

由于ADKMD,故AMI當(dāng)。不成立，故不正確；

對(duì)于。根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面昆力M，平面力時(shí)，

三棱錐&-4MD的體積最大，取A。的中點(diǎn)為E,

連接0E,81E,ME,如圖2

■■■AB=BM=1,則AB】=BrM=1,

且AB11GM,平面n平面AMD=AM

?.1AM,Bi。u平面JAM

???ByO_L平面AMD,OEu平面AMD

???Bi。1OE,

則4M=V5，B10=|/4M=y.

OE=-DM=-AM=—,

222

從而叫盾而=「

易知EA=ED=EM=1,

.??4。的中點(diǎn)E就是三棱錐a-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故O正確;

故選3D

17.答案：ABD

解析：

本題主要考查了線線垂直的判定，線面垂直的判定以及線面角的求法，屬于中檔題.

設(shè)菱形中AC交8。于點(diǎn)E,通過證明BDJL平面MEC可得CM,即A正確；通過分析翻折過程

中不變量CO=DM=2,求出CM范圍即可得到8正確；通過證明AD1平面DHM,得到401DM,

進(jìn)而BC1DM,所以C錯(cuò)誤；先找出線面角，然后考慮其正弦值范圍即可得到。正確.

解：設(shè)菱形中AC交8。于點(diǎn)E,記