高一數(shù)學必考點分類集訓(人教A版必修第一冊)專題4.3對數(shù)(4類必考點)(原卷版+解析)

專題4.3對數(shù)TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：對數(shù)的概念判斷與求值】 1【考點2：指數(shù)式與對數(shù)式的互化】 1【考點3：對數(shù)的運算性質(zhì)】 1【考點4：換底公式及其應(yīng)用】 2【考點1：對數(shù)的概念判斷與求值】【知識點：對數(shù)的概念】如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式.1．（2022·全國·高一課時練習）（1）對數(shù)的概念一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=___________，其中a叫做對數(shù)的___________，（2）對數(shù)的基本性質(zhì)①當a>0，且a≠1時，ax②負數(shù)和0沒有對數(shù)．③特殊值：1的對數(shù)是___________，即loga1=___________（a>0，且a≠1）；底數(shù)的對數(shù)是1，即logaa=1（（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)名稱定義記法常用對數(shù)以_________為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)______自然對數(shù)以無理數(shù)e=2.71828???為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)______2．（2021·江蘇省江陰市第一中學高一期中）使式子log(3x?1)(3?x)有意義的x的取值范圍是（A．x>3 B．x<3 C．13<x<3 D．13．（2022·江蘇省南通中學高一階段練習）已知對數(shù)式loga+124?a有意義，則aA．?1,4 B．?1,0C．?4,0∪0,1 4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx=log2x,A．?1 B．33 C．3 D．5．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個結(jié)論：①lglg10=0；②lnlge=0；③若10=lgx，則A．①② B．②④C．①③ D．③④6．（2022·重慶·巫山縣官渡中學高二階段練習）(多選)下列說法正確的有（

）A．零和負數(shù)沒有對數(shù)B．任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式C．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)D．以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)7．（2021·全國·高一課時練習）若log1+k1?k有意義，則實數(shù)8．（2021·全國·高一課前預(yù)習）求下列各式的值：(1)log5(2)log2【考點2：指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【知識點：指數(shù)式與對數(shù)式的互化】1、ax＝N?x＝logaN；2、loga1＝0，logaa＝1，aloga1．（2022·貴州·黔西南州金成實驗學校高三階段練習）方程4x2．（2022·浙江麗水·高三競賽）函數(shù)f(x)滿足f(23．（2022·全國·高一課時練習）（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（

）A．100=1與lg1=0 B．C．27?13=13與4．（2022·浙江·高三開學考試）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：θ=θ1?θ0e?kt+θ0，其中t為時間（單位：min),θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為A．10min B．20min C．40min5．（2021·甘肅·高臺縣第一中學高一期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上定義為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過___________個小時才能駕駛．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)log0.7【考點3：對數(shù)的運算性質(zhì)】【知識點：對數(shù)的運算性質(zhì)】運算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)重要推論(1)；(2)logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.1．（2017·湖南·武岡市教育科學研究所高二學業(yè)考試）求值(lg5)22．（2022·北京·楊鎮(zhèn)第一中學高三階段練習）2log3．（2022·天津市南開區(qū)南大奧宇培訓學校高三階段練習）計算：log2.54．（2020·江蘇·南通一中高一階段練習）已知a>0，且a≠1，下列說法不正確的是（

）A．若M=N，則logaM=logaNC．若logaM2=logaN5．（2021·江蘇省灌南高級中學高一期中）定義兩個實數(shù)間的一種新運算“*”：x?y=lg10x+10y，x，y∈R.對于任意實數(shù)A．a(chǎn)?b=b?a C．a(chǎn)?b+c=6．（2020·江蘇·南通一中高一階段練習）已知2a=3b=m且1A．6 B．6 C．12 D．367．（2022·河北·高三階段練習）已知b>1，且log2a=logbA．4 B．8 C．16 D．328．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高三階段練習）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關(guān)系為y=aA．浮萍每月的增長率為3B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個月時，浮萍面積超過80D．若浮萍蔓延到2m2、4m9．（2022·安徽·高三階段練習）雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”.為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A?h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C=In?t，其中n=log322A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h10．（2022·全國·高一單元測試）計算(1)log(2)lg8+lg125lg11．（2021·湖北·襄陽五中高一期中）（1）求值(2（2）設(shè)2x=3【考點4：換底公式及其應(yīng)用】【知識點：換底公式】logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；1．（2022·江西·修水中等專業(yè)學校高三階段練習）log52．（2022·重慶巴蜀中學高三開學考試）化簡183．（2022·江蘇·礦大附中高一階段練習）若實數(shù)a，b，c滿足3a=4，4b=5，4．（2022·湖南益陽·高二階段練習）已知a>0，b>0，ln(2a+1)ln2+5．（2022·福建·高三階段練習）已知a=log23，3b=5A．a(chǎn)+aba+1 B．a(chǎn)a+16．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）1614年蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發(fā)明了對數(shù)方法；1637年法國數(shù)學家笛卡爾開始使用指數(shù)運算；1770年瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)．若5x=2，lg2≈0.3010，則xA．0.431 B．0.430 C．0.429 D．2.3227．（2022·河南·高三階段練習（文））“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收．”《增廣賢文》是勉勵人們專心學習的．如果每天的“進步”率都是1％，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是A．15天 B．17天 C．19天 D．21天8．（2022·山東·乳山市銀灘高級中學高三階段練習）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為L=L0DGG0，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到A．72 B．74 C．76 D．78專題4.3對數(shù)TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：對數(shù)的概念判斷與求值】 1【考點2：指數(shù)式與對數(shù)式的互化】 3【考點3：對數(shù)的運算性質(zhì)】 5【考點4：換底公式及其應(yīng)用】 10【考點1：對數(shù)的概念判斷與求值】【知識點：對數(shù)的概念】如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式.1．（2022·全國·高一課時練習）（1）對數(shù)的概念一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=___________，其中a叫做對數(shù)的___________，（2）對數(shù)的基本性質(zhì)①當a>0，且a≠1時，ax②負數(shù)和0沒有對數(shù)．③特殊值：1的對數(shù)是___________，即loga1=___________（a>0，且a≠1）；底數(shù)的對數(shù)是1，即logaa=1（（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)名稱定義記法常用對數(shù)以_________為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)______自然對數(shù)以無理數(shù)e=2.71828???為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)______【答案】

logaN

底數(shù)

真數(shù)

x=loga【解析】略2．（2021·江蘇省江陰市第一中學高一期中）使式子log(3x?1)(3?x)有意義的x的取值范圍是（A．x>3 B．x<3 C．13<x<3 D．1【答案】D【分析】對數(shù)函數(shù)中，底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，列出不等式，求出x的取值范圍.【詳解】由題意得：3x?1>03x?1≠13?x>0，解得：13故選：D3．（2022·江蘇省南通中學高一階段練習）已知對數(shù)式loga+124?a有意義，則aA．?1,4 B．?1,0C．?4,0∪0,1 【答案】B【分析】由對數(shù)式的意義列不等式組求解可得.【詳解】由loga+124?a有意義可知a+1>0a+1≠12所以a的取值范圍為?1,0∪故選：B4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx=log2x,A．?1 B．33 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題中函數(shù)表達式代入求解即可.【詳解】因為f1所以ff故選：C5．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個結(jié)論：①lglg10=0；②lnlge=0；③若10=lgx，則A．①② B．②④C．①③ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】由對數(shù)定義可知，lglg10=對③，10=lgx?x=10故選：A.6．（2022·重慶·巫山縣官渡中學高二階段練習）(多選)下列說法正確的有（

）A．零和負數(shù)沒有對數(shù)B．任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式C．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)D．以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可判斷答案.【詳解】由對數(shù)的定義可知A,C,D正確；對B，當a>0且a≠1時，ax故選：ACD.7．（2021·全國·高一課時練習）若log1+k1?k有意義，則實數(shù)【答案】?1,0【分析】結(jié)合對數(shù)性質(zhì)建立不等關(guān)系，即可求解.【詳解】若log1+k1?k有意義，則滿足1+k>01+k≠1故答案為：?1,08．（2021·全國·高一課前預(yù)習）求下列各式的值：(1)log5(2)log2【答案】(1)2；(2)?4.【分析】根據(jù)對數(shù)的定義及指對數(shù)式的互化即可求得答案.(1)設(shè)x=log525，則5(2)設(shè)x=log2116，則【考點2：指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【知識點：指數(shù)式與對數(shù)式的互化】1、ax＝N?x＝logaN；2、loga1＝0，logaa＝1，aloga1．（2022·貴州·黔西南州金成實驗學校高三階段練習）方程4x【答案】x【分析】將原方程化為2x【詳解】原方程即為2x2-2∵2x>0，所以，2故答案為：x=log2．（2022·浙江麗水·高三競賽）函數(shù)f(x)滿足f(2【答案】log【分析】結(jié)合已知條件求出f(x)的解析式，然后利用f【詳解】令t=2x由f(2x即f(x)=(log從而f(5)=(log故實數(shù)a的值為log2故答案為：log23．（2022·全國·高一課時練習）（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（

）A．100=1與lg1=0 B．C．27?13=13與【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)式、對數(shù)式的概念進行相互轉(zhuǎn)化.【詳解】對于選項A，指數(shù)式100=1化為對數(shù)式為對于選項B，指數(shù)式912=3對于選項C，指數(shù)式27?13對于選項D，指數(shù)式51=5化為對數(shù)式為故選：ACD.4．（2022·浙江·高三開學考試）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：θ=θ1?θ0e?kt+θ0，其中t為時間（單位：min),θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為A．10min B．20min C．40min【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，將已知數(shù)據(jù)代入即可求解k=ln220，進而將θ0=20，θ1【詳解】由題意可得，θ0=20，θ1=100，θ=60，80e?20k+20=60故?20k=?ln2，解得故當θ0=20，θ1=6將其代入θ=(θ1?θ0故選：B5．（2021·甘肅·高臺縣第一中學高一期中）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為，為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上定義為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過___________個小時才能駕駛．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)log0.7【答案】5【分析】由題意可得y=100【詳解】設(shè)x個小時后100ml血液中酒精含量為ymg則y=100×(1-30%)當y=100×0.所以該駕駛員至少經(jīng)過5個小時才能駕駛．故答案為：5.【考點3：對數(shù)的運算性質(zhì)】【知識點：對數(shù)的運算性質(zhì)】運算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)重要推論(1)；(2)logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.1．（2017·湖南·武岡市教育科學研究所高二學業(yè)考試）求值(lg5)2【答案】1【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】原式=lg故答案為：12．（2022·北京·楊鎮(zhèn)第一中學高三階段練習）2log【答案】-【分析】結(jié)合指數(shù)冪、對數(shù)運算法則化簡求值【詳解】原式=3．（2022·天津市南開區(qū)南大奧宇培訓學校高三階段練習）計算：log2.5【答案】1【分析】由對數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)直接求解；【詳解】log=log=2+lg1＝2-3+=1；故答案為：1.4．（2020·江蘇·南通一中高一階段練習）已知a>0，且a≠1，下列說法不正確的是（

）A．若M=N，則logaM=logaNC．若logaM2=logaN【答案】ACD【分析】AD可舉出反例；C選項可推導出M=N或M=?N；B選項，根據(jù)y=logax【詳解】若M=N≤0，則loga因為logaM=logaN因為logaM2=logaN若M=N=0，則loga故選：ACD5．（2021·江蘇省灌南高級中學高一期中）定義兩個實數(shù)間的一種新運算“*”：x?y=lg10x+10y，x，y∈R.對于任意實數(shù)A．a(chǎn)?b=b?a C．a(chǎn)?b+c=【答案】ABD【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，利用新定義運算法則，分別求相應(yīng)的量，逐個驗證是否正確，從而選出正確的結(jié)果.【詳解】根據(jù)運算法則，a*b=lg所以a?b=可知a*b*所以a*a*a?c+所以a?b+a+所以a*b故選：ABD.6．（2020·江蘇·南通一中高一階段練習）已知2a=3b=m且1A．6 B．6 C．12 D．36【答案】A【分析】指數(shù)式改寫為對數(shù)式，由換底公式與對數(shù)運算法則計算可得．【詳解】由2a=3b=m1a+1b=故選：A．7．（2022·河北·高三階段練習）已知b>1，且log2a=logbA．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運算法則，結(jié)合基本不等式直接求解.【詳解】因為log2a=logb4，所以12log2a=logb4log2則ab≥16，2a當且僅當a=b=4時，等號均成立．故選：D．8．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高三階段練習）如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關(guān)系為y=aA．浮萍每月的增長率為3B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個月時，浮萍面積超過80D．若浮萍蔓延到2m2、4m【答案】CD【分析】先根據(jù)圖象，代入點1,3，求出函數(shù)解析式，進而求出前3個月的浮萍面積，判斷出AB選項，計算出第4個月的浮萍面積，判斷出C正確；解出t1=log3【詳解】由圖可知，函數(shù)過點1,3，將其代入解析式，a=3故y=A選項，取前3個月的浮萍面積，分別為3m2，9m2，27故增長率逐月增大，A錯誤；從前3個月浮萍面積可看出，每月增加的面積不相等，B錯誤；第4個月的浮萍面積為81m2，超過了80m令3t1=2，3解得：t1t1故選：CD9．（2022·安徽·高三階段練習）雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”.為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A?h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C=In?t，其中n=log322A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【答案】A【分析】根據(jù)題意求出蓄電池的容量C，再把I=15A【詳解】由C=Ilog322tI=15時，C=15∴t故選：A.10．（2022·全國·高一單元測試）計算(1)log(2)lg8+lg125lg【答案】(1)132；(2)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求解，（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式求解.（1）log==3（2）原式＝lg(8×11．（2021·湖北·襄陽五中高一期中）（1）求值(2（2）設(shè)2x=3【答案】（1）87；（2）1.【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可，（2）依題意有x=log272,y=【詳解】（1）(=2（2）依題意有x=log所以3x【考點4：換底公式及其應(yīng)用】【知識點：換底公式】logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；1．（2022·江西·修水中等專業(yè)學校高三階段練習）log5【答案】6【分析】通過換底公式簡化對數(shù)，然后進行計算.【詳解】log54=lg4lg5log故答案為:62．（2022·重慶巴蜀中學高三開學考試）化簡18【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算以及對數(shù)的運算，即可求得答案.【詳解】18故答案為：13．（2022·江蘇·礦大附中高一階段練習）若實數(shù)a，b，c滿足3a=4，4b=5，【答案】2【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用換底公式進行計算.【詳解】因為3a=4，4b所以a=log故abc=log由換底公式可得：abc=log故答案為：24．（2022·湖南益陽·高二階段練習）已知a>0，b>0，ln(2a+1)ln2+【答案】29【分析】利用換底公式和對數(shù)計算公式進行化簡，得到2a+13b+1【詳解】原式化簡log2∴2a+13b+1a+2b=1當且僅當a=52，b=7