高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)重難點專題03：直線與拋物線的位置關(guān)系(原卷版+解析)

重難點專題03：直線與拋物線的位置關(guān)系備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的焦點弦；拋物線的中點弦；拋物線中的參數(shù)范圍與最值；拋物線的定點、定值問題；拋物線中的定直線；拋物線中的向量運算；拋物線的應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納一、焦點弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點弦，,，焦點(1)若AB是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，，則：，。(2)若AB是拋物線的焦點弦，且直線AB的傾斜角為α，則（α≠0）。(3)已知直線AB是過拋物線焦點F,(4)焦點弦中通徑最短長為2p。通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑．(5)兩個相切：eq\o\ac(○,1)以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切.eq\o\ac(○,2)過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。二、切線方程圖象xxyOlFxyxyOlFllFxyOxxyOlF切線方程三．直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，，消y得：（1）當(dāng)k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當(dāng)k≠0時，Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個不同交點；Δ=0，直線與拋物線相切，一個切點；Δ＜0，直線與拋物線相離，無公共點。若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）四、相交弦AB的弦長或五．點差法：設(shè)交點坐標為，，代入拋物線方程，得將兩式相減，可得，在涉及斜率問題時，在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段的中點為，，即，同理，對于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點，點是弦的中點，則有考點講解考點講解考點講解考點講解考點講解考點講解考點1：直線與拋物線的位置關(guān)系例1．過點與拋物線只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條【方法技巧】由已知，根據(jù)題意，過點分別從與軸平行，直線斜率不存在，直線斜率存在三種情況分別求解出滿足題意的直線，然后即可做出判斷.【變式訓(xùn)練】1（多選）．泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點，直線l：，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則（

）A．點P的軌跡是一條線段B．點P的軌跡與直線：是沒有交匯的軌跡（即兩個軌跡沒有交點）C．不是“最遠距離直線”D．是“最遠距離直線”2．設(shè)過拋物線焦點F的弦為PQ，則以PQ為直徑的圓與拋物線的準線的位置關(guān)系是______．4．已知拋物線，，是C上兩個不同的點．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標原點，，點滿足均與C相切，求的值．考點2：拋物線的弦長例2．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8【方法技巧】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，根據(jù)韋達定理與焦半徑的公式即可求出的值.【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若，則(為坐標原點)的面積是（

）A． B．1 C．2 D．43．已知拋物線，過的焦點且斜率為的直線交于兩點，若，則__________.3．設(shè)拋物線C：的焦點為F，過F且斜率為k（k>0）的直線l與C交于A，B兩點，．(1)求直線l的方程；(2)求過點A，B且與拋物線C的準線相切的圓的方程．考點3：拋物線的焦點弦例3．設(shè)F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．8 C．12 D．【方法技巧】由題意得出焦點坐標，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點的弦長公式可得出答案.【變式訓(xùn)練】1．已知點是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．92．拋物線的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關(guān)系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．無法確定3．已知直線與拋物線交于A、兩點，為拋物線的準線上一點，且，過且垂直軸的直線交拋物線于點，交直線于點，若，則__________．4．已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．考點4：拋物線的中點弦例4．已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點，若弦的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3【方法技巧】利用點差法計算可得；【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的方程是，直線交拋物線于兩點，若弦的中點為，則直線的方程為______．2．若直線l經(jīng)過拋物線的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為3，則線段AB的長為______.3．已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上．(1)求點F的坐標和拋物線C的準線方程；(2)過點F的直線l交拋物線C于A、B兩點，且線段AB的中點為，求直線l的方程及．考點5：拋物線中的參數(shù)范圍與最值例5．已知圓，若拋物線上存在點，過點作圓的兩條切線，切點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧】根據(jù)題意可以求出，再利用兩點間的距離公式表示出，整理得到關(guān)于的一個一元二次方程，利用根的判別式列出關(guān)于的不等式，解不等式即可【變式訓(xùn)練】1．拋物線上的點到直線的距離最小值是________.2．過拋物線焦點F作斜率分別為、的兩條直線、，其中交拋物線C于A、B兩點，交拋物線C于D、E兩點，若，則的最小值為______．3．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且點的坐標為，則的最大值是_______.4．已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．考點6：拋物線的定點、定值問題例6．如圖，已知拋物線的焦點為F，點為坐標原點，一條直線過定點與拋物線相交于A，B兩點，且.(1)求拋物線方程；(2)連接AF，BF并延長交拋物線于C，D兩點，求證：直線CD過定點【方法技巧】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，同理得到，由（1）求得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得的值，即可求解.【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于兩點，點，若直線的斜率分別為，則______．2．如圖，為拋物線上的一點，拋物線的焦點為，垂直于直線，垂足為，直線垂直于，分別交軸、軸于點A，．(1)求使為等邊三角形的點的坐標．(2)是否存在點，使平分線段？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．考點7：拋物線中的定直線例7．如圖，過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點在定直線上．【方法技巧】涉及用過定點的直線l解決問題，若直線l不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：；若直線l不垂直于y軸，可設(shè)其方程為：.【變式訓(xùn)練】如圖，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，動點P滿足PAB的垂心為原點O.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時，.(1)求拋物線C的標準方程；(2)求證：點P在定直線上.考點8：拋物線中的向量運算（2019·全國·高考真題（理））已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【方法技巧】軌跡方程+基本不等式法軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法軌跡方程+換元求最值法參數(shù)+基本不等式法【變式訓(xùn)練】1．已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．122．已知拋物線：的焦點為，準線為，為上一點，的延長線交拋物線于點，若，則（

）A．5 B． C．10 D．15考點9：拋物線的應(yīng)用例9．位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為______m．【方法技巧】首先建立直角坐標系，再根據(jù)拋物線所過的點求標準方程，進而得到拋物線的焦點到準線的距離.【變式訓(xùn)練】1．拋物線有如下的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線C：的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點Q反射后射出，則（

）A． B．13 C． D．142．一輛卡車要通過跨度為8米、拱高為4米的拋物線形隧道，為了保證安全，車頂上方與拋物線的鉛垂距離至少0.5米．隧道有兩條車道，車輛在其中一條車道行駛，卡車寬為2.2米，車廂視為長方體，則卡車的限高為_____米（精確到0.01米）.3．已知拋物線的準線交軸于點，過點作斜率為的直線交于兩點，且，則直線的斜率是__________.重難點專題03：直線與拋物線的位置關(guān)系備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的焦點弦；拋物線的中點弦；拋物線中的參數(shù)范圍與最值；拋物線的定點、定值問題；拋物線中的定直線；拋物線中的向量運算；拋物線的應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納一、焦點弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點弦，,，焦點(1)若AB是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，，則：，。(2)若AB是拋物線的焦點弦，且直線AB的傾斜角為α，則（α≠0）。(3)已知直線AB是過拋物線焦點F,(4)焦點弦中通徑最短長為2p。通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑．(5)兩個相切：eq\o\ac(○,1)以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切.eq\o\ac(○,2)過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。二、切線方程圖象xxyOlFxyxyOlFllFxyOxxyOlF切線方程三．直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，，消y得：（1）當(dāng)k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當(dāng)k≠0時，Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個不同交點；Δ=0，直線與拋物線相切，一個切點；Δ＜0，直線與拋物線相離，無公共點。若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）四、相交弦AB的弦長或五．點差法：設(shè)交點坐標為，，代入拋物線方程，得將兩式相減，可得，在涉及斜率問題時，在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段的中點為，，即，同理，對于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點，點是弦的中點，則有考點講解考點講解考點講解考點講解考點講解考點講解考點1：直線與拋物線的位置關(guān)系例1．過點與拋物線只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條【答案】C【詳解】由已知，可得①當(dāng)直線過點且與軸平行時，方程為，與拋物線只有一個公共點；②當(dāng)直線斜率不存在時，方程為，與拋物線只有一個公共點；③當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由可得，，，解得，故直線方程.所以存在3條直線，，滿足過點與拋物線只有一個公共點.故選：C.【方法技巧】由已知，根據(jù)題意，過點分別從與軸平行，直線斜率不存在，直線斜率存在三種情況分別求解出滿足題意的直線，然后即可做出判斷.【變式訓(xùn)練】1（多選）．泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點，直線l：，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則（

）A．點P的軌跡是一條線段B．點P的軌跡與直線：是沒有交匯的軌跡（即兩個軌跡沒有交點）C．不是“最遠距離直線”D．是“最遠距離直線”【答案】BCD【分析】根據(jù)題意可以判斷點P的軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，然后求出其方程判斷AB，進而根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系判斷CD.【詳解】由點P到點M的距離比到直線l的距離小1，可得點P到點M的距離等于到直線：的距離，故點P的軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，其方程是，故A錯誤．由上述可知點P的軌跡與直線沒有交點，即兩者是沒有交匯的軌跡，故B正確．易知“最遠距離直線”與拋物線有交點，把代入拋物線方程，消去y并整理得．因為，方程無解，所以不是“最遠距離直線”，故C正確．把代入拋物線方程，消去y并整理得．因為，方程有解，所以是“最遠距離直線”，故D正確．故選：BCD．2．設(shè)過拋物線焦點F的弦為PQ，則以PQ為直徑的圓與拋物線的準線的位置關(guān)系是______．【答案】相切【分析】通過比較圓心到準線的距離與圓的半徑的大小判斷以PQ為直徑的圓與拋物線的準線的位置關(guān)系.【詳解】過點作垂直與準線，垂足為，過點作垂直與準線，垂足為，設(shè)的中點為，點作垂直與準線，垂足為，所以，由拋物線定義可得，，所以，又，所以，即圓心到準線的距離為圓的半徑，所以以PQ為直徑的圓與拋物線的準線相切.故答案為：相切.4．已知拋物線，，是C上兩個不同的點．(1)求證：直線與C相切；(2)若O為坐標原點，，點滿足均與C相切，求的值．（1）證明：聯(lián)立得，因為在C上，則，所以因此直線與C相切．（2）解：由（1）知，切線的方程為，切線的方程為聯(lián)立，得：，因為，所以．又因為，所以，解得：，所以．考點2：拋物線的弦長例2．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點，則（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：由題意可知，所以直線與的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，設(shè)則，所以.故選：D.【方法技巧】由題意可得直線與的方程為，代入拋物線方程得，根據(jù)韋達定理與焦半徑的公式即可求出的值.【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，若，則(為坐標原點)的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由題可得，利用拋物線的定義可得，利用三角形的面積公式結(jié)合條件即得，【詳解】由題可得，因為，所以，，所以為坐標原點)的面積是.故選：A.3．已知拋物線，過的焦點且斜率為的直線交于兩點，若，則__________.【答案】4【分析】根據(jù)題意，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合拋物線的定義和，得出關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】由題意，拋物線，可得，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，因為且，所以，即，所以，可得，因為，所以.故答案為：.3．設(shè)拋物線C：的焦點為F，過F且斜率為k（k>0）的直線l與C交于A，B兩點，．(1)求直線l的方程；(2)求過點A，B且與拋物線C的準線相切的圓的方程．解：（1）由題意得，直線的方程為，設(shè)，由，得，，，所以，因為，所以，解得（舍去），或，所以直線l的方程為，（2）由（1）得的中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，即，設(shè)所求圓的圓心坐標為，則由題意得，解得，或，當(dāng)時，圓的圓心為，半徑為4，當(dāng)時，圓的圓心為，半徑為12，所以所求圓的方程為或.考點3：拋物線的焦點弦例3．設(shè)F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【詳解】依題意可知拋物線焦點為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為．故選：B．【方法技巧】由題意得出焦點坐標，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點的弦長公式可得出答案.【變式訓(xùn)練】1．已知點是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線相交于兩點，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】設(shè)直線的傾斜角為，用表示出，再應(yīng)用基本不等式求目標式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】拋物線，焦點，設(shè)直線的傾斜角為，得：，則，.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D2．拋物線的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關(guān)系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．無法確定【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義可得焦點弦，，聯(lián)立過焦點的直線方程和拋物線方程，根據(jù)韋達定理即可求解.【詳解】拋物線的焦點，準線x＝－1，設(shè)，把它代入得，設(shè)，，則，由拋物線定義可得，，∴，，∴m＋n＝mn．故選:A3．已知直線與拋物線交于A、兩點，為拋物線的準線上一點，且，過且垂直軸的直線交拋物線于點，交直線于點，若，則__________．【答案】【分析】設(shè)，，，聯(lián)立l和拋物線方程，根據(jù)韋達定理得、、、的值，根據(jù)拋物線焦點弦長公式求出k，由可求，從而可求M和N的縱坐標，由此可求．【詳解】設(shè)，，，由得：，∵，，，∴，，，，，，則取時，，，，，，，，即，即，即故，將x＝2代入l方程得，將代入拋物線方程得，故，根據(jù)拋物線的對稱性可知，當(dāng)k＝－1時，．綜上，．故答案為：24．已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．【答案】【分析】分別過點作準線的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，設(shè)，進而結(jié)合拋物線的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：如圖，分別過點作準線的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，設(shè)，易得，則，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，，解得，故．故答案為：考點4：拋物線的中點弦例4．已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點，若弦的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．3 C． D．－3【答案】C【詳解】解：設(shè)，，則，所以，整理得．因為弦的中點為，所以，即直線的斜率為．故選：C【方法技巧】利用點差法計算可得；【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的方程是，直線交拋物線于兩點，若弦的中點為，則直線的方程為______．【答案】【分析】設(shè)，，利用點差法可求得直線斜率，由此可得直線方程.【詳解】設(shè)，，弦中點為，，，由得：，，即直線的斜率，，即.故答案為：.2．若直線l經(jīng)過拋物線的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為3，則線段AB的長為______.【答案】8【分析】求出焦點坐標，設(shè)出直線方程為，并設(shè)，直線方程代入拋物線方程，由韋達定理得，由中點縱坐標求得值，由弦長公式得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，則其斜率存在，設(shè)的方程為，，則由得，，，又，所以，即，，所以．故答案為：8．3．已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上．(1)求點F的坐標和拋物線C的準線方程；(2)過點F的直線l交拋物線C于A、B兩點，且線段AB的中點為，求直線l的方程及．【分析】（1）將點代入拋物線方程，可得方程解析式，根據(jù)拋物線性質(zhì)，可得答案；（2）利用點差法，求得直線的斜率，代入中點，解得答案.（1）將點代入拋物線C，得，∴∴，∴，準線方程為；（2）設(shè)，，∴，∴∴直線l的斜率為∴直線l的方程：，∴，考點5：拋物線中的參數(shù)范圍與最值例5．已知圓，若拋物線上存在點，過點作圓的兩條切線，切點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，設(shè)點，則即有非負實根解得故選：A【方法技巧】根據(jù)題意可以求出，再利用兩點間的距離公式表示出，整理得到關(guān)于的一個一元二次方程，利用根的判別式列出關(guān)于的不等式，解不等式即可【變式訓(xùn)練】1．拋物線上的點到直線的距離最小值是________.【答案】【分析】設(shè)出拋物線上動點的坐標為，利用點到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線一點為，該點到直線的距離為，當(dāng)，即時，取得最小值為，故答案為：.2．過拋物線焦點F作斜率分別為、的兩條直線、，其中交拋物線C于A、B兩點，交拋物線C于D、E兩點，若，則的最小值為______．【答案】24【分析】先表達出焦點弦長的和，再利用基本不等式進行求解.【詳解】由題意得：，則直線為：，與聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，則，同理可求得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故答案為：243．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且點的坐標為，則的最大值是_______.【答案】3【分析】由拋物線的定義將原式轉(zhuǎn)化后求解即可.【詳解】，由拋物線的定義知等于到準線的距離，記直線與準線的夾角為，可得，①若斜率不存在，則原式，②若斜率存在，當(dāng)PA與拋物線相切時，最小，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立得，由得，即，故，此時故答案為：34．已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義與方程求解；（2）利用向量處理，結(jié)合韋達定理代換整理，注意討論直線l斜率是否存在．（1）因為拋物線的準線是，所以拋物線的焦點坐標，所以；（2）因為點M是拋物線的準線上的動點，設(shè)．（?。┤糁本€l的斜率不存在，則．由得，因為，所以，即，所以，因為，所以；因為，所以，即，所以，所以因為，所以①．（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則．設(shè)．由得，所以，且，所以（*），因為，所以，即，所以，所以，得，因為，所以，即，所以，所以則所以，得，所以②，代入（*）得，，所以③，由②得，所以④，所以，所以，⑤由④，⑤知，綜合（?。áⅲ┲本€l在x軸上截距b的取值范圍是．考點6：拋物線的定點、定值問題例6．如圖，已知拋物線的焦點為F，點為坐標原點，一條直線過定點與拋物線相交于A，B兩點，且.(1)求拋物線方程；(2)連接AF，BF并延長交拋物線于C，D兩點，求證：直線CD過定點（1）解：設(shè)直線的方程為，直線與拋物線的交點分別為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，因為，可得，即，所以，即，即，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：設(shè)點的縱坐標分別為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，同理可得：，由（1）知，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則有，解得，即直線的方程為，所以直線恒過點.【方法技巧】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，同理得到，由（1）求得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得的值，即可求解.【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于兩點，點，若直線的斜率分別為，則______．【答案】【詳解】由拋物線方程知：，則可設(shè)，，，由得：，；.故答案為：.2．如圖，為拋物線上的一點，拋物線的焦點為，垂直于直線，垂足為，直線垂直于，分別交軸、軸于點A，．(1)求使為等邊三角形的點的坐標．(2)是否存在點，使平分線段？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意可知,設(shè)點的坐標為，滿足,則點的坐標為，．由拋物線的定義知．因為，且為等邊三角形，所以，又，所以，，所以點的坐標為．（2）假設(shè)存在點，使，連接，則點A的坐標為，點的坐標為，．又，所以，即，又，所以，．所以存在滿足條件的點，且點的坐標為．考點7：拋物線中的定直線例7．如圖，過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點在定直線上．解：（1）拋物線的焦點，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，由消去x并整理得，，設(shè)點，，則，，矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直線MN的方程為：，直線CD的方程為：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直線MN與直線CD交點在直線上.所以線MN與直線CD交點在定直線上.【方法技巧】涉及用過定點的直線l解決問題，若直線l不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：；若直線l不垂直于y軸，可設(shè)其方程為：.【變式訓(xùn)練】如圖，已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，動點P滿足PAB的垂心為原點O.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時，.(1)求拋物線C的標準方程；(2)求證：點P在定直線上.解：(1)設(shè)直線l的方程為，，.由得.所以，.由拋物線定義，得.當(dāng)直線l的傾斜角為30°時，，.所以，即拋物線C的標準方程為.(2)由（1），得，.因為的垂心為原點O，所以，.因為，所以.所以直線AP的方程為，即.同理可得，直線BP的方程為.聯(lián)立方程解得即.所以點P在定直線上.考點8：拋物線中的向量運算（2019·全國·高考真題（理））已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：

聯(lián)立得：則

，解得：直線的方程為：，即：（2）設(shè)，則可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：則

，

，

則【方法技巧】軌跡方程+基本不等式法軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法軌跡方程+換元求最值法參數(shù)+基本不等式法【變式訓(xùn)練】1．已知的三個頂點都