高二數學考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(原卷版+解析)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：兩點間的距離；點到直線的距離；點到平面的距離；直線到平面的距離；平面到平面的距離；異面直線的距離；線線夾角；線面夾角；面面夾角課堂知識小結考點鞏固提升一、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即⑶直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即二．利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.OAOABOABl求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；考點講解如果是鈍角，則，即.考點講解考點1：兩點之間的距離例1．已知直三棱柱中，，為中點，為中點，求【方法技巧】本題考查空間線段長度計算，建立空間直角坐標系，將長度計算轉化為坐標計算，難度較易.已知，所以.【變式訓練】【變式】．已知正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標系，（1）求正方體各頂點的坐標；（2）求A1C的長度．考點2：點到直線的距離例2.（2022遼寧省大連市三模）如圖，在正三棱柱中，若，，則點到直線的距離為___________.【方法技巧】若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為【變式訓練】【變式】．設為矩形所在平面外的一點，直線平面，，，.求點到直線的距離.考點3：點到平面的距離例3：（2022·河南鄭州·二模（理））如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為（

）A． B． C． D．【方法技巧】若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即【變式訓練】【變式】．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中.求點到平面的距離.考點4：直線到平面的距離例4：正三棱柱的所有棱長都為2.則到平面的距離是（

）A． B． C． D．【方法技巧】當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即【變式訓練】【變式】．如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.考點5：兩個平面之間的距離例5：在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，求平面與平面之間的距離．【方法技巧】利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即【變式訓練】【變式】在正方體中，M，N，E，F分別為，，，的中點，棱長為4，求平面MNA與平面EFBD之間的距離．考點6：兩條一面直線之間的距離例6.正方體的棱長為1，求異面直線與間的距離.【方法技巧】設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即【變式訓練】（2007·重慶·高考真題（理））如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．（1）求異面直線DE與的距離；考點7：異面直線的夾角例7：（2018·全國·高考真題（理））在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【方法技巧】已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則【變式訓練】【變式1】（2022·福建龍巖·模擬預測）已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】．（2022·山西晉城·三模（文））在正方體中，點P是底面的中心，則直線與所成角的余弦值為___________.考點8：直線和平面的夾角例8：（2022·全國·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【方法技巧】求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：【變式訓練】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．考點9：平面與平面的夾角例9：（2022·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．.【方法技巧】求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.【變式訓練】（2022·全國·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．知識小結知識小結距離問題考的不多，要求掌握。重點掌握⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.如圖：求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．正方體中棱長為a，若，N是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．2．在正方體中O為面的中心，為面的中心.若E為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的銳二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°4．已知在直三棱柱中，，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為（

）A． B． C． D．6．已知平面的法向量為，點在平面內，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．在正方體中，分別是線段的中點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．8．如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知空間中三點，，，則下列結論正確的有（

）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是10．關于正方體，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．若平面與平面的交線為l，則l與所成角為C．棱與平面所成角的正切值為D．若正方體棱長為2，P，Q分別為棱的中點，則經過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形的周長為三、填空題11．正方體的棱長為，則平面與平面的距離為_______.12．在長方體中，，，則點到平面的距離等于_____.四、解答題13．已知三棱錐的三條側棱??兩兩垂直，且，，，求頂點到平面的距離.14．如圖，三棱柱中，點在平面內的射影在上，，.(1)證明:；(2)若，求二面角的余弦值.15．在四棱錐中，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.16．如圖，已知四棱錐平面，(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題備注：資料包含：1.基礎知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：兩點間的距離；點到直線的距離；點到平面的距離；直線到平面的距離；平面到平面的距離；異面直線的距離；線線夾角；線面夾角；面面夾角課堂知識小結考點鞏固提升一、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即⑶直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即二．利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.OAOABOABl求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；考點講解如果是鈍角，則，即.考點講解考點1：兩點之間的距離例1．已知直三棱柱中，，為中點，為中點，求【答案】【分析】根據題意建立空間直角坐標系，利用空間中兩點間的距離公式計算出.【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示：根據條件可知：，所以【方法技巧】本題考查空間線段長度計算，建立空間直角坐標系，將長度計算轉化為坐標計算，難度較易.已知，所以.【變式訓練】【變式】．已知正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標系，（1）求正方體各頂點的坐標；（2）求A1C的長度．【詳解】（1）如圖，∵正方體的棱長為2，∴A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，2，2），D（2，0，2），A1（0，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0），D1（2，0，0）．（2）A1C的長度|A1C|==2．【點睛】本題主要考查了空間點的坐標及兩點間距離公式的求解，屬于基礎題.考點2：點到直線的距離例2.（2022遼寧省大連市三模）如圖，在正三棱柱中，若，，則點到直線的距離為___________.【詳解】設的中點為，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，所以到直線的距離為.故答案為：【方法技巧】若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為【變式訓練】【變式】．設為矩形所在平面外的一點，直線平面，，，.求點到直線的距離.【答案】.【分析】由于在上的射影長為，結合已知條件可求出其值為，然后利用勾股定理可求出點到直線的距離【詳解】解：因為平面，所以，所以，因為四邊形為矩形，所以,所以,因為，，所以在上的射影長為，又，所以點到直線的距離.故答案為：考點3：點到平面的距離例3：（2022·河南鄭州·二模（理））如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E是棱AB的中點，則點E到平面ACD1的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以D為坐標原點，，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標系，則．從而.設平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以點E到平面的距離為．故選：C【方法技巧】若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即【變式訓練】【變式】．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中.求點到平面的距離.【詳解】設為平面的法向量，顯然不垂直與平面ADF,故可設由得,即,所以，所以又,設與的夾角為，則到平面的距離為.考點4：直線到平面的距離例4：正三棱柱的所有棱長都為2.則到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設分別是的中點，連接，根據正三棱柱的幾何性質可知兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，故可設.由于平面平面，所以平面.所以到平面的距離即到平面的距離，即.故選：B【方法技巧】當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即【變式訓練】【變式】．如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.【詳解】（1）證明：以為原點，以，，所在的直線分別為，，軸，如圖建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，，，令，則，，所以，因為平面，所以平面．（2）解：因為平面，所以直線上任一點到平面的距離都相等，，設直線到平面的距離為，則，所以直線到平面的距離為．考點5：兩個平面之間的距離例5：在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，求平面與平面之間的距離．解：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，，則，因為、不在同一條直線上，則，平面，平面，則平面，同理可證平面，，故平面平面，設平面的法向量為，，，由，取，可得，又因為，因此，平面與平面之間的距離為.【方法技巧】利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即【變式訓練】【變式】在正方體中，M，N，E，F分別為，，，的中點，棱長為4，求平面MNA與平面EFBD之間的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設平面的一個法向量是，則，取得，又，，所以平面MNA與平面EFBD之間的距離．考點6：兩條一面直線之間的距離zABCDMNxyzzABCDMNxyzzzz解：如圖建立坐標系，則，設是直線與的公垂線，且則，【方法技巧】設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即【變式訓練】（2007·重慶·高考真題（理））如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．（1）求異面直線DE與的距離；解法一：（Ⅰ）因，且，故面，從而，又，故是異面直線與的公垂線．設的長度為，則四棱椎的體積為．而直三棱柱的體積為．由已知條件，故，解之得．從而．在直角三角形中，，又因，故．解法二：（Ⅰ）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，則，．設，則，又設，則，從而，即．又，所以是異面直線與的公垂線．下面求點的坐標．設，則．因四棱錐的體積為．而直三棱柱的體積為．由已知條件，故，解得，即．從而，，．接下來再求點的坐標．由，有，即（1）又由得．（2）聯立（1），（2），解得，，即，得．故．考點7：異面直線的夾角例7：（2018·全國·高考真題（理））在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.【方法技巧】已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則【變式訓練】【變式1】（2022·福建龍巖·模擬預測）已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取線段的中點，則，設直三棱柱的棱長為，以點為原點，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，所以，，，.所以，.故選：C.【變式2】．（2022·山西晉城·三模（文））在正方體中，點P是底面的中心，則直線與所成角的余弦值為___________.【答案】##【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，設直線與所成角為，則故答案為：考點8：直線和平面的夾角例8：（2022·全國·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．(1)證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；(2)解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.【方法技巧】求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：【變式訓練】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．證明：(1)過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．(2)因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，∴．考點9：平面與平面的夾角例9：（2022·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．解：(1)在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；(2)取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設平面的一個法向量，則，可取，設平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.【方法技巧】求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.【變式訓練】（2022·全國·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．(1)證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點作，如圖建立平面直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；知識小結知識小結距離問題考的不多，要求掌握。重點掌握⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.如圖：求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．正方體中棱長為a，若，N是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標系，分別求出個點的坐標，然后根據模值的坐標計算公式求出.【詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的直角坐標系，，，設，，，即，，則于是，故選：A2．在正方體中O為面的中心，為面的中心.若E為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設正方體的邊長為，建立如圖所示空間直角坐標系，，，設異面直線與所成角為，則.故選：B3．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的銳二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根據空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】，所以兩平面所成的銳二面角的大小為45°．故選：B4．已知在直三棱柱中，，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標法求線面夾角正弦值.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，則，，，所以，，設平面的法向量為，則，取，可得．又，所以與平面所成角的正弦值為，故選：A.5．已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量和直線的方向向量的關系，利用點到直線的距離公式求距離．【詳解】解：點，直線過點，且一個方向向量為，，所以直線的一個單位方向向量，點到直線的距離為．故選：．6．已知平面的法向量為，點在平面內，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據點到平面的距離的向量公式直接計算即可.【詳解】則點到平面的距離為故選：D7．在正方體中，分別是線段的中點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，然后，列出計算公式進行求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.因為，所以，所以，則點到直線的距離故選：A8．如圖，正方體中，，，，當直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用坐標法，利用線面角的向量求法，三角函數的性質及二次函數的性質即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則，所以，，，設平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設直線與平面所成的角為，則，又，∴當時，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.二、多選題9．已知空間中三點，，，則下列結論正確的有（

）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】AD【分析】A選項，數量積為0，則兩向量垂直；B選項，判斷出不是單位向量，且與不共線；C選項，利用向量夾角坐標公式進行求解；D選項，利用數量積為0，證明出，從而得到結論.【詳解】，故，A正確；不是單位向量，且與不共線，B錯誤；，C錯誤；設，則，，所以，又，所以平面的一個法向量是，D正確.故選：AD10．關于正方體，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．若平面與平面的交線為l，則l與所成角為C．棱與平面所成角的正切值為D．若正方體棱長為2，P，Q分別為棱的中點，則經過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形的周長為【答案】ABD【分析】對于A：利用空間向量可得∥，即直線平面；對于B：結合圖形可得交線為l即直線，利用空間向量求異面直線夾角；對于C：，利用空間向量處理線面夾角問題；對于D：通過平行分析可知經過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形．【詳解】如圖1，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則設平面的一個法向量，則有令，則，即∵，則，即∴∥，則直線平面，A正確；結合圖形可知為平面與平面的交點，則交線為l即為直線∴，則∴l(xiāng)與所成角為，B正確；∵，則∴棱與平面所成角的正切值為，C不正確；如圖2，取棱的中點，連接∵分別為的中點，則∥且又∵∥且，則∥且∴為平行四邊形，則∥∵分別為的中點，則∥且∴為平行四邊形，則∥∴∥同理可證：∥∴經過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形∵，則其周長為，D正確；故選：ABD．三、填空題11．正方體的棱長為，則平面與平面的距離為_______.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和向量，結合向量的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，建立如