高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(原卷版+解析)

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：兩點(diǎn)間的距離；點(diǎn)到直線的距離；點(diǎn)到平面的距離；直線到平面的距離；平面到平面的距離；異面直線的距離；線線夾角；線面夾角；面面夾角課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升一、利用法向量求空間距離⑴點(diǎn)Q到直線距離若Q為直線外的一點(diǎn),在直線上，為直線的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線距離為⑵點(diǎn)A到平面的距離若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值.即⑶直線與平面之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即⑸異面直線間的距離設(shè)向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對(duì)值。即二．利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.OAOABOABl求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；考點(diǎn)講解如果是鈍角，則，即.考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：兩點(diǎn)之間的距離例1．已知直三棱柱中，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求【方法技巧】本題考查空間線段長(zhǎng)度計(jì)算，建立空間直角坐標(biāo)系，將長(zhǎng)度計(jì)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計(jì)算，難度較易.已知，所以.【變式訓(xùn)練】【變式】．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求A1C的長(zhǎng)度．考點(diǎn)2：點(diǎn)到直線的距離例2.（2022遼寧省大連市三模）如圖，在正三棱柱中，若，，則點(diǎn)到直線的距離為___________.【方法技巧】若Q為直線外的一點(diǎn),在直線上，為直線的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線距離為【變式訓(xùn)練】【變式】．設(shè)為矩形所在平面外的一點(diǎn)，直線平面，，，.求點(diǎn)到直線的距離.考點(diǎn)3：點(diǎn)到平面的距離例3：（2022·河南鄭州·二模（理））如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（

）A． B． C． D．【方法技巧】若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值.即【變式訓(xùn)練】【變式】．如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截面而得到的，其中.求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)4：直線到平面的距離例4：正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2.則到平面的距離是（

）A． B． C． D．【方法技巧】當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。即【變式訓(xùn)練】【變式】．如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.考點(diǎn)5：兩個(gè)平面之間的距離例5：在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求平面與平面之間的距離．【方法技巧】利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即【變式訓(xùn)練】【變式】在正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別為，，，的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為4，求平面MNA與平面EFBD之間的距離．考點(diǎn)6：兩條一面直線之間的距離例6.正方體的棱長(zhǎng)為1，求異面直線與間的距離.【方法技巧】設(shè)向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對(duì)值。即【變式訓(xùn)練】（2007·重慶·高考真題（理））如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；點(diǎn)D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．（1）求異面直線DE與的距離；考點(diǎn)7：異面直線的夾角例7：（2018·全國(guó)·高考真題（理））在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【方法技巧】已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】．（2022·山西晉城·三模（文））在正方體中，點(diǎn)P是底面的中心，則直線與所成角的余弦值為___________.考點(diǎn)8：直線和平面的夾角例8：（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【方法技巧】求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角

的余角.即有：【變式訓(xùn)練】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．考點(diǎn)9：平面與平面的夾角例9：（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．.【方法技巧】求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.【變式訓(xùn)練】（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)距離問題考的不多，要求掌握。重點(diǎn)掌握⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.如圖：求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．正方體中棱長(zhǎng)為a，若，N是的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．2．在正方體中O為面的中心，為面的中心.若E為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的銳二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°4．已知在直三棱柱中，，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．5．已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．6．已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．在正方體中，分別是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．8．如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是10．關(guān)于正方體，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．若平面與平面的交線為l，則l與所成角為C．棱與平面所成角的正切值為D．若正方體棱長(zhǎng)為2，P，Q分別為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為三、填空題11．正方體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面的距離為_______.12．在長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離等于_____.四、解答題13．已知三棱錐的三條側(cè)棱??兩兩垂直，且，，，求頂點(diǎn)到平面的距離.14．如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，，.(1)證明:；(2)若，求二面角的余弦值.15．在四棱錐中，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.16．如圖，已知四棱錐平面，(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：兩點(diǎn)間的距離；點(diǎn)到直線的距離；點(diǎn)到平面的距離；直線到平面的距離；平面到平面的距離；異面直線的距離；線線夾角；線面夾角；面面夾角課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升一、利用法向量求空間距離⑴點(diǎn)Q到直線距離若Q為直線外的一點(diǎn),在直線上，為直線的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線距離為⑵點(diǎn)A到平面的距離若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值.即⑶直線與平面之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即⑸異面直線間的距離設(shè)向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對(duì)值。即二．利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.OAOABOABl求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；考點(diǎn)講解如果是鈍角，則，即.考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：兩點(diǎn)之間的距離例1．已知直三棱柱中，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求【答案】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：根據(jù)條件可知：，所以【方法技巧】本題考查空間線段長(zhǎng)度計(jì)算，建立空間直角坐標(biāo)系，將長(zhǎng)度計(jì)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計(jì)算，難度較易.已知，所以.【變式訓(xùn)練】【變式】．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求A1C的長(zhǎng)度．【詳解】（1）如圖，∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，2，2），D（2，0，2），A1（0，0，0），B1（0，2，0），C1（2，2，0），D1（2，0，0）．（2）A1C的長(zhǎng)度|A1C|==2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間點(diǎn)的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間距離公式的求解，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)2：點(diǎn)到直線的距離例2.（2022遼寧省大連市三模）如圖，在正三棱柱中，若，，則點(diǎn)到直線的距離為___________.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以到直線的距離為.故答案為：【方法技巧】若Q為直線外的一點(diǎn),在直線上，為直線的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線距離為【變式訓(xùn)練】【變式】．設(shè)為矩形所在平面外的一點(diǎn)，直線平面，，，.求點(diǎn)到直線的距離.【答案】.【分析】由于在上的射影長(zhǎng)為，結(jié)合已知條件可求出其值為，然后利用勾股定理可求出點(diǎn)到直線的距離【詳解】解：因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?所以,因?yàn)椋?，所以在上的射影長(zhǎng)為，又，所以點(diǎn)到直線的距離.故答案為：考點(diǎn)3：點(diǎn)到平面的距離例3：（2022·河南鄭州·二模（理））如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x軸，y輸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則．從而.設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，則，所以點(diǎn)E到平面的距離為．故選：C【方法技巧】若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值.即【變式訓(xùn)練】【變式】．如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截面而得到的，其中.求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】設(shè)為平面的法向量，顯然不垂直與平面ADF,故可設(shè)由得,即,所以，所以又,設(shè)與的夾角為，則到平面的距離為.考點(diǎn)4：直線到平面的距離例4：正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2.則到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)可知兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).由于平面平面，所以平面.所以到平面的距離即到平面的距離，即.故選：B【方法技巧】當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。即【變式訓(xùn)練】【變式】．如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，，，令，則，，所以，因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：因?yàn)槠矫?，所以直線上任一點(diǎn)到平面的距離都相等，，設(shè)直線到平面的距離為，則，所以直線到平面的距離為．考點(diǎn)5：兩個(gè)平面之間的距離例5：在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求平面與平面之間的距離．解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，則，因?yàn)?、不在同一條直線上，則，平面，平面，則平面，同理可證平面，，故平面平面，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，又因?yàn)椋虼?，平面與平面之間的距離為.【方法技巧】利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即【變式訓(xùn)練】【變式】在正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別為，，，的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為4，求平面MNA與平面EFBD之間的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，又，，所以平面MNA與平面EFBD之間的距離．考點(diǎn)6：兩條一面直線之間的距離zABCDMNxyzzABCDMNxyzzzz解：如圖建立坐標(biāo)系，則，設(shè)是直線與的公垂線，且則，【方法技巧】設(shè)向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對(duì)值。即【變式訓(xùn)練】（2007·重慶·高考真題（理））如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；點(diǎn)D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．（1）求異面直線DE與的距離；解法一：（Ⅰ）因，且，故面，從而，又，故是異面直線與的公垂線．設(shè)的長(zhǎng)度為，則四棱椎的體積為．而直三棱柱的體積為．由已知條件，故，解之得．從而．在直角三角形中，，又因，故．解法二：（Ⅰ）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，．設(shè)，則，又設(shè)，則，從而，即．又，所以是異面直線與的公垂線．下面求點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)，則．因四棱錐的體積為．而直三棱柱的體積為．由已知條件，故，解得，即．從而，，．接下來再求點(diǎn)的坐標(biāo)．由，有，即（1）又由得．（2）聯(lián)立（1），（2），解得，，即，得．故．考點(diǎn)7：異面直線的夾角例7：（2018·全國(guó)·高考真題（理））在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.【方法技巧】已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，.所以，.故選：C.【變式2】．（2022·山西晉城·三模（文））在正方體中，點(diǎn)P是底面的中心，則直線與所成角的余弦值為___________.【答案】##【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，，設(shè)直線與所成角為，則故答案為：考點(diǎn)8：直線和平面的夾角例8：（2022·全國(guó)·高考真題（理））在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．(1)證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以?2)解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.【方法技巧】求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角

的余角.即有：【變式訓(xùn)練】（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．證明：(1)過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．(2)因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．考點(diǎn)9：平面與平面的夾角例9：（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．解：(1)在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；(2)取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.【方法技巧】求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.【變式訓(xùn)練】（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．(1)證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)距離問題考的不多，要求掌握。重點(diǎn)掌握⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角

的余角.即有：⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.如圖：求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即；如果是鈍角，則，即.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．正方體中棱長(zhǎng)為a，若，N是的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標(biāo)系，分別求出個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)模值的坐標(biāo)計(jì)算公式求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，即，，則于是，故選：A2．在正方體中O為面的中心，為面的中心.若E為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：B3．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的銳二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以兩平面所成的銳二面角的大小為45°．故選：B4．已知在直三棱柱中，，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角正弦值.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得．又，所以與平面所成角的正弦值為，故選：A.5．已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量和直線的方向向量的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式求距離．【詳解】解：點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，，所以直線的一個(gè)單位方向向量，點(diǎn)到直線的距離為．故選：．6．已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的向量公式直接計(jì)算即可.【詳解】則點(diǎn)到平面的距離為故選：D7．在正方體中，分別是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，然后，列出計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以，則點(diǎn)到直線的距離故選：A8．如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，數(shù)量積為0，則兩向量垂直；B選項(xiàng)，判斷出不是單位向量，且與不共線；C選項(xiàng)，利用向量夾角坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0，證明出，從而得到結(jié)論.【詳解】，故，A正確；不是單位向量，且與不共線，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，，所以，又，所以平面的一個(gè)法向量是，D正確.故選：AD10．關(guān)于正方體，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．若平面與平面的交線為l，則l與所成角為C．棱與平面所成角的正切值為D．若正方體棱長(zhǎng)為2，P，Q分別為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形的周長(zhǎng)為【答案】ABD【分析】對(duì)于A：利用空間向量可得∥，即直線平面；對(duì)于B：結(jié)合圖形可得交線為l即直線，利用空間向量求異面直線夾角；對(duì)于C：，利用空間向量處理線面夾角問題；對(duì)于D：通過平行分析可知經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形．【詳解】如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有令，則，即∵，則，即∴∥，則直線平面，A正確；結(jié)合圖形可知為平面與平面的交點(diǎn)，則交線為l即為直線∴，則∴l(xiāng)與所成角為，B正確；∵，則∴棱與平面所成角的正切值為，C不正確；如圖2，取棱的中點(diǎn)，連接∵分別為的中點(diǎn)，則∥且又∵∥且，則∥且∴為平行四邊形，則∥∵分別為的中點(diǎn)，則∥且∴為平行四邊形，則∥∴∥同理可證：∥∴經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形∵，則其周長(zhǎng)為，D正確；故選：ABD．三、填空題11．正方體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面的距離為_______.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和向量，結(jié)合向量的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，建立如