高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(原卷版+解析)

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：拋物線定義辨析；求拋物線的軌跡；拋物線求焦點(diǎn)或方程；拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與最值；拋物線的焦半徑公式；拋物線的實(shí)際應(yīng)用；拋物線方程求參數(shù)。課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離}（一動(dòng)三定）（注：定點(diǎn)F不在定直線上，否則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F垂直于直線的一條直線）（一焦一頂一軸一準(zhǔn)無心，也叫無心圓錐曲線）；是焦點(diǎn)F到的距離，越大開口越大，反之越小。二．拋物線的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：拋物線定義辨析例1．在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確【方法技巧】根據(jù)題意，分定點(diǎn)不在定直線上和定點(diǎn)在定直線上，兩種情況分類討論，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【變式訓(xùn)練】1．拋物線W：的焦點(diǎn)為F.對于W上一點(diǎn)P，若P到直線的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．43．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點(diǎn)，且若，則（

）A．2 B． C． D．4考點(diǎn)2：求拋物線的軌跡例2．若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)P的軌跡是______．【方法技巧】根據(jù)軌跡方程所代表的意義判斷點(diǎn)的軌跡滿足曲線的定義.【變式訓(xùn)練】1．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．2．已知?jiǎng)訄AM與直線相切，且與定圓C：外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_______.3．若拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．4．已知拋物線上的兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和為5，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則＝______．考點(diǎn)3：拋物線求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線例3．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A．1B．2C．4D．6【方法技巧】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義，可列方程，得到答案.【變式訓(xùn)練】1．與拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．2．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為___________.3．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則___________.考點(diǎn)4：拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與最值例4．若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．【方法技巧】確定拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義即可求得答案.【變式訓(xùn)練】1．拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為___________.2．已知點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)，則的最小值為______．3．設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．4．已知拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為______，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．考點(diǎn)5：拋物線的焦半徑公式例5．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則______．【方法技巧】由拋物線方程求得其準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義列出關(guān)于的方程求解．【變式訓(xùn)練】1．若是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則______．2．拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______．3．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于5，則拋物線方程為______，m＝______．考點(diǎn)6：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例6．一拋物線狀的拱橋，當(dāng)橋頂離水面1時(shí)，水面寬4，若水面下降3，則水面寬為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【方法技巧】根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出拋物線的方程，代點(diǎn)計(jì)算即可求解.【變式訓(xùn)練】1．蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知，，點(diǎn)到直線的距離為，則此拋物線頂端到的距離為（

）A． B． C． D．2．北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．如圖，航天器按順時(shí)針方向運(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．已知觀測點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點(diǎn)B與觀測點(diǎn)A之間的距離為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1考點(diǎn)7：拋物線方程求參數(shù)例7．已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則（

）A． B． C． D．【方法技巧】利用拋物線定義結(jié)合已知條件列出方程組，求解方程組作答.【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上的點(diǎn)之間距離的最小值為4，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．22．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，則______．知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離}（一動(dòng)三定）（注：定點(diǎn)F不在定直線上，否則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F垂直于直線的一條直線）（一焦一頂一軸一準(zhǔn)無心，也叫無心圓錐曲線）；是焦點(diǎn)F到的距離，越大開口越大，反之越小。二．拋物線的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程鞏固提升鞏固提升一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B．2 C．3 D．14．圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，直線過與拋物線的焦點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線平行，則（

）A． B． C．4 D．6．已知點(diǎn)在拋物線上，若以點(diǎn)為圓心半徑為5的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且與軸相交的弦長為6，則（

）A．2 B．8 C．2或8 D．67．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．88．已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列圓錐曲線中，焦點(diǎn)在x軸上的是（

）A． B． C． D．10．已知曲線，則下列說法正確的是（

）．A．若，，則曲線是橢圓B．若，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．若，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D．曲線可以是拋物線三、填空題11．已知點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為3，則____________．12．已知拋物線：，的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．13．從拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為___________.14．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與其平行線的距離為，則拋物線的方程為______．四、解答題15．已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸上，且C經(jīng)過點(diǎn)，過F且斜率為的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，．(1)求C和的方程；(2)求過點(diǎn)M，N且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．16．已知拋物線（）的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求線段的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識(shí)歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：拋物線定義辨析；求拋物線的軌跡；拋物線求焦點(diǎn)或方程；拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與最值；拋物線的焦半徑公式；拋物線的實(shí)際應(yīng)用；拋物線方程求參數(shù)。課堂知識(shí)小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識(shí)歸納拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離}（一動(dòng)三定）（注：定點(diǎn)F不在定直線上，否則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F垂直于直線的一條直線）（一焦一頂一軸一準(zhǔn)無心，也叫無心圓錐曲線）；是焦點(diǎn)F到的距離，越大開口越大，反之越小。二．拋物線的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：拋物線定義辨析例1．在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確【答案】C【詳解】由題意，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，可得該動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線距離相等，當(dāng)定點(diǎn)不在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線；當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是經(jīng)過該定點(diǎn)且垂直于定直線的直線；故選C．【方法技巧】根據(jù)題意，分定點(diǎn)不在定直線上和定點(diǎn)在定直線上，兩種情況分類討論，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【變式訓(xùn)練】1．拋物線W：的焦點(diǎn)為F.對于W上一點(diǎn)P，若P到直線的距離是P到點(diǎn)F距離的2倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】設(shè)出P的橫坐標(biāo)為，利用條件列出方程，去掉不合題意的解，求出.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，由拋物線的定義可知：則，解得：或（舍去），從而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1故選：A2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】畫出圖像，利用拋物線的定義求解即可.【詳解】由題知，準(zhǔn)線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，解法1：因?yàn)檩S，所以直線斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，則.解法3：過作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，則.故選：D.3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點(diǎn)，且若，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合圖象求得.【詳解】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)H，則，，所以.故選：D考點(diǎn)2：求拋物線的軌跡例2．若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)P的軌跡是______．【答案】拋物線【詳解】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離.整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，其軌跡為拋物線.故答案為：拋物線【方法技巧】根據(jù)軌跡方程所代表的意義判斷點(diǎn)的軌跡滿足曲線的定義.【變式訓(xùn)練】1．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】由拋物線的定義可知，，所以．故選：C.2．已知?jiǎng)訄AM與直線相切，且與定圓C：外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_______.【答案】【分析】根據(jù)動(dòng)圓與直線相切，且與定圓C：外切，可得動(dòng)點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】解：方法一：由題意知，設(shè)，則，，解得.方法二：由題意知，動(dòng)點(diǎn)M到的距離比到的距離多1，則動(dòng)點(diǎn)M到的距離與到的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)，設(shè)拋物線為，，，故.故答案為：.3．若拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由于拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程為，所以拋物線開口向右，，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：4．已知拋物線上的兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和為5，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則＝______．【答案】1【分析】設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線定義可得，再結(jié)合線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，可得，即可得答案.【詳解】解：設(shè)，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，解得.故答案為：1.考點(diǎn)3：拋物線求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線例3．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A．1B．2C．4D．6【答案】C【詳解】由，可得其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，解得，故選：C.【方法技巧】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義，可列方程，得到答案.【變式訓(xùn)練】1．與拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【分析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為，只需求出關(guān)于直線對稱的點(diǎn)即可.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則有，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為.故答案為：.2．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】如圖，設(shè)，又，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可得，由代入即可得解.【詳解】設(shè)，又，由，得，所以，所以.如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn).由拋物線定義，可得，所以，故，解得.故答案為：3．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則___________.【答案】4【分析】根據(jù)直線與圓相切圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，拋物線的準(zhǔn)線為，所以，解得.故答案為：4考點(diǎn)4：拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與最值例4．若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．【答案】5【詳解】由題意，知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故的長度等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，所以,故答案為：5【方法技巧】確定拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義即可求得答案.【變式訓(xùn)練】1．拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)（），則，將代入化簡可求出其最小值【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)取得最小值4，故答案為：42．已知點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】分析可知，利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.3．設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．【答案】##【分析】當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到直線的距離之和最小，由兩點(diǎn)間的距離公式可得M，當(dāng)P、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，由點(diǎn)到直線距離公式可得.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，即．如圖所示，過點(diǎn)作直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即，因此．故答案為：4．已知拋物線的焦點(diǎn)是，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為______，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】

##3.5

【分析】先判斷出點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，再根據(jù)拋物線的定義以及點(diǎn)到直線的距離最短即可解出．【詳解】易知點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則的方程為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)，即，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入，得，所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：；．考點(diǎn)5：拋物線的焦半徑公式例5．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，則______．【答案】2【詳解】由拋物線C：可得p＝1，，準(zhǔn)線方程．因?yàn)槭荂上一點(diǎn)，，，所以，解得．故答案為：2.【方法技巧】由拋物線方程求得其準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義列出關(guān)于的方程求解．【變式訓(xùn)練】1．若是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則______．【答案】【分析】首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)的坐標(biāo)，利用銳角三角函數(shù)求出，再根據(jù)拋物線的定義計(jì)算可得.【詳解】解：由拋物線的方程，可得準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)的坐標(biāo)，且，又，，整理得，解得或（舍去），所以由拋物線的定義可得．故答案為：2．拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是______．【答案】8【分析】根據(jù)焦半徑公式求.【詳解】由條件可知，，所以，解得：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故答案為：3．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于5，則拋物線方程為______，m＝______．【答案】

【分析】由題意可知拋物線的開口向左,設(shè)拋物線的方程為,由點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于5，結(jié)合拋物線定義可求得，即可求得拋物線的方程；再將代入拋物線方程，即可求得的值.【詳解】解：由題意可知拋物線的開口向左，所以設(shè)拋物線的方程為，則，又因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于5，所以，解得，所以拋物線的方程為，將代入拋物線方程得：，解得.故答案為：；.考點(diǎn)6：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例6．一拋物線狀的拱橋，當(dāng)橋頂離水面1時(shí)，水面寬4，若水面下降3，則水面寬為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)橋頂離水面1時(shí)，水面與拋物線交于、兩點(diǎn)，易知，當(dāng)水面下降3時(shí)，水面與拋物線交于、兩點(diǎn)，設(shè)且.設(shè)拋物線方程為，將代入計(jì)算，易得，故拋物線方程為，代入，得，解得，故水面下降3，則水面寬為8.故選：C.【方法技巧】根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出拋物線的方程，代點(diǎn)計(jì)算即可求解.【變式訓(xùn)練】1．蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門”的示意圖，已知，，點(diǎn)到直線的距離為，則此拋物線頂端到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求拋物線方程，即可求解到的距離.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由題意設(shè)，，，則，解得，所以此拋物線頂端到的距離為．故選:B．2．北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪某學(xué)校科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．如圖，航天器按順時(shí)針方向運(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．已知觀測點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點(diǎn)B與觀測點(diǎn)A之間的距離為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)所在的拋物線方程為，代入點(diǎn)，求方程為，令，解得，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)所在的拋物線方程為，又由拋物線與橢圓的交點(diǎn)，代入拋物線方程得，解得，即拋物線的方程為，令，可得，解得或（舍去），所以，即航天器降落點(diǎn)B與觀測點(diǎn)A之間的距離為.故選：A.考點(diǎn)7：拋物線方程求參數(shù)例7．已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由點(diǎn)到的距離為得：，即，由點(diǎn)在拋物線上得：，因此有，整理得，而，解得，所以.故選：C【方法技巧】利用拋物線定義結(jié)合已知條件列出方程組，求解方程組作答.【變式訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上的點(diǎn)之間距離的最小值為4，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由拋物線方程得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何關(guān)系求解【詳解】由題意知，點(diǎn)與圓上的點(diǎn)之間的最小距離為，所以．故選：D2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，則______．【答案】【分析】設(shè)拋物線方程，可知；由拋物線焦半徑公式可構(gòu)造方程求得，將代入拋物線方程即可求得的值.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，是拋物線上一點(diǎn)，；由拋物線焦半徑公式知：，解得：，拋物線方程為：，，解得：.故答案為：.知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié)拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離}（一動(dòng)三定）（注：定點(diǎn)F不在定直線上，否則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F垂直于直線的一條直線）（一焦一頂一軸一準(zhǔn)無心，也叫無心圓錐曲線）；是焦點(diǎn)F到的距離，越大開口越大，反之越小。二．拋物線的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程鞏固提升鞏固提升一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可解出．【詳解】可化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C3．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】由拋物線得焦點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離.故選：D.4．圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用圓心在拋物線上設(shè)出圓心和半徑，再利用直線和圓相切求出圓心坐標(biāo)和半徑即可.【詳解】由題意設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，其中，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，且該圓與拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切，所以，解得，所以該圓的方程為，即.故選：D.5．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，直線過與拋物線的焦點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線平行，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)直線的斜率列方程，求得，從而求得.【詳解】已知雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn).因?yàn)橹本€過與拋物線的焦點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線平行，所以，又，解得：，所以.故選：C6．已知點(diǎn)在拋物線上，若以點(diǎn)為圓心半徑為5的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且與軸相交的弦長為6，則（

）A．2 B．8 C．2或8 D．6【答案】C【分析】設(shè)，依題意可得，消元解得即可.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，又拋物線的準(zhǔn)線為，以點(diǎn)為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，所以，圓與軸相交的弦長為6，所以，所以，解得或.故選：C.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，所以．故選：C．8．已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入面積公式求解即可．【詳解】已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，又，故，故，，故選：C二、多選題9．下列圓錐曲線中，焦點(diǎn)在x軸上的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得其焦點(diǎn)的位置判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：對于A，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故A正確；對于B，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故B不正確；對于C，表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，故C正確；對于D，表示焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，故D不正確；故選：AC．10．已知曲線，則下列說法正確的是（

）．A．若，，則曲線是橢圓B．若，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．若，則曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D．曲線可以是拋物線【答案】BC【解析】多項(xiàng)選擇題要對選項(xiàng)一一驗(yàn)證：對于A．B．橢圓根據(jù)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程驗(yàn)證；對于C．根據(jù)雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程驗(yàn)證；對于D．根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程驗(yàn)證．【詳解】對于A．若，且，則曲線是橢圓；若，則是圓．故A錯(cuò)誤；對于B．在時(shí)可化為，∵∴，所以曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓．故B正確；對于C．可化為，∵，∴，∴曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；對于D.曲線都不能化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，所以曲線不能是拋物線．【點(diǎn)睛】多項(xiàng)選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項(xiàng)一一驗(yàn)證．三、填空題11．已知點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為3，則____________．【答案】2【分析】由拋物