高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專題45弧度制(原卷版+解析)

專題45弧度制1．度量角的兩種單位制角度制定義用度作為單位來(lái)度量角的單位制1度的角1度的角等于周角的eq\f(1,360)，記作1°弧度制定義以弧度為單位來(lái)度量角的單位制1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad(rad可省略不寫)在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為αrad，那么|α|＝eq\f(l,r).一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.2．弧度數(shù)的計(jì)算3．角度制與弧度制的換算4．一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π5.扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：l＝αR;(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).題型一角度與弧度的互化與應(yīng)用1．將下列角度化為弧度(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°；(8)2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1500°；(12)67°30′；(13)2145°2．將下列弧度化為角度(1)－eq\f(5π,12)rad；(2)－eq\f(11π,5)rad；(3)eq\f(7π,5)rad；(4)eq\f(7π,12)；(5)－eq\f(11π,5)；(6)－eq\f(10π,3)；(7)eq\f(23π,6)；(8)－eq\f(13π,6)；(9)eq\f(8π,5)3．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3)radB．－eq\f(10,3)πrad化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πradD.eq\f(π,12)rad化成度是15°4．已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，試比較α，β，γ，θ，φ的大?。}型二用弧度數(shù)表示角1．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)2．下列敘述中正確的是()A．1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B．1弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角一樣大3．下列說(shuō)法正確的是()A．在弧度制下，角的集合與正實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系B．每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)C．用角度制和弧度制度量任一角，單位不同，數(shù)量也不同D．－120°的弧度數(shù)是eq\f(2π,3)4．時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π5．自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5) C.eq\f(5π,22) D.eq\f(22π,5)6．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，則A∩B＝________________.7．將－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．8．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)9．用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))10．與30°角終邊相同的角的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋30°，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))11．若把－570°寫成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，則α＝________.12．終邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))13．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)14．在[0,4π]中，與72°角終邊相同的角有________．(用弧度表示)15．在0到2π范圍內(nèi)，與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(4π,3)16．若角α與角eq\f(8π,5)終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)終邊相同的角是________．17．若角α，β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且α＝eq\f(π,6)，則在0～4π內(nèi)滿足要求的β＝________.18．若角α與角x＋eq\f(π,4)有相同的終邊，角β與角x－eq\f(π,4)有相同的終邊，那么α與β間的關(guān)系為()A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)19．若α＝2kπ－eq\f(35,4)，k∈Z，則角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．角－eq\f(29,12)π的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限21．角eq\f(29π,12)的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限22．α＝－3rad，它是第________象限角．23．α＝－2rad，則α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限24．若θ＝－5，則角θ的終邊所在的象限是()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限25．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(α,2)的終邊在()A．第一象限 B．第四象限C．x軸上 D．y軸上26．已知角α=－1480°(1)將α改寫成寫成2kπ＋β(k∈Z)的形式，其中0≤β<2π，并判斷它是第幾象限角？(2)在[－4π，4π)范圍內(nèi)找出與α終邊相同的角的集合27．已知角α＝2005°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在[－5π，0)內(nèi)找出與α終邊相同的角．28．已知角α＝2010°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角．29．已知α＝－800°.(1)把α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；(2)求γ，使γ與α的終邊相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).30．已知α＝1690°.(1)把α寫成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π)．31．下列表示中不正確的是()A．終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．終邊在y軸上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))D．終邊在直線y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))32．用弧度制表示終邊落在x軸上方的角α的集合為________．33．用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的角的集合為________．34．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()35．用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)，并判斷2019°是不是這個(gè)集合的元素．36．用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合．37．用弧度寫出終邊落在如圖陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合．38．如圖所示：(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合．(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．題型三弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用1．半徑為2，圓心角為eq\f(π,6)的扇形的面積是________．2．若扇形的半徑為1，圓心角為3弧度，則扇形的面積為________．3．圓的半徑為r，該圓上長(zhǎng)為eq\f(3,2)r的弧所對(duì)的圓心角是()A.eq\f(2,3)rad B.eq\f(3,2)radC.eq\f(2π,3)rad D.eq\f(3π,2)rad4．在半徑為2的圓中，弧長(zhǎng)為4的弧所對(duì)的圓心角的大小是________rad.5．已知扇形的弧長(zhǎng)是4cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．2C．4 D．1或46．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為()A．2 B．4C．6 D．87．已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，圓心角為2，則扇形的面積為________cm2.8．已知扇形的圓心角為120°，半徑為eq\r(3)cm，則此扇形的面積為________cm2.9．圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，而所對(duì)弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)圓心角是原來(lái)圓弧所對(duì)圓心角的________倍．10．扇形的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，而弧長(zhǎng)也增加為原來(lái)的兩倍，則()A．扇形的面積不變B．扇形圓心角不變C．扇形面積增大到原來(lái)的2倍D．扇形圓心角增大到原來(lái)的2倍11．求半徑為πcm，圓心角為120°的扇形的弧長(zhǎng)及面積．12．已知扇形OAB的圓心角為eq\f(5,7)π，周長(zhǎng)為5π＋14，則扇形OAB的面積為________．13．已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．14．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C．2sin1 D.eq\f(2,sin1)15．一段圓弧的長(zhǎng)度等于其所在圓的圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段圓弧所對(duì)的圓心角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)16．已知扇形的圓心角為108°，半徑等于30cm，求扇形的弧長(zhǎng)和面積．17．已知扇形的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，圓心角為eq\f(2π,3).求：(1)這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)；(2)這個(gè)扇形的面積．18．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是________m2.19．已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形的圓心角的弧度數(shù)．20．已知兩角和為1弧度，且兩角差為1°，則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是__________________________．21．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為10cm”，求該扇形的面積的最大值及取得最大值時(shí)圓心角的大小及弧長(zhǎng)．22．已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？23．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8cm.(1)若這個(gè)扇形的面積為3cm2，求該扇形的圓心角的大小；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦AB的長(zhǎng)度．24．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大?。?2)求α所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.25．已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑為6，求：(1)eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的長(zhǎng)；(2)扇形所含弓形的面積(即陰影面積)．26．如圖所示，以正方形ABCD中的點(diǎn)A為圓心，邊長(zhǎng)AB為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則∠EAD的弧度數(shù)大小為________．27．已知扇形OAB的周長(zhǎng)是60cm，面積是20cm2，求扇形OAB的圓心角的弧度數(shù)．28．如圖，一長(zhǎng)為eq\r(3)dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木塊在桌面上作無(wú)滑動(dòng)翻滾，翻滾到第四次時(shí)被一小木塊擋住，使木塊底面與桌面所成角為eq\f(π,6)，試求點(diǎn)A走過的路程及走過的弧所在的扇形的總面積．(圓心角為正)29．如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4,0)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及P，Q點(diǎn)各自走過的弧長(zhǎng)．專題45弧度制1．度量角的兩種單位制角度制定義用度作為單位來(lái)度量角的單位制1度的角1度的角等于周角的eq\f(1,360)，記作1°弧度制定義以弧度為單位來(lái)度量角的單位制1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad(rad可省略不寫)在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為αrad，那么|α|＝eq\f(l,r).一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.2．弧度數(shù)的計(jì)算3．角度制與弧度制的換算4．一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π5.扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：l＝αR;(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).題型一角度與弧度的互化與應(yīng)用1．將下列角度化為弧度(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°；(8)2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1500°；(12)67°30′；(13)2145°[解析](1)105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad；(2)1920°＝5×360°＋120°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(2π,3)))rad＝eq\f(32π,3)rad；(3)20°＝eq\f(20π,180)＝eq\f(π,9)；(4)－15°＝－eq\f(15π,180)＝－eq\f(π,12)；(5)因?yàn)?°＝eq\f(π,180)rad，所以112°30′＝eq\f(π,180)×112.5rad＝eq\f(5π,8)rad；(6)－157°30′＝－157.5°＝－eq\f(315,2)×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7,8)πrad；(7)－630°＝－630×eq\f(π,180)＝－eq\f(7,2)π；(8)2100°＝2100×eq\f(π,180)＝eq\f(35π,3)；(9)37°30′＝37.5°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(75,2)))°＝eq\f(75,2)×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,24)；(10)－216°＝－216×eq\f(π,180)＝－eq\f(6π,5)；(11)－1500°＝－1500×eq\f(π,180)＝－eq\f(25,3)π(12)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,8)；(13)2145°＝2145×eq\f(π,180)rad＝eq\f(143π,12)rad.2．將下列弧度化為角度(1)－eq\f(5π,12)rad；(2)－eq\f(11π,5)rad；(3)eq\f(7π,5)rad；(4)eq\f(7π,12)；(5)－eq\f(11π,5)；(6)－eq\f(10π,3)；(7)eq\f(23π,6)；(8)－eq\f(13π,6)；(9)eq\f(8π,5)[解析](1)因?yàn)?rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，所以－eq\f(5π,12)rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°；(2)－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11π,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－396°；(3)eq\f(7π,5)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,5)×\f(180,π)))°＝252°；(4)eq\f(7π,12)＝eq\f(7,12)×180°＝105°；(5)－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°；(6)－eq\f(10π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10π,3)×\f(180,π)))°＝－600°；(7)eq\f(23π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)×\f(180,π)))°＝690°；(8)－eq\f(13π,6)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)×\f(180,π)))°＝－390°；(9)eq\f(8π,5)＝eq\f(8,5)×180°＝288°.3．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3)radB．－eq\f(10,3)πrad化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πradD.eq\f(π,12)rad化成度是15°[解析]對(duì)于A,60°＝60×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,3)rad；對(duì)于B，－eq\f(10,3)πrad＝－eq\f(10,3)×180°＝－600°；對(duì)于C，－150°＝－150×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5,6)πrad；對(duì)于D，eq\f(π,12)rad＝eq\f(1,12)×180°＝15°.故選C.4．已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，試比較α，β，γ，θ，φ的大?。甗解析]法一(化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,12)rad，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad.顯然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化為角度)：β＝eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.顯然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.題型二用弧度數(shù)表示角1．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)[解析]“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，所以A正確.1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)，所以B正確．因?yàn)?rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°>1°，所以C正確．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無(wú)關(guān)，所以D錯(cuò)誤．2．下列敘述中正確的是()A．1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B．1弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和D．大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角一樣大[解析]弧度是度量角的大小的一種單位，而不是長(zhǎng)度的度量單位，1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)圓心角的大小，與圓的半徑無(wú)關(guān)，故選D.3．下列說(shuō)法正確的是()A．在弧度制下，角的集合與正實(shí)數(shù)集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系B．每個(gè)弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對(duì)應(yīng)C．用角度制和弧度制度量任一角，單位不同，數(shù)量也不同D．－120°的弧度數(shù)是eq\f(2π,3)[解析]A項(xiàng)中，零角的弧度數(shù)為0，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)是正確的；C項(xiàng)中，用角度制和弧度制度量零角時(shí)，單位不同，但數(shù)量相同(都是0)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；－120°對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是－eq\f(2π,3)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B.4．時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π[解析]分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里，順時(shí)針轉(zhuǎn)過了兩周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是：－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.5．自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是()A.eq\f(5π,11)B.eq\f(44π,5) C.eq\f(5π,22) D.eq\f(22π,5)[解析]由題意，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過eq\f(88,20)周，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度是eq\f(88,20)×2π＝eq\f(44π,5).6．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，則A∩B＝________________.[解析]如圖所示，∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．7．將－1485°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是_________．[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝eq\f(7,4)π，∴應(yīng)填－10π＋eq\f(7,4)π.8．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)[解析]A，B中弧度與角度混用，不正確．eq\f(9,4)π＝2π＋eq\f(π,4)，所以eq\f(9,4)π與eq\f(π,4)終邊相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也與45°終邊相同．故選C.9．用弧度制表示與150°角的終邊相同的角的集合為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))[解析]150°＝150×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,6)，故與150°角終邊相同的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).10．與30°角終邊相同的角的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋30°，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))[解析]∵與30°角終邊相同的角表示為α＝k·360°＋30°，k∈Z，化為弧度為α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，∴選D.11．若把－570°寫成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，則α＝________.[解析]－570°＝－eq\f(19π,6)＝－4π＋eq\f(5π,6).12．終邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))[解析]因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(a，a)(a≠0)，所以角α的終邊落在直線y＝x上，所以角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).13．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)[解析]∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴－eq\f(11π,4)與－eq\f(3π,4)是終邊相同的角，且此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的．14．在[0,4π]中，與72°角終邊相同的角有________．(用弧度表示)[解析]因?yàn)榻K邊與72°角相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，θ＝72°＝eq\f(2,5)πrad；當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝432°＝eq\f(12,5)πrad，所以在[0,4π]中與72°終邊相同的角有eq\f(2,5)π，eq\f(12,5)π.15．在0到2π范圍內(nèi)，與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(4π,3)[解析]與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是eq\f(2π,3)，故選C.16．若角α與角eq\f(8π,5)終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與eq\f(α,4)終邊相同的角是________．[解析]由題意得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，又eq\f(α,4)∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，此時(shí)eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).17．若角α，β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且α＝eq\f(π,6)，則在0～4π內(nèi)滿足要求的β＝________.[解析]由角α，β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，及α＝eq\f(π,6)，可得β＝－α＋eq\f(π,2)＋2kπ＝eq\f(π,3)＋2kπ，令k＝0,1可得結(jié)果．[答案]eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)18．若角α與角x＋eq\f(π,4)有相同的終邊，角β與角x－eq\f(π,4)有相同的終邊，那么α與β間的關(guān)系為()A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]選D.因?yàn)棣粒絰＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，所以α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．所以k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．19．若α＝2kπ－eq\f(35,4)，k∈Z，則角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵－9<－eq\f(35,4)<－8，∴－3π<－eq\f(35,4)<－3π＋eq\f(π,2).∴－eq\f(35,4)在第三象限，故α也在第三象限．20．角－eq\f(29,12)π的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]－eq\f(29,12)π＝－4π＋eq\f(19,12)π，eq\f(19,12)π的終邊位于第四象限，故選D.21．角eq\f(29π,12)的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]選A.因?yàn)閑q\f(29π,12)＝2π＋eq\f(5π,12)，角eq\f(5π,12)是第一象限角，所以角eq\f(29π,12)的終邊所在的象限是第一象限．22．α＝－3rad，它是第________象限角．[解析]根據(jù)角度制與弧度制的換算，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，則α＝－3rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(540,π)))°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．23．α＝－2rad，則α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵1rad≈57.30°，∴－2rad≈－114.60°.故α的終邊在第三象限．24．若θ＝－5，則角θ的終邊所在的象限是()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限[解析]因?yàn)椋?π＜－5＜－eq\f(3π,2)，所以α是第一象限角．25．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(α,2)的終邊在()A．第一象限 B．第四象限C．x軸上 D．y軸上[解析]因?yàn)閑q\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，因?yàn)棣粒?kπ＋π(k∈Z)，所以eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非正半軸上；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非負(fù)半軸上．綜上，eq\f(α,2)的終邊在y軸上，故選D.26．已知角α=－1480°(1)將α改寫成寫成2kπ＋β(k∈Z)的形式，其中0≤β<2π，并判斷它是第幾象限角？(2)在[－4π，4π)范圍內(nèi)找出與α終邊相同的角的集合[解析](1)－1480°＝－1480×eq\f(π,180)＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，其中0≤eq\f(16π,9)<2π，因?yàn)閑q\f(16π,9)是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．(2)與α終邊相同的角為2kπ＋eq\f(16,9)π(k∈Z)．由－4π≤2kπ＋eq\f(16,9)π<4π知k＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(20,9)π，－\f(2,9)π，\f(16,9)π，\f(34,9)π)).27．已知角α＝2005°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在[－5π，0)內(nèi)找出與α終邊相同的角．[解析](1)2005°＝2005×eq\f(π,180)rad＝eq\f(401π,36)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(41π,36)))rad，又π<eq\f(41π,36)<eq\f(3π,2)，∴角α與eq\f(41π,36)終邊相同，是第三象限的角．(2)與α終邊相同的角為2kπ＋eq\f(41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq\f(41π,36)<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)內(nèi)與α終邊相同的角是－eq\f(31π,36)，－eq\f(103π,36)，－eq\f(175π,36).28．已知角α＝2010°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角．[解析](1)2010°＝2010×eq\f(π,180)＝eq\f(67π,6)＝5×2π＋eq\f(7π,6)，又π＜eq\f(7π,6)＜eq\f(3π,2)，∴α與eq\f(7π,6)終邊相同，是第三象限的角．(2)與α終邊相同的角可以寫成γ＝eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴當(dāng)k＝－3時(shí)，γ＝－eq\f(29,6)π；當(dāng)k＝－2時(shí)，γ＝－eq\f(17,6)π；當(dāng)k＝－1時(shí)，γ＝－eq\f(5,6)π.29．已知α＝－800°.(1)把α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；(2)求γ，使γ與α的終邊相同，且γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).[解析](1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝eq\f(14,9)π，∴α＝－800°＝eq\f(14π,9)＋(－3)×2π.∵α與角eq\f(14π,9)終邊相同，∴α是第四象限角．(2)∵與α終邊相同的角可寫為2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z的形式，而γ與α的終邊相同，∴γ＝2kπ＋eq\f(14π,9)，k∈Z，又γ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)<2kπ＋eq\f(14π,9)<eq\f(π,2)，k∈Z，解得k＝－1，∴γ＝－2π＋eq\f(14π,9)＝－eq\f(4π,9).30．已知α＝1690°.(1)把α寫成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π)．[解析](1)1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ與α終邊相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25,18)π<4π，∴－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)．∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.31．下列表示中不正確的是()A．終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．終邊在y軸上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))D．終邊在直線y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))[解析]對(duì)于A，終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正確；對(duì)于B，終邊在y軸上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，故B正確；對(duì)于C，終邊在x軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ，k∈Z))))，終邊在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，故合在一起即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，故C正確；對(duì)于D，終邊在直線y＝x上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))，故D不正確．32．用弧度制表示終邊落在x軸上方的角α的集合為________．[解析]若角α的終邊落在x軸上方，則2kπ＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．33．用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的角的集合為________．[解析]y軸對(duì)應(yīng)的角可用－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)表示，所以y軸右側(cè)角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ＜θ＜\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).34．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()[解析]當(dāng)k＝2m，m∈Z時(shí)，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；當(dāng)k＝2m＋1，m∈Z時(shí)，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z.故選C.35．用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)，并判斷2019°是不是這個(gè)集合的元素．[解析]∵150°＝eq\f(5π,6)，∴終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ≤β≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).∵2019°＝219°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219π,180)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)<eq\f(219π,180)<eq\f(3π,2)，∴2019°∈S.36．用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合．[解析]如題圖(1)，330°角的終邊與－30°角的終邊相同，將－30°化為弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，所以終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).如題圖(2)，因?yàn)?0°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，這兩個(gè)角的終邊所在的直線相同，因此終邊在直線AB上的角為α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又終邊在y軸上的角為β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，從而終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).37．用弧度寫出終邊落在如圖陰影部分(不包括邊界)內(nèi)的角的集合．[解析]30°＝eq\f(π,6)rad,150°＝eq\f(5π,6)rad.終邊落在題干圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(不包括邊界)是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ＜β＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))).38．如圖所示：(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合．(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[解析](1)終邊在OA上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)).終邊在OB上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β|β＝－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(π,6)＋2kπ≤α≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)).題型三弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用1．半徑為2，圓心角為eq\f(π,6)的扇形的面積是________．[解析]由已知得S扇＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×22＝eq\f(π,3).2．若扇形的半徑為1，圓心角為3弧度，則扇形的面積為________．[解析]由于扇形面積S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×3×12＝eq\f(3,2)，故扇形的面積為eq\f(3,2).3．圓的半徑為r，該圓上長(zhǎng)為eq\f(3,2)r的弧所對(duì)的圓心角是()A.eq\f(2,3)rad B.eq\f(3,2)radC.eq\f(2π,3)rad D.eq\f(3π,2)rad[解析]由弧度數(shù)公式α＝eq\f(l,r)，得α＝eq\f(\f(3,2)r,r)＝eq\f(3,2)，因此圓弧所對(duì)的圓心角是eq\f(3,2)rad.4．在半徑為2的圓中，弧長(zhǎng)為4的弧所對(duì)的圓心角的大小是________rad.[解析]根據(jù)弧度制的定義，知所求圓心角的大小為eq\f(4,2)＝2rad.5．已知扇形的弧長(zhǎng)是4cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．2C．4 D．1或4[解析]因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)為4，面積為2，所以扇形的面積為eq\f(1,2)×4×r＝2，解得r＝1，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(4,1)＝4.故選C.6．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為()A．2 B．4C．6 D．8[解析]設(shè)扇形所在圓的半徑為R，則2＝eq\f(1,2)×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧長(zhǎng)為4×1＝4，扇形的周長(zhǎng)為2＋4＝6.故選C.7．已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，圓心角為2，則扇形的面積為________cm2.[解析]設(shè)扇形的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，由圓心角為2rad，依據(jù)弧長(zhǎng)公式可得l＝2r，從而扇形的周長(zhǎng)為l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，則l＝4.故扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4cm2.8．已知扇形的圓心角為120°，半徑為eq\r(3)cm，則此扇形的面積為________cm2.[解析]設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，因?yàn)?20°＝120×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π,3)(rad)，所以l＝αR＝eq\f(2π,3)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3)π,3)(cm)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3)π,3)×eq\r(3)＝π(cm2)．故填π.9．圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，而所對(duì)弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)圓心角是原來(lái)圓弧所對(duì)圓心角的________倍．[解析]設(shè)原來(lái)圓的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，弧所對(duì)的圓心角為α，則現(xiàn)在的圓的半徑為3r弧長(zhǎng)為l，設(shè)弧所對(duì)的圓心角為β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝eq\f(1,3)α.10．扇形的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，而弧長(zhǎng)也增加為原來(lái)的兩倍，則()A．扇形的面積不變B．扇形圓心角不變C．扇形面積增大到原來(lái)的2倍D．扇形圓心角增大到原來(lái)的2倍[解析]由弧度制定義，等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圓的半徑增加為原來(lái)的2倍，弧長(zhǎng)也增加到原來(lái)的2倍，弧長(zhǎng)與半徑之比不變，所以，扇形圓心角不變，故選B.11．求半徑為πcm，圓心角為120°的扇形的弧長(zhǎng)及面積．[解析]因?yàn)閞＝π，α＝120×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,3)，所以l＝αr＝eq\f(2π2,3)cm，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(π3,3)cm2.12．已知扇形OAB的圓心角為eq\f(5,7)π，周長(zhǎng)為5π＋14，則扇形OAB的面積為________．[解析]設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為eq\f(5,7)π，∴弧長(zhǎng)l＝eq\f(5,7)πr，∵扇形的周長(zhǎng)為5π＋14，∴eq\f(5,7)πr＋2r＝5π＋14，解得r＝7，由扇形的面積公式得＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5,7)π×49＝eq\f(35π,2).13．已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．[解析]設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0＜θ＜2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為R，依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10，①,\f(1,2)lR＝4.②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.當(dāng)R＝1時(shí)，l＝8(cm)，此時(shí)，θ＝8rad＞2πrad舍去．當(dāng)R＝4時(shí)，l＝2(cm)，此時(shí)，θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為eq\f(1,2)rad.14．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C．2sin1 D.eq\f(2,sin1)[解析]設(shè)圓的半徑為R，則sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，故所求弧長(zhǎng)為l＝α·R＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).15．一段圓弧的長(zhǎng)度等于其所在圓的圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段圓弧所對(duì)的圓心角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)[解析]設(shè)圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為a，則該圓的直徑為eq\r(2)a，所以弧長(zhǎng)等于a的圓弧所對(duì)的圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，故選C.16．已知扇形的圓心角為108°，半徑等于30cm，求扇形的弧長(zhǎng)和面積．[解析]∵108°＝108×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,5)，所以扇形的弧長(zhǎng)為eq\f(3π,5)×10＝6π(cm)，扇形的面積為eq\f(1,2)×eq\f(3π,5)×302＝270π(cm2)．17．已知扇形的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，圓心角為eq\f(2π,3).求：(1)這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)；(2)這個(gè)扇形的面積．[解析](1)因?yàn)樯刃蔚膱A心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，圓心角為eq\f(2π,3)，所以半徑r＝eq\f(1,sin\f(π,3))＝eq\f(2\r(3),3)，所以這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l＝eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2π,3)＝eq\f(4\r(3)π,9).(2)由(1)得扇形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(4\r(3)π,9)＝eq\f(4π,9).18．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是________m2.[解析]eq\f(2π,3)＝120°，根據(jù)題設(shè)，弦＝2×4sineq\f(120°,2)＝4eq\r(3)(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面積＝eq\f(1,2)×(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(m2)．19．已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，求扇形的圓心角的弧度數(shù)．[解析]設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為l，所在圓的半徑為r.依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝10，,\f(1,2)lr＝4，))消去l，得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.當(dāng)r＝1時(shí)，l＝8，此時(shí)θ＝8rad>2πrad，故舍去；當(dāng)r＝4時(shí)，l＝2，此時(shí)θ＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)rad，滿足題意．故θ＝eq\f(1,2)rad.20．已知兩角和為1弧度，且兩角差為1°，則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是__________________________．[解析]設(shè)兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為x，y.因?yàn)?°＝eq\f(π,180)rad，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝\f(π,180).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)＋\f(π,360),y＝\f(1,2)－\f(π,360)，))所以所求兩角的弧度數(shù)分別為eq\f(1,2)＋eq\f(π,360)，eq\f(1,2)－eq\f(π,360).21．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為10cm”，求該扇形的面積的最大值及取得最大值時(shí)圓心角的大小及弧長(zhǎng)．[解析]設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為r，面積為S，由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(10－2r)·r＝5r－r2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)，0<r<5.當(dāng)r＝eq\f(5,2)時(shí)，S取得最大值eq\f(25,4)，這時(shí)l＝10－2×eq\f(5,2)＝5，∴θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(5,\f(5,2))＝2.故該扇形的面積的最大值為eq\f(25,4)cm2，取得最大值時(shí)圓心角為2rad，弧長(zhǎng)為5cm.22．已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？[解析]設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S，則l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以當(dāng)半徑r＝10cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100cm2，這時(shí)θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2rad.23．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8cm.(1)若這個(gè)扇形的面積為3cm2，求該扇形的圓心角的大?。?2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦AB的長(zhǎng)度．[解析](1)設(shè)該扇形AOB的半徑為r，圓心