高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (二)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(2)

1.如圖，A8是半圓。的直徑，C是半圓。上除A,8外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OC垂直于半圓。所在的平

面，DC//EB,DC=EB=1,AB=4.

(1)證明：平面4DE_L平面ACD：

(2)當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，求二面角D-AE—8的余弦值.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD的底面梯形中，AD//BC,ABLBC,AB=1,AD=3,Z.ADC=45°,

又已知241平面ABCD,PA=1.

(1)異面直線PB與CD所成角的大小;

(2)四棱錐P-ABCD的體積.

3.在直三棱柱4BC-&B1C1中，AC=BC=五,AB=AA1=2,E是棱CC1的中點(diǎn).

(1)求證：4B1AE；

⑵求點(diǎn)占到平面ABE的距離.

4.已知四邊形A8CD為等腰梯形，ABHCD,E,尸分別是AB,CD的中點(diǎn)，連接所，CD=2AB=

2EF=4如圖①所示.將梯形AEFD沿直線EF折起，連接CD,AB,G是C。的中點(diǎn)，如圖②所

示.

D

(1)證明：BG〃平面AEFZ).

(2)若平面4EFD1平面BEFC,求點(diǎn)E到平面ABCD的距離.

5.如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面ABCD為正方形，平面R4D，平面A8CD,點(diǎn)M在線段P8

上，PD〃平面MAC,PA=PD=V6，AB=4.

(1)求證：M為P8的中點(diǎn)；

(2)求點(diǎn)C到平面BDP的距離d.

6.如圖所示，在四棱錐尸-48CD中，四邊形4BCZ)為菱形，AP/O為正三角形，且瓦夕分別

為40,46的中點(diǎn)，P￡_L平面力BC。，8￡_L平面。40.

p

(1)求證：3cl.平面。笈5；

(2)求ER與平面POC所成角的正弦值.

7.如圖，正三棱柱ABC-4BiG中，AB=Z&=2,點(diǎn)P,。分別為8c的中點(diǎn).

(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;

(2)求直線CG與平面4QG所成角的正弦值.

8.如圖，在四棱錐P-4BCD中，△P4。是等邊三角形，底面ABC。是菱形，AB=2,ADAB=60°.

(I)證明：AD1PB；

(n)若PB=V6，求二面角4-PB-C的余弦值.

9.如圖所示，已知四棱柱4BCD-力IBIGDI，四邊形A8C￡＞為直角梯形，AC〃BC,^ABC=90°,

AB=BC=44i=2AD=2,平面488出L平面ABCD,Z.BAAX=60°.

(1)若M為SB1的中點(diǎn)，P為線段8c上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)GP1平面&CM,求CP的長(zhǎng).

(2)在(1)的條件下，求二面角C-GP-A的余弦值.

10.如圖，在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC—4B1G中，。是BC的中點(diǎn).

(1)求證：4。_L平面BCCiBi；

(2)求直線4G與平面BCG&所成角的正弦值.

11.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA1.^ABCD,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,

點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：BE1DC；

(2)求直線BE與平面PBO所成角的正弦值；

(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFJ.2C,求二面角F-AB-P的余弦值.

12.如圖，四棱錐P—ABC。中，API平面PC。，AD//BC,AB=BC=^AD,E,尸分別為線段

AD,PC的中點(diǎn).

(1)求證：AP〃平面BEF;

(2)求證：BEJ■平面PAC.

13.已知四棱錐P—ABCD中，PAIJgffiABCD,AD//BC,AB=3,BC=4,AC=5.

(1)當(dāng)PA變化時(shí)，點(diǎn)C到平面PAB的距離是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明

理由；

(2)若P4=3,求直線PC與平面PA。所成角的正弦值.

14.如圖，幾何體是圓臺(tái)的一部分，它是由直角梯形4BCD(其中4C〃BC,

AB1BC,AB=BC=2AD=2)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)90。

得到的.過AO作平面a交生于點(diǎn)P,交BE于點(diǎn)Q.

(1)求證：PQABEF；

(2)設(shè)。為BE的中點(diǎn)，求平面AP。與平面CF。所成銳二面角的余弦值

15.如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中,AB=AAr=4,BC=2,ArC=2V3,AC1BC.^AB=60°.

(1)證明：BC1平面4CQ4i；

(2)設(shè)點(diǎn)。為CG的中點(diǎn)，求直線與平面4BB1Z1所成角的正弦值.

16.在直三棱柱ABC-4B1C1中，AB=BC=2AAA,乙4BC=90。，。是8c的中

(1)求證：〃平面ADQ.

(2)求二面角G一力。一C的余弦值.

17.如圖，在四邊形POC8中，PD//BC,BA1PD,PA=AB=BC=1,AD=|,沿BA將△P4B翻

折到△SB砸位置，使得死=今

(1)作出平面SCD與平面SBA的交線I,并證明，平面CSB；

(2)點(diǎn)。是棱SC上異于S,C的一點(diǎn)，連接Q。，當(dāng)二面角Q-BD-C的余弦值為立時(shí)，求此時(shí)

6

三棱錐Q-BCO的體積。

18.如圖，在四面體4-BCD中，二面角A-DC-B為60。，AC=AD=2,BC=BD,SBBCD=4,

/.CAD=90°.

(I)證明：ABLAC；

(11)若加，N在線段BC,BD上，旦BM+BN=g，求直線AB與平面AMN所成角的正弦值的

最大值.

19.如圖，三棱錐P-ABC中，PA=PB,D,E分另IJ為4B,4C的中點(diǎn)，ABLAC.

求證:(1)DE〃平面PBC;

(2)4B1PE.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：???43是圓0的直徑，；.4(7，3配

vDC，平面ABC,BCu平面ABC,

???DC1BC,又DCnAC=C,

BC1平面ACD,

???DC//EB,DC=EB,

.?.四邊形。C2E是平行四邊形，OE〃BC,

DE_L平面ACD,

又DEu平面ADE,

二平面4C。_L平面ADE.

(2)當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，AC=BC=2V2，

以C為原點(diǎn)，以C4,CB,CO為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示:

則。(0,0,1),F(0,2V2,l)-4(2夜,0,0),8(0,2夜,0)，

AB=(-2V2,2V2,0).BE=(0,0,1),DE=(0,2A/2,0),DA=(2>/2,0,-1),

設(shè)平面DAE的法向量為記=平面A8E的法向量為元=02，、2*2)，

則伊(?羽=0,伊?亞=0,即[2或Xi-Zi=0,卜2ax2+2或%=0,

=O'In-RE=O'”3&力=0'kz2=0

令Xi=1得沅=(1,0,2>/2)>令&=1得元=(1,1>0).

,—>.、mn1\[2

???cos<m,n>=--r=——F=-?

|m||n|3x>/26

???二面角D-AE-B是鈍二面角,

???二面角。-AE-B的余弦值為-U.

6

解析：(1)由BC1AC,BC_LCC得BC_L平面ACZ),證明四邊形。CBE是平行四邊形得。E〃BC,故

而DE〃平面ACD,于是平面4DE_L平面ACD；

(2)建立空間坐標(biāo)系，求出兩半平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大小.

本題考查了面面垂直的判定，空間向量與二面角的計(jì)算，屬于中檔題.

P

2.答案：解：(1)如圖，

在AO上，截取4E=1,連接BE,則N4EB=45。，/：

"AADC=45°,.-.BE//CD,連接PE,則4PBE為異面直線PB°

與C。所成角，8-C

AB=AE=1,AB1AD,BE=V2,

vPAl￥ffiABCD,：.PAAB,PArAE,

又P4=\,:.PB=PE=A/2，則4PBE為正三角形，

可得NPBE=60°,即異面直線PB與CO所成角的大小為60。；

(2)由(1)知四邊形8CQE為平行四邊形，

vAE=1,AD=3,1?.BC=ED=2.

SABCD=5(2+x1=

則四棱錐P-4BCC的體積V=；義qx1="

3No

解析：(1)由題意畫出圖形，在A。上，截取4E=1,連接BE,可得BE〃CD,則NPBE為異面直線

PB與C。所成角，然后求解三角形可得△PBE為正三角形，得到異面直線P8與C￡＞所成角的大小為

60°；

(2)由(1)知四邊形2C0E為平行四邊形，求出BC,在求出底面直角梯形的面積，由棱錐體積公式求

解.

本題考查異面直線所成角的求法，考查棱錐體積的求法，考查計(jì)算能力，是中檔題.

3.答案：(1)證明：取中點(diǎn)F,連結(jié)AF、EF、AE,'------二

???ABC-aB1G是直三棱柱，42比1

cCii&G，CQICB,

又???￡是CCi的中點(diǎn)，41cl=BC,.??&E=BE,/,裕-二

又AB=AAt,

???A-j^B1EF,ArB±AF,

又EFr)4F=F,AF,EFu平面AEF,

AiBJ_平面AEF,AEcTISlAEF,AXB1AE.

(2)解：設(shè)點(diǎn)兒到平面48E的距離，

B=XX

則匕1TBE=K-AAE322夜Xy/2=

1,?2

-xhxS^ABE=3>

AE=BE=V3>AB=2,S^ABE=V2?

解得/i=V2>

.??點(diǎn)4到平面ABE的距離為VI.

解析：本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)取中點(diǎn)F,連結(jié)AF、EF、AE,推導(dǎo)出CQJ.aG，CQ1CB,AXBLEF,AXB1AF,從而

A^BIffiAEF,由此能證明_LAE.

(2)設(shè)點(diǎn)4到平面ABE的距離，由%L4BE=%TME，能求出點(diǎn)為到平面ABE的距離.

4.答案：(1)證明：取。F的中點(diǎn)K,連接KG,EK,如圖.

因?yàn)镚為。C的中點(diǎn)，所以KG〃FC,KG=^FC.

因?yàn)镋B//FC,EB=：FC,所以EB〃KG,且EB=KG,

所以四邊形EBGK為平行四邊形，所以BG〃EK,

又BG笈平面AEFD,KEu平面AEFD,

所以BG〃平面AEFD.

(2)解：設(shè)D4,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,如圖，

則P6平面AEFD,PC平面BEFC.

因?yàn)槠矫?EFDn平面BEFC=EF,

所以P,E,尸三點(diǎn)共線.

易知AB1EF,CD1EF.

由翻折不變性可知，PELAE,PE1EB.

因?yàn)?EClEB=E,AE,EBu平面AEB,

所以PE1平面AE8.

因?yàn)榇?僚=3所以PE=EF=2,

DFPF2

PA=PB=>JAE2+PE2=V5.AB=&

過點(diǎn)P作PQ_L48,垂足為。，

則AQ=QB=當(dāng),

所以PQ=y/PA2-AQ2=苧.

所以SAP.B=XPQ=：x&x苧=I,

心博tP-4BE=彳*S&IE8XPE=-X-X1X1X1X2=".

MJ/O

又因?yàn)閘二帶惟￡.3戶l'比鉞PABE,

1

所以點(diǎn)E到平面ABC。的距離”「『坦三”：;；.

鏟APAB2

解析：本題考查線面平行的判定定理，考查面面垂直的性質(zhì)及幾何體體積計(jì)算，屬于中檔題.

(1)取。F的中點(diǎn)K,連接KG,EK,證明BG〃EK,然后由線面平行的判定定理即可；

(2)設(shè)D4,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,可得P,E,尸三點(diǎn)共線.由翻折不變性及體積公式，由

V-0TUEIHPV'iTliPABE即可解題.

5.答案：(1)證明：如圖，設(shè)ACnBD=。，連接0M,

???4BCD為正方形，

???。為2。的中點(diǎn)，

PD〃平面MAC,PDu平面PBD,平面PBDn平面AMC=0M,

(2)解:取AD中點(diǎn)G,

PA=PD,■■PG1AD,

???平面24。J■平面ABCD,且平面PADn平面4BCD=AD,PGu平面PAD,

：.PG_L平面ABCD,

又ADu平面ABCD,則PG1AD,

連接。G,則PG10G,

由G是AO的中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，可得OG〃DC,則。G14D.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G。、GO、GP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,

由P4=PD=瓜，AB=4,得0(2,0,0),4(—2,0,0),P(0,0,夜)，C(2,4,0),B(-2,4,0),

紈

DP=(-2,0,72).OB=(-4,4,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),

則由也受=。,得『”產(chǎn)二。，

(沆?DB=01-4%+4y=0

取z=V2,得沆=(1,1,企)，

又加=(-3,-2凈,

故點(diǎn)C到平面BDP的距離d=萼1=2.

|m|

解析：本題考查線面平行的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間距離求解，屬于中檔題.

(1)設(shè)4CnBC=。，則O為的中點(diǎn)，連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明。M〃PD,再由平行

線截線段成比例可得M為P8的中點(diǎn)；

(2)取AD中點(diǎn)G,可得PG1AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG，平面ABCD,則PG1AD,連接OG,

則PGJLOG,再證明OGJ.4D.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G。、GO、GP所在直線為x、y、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，然后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求解.

6.答案：解：(1)證明：因?yàn)镻EJJHTABC。，即,平面引。，

又AOC平面ABCD,.4。U平面P.A。，

所以PEJ.4D,BELAD,

又PEC\BE=E,PEU平面PER3EU平面PEB,

所以4。1平面PEB,

由四邊形ABC。是菱形，得/W〃BC,

所以BC_L平面PEB；

(2)以E為原點(diǎn)，EA,EB,EP分別為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)菱形ABCQ的邊長(zhǎng)為2,則4E=ED=1,PA=2,PE=有,

BE=ylAB2-AE2=6,

則點(diǎn)4(1,0,0),B(0,V3,0)，C(一2,71,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,回嗚今0),

DC=(-l,V3,0),DP=(1,0,V3),

設(shè)平面PDC的法向量為元=(x,y,z),

則由E,四=r+fy=。,解得卜="

(n-DP=%+V3z=0(x=—v3z

不妨令z=l,得記=(一百,一1,1);

又前=威會(huì)0),

所以EF與平面PQC所成角的正弦值為|需|=(士興(遺)=卓.

||n|-|EF||y/5xl5

解析：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值，屬于中檔

題.

(1)先證PEJ.AD,BELAD,可證ADJ?平面PE8,再證AD〃BC,從而證得結(jié)論；

(2)以E為原點(diǎn)，EA,EB,EP分別為x,?Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸DC的一個(gè)法向

量，從而求出EF與平面PDC所成角的正弦值.

7.答案：解：(1)如圖，在正三棱柱4BC-4B1G中，

設(shè)AC,41Gl的中點(diǎn)分別為。，。「

則，OB1OC,OOj1OC,OOj1OB,

故以頌,0C,西｝為基底，

建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

???AB=A&=2,A(0,—1,0)，5(V3,0,0),C(0,l,

4(0,—1,2),Bi(百,0,2),Ci(0,1,2).

?.?點(diǎn)P為的中點(diǎn).

??.P(今心,2)，

??廊=(-今-Q)，近=(0,2,2).

\BP-ACi\

|cos<麗,AC；>|

\BP\\AC[\

_|7+4|_3%

-V5X2V2-20?

???異面直線BP與4G所成角的余弦值為：嘴；

(2):(2為8。的中點(diǎn)..弓弓,0)

;而=(今|,0)，遍=(0,2,2),CQ=(0,0,2)，

設(shè)平面AQG的一個(gè)法向量為記=(x,y,z),

,(A(2-n=—x+-y=0L

由:22，，可取元=(遍,一1,1)，

L4cl?元=2y+2z=0

設(shè)直線CQ與平面4QQ所成角的正弦值為仇

sinO=|ixw<CC；,7?>|=~引-

I西H殖

2_V5

=礪=三’

???直線CC1與平面4QC1所成角的正弦值為g.

解析：本題考查了異面直線所成角，直線與平面所成角，向量法求空間角，考查學(xué)生的計(jì)算能力和

推理能力，屬于中檔題.

（1）設(shè)AC,41cl的中點(diǎn)分別為。，?！敢裕?能,E｝為基底，建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,由

|cos〈而，而>>|=需翼可得異面直線BP與AG所成角的余弦值；

（2）求得平面4QCi的一個(gè)法向量為元，設(shè)直線CC］與平面4QG所成角的正弦值為凡可得s譏。=|cos<

CC1,n>\=熹魯，即可得直線CCi與平面2QC］所成角的正弦值.

8.答案：解：（I）令A(yù)。中點(diǎn)為。，連接PO,A0,

?.?底面ABCD是菱形，且=60°,

.,?△4B。是等邊三角形，PO1AD,

???P4=PO,.?.△P4D是等腰三角形，

???PO1AD,

vP0OB0=0,：.AD1平面PBO,

:PBu平面PBO,.-.ADJ.PB.

(□)???AB=2,則P4=2.

.?.由(I)知APAB,△4BD中邊長(zhǎng)為2的正三角形,

則P。=M，BO=百，

vPB=V6,

???PO2+BO2=PB2,即PO1B。，

又由（I）知，BOLAD,POLAD,

???以。為原點(diǎn)，04OB,OP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(1,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,V3),C(-2,遍,0),

設(shè)平面ABP的法向量為記=(x,y,z),由麗=(一1,通,0),AP=(-1,0,73).

?尢=0即尸+g=°令”后得完=(國(guó)，1).

-n=0l-x+V3z=0

設(shè)平面BPC的法向量為沅=(x,y,z),由元=(-2,0,0),BP=(0,-百,75),

則嚼：I：:叱制、Z=0?令y=L得記=（。?“），

2_Vio

從而n,m>=

cos<V5xV2-5

由圖可知二面角A-PB-C為鈍角，其余弦值為一唱.

解析：本題考查線面垂直的判定判斷線線位置關(guān)系以及利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中

檔題目.

(I)利用線面垂直的判定定理得出工。1平面P80,,進(jìn)而得出AD1PB；

(II)建立空間直角坐標(biāo)系求出面4PB與面PC8的法向量，進(jìn)而由公式得出cos＜元,記〉，求出二面

角4-PB—C1的余弦值即可.

9.答案：解：(1)連接4B,取A8中點(diǎn)”，連接

由于為等邊三角形，則

又△&B8i為等邊三角形，M為BBi的中點(diǎn)，故

由題意知BC1AB,

又因?yàn)槠矫?88出1平面ABCD,平面48B遇1n平面4BC。=AB,BCu平面ABCD,

因此BCJ_平面ABB141，

又BCu平面BCGa,

故平面BCC/i平面4BB141，

又平面8"1當(dāng)C平面4峭&=ArM1BBy,u平面488出，

因此41M_L平面BCCiBi，

又GPu平面BCGBi，所以GPJ.aM,

因?yàn)锽C_L平面ABB1人,BBiu平面488出，

所以BCLBBi，所以四邊形BCC/i為矩形，

過點(diǎn)G作GP1CM,此時(shí)NCqP=4BCM,

故tanz_CCiP=tan/BCM,即竽=誓=3故CP=1,

2BC2

又因?yàn)镚P14M,CMC&M=M,CM,u平面&CM,

故GPJ■平面&CM,符合題意.

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

尸(0,1,0),C(0,2,0),Di(1,1,V3),CiC-1,2,遮),

在平面CPC1中，PC=(0,1.0),~pc[=(-1,1,V3),

設(shè)該平面CPC1的法向量為沅=(Xi，yi，Zi).

貝膽.堂o即『】=0,

(m?PC]=0,(—%i+yi+=0,

令Zi=1,則沆=(V3,0,1),

在平面Cl。/中，西=(1,0,遮)，

設(shè)該平面ClDJ的法向量為記=(.X2,y2,z2),

則,'Z5=0,即卜2+岳2=0，

(n-PQ=0,l-x2+丫2+V3^2=0，

令Z2=1,則有=(-V3,-2V3,1)，

設(shè)二面角C-GP-5的平面角為。，

則cos。=cos<m,n>==-；,

|沆Hn|4

解析：本題考查了線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)和利用空間向量求面面的夾角，是中檔題.

(1)由平面4BB送1ABCD,得BC1平面故平面BCQB]，平面4B8遇口因此1_平

面BCCiBi，所以GPL&M,過點(diǎn)G作GPLCM,可得GP1平面&CM,計(jì)算可得結(jié)果；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，得出平面CPC1的法向量和平面GDiP的法向量，由空間向量求解即可.

10.答案：(1)證明：直三棱柱ABC—41當(dāng)6中，8Bi_L平面ABC,/Du平面ABC,

:.BBi1AD,

"AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，

：.AD1BC,

又BCCBBLB,BC、BBiu平面BCG%,

???AD_L平面BCQB].

(2)解:如圖，連接Q￡?,

由(1)可知，4DJ?平面BCQBi，

則44加。即為直線4cl與平面BCC$i所成角,

因?yàn)?。J■平面BCCiBi，u平面BCCiBi，

所以AD1GD,

在RtZ\.4C'i。中，AD=4cl=應(yīng),

所以sinN.AC'i。=■:氏=,

所以直線4cl與平面BCC】Bi所成角的正弦值為它.

4

解析：本題考查線面垂直的判定，直線與平面所成角，屬于中檔題.

⑴由題意，可得到力。1BB、,并且4。1BC,從而由線面垂直的判定定理可得到4D，平面BCCiBj

(2)連接G。，可得到々AC1。為直線AC1和平面8CGB1所成角，即可得解.

11.答案：解：(1)依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

可得8(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(l,l,1).

BE=(0,1-1).DC=(2,0,0),

故屁?玩=0，所以BE1OC.

⑵前=(一1,2,0),麗=(1,0,-2).

設(shè)記=(xj,z)為平面PBD的一個(gè)法向量,

—x+2y=0,

<：S：oMx—2z=0.

不妨令y=l,可得詁=(2,1,1).

%兩_2_遺

于是有醒>|

同畫I-我義陋一T

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為宜.

3

(3)近=(1,2,0),前=(一2,—2,2)，AC=(2,2,0),AB=(1,0,0).

由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)方=4而，0<A<1,

故喬=元+#=方+；1而=(1-22,2-22,22).

由BF_L4C,得而?m=0，

因此，2(1—24)+2(2-24)=0,解得；1=[,

即肝=(43|).

設(shè)元i=(%y,z)為平面E4B的一個(gè)法向量,

%=0

則即11a

--x+-y+-z=O'

22，2

不妨令z=1,可得元1=(0,-3,1).

取平面ABP的法向量元2=(0,1,0),

同利|-3|_3視

則|CO8(77i,7?2)|=

同I陶x/IOx1-10

易知，二面角F—AB—P是銳角,

所以其余弦值為嚕

解析：本題考查利用空間向量解決判定空間直線的垂直，求線面，面面角的問題和立體幾何中的探

索性問題，屬于中檔題.

(1)以點(diǎn)4為原點(diǎn)，AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積為零證

明BE1DC;

(2)求得平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而計(jì)算直線BE的方向向量與平面PBD的法向量所成角的余弦

的絕對(duì)值，即得線面所成角的正弦值；

(3)由點(diǎn)尸在棱PC上，設(shè)不=A而，0<2<1,求得BF的方向向量豆下的坐標(biāo)，由BF1AC,利用

空間向量的數(shù)量積為零求得;I的值，得到向量前的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面尸AB的一個(gè)法向量，求得平

面A8P和平面”B的法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值，由圖觀察得出二面角尸-AB-P是銳角，進(jìn)而

求出二面角F-AB-P的余弦值.

12.答案：證明：(1)如下圖：連接CE,

???AD//BC,BC=\AD,E為線段A。的中點(diǎn)，

???四邊形A8CE是平行四邊形，四邊形BCDE是平行四邊形,

設(shè)ACnBE=。，連接OF,則。是AC的中點(diǎn)，

???F為線段尸C的中點(diǎn)，

???AP//OF,

APC平面BEF,OFu平面BEF,

：.4P〃平面BEF；

(2)???四邊形8CCE是平行四邊形，

BE//CD,

■■■AP_L平面PCD,CDu平面PCD,

???AP1CD,

BELAP,

■■AB=BC,四邊形ABCE是平行四邊形，

四邊形ABCE是菱形，

???BE1.AC,

"APOAC=A,AP,ACu平面PAC,

BE_L平面PAC.

解析：本題考查直線與平面平行、垂直的判定，屬于中檔題.

(1)證明四邊形ABCE是平行四邊形，可得。是AC的中點(diǎn)，利用F為線段PC的中點(diǎn)，可得PA〃。凡

從而可證AP〃平面BEF；

(2)證明BE14P、BELAC,即可證明BE_L平面PAC.

13.答案：解：(1)由48=3,BC=4,4。=5知481.3(：.

vPAJ_底面ABCD,BCu平面ABCD,

PA1BC,

又?:PAQAB=A,PA,ABu平面PAB,

：.BC_L平面PAB,

C到平面P4B的距離為定值BC=4;

(2)設(shè)直線PC與平面PAO所成角為a,

■■AD//BC,AB1BC,-.AB1.AD,

X---PA1平面ABCD,ABu平面ABCD,.-.PAA.AB,

又P4n4D=4PA,ADu平面PAD,

AB_L平面PAD,

..B到平面PAD的距離為4B=3,

vBC//AD,ADu平面PAD,BCC平面PAD,

BC〃平面PAD,

C到平面PAD的距離4也等于3,

由PA=3,AC=5,PA1AC,PC=y/PA2+AC2=V34.

設(shè)直線PC與平面PAD所成角為a,

解析：本題考查線面垂直的判定，空間的距離，線面平行的判定，直線與平面所成的角，屬中檔題.

(1)由勾股定理逆定理得AB1BC.根據(jù)P4_L底面ABCD,得到P41BC,利用線面垂直判定定理得

BC，平面PAB,即得C到平面PAB的距離為BC=4;

(2)設(shè)直線PC與平面PAD所成角為a,AB1平面PAO,得至UB到平面PAD的距離為AB=3,根據(jù)

BC//AD,可得BC〃平面PAD,得到C到平面處。的距離d也等于3,用勾股定理計(jì)算PC,代入

sina=(可得.

14.答案：(1)證明：因?yàn)锽C1AB,BC1BE,ABQBE=B,

所以8cl平面ABEF,A~

因?yàn)锽Cu平面BC。，所以平面BCQ1平面ABEF,‘f外

又因?yàn)锳D〃BC,所以ADI平面ABEF,，':N'\

/--------------------------

因?yàn)?￡>ua,所以aJ■平面ABEF,/二二止二二二

因?yàn)槠矫鍮CQna=PQ,所以PQ_L平面A3EF.

(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

過B作BM1QC于M,過8作BN12Q于M

0),C(2,0,0),4(0,0,2),

因?yàn)镻QJL平面ABEF,又PQu平面APQ,所以平面4PQ，平面ABEF,

所以BN_L平面APQ,于是前為平面APQ的一個(gè)法向量，

取平面APQ的一個(gè)法向量沅=(2,0,1),

因?yàn)镕Q〃4B,所以FQJ_平面BCQ,

FQu平面CFQ,所以平面CFQ_L平面8C。，

所以，平面BCQ,于是麗為平面CFQ的一個(gè)法向量，

取平面CFQ的一個(gè)法向量記=(2,1,0),

所以平面AP。與平面CFQ所成銳二面角的余弦值為給=*=￡

|7n||n|v5-V55

解析：(1)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明；(2)用向量的數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值.

本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角的計(jì)算問題，屬于中檔題.

15.答案：解：(1)證明：如圖，連接

3

由AB=A&,乙41aB=60。，所以AABAi為等邊三角形

因?yàn)?C=2V3,BC=2,4B=4,

所以4避2=+BC2,所以BCJL&C,

又BC1AC,ACn4iC=C.AC.A^Cu平面ACCM],

所以BC1平面4CCi4.

(2)如圖，以C為原點(diǎn)，以射線C4CB分別為x,y軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

則C（0,0,0）,A（2悔0,0）,B（0,2,0）,公（V，。，子）

4V34V62V32V6

6（7＞。，與-），。（3"，-）

因此砸=(-竽,0,-金,

AB=(-26,2,0),磯=(一管,0,呼).

設(shè)平面48B141的法向量為司=（%,y,z）,

喉源之得忙總:可蛔—如）.

設(shè)直線與平面4BB14所成角為氏則sin0=|cos（砸，五>1=瑞強(qiáng)=當(dāng)

因此，直線與平面488送1所成角的正弦值是丑.

3

解析：本題考查線面垂直的判定以及直線與平面所成角，屬于中檔題；

（1）連接&B,先證BC1,A1C,又BC1力04。041。=04&41。e平面4。（；141，

可得BC_1_平面

（2）以C為原點(diǎn)，以射線C4cB分別為x,y軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

可得不=（一?,0,-乎），平面ZBBiA的法向量為元=（應(yīng)，歷,1）.設(shè)直線與平面4BB14所成

角為。，則sin9=|cos<A^D,n>\=廖普即可求解.

16.答案：（1）證明：連接4C,交4G于點(diǎn)o,連接on.

由ABC-aBlG是直三棱柱，

得四邊形4CG4為矩形，

。為&C的中點(diǎn)，又。為BC中點(diǎn)，

所以0。為A/liBC中位線，

所以4B〃OD,

因?yàn)镺Du平面ZDG，4包,平面4。。1，所以〃平面4DG；

(2)解：由力BC-&B1C1是直三棱柱，且NABC=90。，

故84,BC,8當(dāng)兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz“

\AB\=\BC\=2^\,/.ABC=90°,。是BC的中點(diǎn)，

?,.可設(shè)14Ali-1,|AB|—\BC\-2,\BD\—|DC|—1,

.??4(0,2,0),D(l,0,0),C(2,0,0),G(2,0,1),

.?.褊=(2,—2,1)，AD=(l,-2,0)，

設(shè)平面ADC］的法向量為五=(x,y,z),

則元?溫=0,n-AD=0,

(2x-2y+z=0一.八

???(x-2y=0，F(xiàn)=(2,1,-2),

???平面40c的法向量式=(0,0,1),

所以cos(元,4>=器=一|

又因?yàn)槎娼荊—AD-C是銳二面角，

所以二面角Cl一4。-C的余弦值為|.

解析：本題考查直線與平面平行的證明，利用空間向量求解二面角屬基礎(chǔ)題.

(1)連接4C,交4:1于點(diǎn)O,連接。。.由力BC-4B1C1是直三棱柱，得四邊形4CG4為矩形，由此

利用三角形中位線能夠證明為B〃平面4DG；

(2)由4BC-4B1Q是直三棱柱，且41BC=9O。，知8A,BC,兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系,

利用空間向量求解二面角G-4。-C的余弦值即可.

17.答案：解：⑴如圖，延長(zhǎng)BA,CO相交于E,連接SE,則SE為平面SCO與平面SBA的交線/.

證明:在△S4D中，SA=1,4D=iSD=多則4+如=

SD2,SALAD,

由S41/W,ADLAB,SACtAB=A,SA,AB均在平面SAB內(nèi)

得4。1平面SAB,

又BC〃加BCJ_平面SA8,貝IJ8C_LSE,

由PD〃BC,AB=BC=1,/ID=1,得4E=1,

AE=AB=SA,可得SEISB,

又：BCQSB=B,BS,BCu平面CSB內(nèi)，

SE1平面CSB,

即11平面CSB；

(2)由(1)知，SALAB,AD1AB,ADLSA.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AO,AB,AS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),D(i,0,0),

S(0,0,1),

前=C，-LO),設(shè)頁(yè)=2元(0<4<l),則QQ,4,1—4),

的=(A,A-1,1-A).

設(shè)元=(x,y,z)是平面QBO的一^法向量，

則:'吧，"一'=°，取x=2,可得