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必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(2)
1.如圖,A8是半圓。的直徑,C是半圓。上除A,8外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),OC垂直于半圓。所在的平
面,DC//EB,DC=EB=1,AB=4.
(1)證明:平面4DE_L平面ACD:
(2)當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí),求二面角D-AE—8的余弦值.
2.如圖,在四棱錐P-ABCD的底面梯形中,AD//BC,ABLBC,AB=1,AD=3,Z.ADC=45°,
又已知241平面ABCD,PA=1.
(1)異面直線PB與CD所成角的大小;
(2)四棱錐P-ABCD的體積.
3.在直三棱柱4BC-&B1C1中,AC=BC=五,AB=AA1=2,E是棱CC1的中點(diǎn).
(1)求證:4B1AE;
⑵求點(diǎn)占到平面ABE的距離.
4.已知四邊形A8CD為等腰梯形,ABHCD,E,尸分別是AB,CD的中點(diǎn),連接所,CD=2AB=
2EF=4如圖①所示.將梯形AEFD沿直線EF折起,連接CD,AB,G是C。的中點(diǎn),如圖②所
示.
D
(1)證明:BG〃平面AEFZ).
(2)若平面4EFD1平面BEFC,求點(diǎn)E到平面ABCD的距離.
5.如圖,在四棱錐P—A8CD中,底面ABCD為正方形,平面R4D,平面A8CD,點(diǎn)M在線段P8
上,PD〃平面MAC,PA=PD=V6,AB=4.
(1)求證:M為P8的中點(diǎn);
(2)求點(diǎn)C到平面BDP的距離d.
6.如圖所示,在四棱錐尸-48CD中,四邊形4BCZ)為菱形,AP/O為正三角形,且瓦夕分別
為40,46的中點(diǎn),P£_L平面力BC。,8£_L平面。40.
p
(1)求證:3cl.平面。笈5;
(2)求ER與平面POC所成角的正弦值.
7.如圖,正三棱柱ABC-4BiG中,AB=Z&=2,點(diǎn)P,。分別為8c的中點(diǎn).
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CG與平面4QG所成角的正弦值.
8.如圖,在四棱錐P-4BCD中,△P4。是等邊三角形,底面ABC。是菱形,AB=2,ADAB=60°.
(I)證明:AD1PB;
(n)若PB=V6,求二面角4-PB-C的余弦值.
9.如圖所示,已知四棱柱4BCD-力IBIGDI,四邊形A8C£>為直角梯形,AC〃BC,^ABC=90°,
AB=BC=44i=2AD=2,平面488出L平面ABCD,Z.BAAX=60°.
(1)若M為SB1的中點(diǎn),P為線段8c上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)GP1平面&CM,求CP的長(zhǎng).
(2)在(1)的條件下,求二面角C-GP-A的余弦值.
10.如圖,在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC—4B1G中,。是BC的中點(diǎn).
(1)求證:4。_L平面BCCiBi;
(2)求直線4G與平面BCG&所成角的正弦值.
11.如圖,在四棱錐P-4BCD中,PA1.^ABCD,AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,
點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:BE1DC;
(2)求直線BE與平面PBO所成角的正弦值;
(3)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BFJ.2C,求二面角F-AB-P的余弦值.
12.如圖,四棱錐P—ABC。中,API平面PC。,AD//BC,AB=BC=^AD,E,尸分別為線段
AD,PC的中點(diǎn).
(1)求證:AP〃平面BEF;
(2)求證:BEJ■平面PAC.
13.已知四棱錐P—ABCD中,PAIJgffiABCD,AD//BC,AB=3,BC=4,AC=5.
(1)當(dāng)PA變化時(shí),點(diǎn)C到平面PAB的距離是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說明
理由;
(2)若P4=3,求直線PC與平面PA。所成角的正弦值.
14.如圖,幾何體是圓臺(tái)的一部分,它是由直角梯形4BCD(其中4C〃BC,
AB1BC,AB=BC=2AD=2)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)90。
得到的.過AO作平面a交生于點(diǎn)P,交BE于點(diǎn)Q.
(1)求證:PQABEF;
(2)設(shè)。為BE的中點(diǎn),求平面AP。與平面CF。所成銳二面角的余弦值
15.如圖,在三棱柱ABC-AiBiG中,AB=AAr=4,BC=2,ArC=2V3,AC1BC.^AB=60°.
(1)證明:BC1平面4CQ4i;
(2)設(shè)點(diǎn)。為CG的中點(diǎn),求直線與平面4BB1Z1所成角的正弦值.
16.在直三棱柱ABC-4B1C1中,AB=BC=2AAA,乙4BC=90。,。是8c的中
(1)求證:〃平面ADQ.
(2)求二面角G一力。一C的余弦值.
17.如圖,在四邊形POC8中,PD//BC,BA1PD,PA=AB=BC=1,AD=|,沿BA將△P4B翻
折到△SB砸位置,使得死=今
(1)作出平面SCD與平面SBA的交線I,并證明,平面CSB;
(2)點(diǎn)。是棱SC上異于S,C的一點(diǎn),連接Q。,當(dāng)二面角Q-BD-C的余弦值為立時(shí),求此時(shí)
6
三棱錐Q-BCO的體積。
18.如圖,在四面體4-BCD中,二面角A-DC-B為60。,AC=AD=2,BC=BD,SBBCD=4,
/.CAD=90°.
(I)證明:ABLAC;
(11)若加,N在線段BC,BD上,旦BM+BN=g,求直線AB與平面AMN所成角的正弦值的
最大值.
19.如圖,三棱錐P-ABC中,PA=PB,D,E分另IJ為4B,4C的中點(diǎn),ABLAC.
求證:(1)DE〃平面PBC;
(2)4B1PE.
【答案與解析】
1.答案:(1)證明:???43是圓0的直徑,;.4(7,3配
vDC,平面ABC,BCu平面ABC,
???DC1BC,又DCnAC=C,
BC1平面ACD,
???DC//EB,DC=EB,
.?.四邊形。C2E是平行四邊形,OE〃BC,
DE_L平面ACD,
又DEu平面ADE,
二平面4C。_L平面ADE.
(2)當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí),AC=BC=2V2,
以C為原點(diǎn),以C4,CB,CO為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示:
則。(0,0,1),F(0,2V2,l)-4(2夜,0,0),8(0,2夜,0),
AB=(-2V2,2V2,0).BE=(0,0,1),DE=(0,2A/2,0),DA=(2>/2,0,-1),
設(shè)平面DAE的法向量為記=平面A8E的法向量為元=02,、2*2),
則伊(?羽=0,伊?亞=0,即[2或Xi-Zi=0,卜2ax2+2或%=0,
=O'In-RE=O'”3&力=0'kz2=0
令Xi=1得沅=(1,0,2>/2)>令&=1得元=(1,1>0).
,—>.、mn1\[2
???cos<m,n>=--r=——F=-?
|m||n|3x>/26
???二面角D-AE-B是鈍二面角,
???二面角。-AE-B的余弦值為-U.
6
解析:(1)由BC1AC,BC_LCC得BC_L平面ACZ),證明四邊形。CBE是平行四邊形得。E〃BC,故
而DE〃平面ACD,于是平面4DE_L平面ACD;
(2)建立空間坐標(biāo)系,求出兩半平面的法向量,計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大小.
本題考查了面面垂直的判定,空間向量與二面角的計(jì)算,屬于中檔題.
P
2.答案:解:(1)如圖,
在AO上,截取4E=1,連接BE,則N4EB=45。,/:
"AADC=45°,.-.BE//CD,連接PE,則4PBE為異面直線PB°
與C。所成角,8-C
AB=AE=1,AB1AD,BE=V2,
vPAl¥ffiABCD,:.PAAB,PArAE,
又P4=\,:.PB=PE=A/2,則4PBE為正三角形,
可得NPBE=60°,即異面直線PB與CO所成角的大小為60。;
(2)由(1)知四邊形8CQE為平行四邊形,
vAE=1,AD=3,1?.BC=ED=2.
SABCD=5(2+x1=
則四棱錐P-4BCC的體積V=;義qx1="
3No
解析:(1)由題意畫出圖形,在A。上,截取4E=1,連接BE,可得BE〃CD,則NPBE為異面直線
PB與C。所成角,然后求解三角形可得△PBE為正三角形,得到異面直線P8與C£>所成角的大小為
60°;
(2)由(1)知四邊形2C0E為平行四邊形,求出BC,在求出底面直角梯形的面積,由棱錐體積公式求
解.
本題考查異面直線所成角的求法,考查棱錐體積的求法,考查計(jì)算能力,是中檔題.
3.答案:(1)證明:取中點(diǎn)F,連結(jié)AF、EF、AE,'------二
???ABC-aB1G是直三棱柱,42比1
cCii&G,CQICB,
又???£是CCi的中點(diǎn),41cl=BC,.??&E=BE,/,裕-二
又AB=AAt,
???A-j^B1EF,ArB±AF,
又EFr)4F=F,AF,EFu平面AEF,
AiBJ_平面AEF,AEcTISlAEF,AXB1AE.
(2)解:設(shè)點(diǎn)兒到平面48E的距離,
B=XX
則匕1TBE=K-AAE322夜Xy/2=
1,?2
-xhxS^ABE=3>
AE=BE=V3>AB=2,S^ABE=V2?
解得/i=V2>
.??點(diǎn)4到平面ABE的距離為VI.
解析:本題考查線線垂直的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查空間中線線、線面、面面間的
位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
(1)取中點(diǎn)F,連結(jié)AF、EF、AE,推導(dǎo)出CQJ.aG,CQ1CB,AXBLEF,AXB1AF,從而
A^BIffiAEF,由此能證明_LAE.
(2)設(shè)點(diǎn)4到平面ABE的距離,由%L4BE=%TME,能求出點(diǎn)為到平面ABE的距離.
4.答案:(1)證明:取。F的中點(diǎn)K,連接KG,EK,如圖.
因?yàn)镚為。C的中點(diǎn),所以KG〃FC,KG=^FC.
因?yàn)镋B//FC,EB=:FC,所以EB〃KG,且EB=KG,
所以四邊形EBGK為平行四邊形,所以BG〃EK,
又BG笈平面AEFD,KEu平面AEFD,
所以BG〃平面AEFD.
(2)解:設(shè)D4,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,如圖,
則P6平面AEFD,PC平面BEFC.
因?yàn)槠矫?EFDn平面BEFC=EF,
所以P,E,尸三點(diǎn)共線.
易知AB1EF,CD1EF.
由翻折不變性可知,PELAE,PE1EB.
因?yàn)?EClEB=E,AE,EBu平面AEB,
所以PE1平面AE8.
因?yàn)榇?僚=3所以PE=EF=2,
DFPF2
PA=PB=>JAE2+PE2=V5.AB=&
過點(diǎn)P作PQ_L48,垂足為。,
則AQ=QB=當(dāng),
所以PQ=y/PA2-AQ2=苧.
所以SAP.B=XPQ=:x&x苧=I,
心博tP-4BE=彳*S&IE8XPE=-X-X1X1X1X2=".
MJ/O
又因?yàn)閘二帶惟£.3戶l'比鉞PABE,
1
所以點(diǎn)E到平面ABC。的距離”「『坦三”:;;.
鏟APAB2
解析:本題考查線面平行的判定定理,考查面面垂直的性質(zhì)及幾何體體積計(jì)算,屬于中檔題.
(1)取。F的中點(diǎn)K,連接KG,EK,證明BG〃EK,然后由線面平行的判定定理即可;
(2)設(shè)D4,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,可得P,E,尸三點(diǎn)共線.由翻折不變性及體積公式,由
V-0TUEIHPV'iTliPABE即可解題.
5.答案:(1)證明:如圖,設(shè)ACnBD=。,連接0M,
???4BCD為正方形,
???。為2。的中點(diǎn),
PD〃平面MAC,PDu平面PBD,平面PBDn平面AMC=0M,
(2)解:取AD中點(diǎn)G,
PA=PD,■■PG1AD,
???平面24。J■平面ABCD,且平面PADn平面4BCD=AD,PGu平面PAD,
:.PG_L平面ABCD,
又ADu平面ABCD,則PG1AD,
連接。G,則PG10G,
由G是AO的中點(diǎn),。是AC的中點(diǎn),可得OG〃DC,則。G14D.
以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以G。、GO、GP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz,
由P4=PD=瓜,AB=4,得0(2,0,0),4(—2,0,0),P(0,0,夜),C(2,4,0),B(-2,4,0),
紈
DP=(-2,0,72).OB=(-4,4,0),
設(shè)平面的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),
則由也受=。,得『”產(chǎn)二。,
(沆?DB=01-4%+4y=0
取z=V2,得沆=(1,1,企),
又加=(-3,-2凈,
故點(diǎn)C到平面BDP的距離d=萼1=2.
|m|
解析:本題考查線面平行的性質(zhì),訓(xùn)練了利用空間向量求解空間距離求解,屬于中檔題.
(1)設(shè)4CnBC=。,則O為的中點(diǎn),連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明。M〃PD,再由平行
線截線段成比例可得M為P8的中點(diǎn);
(2)取AD中點(diǎn)G,可得PG1AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG,平面ABCD,則PG1AD,連接OG,
則PGJLOG,再證明OGJ.4D.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以G。、GO、GP所在直線為x、y、z軸建立空
間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量,然后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求解.
6.答案:解:(1)證明:因?yàn)镻EJJHTABC。,即,平面引。,
又AOC平面ABCD,.4。U平面P.A。,
所以PEJ.4D,BELAD,
又PEC\BE=E,PEU平面PER3EU平面PEB,
所以4。1平面PEB,
由四邊形ABC。是菱形,得/W〃BC,
所以BC_L平面PEB;
(2)以E為原點(diǎn),EA,EB,EP分別為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè)菱形ABCQ的邊長(zhǎng)為2,則4E=ED=1,PA=2,PE=有,
BE=ylAB2-AE2=6,
則點(diǎn)4(1,0,0),B(0,V3,0),C(一2,71,0),£>(-1,0,0),P(0,0,回嗚今0),
DC=(-l,V3,0),DP=(1,0,V3),
設(shè)平面PDC的法向量為元=(x,y,z),
則由E,四=r+fy=。,解得卜="
(n-DP=%+V3z=0(x=—v3z
不妨令z=l,得記=(一百,一1,1);
又前=威會(huì)0),
所以EF與平面PQC所成角的正弦值為|需|=(士興(遺)=卓.
||n|-|EF||y/5xl5
解析:本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值,屬于中檔
題.
(1)先證PEJ.AD,BELAD,可證ADJ?平面PE8,再證AD〃BC,從而證得結(jié)論;
(2)以E為原點(diǎn),EA,EB,EP分別為x,?Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面尸DC的一個(gè)法向
量,從而求出EF與平面PDC所成角的正弦值.
7.答案:解:(1)如圖,在正三棱柱4BC-4B1G中,
設(shè)AC,41Gl的中點(diǎn)分別為。,。「
則,OB1OC,OOj1OC,OOj1OB,
故以頌,0C,西}為基底,
建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,
???AB=A&=2,A(0,—1,0),5(V3,0,0),C(0,l,
4(0,—1,2),Bi(百,0,2),Ci(0,1,2).
?.?點(diǎn)P為的中點(diǎn).
??.P(今心,2),
??廊=(-今-Q),近=(0,2,2).
\BP-ACi\
|cos<麗,AC;>|
\BP\\AC[\
_|7+4|_3%
-V5X2V2-20?
???異面直線BP與4G所成角的余弦值為:嘴;
(2):(2為8。的中點(diǎn)..弓弓,0)
;而=(今|,0),遍=(0,2,2),CQ=(0,0,2),
設(shè)平面AQG的一個(gè)法向量為記=(x,y,z),
,(A(2-n=—x+-y=0L
由:22,,可取元=(遍,一1,1),
L4cl?元=2y+2z=0
設(shè)直線CQ與平面4QQ所成角的正弦值為仇
sinO=|ixw<CC;,7?>|=~引-
I西H殖
2_V5
=礪=三’
???直線CC1與平面4QC1所成角的正弦值為g.
解析:本題考查了異面直線所成角,直線與平面所成角,向量法求空間角,考查學(xué)生的計(jì)算能力和
推理能力,屬于中檔題.
(1)設(shè)AC,41cl的中點(diǎn)分別為。,?!敢裕?能,E}為基底,建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,由
|cos〈而,而>>|=需翼可得異面直線BP與AG所成角的余弦值;
(2)求得平面4QCi的一個(gè)法向量為元,設(shè)直線CC]與平面4QG所成角的正弦值為凡可得s譏。=|cos<
CC1,n>\=熹魯,即可得直線CCi與平面2QC]所成角的正弦值.
8.答案:解:(I)令A(yù)。中點(diǎn)為。,連接PO,A0,
?.?底面ABCD是菱形,且=60°,
.,?△4B。是等邊三角形,PO1AD,
???P4=PO,.?.△P4D是等腰三角形,
???PO1AD,
vP0OB0=0,:.AD1平面PBO,
:PBu平面PBO,.-.ADJ.PB.
(□)???AB=2,則P4=2.
.?.由(I)知APAB,△4BD中邊長(zhǎng)為2的正三角形,
則P。=M,BO=百,
vPB=V6,
???PO2+BO2=PB2,即PO1B。,
又由(I)知,BOLAD,POLAD,
???以。為原點(diǎn),04OB,OP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
則4(1,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,V3),C(-2,遍,0),
設(shè)平面ABP的法向量為記=(x,y,z),由麗=(一1,通,0),AP=(-1,0,73).
?尢=0即尸+g=°令”后得完=(國(guó),1).
-n=0l-x+V3z=0
設(shè)平面BPC的法向量為沅=(x,y,z),由元=(-2,0,0),BP=(0,-百,75),
則嚼:I::叱制、Z=0?令y=L得記=(。?“),
2_Vio
從而n,m>=
cos<V5xV2-5
由圖可知二面角A-PB-C為鈍角,其余弦值為一唱.
解析:本題考查線面垂直的判定判斷線線位置關(guān)系以及利用空間向量法求二面角的余弦值,屬于中
檔題目.
(I)利用線面垂直的判定定理得出工。1平面P80,,進(jìn)而得出AD1PB;
(II)建立空間直角坐標(biāo)系求出面4PB與面PC8的法向量,進(jìn)而由公式得出cos<元,記〉,求出二面
角4-PB—C1的余弦值即可.
9.答案:解:(1)連接4B,取A8中點(diǎn)”,連接
由于為等邊三角形,則
又△&B8i為等邊三角形,M為BBi的中點(diǎn),故
由題意知BC1AB,
又因?yàn)槠矫?88出1平面ABCD,平面48B遇1n平面4BC。=AB,BCu平面ABCD,
因此BCJ_平面ABB141,
又BCu平面BCGa,
故平面BCC/i平面4BB141,
又平面8"1當(dāng)C平面4峭&=ArM1BBy,u平面488出,
因此41M_L平面BCCiBi,
又GPu平面BCGBi,所以GPJ.aM,
因?yàn)锽C_L平面ABB1人,BBiu平面488出,
所以BCLBBi,所以四邊形BCC/i為矩形,
過點(diǎn)G作GP1CM,此時(shí)NCqP=4BCM,
故tanz_CCiP=tan/BCM,即竽=誓=3故CP=1,
2BC2
又因?yàn)镚P14M,CMC&M=M,CM,u平面&CM,
故GPJ■平面&CM,符合題意.
(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
尸(0,1,0),C(0,2,0),Di(1,1,V3),CiC-1,2,遮),
在平面CPC1中,PC=(0,1.0),~pc[=(-1,1,V3),
設(shè)該平面CPC1的法向量為沅=(Xi,yi,Zi).
貝膽.堂o即『】=0,
(m?PC]=0,(—%i+yi+=0,
令Zi=1,則沆=(V3,0,1),
在平面Cl。/中,西=(1,0,遮),
設(shè)該平面ClDJ的法向量為記=(.X2,y2,z2),
則,'Z5=0,即卜2+岳2=0,
(n-PQ=0,l-x2+丫2+V3^2=0,
令Z2=1,則有=(-V3,-2V3,1),
設(shè)二面角C-GP-5的平面角為。,
則cos。=cos<m,n>==-;,
|沆Hn|4
解析:本題考查了線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)和利用空間向量求面面的夾角,是中檔題.
(1)由平面4BB送1ABCD,得BC1平面故平面BCQB],平面4B8遇口因此1_平
面BCCiBi,所以GPL&M,過點(diǎn)G作GPLCM,可得GP1平面&CM,計(jì)算可得結(jié)果;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,得出平面CPC1的法向量和平面GDiP的法向量,由空間向量求解即可.
10.答案:(1)證明:直三棱柱ABC—41當(dāng)6中,8Bi_L平面ABC,/Du平面ABC,
:.BBi1AD,
"AB=AC,。是BC的中點(diǎn),
:.AD1BC,
又BCCBBLB,BC、BBiu平面BCG%,
???AD_L平面BCQB].
(2)解:如圖,連接Q£?,
由(1)可知,4DJ?平面BCQBi,
則44加。即為直線4cl與平面BCC$i所成角,
因?yàn)?。J■平面BCCiBi,u平面BCCiBi,
所以AD1GD,
在RtZ\.4C'i。中,AD=4cl=應(yīng),
所以sinN.AC'i。=■:氏=,
所以直線4cl與平面BCC】Bi所成角的正弦值為它.
4
解析:本題考查線面垂直的判定,直線與平面所成角,屬于中檔題.
⑴由題意,可得到力。1BB、,并且4。1BC,從而由線面垂直的判定定理可得到4D,平面BCCiBj
(2)連接G。,可得到々AC1。為直線AC1和平面8CGB1所成角,即可得解.
11.答案:解:(1)依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,
可得8(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由E為棱PC的中點(diǎn),得E(l,l,1).
BE=(0,1-1).DC=(2,0,0),
故屁?玩=0,所以BE1OC.
⑵前=(一1,2,0),麗=(1,0,-2).
設(shè)記=(xj,z)為平面PBD的一個(gè)法向量,
—x+2y=0,
<:S:oMx—2z=0.
不妨令y=l,可得詁=(2,1,1).
%兩_2_遺
于是有醒>|
同畫I-我義陋一T
所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為宜.
3
(3)近=(1,2,0),前=(一2,—2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0).
由點(diǎn)F在棱PC上,設(shè)方=4而,0<A<1,
故喬=元+#=方+;1而=(1-22,2-22,22).
由BF_L4C,得而?m=0,
因此,2(1—24)+2(2-24)=0,解得;1=[,
即肝=(43|).
設(shè)元i=(%y,z)為平面E4B的一個(gè)法向量,
%=0
則即11a
--x+-y+-z=O'
22,2
不妨令z=1,可得元1=(0,-3,1).
取平面ABP的法向量元2=(0,1,0),
同利|-3|_3視
則|CO8(77i,7?2)|=
同I陶x/IOx1-10
易知,二面角F—AB—P是銳角,
所以其余弦值為嚕
解析:本題考查利用空間向量解決判定空間直線的垂直,求線面,面面角的問題和立體幾何中的探
索性問題,屬于中檔題.
(1)以點(diǎn)4為原點(diǎn),AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的數(shù)量積為零證
明BE1DC;
(2)求得平面的一個(gè)法向量,進(jìn)而計(jì)算直線BE的方向向量與平面PBD的法向量所成角的余弦
的絕對(duì)值,即得線面所成角的正弦值;
(3)由點(diǎn)尸在棱PC上,設(shè)不=A而,0<2<1,求得BF的方向向量豆下的坐標(biāo),由BF1AC,利用
空間向量的數(shù)量積為零求得;I的值,得到向量前的坐標(biāo),進(jìn)而求得平面尸AB的一個(gè)法向量,求得平
面A8P和平面”B的法向量的夾角的余弦的絕對(duì)值,由圖觀察得出二面角尸-AB-P是銳角,進(jìn)而
求出二面角F-AB-P的余弦值.
12.答案:證明:(1)如下圖:連接CE,
???AD//BC,BC=\AD,E為線段A。的中點(diǎn),
???四邊形A8CE是平行四邊形,四邊形BCDE是平行四邊形,
設(shè)ACnBE=。,連接OF,則。是AC的中點(diǎn),
???F為線段尸C的中點(diǎn),
???AP//OF,
APC平面BEF,OFu平面BEF,
:.4P〃平面BEF;
(2)???四邊形8CCE是平行四邊形,
BE//CD,
■■■AP_L平面PCD,CDu平面PCD,
???AP1CD,
BELAP,
■■AB=BC,四邊形ABCE是平行四邊形,
四邊形ABCE是菱形,
???BE1.AC,
"APOAC=A,AP,ACu平面PAC,
BE_L平面PAC.
解析:本題考查直線與平面平行、垂直的判定,屬于中檔題.
(1)證明四邊形ABCE是平行四邊形,可得。是AC的中點(diǎn),利用F為線段PC的中點(diǎn),可得PA〃。凡
從而可證AP〃平面BEF;
(2)證明BE14P、BELAC,即可證明BE_L平面PAC.
13.答案:解:(1)由48=3,BC=4,4。=5知481.3(:.
vPAJ_底面ABCD,BCu平面ABCD,
PA1BC,
又?:PAQAB=A,PA,ABu平面PAB,
:.BC_L平面PAB,
C到平面P4B的距離為定值BC=4;
(2)設(shè)直線PC與平面PAO所成角為a,
■■AD//BC,AB1BC,-.AB1.AD,
X---PA1平面ABCD,ABu平面ABCD,.-.PAA.AB,
又P4n4D=4PA,ADu平面PAD,
AB_L平面PAD,
..B到平面PAD的距離為4B=3,
vBC//AD,ADu平面PAD,BCC平面PAD,
BC〃平面PAD,
C到平面PAD的距離4也等于3,
由PA=3,AC=5,PA1AC,PC=y/PA2+AC2=V34.
設(shè)直線PC與平面PAD所成角為a,
解析:本題考查線面垂直的判定,空間的距離,線面平行的判定,直線與平面所成的角,屬中檔題.
(1)由勾股定理逆定理得AB1BC.根據(jù)P4_L底面ABCD,得到P41BC,利用線面垂直判定定理得
BC,平面PAB,即得C到平面PAB的距離為BC=4;
(2)設(shè)直線PC與平面PAD所成角為a,AB1平面PAO,得至UB到平面PAD的距離為AB=3,根據(jù)
BC//AD,可得BC〃平面PAD,得到C到平面處。的距離d也等于3,用勾股定理計(jì)算PC,代入
sina=(可得.
14.答案:(1)證明:因?yàn)锽C1AB,BC1BE,ABQBE=B,
所以8cl平面ABEF,A~
因?yàn)锽Cu平面BC。,所以平面BCQ1平面ABEF,‘f外
又因?yàn)锳D〃BC,所以ADI平面ABEF,,':N'\
/--------------------------
因?yàn)?£>ua,所以aJ■平面ABEF,/二二止二二二
因?yàn)槠矫鍮CQna=PQ,所以PQ_L平面A3EF.
(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
過B作BM1QC于M,過8作BN12Q于M
0),C(2,0,0),4(0,0,2),
因?yàn)镻QJL平面ABEF,又PQu平面APQ,所以平面4PQ,平面ABEF,
所以BN_L平面APQ,于是前為平面APQ的一個(gè)法向量,
取平面APQ的一個(gè)法向量沅=(2,0,1),
因?yàn)镕Q〃4B,所以FQJ_平面BCQ,
FQu平面CFQ,所以平面CFQ_L平面8C。,
所以,平面BCQ,于是麗為平面CFQ的一個(gè)法向量,
取平面CFQ的一個(gè)法向量記=(2,1,0),
所以平面AP。與平面CFQ所成銳二面角的余弦值為給=*=£
|7n||n|v5-V55
解析:(1)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明;(2)用向量的數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值.
本題考查了直線與平面的位置關(guān)系,考查了二面角的計(jì)算問題,屬于中檔題.
15.答案:解:(1)證明:如圖,連接
3
由AB=A&,乙41aB=60。,所以AABAi為等邊三角形
因?yàn)?C=2V3,BC=2,4B=4,
所以4避2=+BC2,所以BCJL&C,
又BC1AC,ACn4iC=C.AC.A^Cu平面ACCM],
所以BC1平面4CCi4.
(2)如圖,以C為原點(diǎn),以射線C4CB分別為x,y軸正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
則C(0,0,0),A(2悔0,0),B(0,2,0),公(V,。,子)
4V34V62V32V6
6(7>。,與-),。(3",-)
因此砸=(-竽,0,-金,
AB=(-26,2,0),磯=(一管,0,呼).
設(shè)平面48B141的法向量為司=(%,y,z),
喉源之得忙總:可蛔—如).
設(shè)直線與平面4BB14所成角為氏則sin0=|cos(砸,五>1=瑞強(qiáng)=當(dāng)
因此,直線與平面488送1所成角的正弦值是丑.
3
解析:本題考查線面垂直的判定以及直線與平面所成角,屬于中檔題;
(1)連接&B,先證BC1,A1C,又BC1力04。041。=04&41。e平面4。(;141,
可得BC_1_平面
(2)以C為原點(diǎn),以射線C4cB分別為x,y軸正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,
可得不=(一?,0,-乎),平面ZBBiA的法向量為元=(應(yīng),歷,1).設(shè)直線與平面4BB14所成
角為。,則sin9=|cos<A^D,n>\=廖普即可求解.
16.答案:(1)證明:連接4C,交4G于點(diǎn)o,連接on.
由ABC-aBlG是直三棱柱,
得四邊形4CG4為矩形,
。為&C的中點(diǎn),又。為BC中點(diǎn),
所以0。為A/liBC中位線,
所以4B〃OD,
因?yàn)镺Du平面ZDG,4包,平面4。。1,所以〃平面4DG;
(2)解:由力BC-&B1C1是直三棱柱,且NABC=90。,
故84,BC,8當(dāng)兩兩垂直.
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz“
\AB\=\BC\=2^\,/.ABC=90°,。是BC的中點(diǎn),
?,.可設(shè)14Ali-1,|AB|—\BC\-2,\BD\—|DC|—1,
.??4(0,2,0),D(l,0,0),C(2,0,0),G(2,0,1),
.?.褊=(2,—2,1),AD=(l,-2,0),
設(shè)平面ADC]的法向量為五=(x,y,z),
則元?溫=0,n-AD=0,
(2x-2y+z=0一.八
???(x-2y=0,F(xiàn)=(2,1,-2),
???平面40c的法向量式=(0,0,1),
所以cos(元,4>=器=一|
又因?yàn)槎娼荊—AD-C是銳二面角,
所以二面角Cl一4。-C的余弦值為|.
解析:本題考查直線與平面平行的證明,利用空間向量求解二面角屬基礎(chǔ)題.
(1)連接4C,交4:1于點(diǎn)O,連接。。.由力BC-4B1C1是直三棱柱,得四邊形4CG4為矩形,由此
利用三角形中位線能夠證明為B〃平面4DG;
(2)由4BC-4B1Q是直三棱柱,且41BC=9O。,知8A,BC,兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,
利用空間向量求解二面角G-4。-C的余弦值即可.
17.答案:解:⑴如圖,延長(zhǎng)BA,CO相交于E,連接SE,則SE為平面SCO與平面SBA的交線/.
證明:在△S4D中,SA=1,4D=iSD=多則4+如=
SD2,SALAD,
由S41/W,ADLAB,SACtAB=A,SA,AB均在平面SAB內(nèi)
得4。1平面SAB,
又BC〃加BCJ_平面SA8,貝IJ8C_LSE,
由PD〃BC,AB=BC=1,/ID=1,得4E=1,
AE=AB=SA,可得SEISB,
又:BCQSB=B,BS,BCu平面CSB內(nèi),
SE1平面CSB,
即11平面CSB;
(2)由(1)知,SALAB,AD1AB,ADLSA.
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AO,AB,AS所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則4(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),D(i,0,0),
S(0,0,1),
前=C,-LO),設(shè)頁(yè)=2元(0<4<l),則QQ,4,1—4),
的=(A,A-1,1-A).
設(shè)元=(x,y,z)是平面QBO的一^法向量,
則:'吧,"一'=°,取x=2,可得
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