高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：導(dǎo)數(shù)的概念

1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標】

1.了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2.理解導(dǎo)數(shù)的概念,知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù),體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；

3.會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù).

【重點難點】瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念.

【學(xué)習(xí)內(nèi)容】

一、創(chuàng)設(shè)情景

探究：計算運動員在OWEW奐這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

49

(1)運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

二、學(xué)習(xí)新知

1.瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.運動員的平均速度不能反映他在

某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，f=2時的瞬時速

度是多少？考察r=2附近的情況：

時，在［2+4,2］這段時間內(nèi)Az>0時，在［2.2+&］這段時間內(nèi)」

,二:(2)-次2+拉)_4.9A?+133-_-(2+4)--(2)_-4.9A”-13.14

2-(2+AZ)-4-(2+A/)-2A/

二Y.她-13.1=-494-13.1

當4=一0.01時，4=73.051；~當4=0.01時，4=73.051；.

當4=-0.001時，△￡=-13.0951；?當&=0.001時，4=-13.0951,,

當&=一0.001時，=-13.09951；當4=0.001時，4=-13.09951；~

當4=-0.0001時，A/=-13.09995b~當4=0.0001時，AZ=-13.099951；。

當4=-0.00001時，△/=-13.09995b.當4=0.00001時，4=-13.099951；.

.......?

思考：當加趨近于0時,平均速度;有什么樣的變化趨勢？

結(jié)論：

2.導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)y=f(x)在l=%。處的瞬時變化率是：

lim&^上&2=limM

Axf0AvAx->0Ax

我們稱它為函數(shù)y=/(%)在％=玉)出的導(dǎo)數(shù)，

?

記作/'(/)或yL=/

即/'(%)=lim

-Ax

說明：(i)導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=/(%)在％=玉)處的瞬時變化率；

⑵Ar=%-%0,當Ax—0時，%7%,所以

/'(%)=lim/(幻一X%。)

Xf與x-x0

三、典例分析

例1(1)求函數(shù)y=3/在％=1處的導(dǎo)數(shù).

(2)求函數(shù)/(x)=--+X在》=—1附近的平均變化率，并求出該點處的導(dǎo)

數(shù).

分析：先求寸=Ay=/(/+Ar)-/(x0),再求空，最后求lim—.

Ax小―。Ar

解：⑴

⑵

例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加

熱,如果第勸時，原油的溫度(單位：。C)為Cx)==-7x+15(04x48),計

算第2/z時和第6/z時,原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

解：

注：一般地，/(4)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況.

四、課堂練習(xí)

1.質(zhì)點運動規(guī)律為s=產(chǎn)+3,求質(zhì)點在1=3的瞬時速度為.

2.求曲線y=f(x)-/在x=l時的導(dǎo)數(shù).

3.例2中,計算第3力時和第5/1時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.

五.【課堂小結(jié)與反思】

【課后作業(yè)與練習(xí)】

1.自變量由X。變到為時，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)（）

A在區(qū)間上的平均變化率

B在/處的變化率

C在玉處的變化率

D在區(qū)間［%,再］上的導(dǎo)數(shù)

2.下列各式中正確的是（）

/(4-?)-/(%)

AyL「lim

ADAr

f(x-Ar)-/(Ax)

B/(xo)=lim0

AVTOAA-

/(x+Ar)+/(x)

C川『二lim00

Ar->0Ar

/U)-/(%()-Ax)

D/(x())=lim()

AsOAr

3.設(shè)/（x）=ox+4,若/⑴=2,則a的值（）

A2B.-2

C3D-3

4.任一做直線運動的物體，其位移s與時間，的關(guān)系是s=3f-〃，則物體的初速

度是（）

A0B3

C-2D3-2t

_1

5.函數(shù)'=%+：,在X=1處的導(dǎo)數(shù)是

6.y=x3—1,當％=2時,］而絲=

7.(1)已知f(x)在尤=4處的導(dǎo)數(shù)為A,求lin/6