高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的最大(小)值》導(dǎo)學(xué)案

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值

卜課前白主預(yù)習(xí)

函數(shù)的最大值和最小值

1.最大值

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=於)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M

滿足：

①［H對(duì)于任意的都有心)WM

②②存在任￡/,使得/Uo)=K

那么，稱M是函數(shù)y=4r)的最大值.

(2)幾何意義：囪函數(shù)y=/U)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).

2.最小值

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=?x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M

滿足：

①⑷對(duì)于任意的都有九

②5］存在xo￡/,使得《ro)=M.

那么，稱M是函數(shù)y=?x)的最小值.

(2)幾何意義：國函數(shù)y=")的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).

H自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值.()

(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小.()

(3)函數(shù)1%)=一尤在［2,3)上的最大值為一2,無最小值.()

答案(1)X(2)X(3)J

2.做一做

(1)(教材改編P32T5)如圖為函數(shù)y=/u),%￡［—4,7］的圖象，此函

數(shù)最大值為,最小值為.

⑵函數(shù)式在區(qū)間［1,5］上的最大值為，最小值為

*

1%+3,%<1,

(3)函數(shù)y=的最大值為_________.

［XIO9X1

答案(1)3-2(2)31(3)5

卜課堂互動(dòng)探究

『釋疑解難』

函數(shù)的最值和值域的區(qū)別與聯(lián)系

(1)聯(lián)系：函數(shù)的最值和值域反映的都是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對(duì)的

是整個(gè)定義域.

(2)區(qū)別

①函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最大(小)值不一定存在；

②若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素，例如，函數(shù)ZU)

=必對(duì)任意的％￡R,都有1工)2—1,但是式幻的最小值不是一1,因

為一1不在大X)的值域內(nèi)；

③對(duì)單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值；若函數(shù)

的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.

探究1利用圖象求函數(shù)最值

pr2,—lWxWl,

例1（1）已知函數(shù)/（%）=<1求兀x）的最大值、最

匕，％”

小值；

（2）畫出函數(shù)*的圖象，并寫出

1%2+2%—1,%￡[0,+oo）

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值.

解（1）作出函數(shù)犬X）的圖象（如圖）.

由圖象可知，當(dāng)％=±1時(shí)，於）取最大值為加1）=1;當(dāng)％=0時(shí)，

/%）取最小值90）=0,

故?x）的最大值為1,最小值為0.

（2y（x）的圖象如圖所示，“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）和[0,+

°°）,函數(shù)的最小值為<0）=-1.

拓展提升

圖象法求最值的一般步驟

【跟蹤訓(xùn)練1】求函數(shù)y=|%+l|一僅一2|的最大值和最小值.

r3(42),

解y=|x+l|一2|=j2%—1(—l<x<2),作出函數(shù)的圖象,

、一3(%W—1).

由圖可知，)￡[—3,3].

探究2利用單調(diào)性求函數(shù)最值

4

例2求函數(shù)<%)=%+;在%￡[1,3]上的最大值與最小值.

解解法一：圖象法，可利用對(duì)勾函數(shù)圖象求解.

44

解法二：設(shè)1W%IVQW3,則?XI)—?X2)=%I—X2+1一1=(為一

-A.142

又因?yàn)閄\<X2,所以—%2<0.

4

當(dāng)1WXI〈％2W2時(shí)，1—77<0,

所以人為)一/(九2)〉0,

所以/U)在口⑵上是減函數(shù).

4

當(dāng)2<%I<X2W3時(shí)，1—>0,

所以/Ui)—XX2)<0.

所以兀X)在(2,3］上是增函數(shù).

_4

所以八工)的最小值為｛2)=2+1=4.

413

又因?yàn)?lt;1)=5,A3)=3+3=y<KD,

所以/U)的最大值為5.

拓展提升

利用單調(diào)性求函數(shù)最值

(1)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法，特別是當(dāng)

函數(shù)圖象不易作出時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法.

(2)注意對(duì)問題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)

行辨析；注意對(duì)問題中求最值的區(qū)間的端點(diǎn)值的取舍.

【跟蹤訓(xùn)練2］求函數(shù)丁=生在區(qū)間［1,2］上的最大值和最小

值.

解任取為，X2,且1WXI<X2W2,

貝M'D一於2)二各一號(hào)

一42-一為強(qiáng)+3強(qiáng)

⑶-3)(x2—3)

(%2—?)［3(%1+%2)一制12］

=(制一3)(X2—3)'

因?yàn)?VX2<2,

所以2<￥1+%2<4,

即6<3(%I+%2)〈12,又14I%2<4,X2~XI>0,

故於|)一於2)>0,即yi>>2,

所以函數(shù)曠=占在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，

所以ymax=/(l)=—>min=A2)=—4.

探究3求二次函數(shù)的最值

例3(1)已知函數(shù)4%)=%2—2尤一3,若%￡[0,2],求函數(shù)八%)的最

值；

(2)已知函數(shù)?r)=9-2x-3,若x￡[/"+2],求函數(shù)?x)的最值；

(3)已知函數(shù)?￥)=%—2出一3,求函數(shù)/(%)的最值.

解(1廣.函數(shù)/(%)=r—2%—3開口向上，對(duì)稱軸％=1,

???/U)在。1】上單調(diào)遞減，在“⑵上單調(diào)遞增，且式0)=/(2).

.1■^)maX=/(0)=/(2)=-3,

凡X)min=/U)=-4.

(2)：對(duì)稱軸％=1,

①當(dāng)1力+2即W—1時(shí),

A^)max=/0=Z2-2Z-3,

/U)min="+2)=F+2L3.

②當(dāng)2Wl</+2,即一luWO時(shí)，

/U)max=/W=F_2，_3,

凡X)min=/(l)=-4.

③當(dāng)口1<"；+2,即0<Wl時(shí)，

八%)max+2)=戶+27—3,

凡X)min=/U)=—4.

④當(dāng)l<t,即/>1時(shí)，

?X)max=Kf+2)=/2+27—3,

X^)min=J(t)=t2—2t—3.

設(shè)函數(shù)最大值為g(r),最小值為9。)，則有

t2—2t—3,/'W0,

g("—1-+2/—3,t>0,

12+2/—3,/W—1,

*)=<—4,—1<^1,

、戶一2t—3,t>l.

(3)設(shè)出=/(/20),則%—2也一3=^—2/—3.

由(1)知丁=戶一2，-3。20)在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,+°°)上單調(diào)

遞增，

...當(dāng)￡=1即％=1時(shí)，火%)min=-4,無最大值.

拓展提升

二次函數(shù)最值的求法

(1)探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y=/U)

的草圖，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.特別要注意二次函數(shù)的對(duì)

稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問

題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得.

(2)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的位置通常有三種關(guān)系:

①對(duì)稱軸在定義域的右側(cè)；②對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)；③對(duì)稱軸在定

義域區(qū)間內(nèi).

【跟蹤訓(xùn)練3］(1)已知函數(shù)凡x)=%4—2x2—3,求函數(shù)凡X)的最

值；

(2)求二次函數(shù)/(%)=/-2以+2在［2,4］上的最小值.

解(1)設(shè)則d—2f—3=P—2/—3.

、=產(chǎn)一2/—3?20)在［0,1］上單調(diào)遞減,在［1,+8)上單調(diào)遞增.

...當(dāng)r=l即％=±1時(shí)，/(X)min=-4,無最大值.

(2)'.?函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是％=4,

...當(dāng)。<2時(shí)，7U)在［2,4］上是增函數(shù)，

.?0)min=A2)=6—4a

當(dāng)a>4時(shí)，“X)在［2,4］上是減函數(shù)，

;&)min=犬4)=18—8a.

當(dāng)2WaW4時(shí)，火%)min=A&)=2一層.

6—4a,a<2,

2

.\A%)min=<2—tz,2<aW4,

、18—8a,a>4.

探究4應(yīng)用題中的最值問題

例4某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)

一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：

]400x—^x2,0W%W400,

R(%)=J2其中％是儀器的月產(chǎn)量.

[80000,x>400,

(1)將利潤表示為關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)1AX)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元?

(總收益=總成本+利潤)

解(1)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為(20000+100%)元，

-^+300^-20000,0W%W400,

從而/(%)=

60000-IOOJC,X>400.

(2)當(dāng)0WxW400時(shí)，=-1(x-300)2+25000,

當(dāng)％=300時(shí)，.")max=25000；

當(dāng)％〉400時(shí),共X)=60000—100x是減函數(shù),犬光)<60000-100X400

=20000<25000.

二.當(dāng)％=300時(shí)，X^)max=25000.

即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)公司所獲利潤最大，最大利潤為25000

元.

拓展提升

解實(shí)際應(yīng)用題的四個(gè)步驟

(1)審題：解讀實(shí)際問題，找出已知條件、未知條件，確定自變量

和因變量的條件關(guān)系.

(2)建模：建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式.

(3)求解：分析函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究問題解法(一定注意

自變量的取值范圍）.

（4）回歸：數(shù)學(xué)問題回歸實(shí)際問題，寫出答案.

【跟蹤訓(xùn)練41某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時(shí)向蓄水

池注水80噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)供水，/小時(shí)內(nèi)供水量為

80A顧噸，現(xiàn)在開始向池中注水并同時(shí)向居民供水，多少小時(shí)后蓄水

池中水量最少？

解設(shè)，小時(shí)后，池中水量為y噸，

貝U>'=450+80/-80^20/=4（^20？-10）2+50,

當(dāng)廊=10,即，=5時(shí)，ymin=50,

所以，5小時(shí)后蓄水池中水量最少，只有50噸.

1

f-----------------------1淵轆升------------------

1.求函數(shù)最大（小）值的常用方法

（1）值域.求出函數(shù)兀r）的值域，即可求其最值（注意必須確保存

在函數(shù)值里的最值）；

（2）單調(diào)性法.通過研究函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值；

（3）特殊函數(shù)法.利用特殊函數(shù)［如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例

函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性來求其最值.

Ji

2.函數(shù)的值域與最大（?。┲档膮^(qū)別

（1）函數(shù)的值域是一個(gè)集合，函數(shù)的最值是一個(gè)函數(shù)值，它是值

域的一個(gè)元素，即定義域中一定存在一個(gè)使（最值）.

（2）函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大（?。┲?，如y=

%在%￡（—1,1）時(shí)無最值.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.函數(shù)凡r）在［—2,+8）上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、

最小值分別為（）

A.3,0

B.3,1

C.3,無最小值

D.3,-2

答案C

解析觀察圖象可以知道，圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),從而其最

大值是3；另外從圖象看，無最低點(diǎn)，即該函數(shù)不存在最小值.故選

C.

2.已知函數(shù)?x)=￡-2,其中工￡[0,2],這個(gè)函數(shù)的最大值和最

小值分別為()

A.-2和1B.2和一2

C.2和一1D.一1和2

答案B

解析?.?4%)=好一2,%￡[0,2]是單調(diào)遞增函數(shù)，

...ymax=犬2)=2,ymin=犬0)=-2.

3.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)

分別為心=—%2+2￡和￡2=2%(其中銷售量單位：輛).若該公司在

兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為()

A.90萬元B.60萬元

C.120萬元D.120.25萬元

答案C

解析設(shè)公司在甲地銷售％輛，則在乙地銷售(15—%)輛，公司獲

(⑼192

利為L——/+21%+2(15—%)=—%之+19%+30=—1%--^J2+30+-^-,

，當(dāng)x=9或10時(shí)，L最大為120萬元.

4.函數(shù)y=—f+6%+9在區(qū)間[a,上有最大值9,最

小值-7,則a=,b=.

答案一20

2

解析_y=—(X—3)+18,a<h<?>,

二.函數(shù)y在區(qū)間出，句上單調(diào)遞增，即一"+68+9=9,

得。=03=6不合題意，舍去)，由一Q2+6Q+9=-7,

得a=-2(a=8不合題意，舍去).

5.已知二次函數(shù)y=x2-4x+5,分別求下列條件下函數(shù)的最小

值：

(l)xe[-l,0]；(2)%e[a,a+1].

解(1)'..二次函數(shù)y=x^-4x+5的對(duì)稱軸為％=2且開口向上,

二.二次函數(shù)在工￡[—1,0]上是單調(diào)遞減的.

2

/.)7min=O—4X04-5=5.

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在工￡[a,。+1]上是單調(diào)遞增的，

ymin=q2-4。+5；

當(dāng)a+lW2即aWl時(shí)，函數(shù)在[a,a+1]上是單調(diào)遞減的，)min=

(a+1)2—4(a+1)+5=/—2a+2；

當(dāng)a<2<a~\~\即\<a<2時(shí)，)；min=22-4X2+5=1.

’a2—2。+2,

故函數(shù)的最小值為

4Q+5,-22.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

2

1.已知函數(shù)/U)=-(x￡[2,6]),則函數(shù)的最大值為()

XJL

A.0.4B.1C.2D.2.5

答案C

2

解析:函數(shù)40=一二丁在[2,6]上是單調(diào)遞減函數(shù)，.?式耳皿=/(2)

X1

2

2^=2.

2.已知函數(shù)八%)=僅|,則八%)的最大值為()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析根據(jù)函數(shù)圖象可知，加0的最大值為3.

2x+6,x￡[l,2],

3.函數(shù)於)=,1八則/U)的最大值、最小值分

x+7,1,1),

別為()

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不對(duì)

答案A

解析當(dāng)1W%W2時(shí)，8W2%+6W10,當(dāng)一1W%<1時(shí)，6W%+7

V8..\/U)min=A—l)=6,凡r)max=A2)=10.故選A.

4.已知函數(shù)y=/—2%+3在區(qū)間[0,河上有最大值3,最小值

2,則相的取值范圍是()

A.[1,+8)B.[0,2]

C.(一8,2]D.[1,2]

答案D

解析由y=x2—2%+3=(%—1>+2知，當(dāng)％=1時(shí)，y的最小值

為2,當(dāng)y=3時(shí)，2%+3=3,解得％=0或%=2.由y=%2—2%+3

的圖象知，當(dāng)相￡[1⑵時(shí)，能保證y的最大值為3,最小值為2.

5.若函數(shù)產(chǎn)內(nèi)+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)

數(shù)。的值是()

A.2B.-2C.2或一2D.0

答案C

解析當(dāng)。=0時(shí)，不滿足題意；當(dāng)。>0時(shí)，y=ox+l在[1,2]上

為增函數(shù)，所以2Q+1—(a+l)=2,解得。=2；當(dāng)。<0時(shí)，y=ax+

1在［1,2］上為減函數(shù)，所以a+1—(2a+l)=2,解得a=-2,故a=

±2.

二、填空題

6.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋邸?,6］,且在區(qū)間［—4,—2］上遞減，

在區(qū)間［—2,6］上遞增，且八一4)勺(6),則函數(shù)?r)的最小值是,

最大值是.

答案八一2)犬6)

解析函數(shù)y=?r)在［-4,6］上的圖象的變化趨勢(shì)如圖所示，觀察

可知IA%)min=A-2).

又由題意可知八-4)勺(6),

故八)%max=/(6).

7.函數(shù)/(%)=:在［1,/S>1)上的最小值是"，則b=.

答案4

解析因?yàn)榉瞨)=；在［1,加上是減函數(shù)，所以八%)在［1,切上的最

小值為綱=(巖，所以6=4.

8.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積