2025高考備考數(shù)學(xué)知識點第1講　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.2.體會極限思想.3.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.4.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的導(dǎo)數(shù)5.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能求簡單的復(fù)合函數(shù)（限于形如f（ax＋b））的導(dǎo)數(shù).6.會使用導(dǎo)數(shù)公式表.導(dǎo)數(shù)的運算2022全國卷甲T6；2020全國卷ⅢT15本講是高考的必考內(nèi)容.命題熱點有導(dǎo)數(shù)的運算、求切線方程、已知切線方程求參數(shù)、公切線問題等，題型以選擇題、填空題為主，有時也會以解答題的形式考查，難度中等偏下.導(dǎo)數(shù)的運算一般不單獨命題，而是貫穿于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的整個過程中，是整個導(dǎo)數(shù)部分的基礎(chǔ).預(yù)計2025年高考，命題依然穩(wěn)定，備考時注重常規(guī)題型訓(xùn)練的同時強化知識的靈活運用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義2023全國卷乙T21；2023全國卷甲T8；2022新高考卷ⅠT15；2022新高考卷ⅡT14；2022全國卷乙T21；2021新高考卷ⅠT7；2021新高考卷ⅡT16；2021全國卷甲T13；2020全國卷ⅠT6；2020新高考卷ⅠT21；2019全國卷ⅠT13；2019全國卷ⅢT6與公切線有關(guān)的問題2022全國卷甲T20；2020全國卷ⅢT10；2019全國卷ⅡT20學(xué)生用書P0501.導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（1）函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：如果當Δx→0時，平均變化率①ΔyΔx無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y＝f（x）在xf（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作f'（x0）或y'

x＝x0，即f'（x0）＝lim（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)：當x變化時，y＝f'（x）就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y'，即f'（x）＝y(tǒng)'＝②limΔx說明函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）反映了函數(shù)f（x）的變化趨勢，其大小｜f'（x）｜反映了變化的快慢，在某一范圍內(nèi)｜f'（x）｜越大，函數(shù)在相應(yīng)范圍內(nèi)變化得越快，函數(shù)的圖象越“陡峭”（向上或向下）.辨析比較f'（x）與f'（x0），[f（x0）]'的區(qū)別與聯(lián)系：f'（x）是一個函數(shù)，f'（x0）是函數(shù)f'（x）在x＝x0時的函數(shù)值（常數(shù)），不一定為0，[f（x0）]'是函數(shù)值f（x0）的導(dǎo)數(shù)，且[f（x0）]'＝0.（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f'（x0）的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率k，即k＝③f'（x0），相應(yīng)的切線方程為④y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.說明函數(shù)y＝f（x）在某點處的導(dǎo)數(shù)、曲線y＝f（x）在該點處切線的斜率和傾斜角，這三者之間是可以相互轉(zhuǎn)化的.2.導(dǎo)數(shù)的運算（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x）＝c（c為常數(shù)）f'（x）＝0f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝⑤αxα－1f（x）＝sinxf'（x）＝⑥cosxf（x）＝cosxf'（x）＝－sinxf（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝⑦axlnaf（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝1特別地，若f（x）＝ex，則f'（x）＝ex；若f（x）＝lnx，則f'（x）＝1x；若f（x）＝1x，則f'（x）＝－（2）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則若f'（x），g'（x）存在，則a.[f（x）±g（x）]'＝⑧f'（x）±g'（x）；b.[f（x）·g（x）]'＝⑨f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；c.[f（x）g（x）]'＝⑩f'（d.[cf（x）]'＝?cf'（x）.規(guī)律總結(jié)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).（3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x＝?y'u·u'x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.注意（1）要分清每一步的求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)，不能混淆.（2）對于含有參數(shù)的函數(shù)，要分清哪個字母是變量，哪個字母是參數(shù)，參數(shù)是常量，其導(dǎo)數(shù)為零.1.下列說法正確的是（C）A.f'（x0）是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0附近的平均變化率B.f'（x）與f'（x0）（x0為常數(shù)）表示的意義相同C.曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點D.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是奇函數(shù)解析對于A，f'（x0）是函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的瞬時變化率；對于B，f'（x）是一個函數(shù)，而f'（x0）（x0為常數(shù)）是函數(shù)f'（x）在x＝x0時的函數(shù)值；對于C，例如曲線y＝cosx在點（0，1）處的切線與曲線y＝cosx有無數(shù)個公共點；對于D，奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù).故C正確.2.[教材改編]下列式子不正確的是（C）A.（3x2＋cosx）'＝6x－sinx B.（lnx－2x）'＝1x－2xC.（2sin2x）'＝2cos2x D.（sinxx）'解析由導(dǎo)數(shù)公式和運算法則可知A，B，D正確.（2sin2x）'＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確.3.[全國卷Ⅰ]函數(shù)f（x）＝x4－2x3的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為（B）A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1解析∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切線方程為y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故選B.4.[2024河北省邢臺市月考]在一次10米跳臺跳水運動中，某運動員跳水過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系：h（t）＝－4t2＋4t＋11.該運動員在t＝1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（A）A.－4 B.4 C.11 D.－11解析由h（t）＝－4t2＋4t＋11可得h'（t）＝－8t＋4，故h'（1）＝－4，即該運動員在t＝1s時的瞬時速度為－4m/s.故選A.學(xué)生用書P051命題點1導(dǎo)數(shù)的運算例1（1）[2024河南省商丘市部分學(xué)校質(zhì)檢]下列求導(dǎo)正確的是（D）A.[（2x－1）2]'＝2（2x－1）B.（2x＋x2）'＝2x＋2xC.（sinx－cosπ3）'＝cosx＋13D.（log2x）'＝lo解析[（2x－1）2]'＝2（2x－1）·2＝4（2x－1），故A錯誤；（2x＋x2）'＝2xln2＋2x，故B錯誤；（sinx－cosπ3）'＝cosx，故C錯誤；（log2x）'＝1xln2＝log2ex（2）[全國卷Ⅲ]設(shè)函數(shù)f（x）＝exx＋a.若f'（1）＝e4，則a解析由于f'（x）＝ex（x＋a）－ex（x＋a）方法技巧（1）求導(dǎo)之前，先把函數(shù)簡化成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.注意（1）牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則；（2）若函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)（如f'（x0），a，b等），則求導(dǎo)時把待定系數(shù)看成常數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.訓(xùn)練1（1）[多選/2023湖北省黃岡市黃州中學(xué)質(zhì)檢]下列求導(dǎo)運算正確的是（BD）A.[cos（－2x）]'＝2sinx B.（lnxx）'C.（e3）'＝3e2 D.（lg2x）'＝1解析[cos（－2x）]'＝－sin（－2x）·（－2x）'＝2sin（－2x），故A錯誤；（lnxx）'＝x（lnx）'?x’lnxx2＝1－lnxx2，故B正確；（e3）'＝0，故C錯誤；（lg2x）'（2）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（x）＝3xf'（1）＋2lnx，則f'（2）＝（B）A.－e－1 B.－2 C.0 D.e－1解析設(shè)f'（1）＝a，則f（x）＝3ax＋2lnx，f'（x）＝3a＋2x，所以f'（1）＝3a＋2＝a，解得a＝－1，所以f'（2）＝3×（－1）＋1＝－2.故選命題點2導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線方程例2（1）[2023全國卷甲]曲線y＝exx+1在點（1，e2）處的切線方程為（A.y＝e4x B.y＝eC.y＝e4x＋e4 D.y＝e2解析由題可得y'＝ex（x+1）－ex（x+1）2＝xy'x＝1＝e4，所以曲線y＝exx+1在點（1，e2）處的切線方程為y－e2＝e4（x－1），即y＝（2）[2022新高考卷Ⅱ]曲線y＝ln｜x｜過坐標原點的兩條切線的方程為y＝1ex，y－1ex解析先求當x＞0時，曲線y＝lnx過坐標原點的切線方程，設(shè)切點為（x0，y0），則由y'＝1x，得切線斜率為1x0，又切線的斜率為y0x0，所以1x0＝y(tǒng)0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切線斜率為1e，切線方程為y＝1ex.同理可求得當x＜0時的切線方程為y＝－1e方法技巧求切線方程的方法（1）已知切點A（x0，f（x0）），則切線方程為y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.（2）已知過點P（x0，y0）（非切點），可設(shè)切點為（x1，y1），由y1＝f（x1）,y注意曲線y＝f（x）“在點P（x0，y0）處的切線”與“過點P（x0，y0）的切線”的區(qū)別：前者P（x0，y0）為切點，而后者P（x0，y0）不一定為切點.角度2求參數(shù)的值或取值范圍例3（1）[全國卷Ⅲ]已知曲線y＝aex＋xlnx在點（1，ae）處的切線方程為y＝2x＋b，則（D）A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1解析因為y'＝aex＋lnx＋1，所以y'x＝1＝ae＋1，所以曲線在點（1，ae）處的切線方程為y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1，所以ae+1=2，b＝－1（2）[2022新高考卷Ⅰ]若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.解析因為y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.設(shè)切點為A（x0，（x0＋a）ex0），O為坐標原點，依題意得，切線斜率kOA＝y(tǒng)'

x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化簡得x02＋ax0－a＝0.因為曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，所以關(guān)于x0的方程x02＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜方法技巧利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法利用切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率、切點在切線上、切點在曲線上列方程（組）求解.訓(xùn)練2（1）[2024廣州市中山大學(xué)附中月考]過點（3，0）作曲線f（x）＝xex的兩條切線，切點分別為（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），則x1＋x2＝（D）A.－3 B.－3 C.3 D.3解析因為f（x）＝xex，所以f'（x）＝（x＋1）ex，設(shè)切點為（x0，x0exf'（x0）＝（x0＋1）ex0，所以切線方程為y－x0ex0＝（x0＋1）ex0（x－x0），代入（3，0）得－x0ex0＝（x0＋1）ex0（3－x0），即（－x02＋3（－x02＋3x0＋3）ex0＝0有兩個不同的根x1，x2，即關(guān)于x0的方程－x02＋3x0＋3＝0有兩個不同的根x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋（2）[2024江蘇省常州市調(diào)考]已知直線2ax－2y－a＝0與曲線y＝ln（2x－1）相切，則實數(shù)a＝（A）A.2e B.e2e C.2e 解析設(shè)切點為（x0，y0），則y'＝22x－1，故切線方程為y＝22x0－1（x－x0）＋ln（2x0－1），即y＝22x0－1x－2x02x0－1＋ln（2x0－1），由y＝ax－aln（2x0－1）＝0，解得x0＝e+12，所以a＝22x0命題點3與公切線有關(guān)的問題例4（1）已知曲線y＝ex在點（x1，ex1）處與曲線y＝lnx在點（x2，lnx2）處的切線相同，則（x1＋1）（x2－1）＝－2解析易知曲線y＝ex在點（x1，ex1）處的切線方程為y－ex1＝ex1（x－x1），即y＝ex1x－ex1x1＋ex1，曲線y＝lnx在點（x2，lnx2）處的切線方程為y－lnx2＝1x2（x－x2），即y＝1x2x－1＋lnx2，于是ex1＝1x2①，ex1－ex1x1＝－1+lnx2②，由①得x2＝1ex1，代入②得ex1－ex1x（2）[全國卷Ⅱ]若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln（x＋1）的切線，則b＝1－ln2.解析設(shè)y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2，y＝ln（x＋1）分別相切于點（x1，y1），（x2，y2），則k＝y(tǒng)1－y2x1－x2，即k＝1x1＝1x2+1＝lnx1+2－ln（x2+1）x1－x1＝12，y1＝2－ln2，因為點（12，2－ln2）在直線y＝kx＋b上，所以2－ln2＝2×12＋b，解得b＝方法技巧曲線的公切線問題的求解方法（1）求出兩曲線各自的切線方程，利用兩曲線的切線重合列方程組求解.（2）設(shè)公切線與兩曲線y＝f（x），y＝g（x）的切點分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則有f'（x1）＝g'（x2）＝f（x訓(xùn)練3（1）已知函數(shù)f（x）＝ax2與g（x）＝lnx的圖象在公共點處有共同的切線，則實數(shù)a的值為12e解析設(shè)公共點為P（x0，y0）（x0＞0），則ax02＝lnx0由f（x）＝ax2，得f'（x）＝2ax，由g（x）＝lnx，得g'（x）＝1x因為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在公共點P（x0，y0）處有共同的切線，所以f'（x0）＝g'（x0），即2ax0＝1x0，得a＝12x02，代入①得12x02·x02＝lnx0，即lnx0＝12，得（2）曲線y＝－1x（x＜0）與曲線y＝lnx的公切線的條數(shù)為1解析設(shè)（x1，y1）是公切線與曲線y＝－1x（x＜0）的切點，x1＜0，則切線斜率k1（－1x）'

x＝x程為y＋1x1＝1x12（x－x1），整理得y＝1x12·x－2x1①.設(shè)（x2，y2）是公切線與曲線y＝lnx的切點，則切線斜率k2＝（lnx）'

x＝x2＝1x2，切線方程為y－lnx2＝1x2（x－由①②得1x12＝1x2，－2x1＝lnx2－1，消去x2得－2x1＝lnx12設(shè)t＝－x1＞0，則2lnt－2t－1＝0，只需探究此方程解的個數(shù)易知函數(shù)f（x）＝2lnx－2x－1在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（1）＝－3＜0，f（e）＝1－2e＞0，所以f（x）＝0有唯一解，即2lnt－2t－1＝1.[命題點1]已知f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6），則f'（3）＝－12.解析易得f'（x）＝（x－3）'[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]＋（x－3）·[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]'，則f'（3）＝2×1×（－1）×（－2）×（－3）＝－12.2.[命題點2角度2/2021新高考卷Ⅰ]若過點（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則（D）A.eb＜a B.ea＜b C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea解析解法一（數(shù)形結(jié)合法）設(shè)切點為（x0，ex0），則切線方程為y－ex0＝ex0（x－x0），因為切線過點（a，b），所以b－ex0＝ex0（a－x0），ex0（1－x0＋a）＝b，則由題意知關(guān)于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有兩個不同的解.設(shè)f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a）.由f'（x）＝0得x＝a，當x＜a時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x＞a時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea.當x＜a時，a－x＞0，所以f（x）＞0，當x→－∞時，f（x）→0，當x→＋∞時，f（x）→－∞，（提示：判斷函數(shù)極值點左右兩側(cè)的圖象特征很重要，需掌握用極限思想判斷函數(shù)圖象的趨勢，從而能準確作出草圖）則函數(shù)f（x）＝ex（1－x＋a）的大致圖象如圖1所示.因為f（x）的圖象與直線y＝b有兩個交點，所以0＜b＜ea.故選D. 圖1 圖2解法二（用圖估算法）作出曲線y＝ex，如圖2所示，過點（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則點（a，b）在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0＜b＜ea.故選D.3.[命題點2角度2]若點P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的圖象上，且過點P僅能作一條直線與f（x）的圖象相切，則a的取值范圍為（－∞，0）∪（12，＋∞）解析點P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的圖象上，則f（1）＝1－a≠a，即a≠12.P（1，a）的直線與f（x）＝x3－ax的圖象切于點Q（t，t3－at），f'（x）＝3x2－a，則切線的斜率k＝f'（t）＝t3－at－at－1，即3t2－a＝t3－at－atg（t）＝2t3－3t2＋2a僅有1個零點.g'（t）＝6t2－6t，令g'（t）＝0，得t＝0或t＝1，所以g（0）·g（1）＞0，（數(shù)形結(jié)合可得）即2a（2a－1）＞0，所以a＞12或a＜4.[命題點2/2021新高考卷Ⅱ]已知函數(shù)f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0，函數(shù)f（x）的圖象在點A（x1，f（x1））和點B（x2，f（x2））處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則｜AM｜｜BN｜的取值范圍是（解析解法一（構(gòu)造函數(shù)法）f（x）＝｜ex－1｜＝ex－1，x≥0f'（x）＝ex，f'（x2）＝ex2；當x＜0時，f'（x）＝－ex，f'（x1）＝－ex1.因為函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的兩條切線互相垂直，所以－ex1ex2＝－1，即ex1＋x2＝1，所以x1＋x2＝0.因為A（x1，1－ex1），B（x2，ex2－1），所以函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線方程分別為y－（1－ex1）＝－ex1（x－x1），y－（ex2－1）＝ex2（x－x2），分別令x＝0，得M（0，x1ex1＋1－ex1），N（0，－x12＋（x1ex1）2（－x1）2＋（－x1e－x解法二（不等式性質(zhì)法）當x＞0時，f（x）＝ex－1，f'（x）＝ex，所以kBN＝ex同理可得kAM＝－ex1所以ex2（－ex1）＝－1，所以x1＋x所以｜AM｜｜BN｜＝1+因為x2＞0，所以0＜1ex2＜1，即｜AM｜｜5.[命題點3/2023河南省部分重點中學(xué)聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝lnx的圖象在點P（1，f（1））處的切線也是函數(shù)g（x）＝aex的圖象的一條切線，則a＝e－2.解析由f（x）＝lnx，得f（1）＝0，f'（x）＝1x，所以切線的斜率k＝f'（1）＝1，切線方程為y－0＝1·（x－1），即y＝x－1.設(shè)直線y＝x－1與函數(shù)g（x）＝aex的圖象相切于點（x0，y0），易得g'（x）＝aex，則k＝g'（x0）＝aex0＝1，又y0＝g（x0）＝aex0＝x0－1，所以x0＝2，得a學(xué)生用書·練習(xí)幫P2751.[全國卷Ⅱ]曲線y＝2sinx＋cosx在點（π，－1）處的切線方程為（C）A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0解析依題意得y'＝2cosx－sinx，y'

x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切線方程為y＋1＝－2（x－π），即2x＋y－2π＋1＝2.[2024福建泉州模擬]若直線x＋y＋a＝0與曲線y＝x－2lnx相切，則實數(shù)a的值為（C）A.0 B.－1 C.－2 D.－3解析由y＝x－2lnx，得y'＝1－2x.設(shè)直線x＋y＋a＝0與曲線y＝x－2lnx相切于點（x0，y0），則1－2x3.[易錯題]已知函數(shù)f（x）＝f'（1）x2＋2x＋2f（1），則f'（2）的值為（D）A.－2 B.0 C.－4 D.－6解析因為f'（x）＝2f'（1）x＋2，所以f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2，所以f'（x）＝－4x＋2，所以f'（2）＝－6，故選D.4.[全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為（D）A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x解析解法一因為函數(shù)f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax為奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x），所以（－x）3＋（a－1）（－x）2＋a（－x）＝－[x3＋（a－1）x2＋ax]，所以2（a－1）x2＝0，因為x∈R，所以a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為y＝x.故選D.解法二因為函數(shù)f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax為奇函數(shù)，所以f（－1）＋f（1）＝0，所以－1＋a－1－a＋（1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為y＝x.故選D.解法三易知f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax＝x[x2＋（a－1）x＋a]，因為f（x）為奇函數(shù)，所以函數(shù)g（x）＝x2＋（a－1）x＋a為偶函數(shù)，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲線y＝f（x）在點（0，0）處的切線方程為y＝x.故選D.5.曲線f（x）＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則點P的坐標為（D）A.（1，3） B.（－1，3）C.（－1，3）或（1，1） D.（－1，3）或（1，3）解析設(shè)切點P（x0，y0），由f'（x）＝3x2－1，可得切線的斜率k＝f'（x0）＝3x02－1，因為曲線f（x）＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，所以3x02－1＝2，解得x0＝±1，當x0＝1時，可得f（1）＝3，此時P（1，3）；當x0＝－1時，可得f（－1）＝3，此時P（－1，3），綜上，點P的坐標為（－1，3）或（16.已知曲線C：f（x）＝x3－3x，直線l：y＝ax－3a，則“a＝6”是“直線l與曲線C相切”的（A）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由f（x）＝x3－3x，可知f'（x）＝3x2－3.設(shè)直線l與曲線C相切，且切點的橫坐標為x0，則切線方程為y＝（3x02－3）x－2x03，所以3x02－3=a，2x03＝3a，解得x0＝7.[2024福建省寧德市模擬]曲線y＝－x3＋x2＋8x＋3在某點處的切線的傾斜角為銳角，且該點坐標為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點個數(shù)為（C）A.1 B.2 C.3 D.4解析由y＝－x3＋x2＋8x＋3，得y'＝－3x2＋2x＋8，∵曲線y＝－x3＋x2＋8x＋3在某點處的切線的傾斜角為銳角，∴－3x2＋2x＋8＞0，即3x2－2x－8＜0，解得－43＜x＜2.又切點坐標為整數(shù)，∴x＝－1，0，1，此時對應(yīng)的y值也為整數(shù).∴該曲線上這樣的切點的個數(shù)為3.故選8.[多選]函數(shù)f（x）是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若f'（x）＞0，且對?x1，x2∈R，x1≠x2，總有f（x1）＋f（x2A.f（π）＜f（e）＜f（2）B.f'（π）＜f'（e）＜f'（2）C.f'（1）＜f（2）－f（1）＜f'（2）D.f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1）解析由f'（x）＞0，得f（x）在R上單調(diào)遞增，因為π＞e＞2，所以f（π）＞f（e）＞f（2），故A不正確；對?x1，x2∈R，x1≠x2，總有f（x1）＋ff'（x）表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著x的增大，f（x）的圖象上升得越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以f'（π）＜f'（e）＜f'（2），故B正確；又f（2）－f（1）＝f（2）－f（1）2－1表示點（1，f（1））與點（2，f（2））連線的斜率，結(jié)合圖象可知f'（2）＜f（2）－f（1）＜f9.[2024河南省名校調(diào)考]已知冪函數(shù)f（x）＝（m2－6m＋9）xm滿足f'（1）＝2，則f（2）＝4.解析由冪函數(shù)的定義可得m2－6m＋9＝1，解得m＝2或m＝4，當m＝2時，f（x）＝x2，f'（x）＝2x，f'（1）＝2，符合題意；當m＝4時，f（x）＝x4，f'（x）＝4x3，f'（1）＝4，不符合題意.故f（x）＝x2，f（2）＝4.10.[新高考卷Ⅰ]已知函數(shù)f（x）＝aex－1－lnx＋lna.（1）當a＝e時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.解析f（x）的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝aex－1－1x（1）當a＝e時，f（x）＝ex－lnx＋1，f'（1）＝e－1，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y－（e＋1）＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2.直線y＝（e－1）x＋2在x軸，y軸上的截距分別為－2e－1，因此所求三角形的面積為2e－1（2）當0＜a＜1時，f（1）＝a＋lna＜1.當a＝1時，f（x）＝ex－1－lnx，f'（x）＝ex－1－1x.當x∈（0，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，＋∞）時，f'（x）＞0.所以當x＝1時，f（x）取得最小值，最小值為f（1）＝1，從而f（x）≥當a＞1時，f（x）＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.綜上，a的取值范圍是[1，＋∞）.11.[條件創(chuàng)新]已知曲線y＝lnx在x＝x0處的切線經(jīng)過點（－1，0），則x0的大致范圍是（參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，e2≈7.389）（C）A.（2，e） B.（e，3） C.（3，4） D.（4，5）解析∵y'＝1x，∴曲線y＝lnx在x＝x0處的切線方程是y－lnx0＝1x0·（x－x0），由切線經(jīng)過點（－1，0），得1x0－lnx0＋1＝0.令g（x）＝1x－lnx＋1（x＞∵g（3）＝43－ln3＝lne4－ln273＞ln72－ln273＞0，g（4）＝54－ln4＝lne512.[2024南昌市模擬]若函數(shù)f（x）＝cosx，a∈（π2，π]，則函數(shù)f（x）在[π2，a]上平均變化率的取值范圍為（BA.（－1，0] B.（－1，－2π]C.（－∞，0] D.（－∞，－2π解析記平均變化率為g（a），則g（a）＝cosa－cosπ2a－π2＝cosaa－π2，g'（a）＝（π2－a）·sina－cosa（a－π2）2.記h（a）＝（π2－a）sina－cosa，則h'（a）＝（π2－a）cosa.∵a∈（π2，π]，∴h'（a）＞0，∴h（a）在（π2，π]上單調(diào)遞增，∴h（a）＞（π2－π2）sinπ2－cosπ2＝0，∴g'（－sinx，∴當a→π2時，g（a）→f'（π2）＝－sinπ2＝－1，∴a∈（－1，－2π13.[多選/2024惠州市一調(diào)]若過點P（1，λ）可作3條直線與函數(shù)f（x）＝（x－1）ex的圖象相切，則實數(shù)λ的值可以是（BC）A.－4e B.－2e C.－1e解析設(shè)切點坐標為（x0，（x0－1）ex0），因為f'（x）＝xex，所以f'（x0）＝x0ex0，切線方程為y－（x0－1）ex0＝x0e又切線過P（1，λ），所以λ－（x0－1）ex0＝x0ex0（1－x0），整理得λ＝－ex0（x02－2x0＋1）.令g（x）＝－ex（x2－2x＋1），則g'（x）＝－ex（x2－1），由g'（x）＝0得x＝±1，當x＜－1或x＞1時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當－1＜x＜1時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.故當x＝－1時，g（x）取得極小值g（－1）＝－4e；當x＝1時，g（x）取得極大值g（1）＝0.由g（x）＝－ex（x－1）2可知，當x≠1時，g（x）＜0，所以函數(shù)g（x）的大致圖象如圖，由圖可知，當－4e＜λ＜0時，直線y＝λ與函數(shù)g（x）的圖象有3個交點，此時過點P（1，λ）可作3條直線與函數(shù)f（x）＝（x－1）14.曲線y＝x2－lnx上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是2.解析設(shè)曲線在點P（x0，y0）（x0＞0）處的切線與直線x－y－2＝0平行，則切線的斜率k＝2x0－1x0＝1，∴x0＝1，y0＝1，則P（1，1），則曲線y＝x2－lnx上的點到直線x－y－2＝0的最短距離d＝｜115.[2021全國卷乙節(jié)選]已知函數(shù)f（x）＝x3－x2＋ax＋1.求曲線y＝f（x）過坐標原點的切線與曲線y＝f（x）的公共點的坐標.解析記曲線y＝f（x）過坐標原點的切線為l，切點為P（x0，x03－x02＋ax0因為f'（x0）＝3x02－2x0＋a，所以切線l的方程為y－（x03－x02＋ax0＋1）＝（3x02－2x0＋