高中數(shù)學(xué)：抽象函數(shù)問題

高中數(shù)學(xué)：抽象函數(shù)問題

在函數(shù)部分的綜合題中我們常常遇見一類抽象函數(shù)問

題。這類問題由于條件中沒有給出具體的函數(shù)解析式，

而只給出該函數(shù)所具備的某些性質(zhì)，所以大家求解此類

問題時(shí)往往感到很棘手。事實(shí)上，這類問題一般都是以

基本初等函數(shù)作為模型，只要我們認(rèn)真分析，善于聯(lián)

想，挖掘出作為模型的函數(shù)，變抽象為具體，變陌生為

熟知，必能為我們的解題提供思路和方法。

一、以正比例函數(shù)為模型

例1.已知/⑶是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的小VCR都

有/。+川=〃冷+/0),且當(dāng)時(shí)，/(x)<o,/0)=-2o問當(dāng)

-34x43時(shí)，函數(shù)/⑶是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出

最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：我們知道，正比例函數(shù)"x)=H(%。)滿足

〃讓y)=〃x)±/8。根據(jù)題設(shè)，我們可推知本題是以函數(shù)

〃x)=-2x作為模型設(shè)計(jì)的問題。于是，我們可以判定函

數(shù)，⑶的奇偶性、單調(diào)性入手來求解。

解：令x=y=o,貝!J/(0+0)=〃0)+〃0),解得〃0)=0

又因?yàn)?(“)+/(-X)=-X)=/(°)=0

所以

即函數(shù)為奇函數(shù)。

^1、Xj€R,X]<X?,貝|J町一刀1>0

依題意,有八巧一々)<0

〃盯)一?、?〃叼)+J(f)=/(X2-Xl)<0

所以，“即</@)

即函數(shù)/⑶在R上是減函數(shù)。

因此，函數(shù)，⑶當(dāng)_3。43時(shí)有最大值八T),且

/(-3)=-/(3)=-[/(1)+/(2)]=-3/(1)=(-3)?(-2)=6

二.以一次函數(shù)為模型

例2.定義在R上的函數(shù)“X)滿足

小+y)+l=〃x)+/O)"g)=0,且時(shí)，〃*)<0。

(1)設(shè)%=/(〃)3e獷),求數(shù)列的前n項(xiàng)和號(hào)；

(2)判斷了⑶的單調(diào)性，并證明。

分析：對(duì)于一次函數(shù)/⑶=依+6/。0)有

〃x)+/3)=/(x+Iy)+合成立。分析本題條件可知該題是以函

數(shù)八x)=-2x+l為模型命制的。

右刀/1\/(1)=?/(；)+/(；)T=T

解：(1)⑦9

令i,7=1,則/5+1)=/⑷+/(1)_1=〃用一2

所以，的=-1，劭+1-即=-2

故數(shù)列&｝是首項(xiàng)為7,公差為-2的等差數(shù)列。

2

e=??(-l)+fcllx(-2)=-?

因此，*217

(2)設(shè)和為€及，且占<*2,貝|］與一々>。

11

所以町f+5>2

于是」(弓+》<°

又〃町)-1(々)=/。2-勺)-1

=/(x2-Xj)+/(1)-l=/(x2-Xj+1)<0

所以“與)</(再)，而函數(shù)/⑶在R上是減函數(shù)。

三.以指數(shù)函數(shù)為模型

例3.設(shè)函數(shù)/⑶定義在R上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n,恒

有了(加+〃)=/(?)?/(明且當(dāng)x>0時(shí),0<〃力<1。

(1)求證：40)=1,且當(dāng)x<0時(shí)，"外>1;

(2)求證：/⑶在R上單調(diào)遞減；

(3)設(shè)集合"=((""(")力J)>/(可，

8={(")|/("—+2)=1,a網(wǎng)，若金門8=0,求a的取值范

圍。

分析：我們知道，指數(shù)函數(shù)筋)=，3>0,且"D滿足:

①1Z(x+y)=/(x)?/(?;

②/O)O

分析本題條件和結(jié)論，可推知本題是以函數(shù)

力>)=/(0“<1)為模型命制的。

解：(1)令冽=1，?=0,得〃1)=10)力0)

又當(dāng)x>0時(shí),0</(%)<!,所以"0)=1

設(shè)則-x>0

令m=x,n=-x,則”0)=/(x).J1(—x)

所以〃X)V(-x)=l

又0</(-x)<l,所以人力=不下>1

(2)設(shè)和心€又，且公<"則町-勺>0

所以。</氏-血)<1

從而〃修)-Xi+心)=〃馬一X。

又由已知條件及(1)的結(jié)論知〃x)>。恒成立

上加=y(x-勺)

所以/⑺2

0</^<1

所以,⑺

所以"嶗</g),故/⑶在R上是單調(diào)遞減的。

(3)由〃力"夕)>〃1)得：/(x2+/)>/d)

因?yàn)椤?在R上單調(diào)遞減

所以即A表示圓/+/=1的內(nèi)部

由〃以-y+2)=1=/(0)得：ax-y+2=0

所以B表示直線數(shù)7+2=0

2

所以X^=0,所以直線與圓相切或相離，即布下

解得：-/ga=力

四.以對(duì)數(shù)函數(shù)為模型

設(shè)函數(shù)y=〃x)定義域?yàn)?o,+8),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)X、y,

有〃砌="x)+/3),已知"2)=1,且當(dāng)X>1時(shí)/⑶>0。

岸)=T

(1)求證：⑸；

(2)試判斷在(0,+8)上的單調(diào)性，并證明。

分析：我們知道，對(duì)數(shù)函數(shù)/&)=1叫初>0，且"1)滿足：

①/(x?y)="x)+/3).

②vo

分析本題條件，可判定該題是以函數(shù)“力=1。心、為模型命

題的。

證明：(1)令x=y=i,貝=

解得："1)=0

令"2-Q則〃】)=%)+嗎

解得：《一⑵一

豆>1/㈤>0

(2)設(shè)。<與,則不,于是

「J?)=/⑺+/閏

因?yàn)閰n

x-x

cr/(2)/(l)=/f—>0

所以W

所以/%)>/g),即函數(shù)/⑶在(0,+8)上是增函數(shù)。

五.以三角函數(shù)為模型

例5.定義在R上的函數(shù)/⑶對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b都有

f(a+b)+f(a-b)=2/(a)?/(B)成立,且/(。)。0。

(1)求〃0)的值；

(2)試判斷"X)的奇偶性；

(3)若存在常數(shù)使/9=°,試問了③是否為周期函

數(shù)？若是，指出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說明理由。

分析：由三角函數(shù)的和差公式可知

cos(a+⑼+cos(a-⑼=2cosacos￡,觀察題設(shè)條件，我們可判斷

本題是以余弦函數(shù)〃x)=c0sx為模型設(shè)計(jì)的問題。

解：(1)令a=b=0

則〃0)+〃0)=2〃0)?/(0)

所以八0)”〃0)-1]=0

又因?yàn)椤?)。0,所以"0)=1

(2)令a=0,b=x,則/(x)+〃-x)=2/(0)?J(x)

由"0)=1可得〃f)=/(x)

所以〃x)是R上的偶函數(shù)。

cc

/c、人以=x+-,b=—>

(3)令22,則

小+昌+月+小+小月切詞啕

因?yàn)?/p>

所以〃x+c)+〃x)=0

所以〃x+c)=-〃x)

所以/(x+2c)=-〃x+c)=-[-/(x)]=/(x)

所以了⑶是以2c為周期的周期函數(shù)。

例6.已知函數(shù)“X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足:

(1)/(X2)-/(Xl)

(2)存在正常數(shù)a,使/⑷=1

求證：(1)“X)是奇函數(shù)；

(2)了⑶是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為4*

分析：根據(jù)三角函數(shù)公式可判斷本題應(yīng)是以余弦函數(shù)

〃x)=cotx為模型命制的。

證明：(1)設(shè)￡=入1-,貝|J

/(T)=/(町-Xi)

_/(叼)?/⑺+1

/⑺-/(盯)

/(^)VU2)+1

=_/(々一叼)

所以函數(shù)/⑶是奇函數(shù)。

/⑷=八2幻"⑷+1

(2)令々=2口，用=a,貝|J