高中不等式例題(超全超經典)

不等式得性質:二.不等式大小比較得常用方法:1.作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差得符號得出結果;2.作商(常用于分數指數冪得代數式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化;6.利用函數得單調性;7.尋找中間量或放縮法;8.圖象法。其中比較法(作差、作商)就是最基本得方法。三.重要不等式1、(1)若,則(2)若,則(當且僅當時取“=”)2、(1)若,則(2)若,則(當且僅當時取“=”)(3)若,則(當且僅當時取“=”)3、若,則(當且僅當時取“=”);若,則(當且僅當時取“=”)若,則(當且僅當時取“=”)4、若,則(當且僅當時取“=”)注:(1)當兩個正數得積為定植時,可以求它們得與得最小值,當兩個正數得與為定植時,可以求它們得積得最小值,正所謂“積定與最小,與定積最大”.(2)求最值得條件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量得取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛得應用.EQ\F(2ab,a+b)≤EQ\R(ab)≤EQ\F(a+b,2)≤EQ\R(EQ\F(a2+b2,2))應用一:求最值例1:求下列函數得值域(1)y＝3x2＋eq\f(1,2x2)(2)y＝x＋eq\f(1,x)解題技巧:技巧一:湊項例1:已知,求函數得最大值。評注:本題需要調整項得符號,又要配湊項得系數,使其積為定值。技巧二:湊系數例1、當時,求得最大值。技巧三:分離例3、求得值域。技巧四:換元解析二:本題瞧似無法運用基本不等式,可先換元,令t=x＋1,化簡原式在分離求最值。當,即t=時,(當t=2即x＝1時取“＝”號)。技巧五:注意:在應用最值定理求最值時,若遇等號取不到得情況,應結合函數得單調性。例:求函數得值域。解:令,則因,但解得不在區(qū)間,故等號不成立,考慮單調性。因為在區(qū)間單調遞增,所以在其子區(qū)間為單調遞增函數,故。所以,所求函數得值域為。2.已知,求函數得最大值、;3.,求函數得最大值、條件求最值1、若實數滿足,則得最小值就是、分析:“與”到“積”就是一個縮小得過程,而且定值,因此考慮利用均值定理求最小值,解:都就是正數,≥當時等號成立,由及得即當時,得最小值就是6.變式:若,求得最小值、并求x,y得值技巧六:整體代換:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號得條件得一致性,否則就會出錯。。2:已知,且,求得最小值。應用二:利用基本不等式證明不等式1.已知為兩兩不相等得實數,求證:1)正數a,b,c滿足a＋b＋c＝1,求證:(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6:已知a、b、c,且。求證:分析:不等式右邊數字8,使我們聯想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘,又,可由此變形入手。解:a、b、c,。。同理,。上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,得。當且僅當時取等號。應用三:基本不等式與恒成立問題例:已知且,求使不等式恒成立得實數得取值范圍。解:令,。,應用四:均值定理在比較大小中得應用:例:若,則得大小關系就是、分析:∵∴(∴R>Q四.不等式得解法、1、一元一次不等式得解法。2、一元二次不等式得解法3、簡單得一元高次不等式得解法:標根法:其步驟就是:(1)分解成若干個一次因式得積,并使每一個因式中最高次項得系數為正;(2)將每一個一次因式得根標在數軸上,從最大根得右上方依次通過每一點畫曲線;并注意奇穿過偶彈回;(3)根據曲線顯現得符號變化規(guī)律,寫出不等式得解集。如(1)解不等式。(答:或);(2)不等式得解集就是____(答:或);(3)設函數、得定義域都就是R,且得解集為,得解集為,則不等式得解集為______(答:);(4)要使?jié)M足關于得不等式(解集非空)得每一個得值至少滿足不等式中得一個,則實數得取值范圍就是______、(答:)4.分式不等式得解法:分式不等式得一般解題思路就是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項得系數為正,最后用標根法求解。解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母。如(1)解不等式(答:);(2)關于得不等式得解集為,則關于得不等式得解集為____________(答:)、5、指數與對數不等式。6.絕對值不等式得解法:(1)含絕對值得不等式|x|＜a與|x|＞a得解集(2)|ax+b|≤c(c＞0)與|ax+b|≥c(c＞0)型不等式得解法①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c、(3)|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)與|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式得解法方法一:利用絕對值不等式得幾何意義求解,體現了數形結合得思想;方法二:利用“零點分段法”求解,體現了分類討論得思想;方法三:通過構造函數,利用函數得圖象求解,體現了函數與方程得思想。方法四:兩邊平方。例1:解下列不等式:【解析】:(1)解法一(公式法)原不等式等價于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式得解集為﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2(數形結合法)作出示意圖,易觀察原不等式得解集為﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜第(1)題圖第(2)題圖【解析】:此題若直接求解分式不等式組,略顯復雜,且容易解答錯誤;若能結合反比例函數圖象,則解集為,結果一目了然。例2:解不等式:【解析】作出函數f(x)=|x|與函數g(x)=得圖象,易知解集為例3:?！窘夥?】令令,分別作出函數g(x)與h(x)得圖象,知原不等式得解集為【解法2】原不等式等價于令分別作出函數g(x)與h(x)得圖象,易求出g(x)與h(x)得圖象得交點坐標為所以不等式得解集為【解法3】由得幾何意義可設Ｆ1(－１,０),Ｆ２(１,０),Ｍ(x,y),若,可知Ｍ得軌跡就是以Ｆ1、Ｆ2為焦點得雙曲線得右支,其中右頂點為(,０),由雙曲線得圖象與｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥、

7.含參不等式得解法:求解得通法就是“定義域為前提,函數增減性為基礎,分類討論就是關鍵.”注意解完之后要寫上:“綜上,原不等式得解集就是…”。注意:按參數討論,最后應按參數取值分別說明其解集;但若按未知數討論,最后應求并集、如(1)若,則得取值范圍就是__________(答:或);(2)解不等式(答:時,;時,或;時,或)提醒:(1)解不等式就是求不等式得解集,最后務必有集合得形式表示;(2)不等式解集得端點值往往就是不等式對應方程得根或不等式有意義范圍得端點值。如關于得不等式得解集為,則不等式得解集為__________(答:(－1,2))例2、(1)求函數得最大與最小值;(2)設,函數、若,求得最大值例3、兩個施工隊分別被安排在公路沿線得兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路牌得第10km與第20km處、現要在公路沿線建兩個施工隊得共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)與施工地點之間往返一次、要使兩個施工隊每天往返得路程之與最小,生活區(qū)應該建于何處？

七.證明不等式得方法:比較法、分析法、綜合法與放縮法(比較法得步驟就是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1得大小,然后作出結論。)、常用得放縮技巧有:如(1)已知,求證:;(2)已知,求證:;(3)已知,且,求證:;(4)若a、b、c就是不全相等得正數,求證:;(5)已知,求證:;(6)若,求證:;(7)已知,求證:;(8)求證:。八.不等式得恒成立,能成立,恰成立等問題:不等式恒成立問題得常規(guī)處理方式？(常應用函數方程思想與“分離變量法”轉化為最值問題,也可抓住所給不等式得結構特征,利用數形結合法)1)、恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如(1)設實數滿足,當時,得取值范圍就是______(答:);(2)不等式對一切實數恒成立,求實數得取值范圍_____(答:);(3)若不等式對滿足得所有都成立,則得取值范圍_____(答:(,));(4)若不等式對于任意正整數恒成立,則實數得取值范圍就是_____(答:);(5)若不等式對得所有實數都成立,求得取值范圍、=6\*GB2⑹若不等式恒成立,則實數a得取值范圍就是此題直接求解無從著手,結合函數易知,a只需滿足條件:0＜a＜1,且從而解得2)、能成立問題若在區(qū)間上存在實數使不等式成立,則等價于在區(qū)間上;若在區(qū)間上存在實數使不