2023-2024學年高一數(shù)學2019試題13.3.2空間圖形的體積

13.3.2空間圖形的體積一、單選題1．如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，過，E，F(xiàn)三點的平面將正方體分割成兩部分，兩部分的體積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】結合臺體體積公式、正方體體積公式求得正確答案.【詳解】由于，所以共面，，所以是臺體，設正方體的邊長為，，所以.故選：C2．正四棱臺的上，下底面的邊長分別為2，4，側棱長2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選：C.3．《九章算術》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個側面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側面的面積之和，則方亭的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析可知，設，則，，過點、在平面內分別作，，垂足分別為點、，根據正四棱臺的側面積計算出的值，再利用臺體的體積公式可求得結果.【詳解】由題意得，設，則，.過點、在平面內分別作，，垂足分別為點、，在等腰梯形中，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，因為，，，所以，，所以，，所以，，所以等腰梯形的面積為，得.所以，，，故方亭的體積為.故選：C.4．長方體長寬高分別為3，4，12，那么該長方體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先利用長方體的棱長，求出它的體對角線即求出外接球的直徑，由此據球的表面積公式即可求出球的表面積．【詳解】解：長方體長寬高分別為3，4，12，所以長方體的體對角線為，所以長方體外接球的直徑，故外接球的表面積為．故選：A5．如圖，圓錐PO的底面直徑和高均為4，過PO的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】用錐體體積減去柱體體積.【詳解】由題意知，因為為的中點，所以挖去圓柱的半徑為1，高為2，剩下幾何體的體積為圓錐的體積減去挖去小圓柱的體積，所以.故選：B6．如圖1，在高為h的直三棱柱容器中，，．現(xiàn)往該容器內灌進一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2），則容器的高h為（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解析】【分析】利用兩個圖形裝水的體積相等即可求解.【詳解】在圖1中，在圖2中，，.故選：A.二、多選題7．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的有（

）A． B．該圓臺軸截面ABCD面積為C．該圓臺的體積為 D．沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm【答案】BCD【解析】【分析】A由圓臺軸截面的性質求母線與底面直線所成角大小即可；B應用梯形面積公式求軸截面面積；C利用圓臺的體積公式求體積；D將圓臺側面展開，結合對應圓錐側面展開圖性質及勾股定理求兩點的最短距離.【詳解】A：由已知及題圖知：且，故，錯誤；B：由A易知：圓臺高為，所以圓臺軸截面ABCD面積，正確；C：圓臺的體積，正確；D：將圓臺一半側面展開，如下圖中且為中點，而圓臺對應的圓錐體側面展開為且，又，所以在△中，即C到AD中點的最短距離為5cm，正確.故選：BCD8．矩形中，，，將此矩形沿著對角線折成一個三棱錐，則以下說法正確的有（

）A．三棱錐的體積最大值為B．當二面角為直二面角時，三棱錐的體積為C．當二面角為直二面角時，三棱錐的外接球的表面積為D．當二面角不是直二面角時，三棱錐的外接球的表面積小于【答案】ABC【解析】【分析】求出點C到平面ABD的最大距離即可計算棱錐的最大體積判斷選項A，B；求出三棱錐的外接球的半徑即可判斷選項C，D作答.【詳解】過C作于E，在平面DBA內過E作BD的垂線EG，則為二面角的平面角，如圖，平面CEG平面DBA，過C作CFEG于F，則平面，在直角中，，，顯然，當且僅當點E與F重合時取“=”，即點C到平面ABD距離的最大值為，而，則三棱錐的體積最大值為，A正確；當取最大值時，平面，又平面，則平面平面，即二面角為直二面角，三棱錐的體積為，B正確；取BD中點O，連接AO，CO，顯然有，于是得點A，B，C，D在以O為球心，AO為半徑的球面上，顯然，無論二面角如何變化，點A，B，C，D都在上述的球O上，其表面積為，C正確，D不正確.故選：ABC三、填空題9．如圖，已知圓錐PO的底面半徑OA的長度為1，母線PA的長度為2，半徑為的球與的圓錐側面相切，并與底面相切于點O，若球與球、圓錐的底面和側面均相切，則球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】先求球半徑，再求半徑后求解【詳解】由題意得為邊長為2的等邊三角形，故，則，而，即，解得，球的表面積．故答案為：10．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下?左右?前后完全對稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為___________.（容器壁的厚度忽略不計）【答案】【解析】【分析】轉化為幾何體的外接球問題，求出外接球的半徑和表面積即可.【詳解】由題可知，當魯班鎖的頂點與球面相接時，球的體積最小，此時，所以，.故答案為：.四、解答題11．如圖一個半球，挖掉一個內接直三棱柱（棱柱各頂點均在半球面上），棱柱側面是一個長為的正方形.(1)求挖掉的直三棱柱的體積；(2)求剩余幾何體的表面積.【答案】(1)(2)【解析】(1)記球心為O，BC中點為E，連接AO，OE，AE，由球的性質知是所在小圓直徑，又是一個長為的正方形，因此，球半徑為，挖掉的直三棱柱的體積；(2)由（1）知，，，，半球表面積＝，所以剩余幾何體表面積為半球表面積－＝．12．如圖，如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，且底面．(1)證明：平面；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理證得，再利用線面垂直的判