4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能選取合適的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問題．2.探求等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)并能運(yùn)用它們解決問題．活動方案例1

在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a3＝1，a5＝11，求an和S8；(2)已知a2＋a7＋a12＝24，求S13；(3)已知前4項(xiàng)和為25，最后4項(xiàng)和為63，前n項(xiàng)和為286，求項(xiàng)數(shù)n；(4)已知Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，求Sm＋n.活動一靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式所以a1＝a3－2d＝1－10＝－9，所以an＝－9＋5(n－1)＝5n－14，(2)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，所以a2＋a7＋a12＝3a7＝24，即a7＝8，所以a1＋a13＝16，(3)由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，即a1＋an＝22.①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.因?yàn)閙≠n，所以(m＋n)A＋B＝－1，所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．例2

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存

在，請說明理由．活動二掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題【解析】

方法一：由an＋1－an＝－2<0，得an＋1<an，所以{an}是遞減數(shù)列．又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12可知，當(dāng)n<6時，an>0；當(dāng)n＝6時，an＝0；當(dāng)n>6時，an<0，所以S1<S2<…<S5＝S6>S7>….也就是說，當(dāng)n＝5或n＝6時，Sn最大．所以Sn的最大值為30.求Sn最值的常用方法：(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方法或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解，一定注意n是正整數(shù)．(1)在等差數(shù)列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值；(2)在等差數(shù)列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．【解析】

(1)因?yàn)閍1＝13，S3＝S11，＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以當(dāng)n＝7時，Sn取得最大值49.(2)因?yàn)閐>0，所以－a3＝a9，所以a1＝－5d.所以當(dāng)n＝5或n＝6時，Sn取得最小值，最小值為S5＝S6＝－15d.例3

在等差數(shù)列{an}中，已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和．活動三探求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【解析】

由題意知a1＋a2＋…＋a10＝310，①a11＋a12＋…＋a20＝910.②設(shè)S＝a21＋a22＋…＋a30，③因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以由②－①，得10d＋10d＋…＋10d＝600，由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，所以S－910＝600，所以S＝1510，即第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和為1510.例4

有一等差數(shù)列共有2n(n∈N*)項(xiàng)，它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和分別為24和30，若最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)之差為10.5，求此數(shù)列的首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)．思考???(1)在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(n∈N*)，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之間有什么關(guān)系？(2)若一個等差數(shù)列共有2n＋1(n∈N*)項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和有什么關(guān)系？(3)設(shè)Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0，所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k，b6＝S6－S5＝9k－8k＝k，檢測反饋1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S673＝2，S1346＝12，則S2019等于

(

)A.22 B.26C.30 D.3413524【解析】

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)知S673，S1346－S673，S2019－S1346成等差數(shù)列，所以由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得2(S1346－S673)＝S673＋S2019－

S1346.又S673＝2，S1346＝12，所以S2019＝3(S1346－S673)＝30.C12345B3.(多選)已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.d<0 B.a7＝0C.S9>S5 D.S6與S7均為Sn的最大值31245【解析】

因?yàn)镾5<S6，所以S6－S5>0，即a6>0.因?yàn)镾6＝S7，所以S7－S6＝a7＝0.因?yàn)镾7>S8，所以S8－S7＝a8<0，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以d<0，故A，B正確；S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，所以S9<S5，故C不正確；由以上可知數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，因?yàn)閍6>0，a7＝0，a8<0，所以S6與S7均為Sn的最大值，故D正確．故選ABD.ABD4123555.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值