北師大版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)講義（知識(shí)點(diǎn)+綜合檢測(cè)題）【新教材】

第三章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與綜合提升檢測(cè)題考點(diǎn)一指數(shù)（一）指數(shù)1．根式的概念：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。注意：(1)(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）注意：在化簡(jiǎn)過(guò)程中，偶數(shù)不能輕易約分；如考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)：1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．即a>0且a≠12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0<a<1a>1圖像性質(zhì)定義域R,值域（0，+∞）（1）過(guò)定點(diǎn)（0，1）,即x=0時(shí)，y=1(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)（3）當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1（3）當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1圖象特征函數(shù)性質(zhì)共性向x軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）過(guò)定點(diǎn)（0，1）0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x<0時(shí),y>1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1當(dāng)x>0時(shí),y>1;在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1當(dāng)x<0時(shí),0<y<1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡函數(shù)值開始增長(zhǎng)較慢，到了某一值后增長(zhǎng)速度極快；注意：指數(shù)增長(zhǎng)模型：y=N(1+p)x指數(shù)型函數(shù)：y=kax3考點(diǎn)：（1）ab=N,當(dāng)b>0時(shí)，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時(shí)，a,N在1的異側(cè)。（2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時(shí)候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較冪的大小，同底找對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a0)進(jìn)行傳遞或者利用（1）的知識(shí)。（3）求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求法用單調(diào)性。（4）分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用a1=a，用x=1去截圖象得到對(duì)應(yīng)的底數(shù)。一、單選題1．下列各點(diǎn)中，在函數(shù)的圖象上的點(diǎn)是（）A．（0，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）2．下列運(yùn)算結(jié)果中，不正確的是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)且，若對(duì)于任意恒成立，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象是（）A．B． C．D．5．設(shè)函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．6．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B． C． D．27．已知指數(shù)函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（）A． B．3 C． D．8．函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．9．已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．10．函數(shù)在區(qū)間上的圖像大致為（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，函數(shù)對(duì)于任意恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．12．懸鏈線是平面曲線，是柔性鏈條或纜索兩端固定在兩根支柱頂部，中間自然下垂所形成的外形.在工程中有廣泛的應(yīng)用，例如懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到了懸鏈線的原理.當(dāng)微積分尚未出現(xiàn)的伽利略時(shí)期，伽利略猜測(cè)這種形狀是拋物線.直到1691年萊布尼茲和伯努利利用微積分推導(dǎo)出懸鏈線的方程是，其中為有關(guān)參數(shù).這樣，數(shù)學(xué)上又多了一對(duì)與e有關(guān)的著名函數(shù)——雙曲函數(shù)：雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).關(guān)于雙曲函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A．，B．，C．D．二、填空題13．已知，，化簡(jiǎn)：_____.14．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為__________.15．若（，為有理數(shù)），則______．16．若函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為__.三、解答題17．已知函數(shù)．（1）在圖中畫出函數(shù)的大致圖象；（2）寫出函數(shù)的最大值和單調(diào)遞減區(qū)間．18．設(shè)二次函數(shù)，并且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在的最大值是1，求實(shí)數(shù)的值.19．（1）已知，求在，上的值域；（2）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的值域及單調(diào)區(qū)間．20．若函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域．21．已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）求不等式的解集．22．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求a，b的值；（2）若對(duì)在意的，不等式恒成立，求k的取值范圍．參考答案1．A【分析】直接代入計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故函?shù)過(guò)點(diǎn).故選：A.2．C【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)以及根式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，，正確；B選項(xiàng)，，正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，正確．故選：C．3．A【分析】根據(jù)，求出的值域，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由，，即，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A4．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知：?jiǎn)握{(diào)減，且函數(shù)值恒大于0，即可知正確選項(xiàng).【詳解】由知：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且恒成立，∴只有B所表示的函數(shù)圖象符合要求.故選：B.5．A【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)求出的值，列出關(guān)于a的方程即可得解.【詳解】依題意，，則，于是得，解得或(不符合題意，舍去)，所以.故選：A6．D【分析】由求得，再根據(jù)奇偶性的定義求值．【詳解】是奇函數(shù)，則，，即，．故選：D．7．D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】解：將函數(shù)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到函數(shù)的圖象，則，再將的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的函數(shù)關(guān)系數(shù)為，因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)的圖象重合，所以，，解得或（舍去），故選：D8．C【分析】將函數(shù)化為，利用列出關(guān)于的不等式，解出不等式即可.【詳解】設(shè)，由原式得，,，∴，即函數(shù)的值域?yàn)?故選：C9．C【分析】選項(xiàng)A,D舉反例即可判斷，選項(xiàng)B，設(shè)，由其單調(diào)性可判斷，選項(xiàng)C.由為上的減函數(shù)，可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，則函數(shù)為上的增函數(shù)，∵，∴，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵為上的減函數(shù)，，∴，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.10．B【分析】由函數(shù)的奇偶性和值域排除CD，由特殊值及大小排除A.【詳解】因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故排除C；，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除D；，，因?yàn)?，所以，故排除A，故選：B.11．A【分析】先求出，所以函數(shù)對(duì)于任意恒成立，轉(zhuǎn)化為，然后求出的最小值即可【詳解】解：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則，即，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)于任意恒成立，所以恒成立，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，所以故選：A12．D【分析】利用新定義分別求出即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可判斷B；對(duì)因式分解即可判斷C；利用多項(xiàng)式的乘法法則和同底數(shù)冪的乘法法則即可判斷D.【詳解】A項(xiàng)，，，正確；B項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以，在上遞增，又，所以，即，正確；C項(xiàng)，，正確；D項(xiàng)，，錯(cuò)誤.故選：D.13．【分析】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】原式.故答案為：.14．【分析】分析可得，結(jié)合函數(shù)解析式可求得結(jié)果.【詳解】由已知條件可得.故答案為：.15．【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋ǎ瑸橛欣頂?shù)）所以故答案為：16．【分析】由給定條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.【詳解】函數(shù)中，由可得、，即函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，即有，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以時(shí)，的最小值為.故答案為：.17．（1）圖象見解析；（2）函數(shù)的最大值為；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特征即可求解；（2）觀察（1）所得函數(shù)圖象可求單調(diào)遞減區(qū)間，由單調(diào)性即可求最大值.【詳解】解：（1）函數(shù)的大致圖象如下：；（2）由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，根據(jù)單調(diào)性知函數(shù)的最大值為.18．（1）；（2）.【分析】（1）由題意可得是拋物線的對(duì)稱軸，從而可求出實(shí)數(shù)的值；（2）令，則，由（1）可知在單調(diào)遞減，從而可求出其最大值，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以的?duì)稱軸為，則，所以.（2）令，當(dāng)時(shí)，.由（1）在單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以.19．（1），；（2）值域?yàn)椋海?，；單調(diào)增區(qū)間為：和．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，求解出函數(shù)的解析式，再求其在[0，1]上的值域；

（2）依次求出的解析式，進(jìn)而寫出的值域和單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）令，可得，，即有:，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：在，上為單調(diào)增函數(shù)，由得:，，所以在[0，1]上的值域?yàn)?，?）設(shè)，由得：，，，解得，，，在和上都為單調(diào)增函數(shù)從而求得的值域?yàn)椋核灾涤驗(yàn)椋?，；單調(diào)增區(qū)間為和無(wú)單調(diào)減區(qū)間.20．（1）；（2）．【分析】（1）由于為奇函數(shù)，所以可得，從而可求出的值；（2）由（1）可得，然后由結(jié)合不等式的性可求出函數(shù)的值域【詳解】解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．，即，可得：．（2）由（1）可知．由，得，所以且所以或，所以或，所以或，所以函數(shù)的值域?yàn)?1．（1）；（2）在上單增，證明見解析；（3）.【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，求得后，再驗(yàn)證函數(shù)是奇函數(shù)；（2）利用單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3），不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍.【詳解】解：（1）為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，，即，，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意．（2）為上的增函數(shù)，設(shè)，則，，，，，，在上單增．（3），，為奇函數(shù)，，，為上增函數(shù)，，，所以不等式的解集是.22．（1）；（2）【分析】（1）