北師大版（2019）高一數(shù)學必修第一冊1.4小結(jié)4-一元二次函數(shù)與一元二次不等式 講義（知識點+基礎(chǔ)鞏固檢測）【新教材】

1.4小結(jié)4--一元二次函數(shù)與一元二次不等式知識點與基礎(chǔ)鞏固檢測題解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根R2、簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。4、不等式的恒成立問題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上基礎(chǔ)鞏固檢測題一、單選題1．不等式的解集是（）A． B．或C． D．或2．不等式的解集為（）A． B． C． D．3．函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分別是（）A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）4．函數(shù)在區(qū)間(2，4)上（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減C．先減后增 D．先增后減5．下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是（）A．y＝2x2 B．y＝2x2－4x＋2 C．y＝2x2－1 D．y＝2x2－4x6．函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)的函數(shù)值為（）A．大于等于0 B．等于0 C．大于0 D．小于07．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）A．16 B． C．8 D．9．在上的定義運算，則滿足的解集為（）A． B． C． D．10．若的解集是，則（）．A．B．C．D．11．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，且過點A(1，1)，B(3，1)，C，D，E，則，，的大小關(guān)系是（）A．<< B．<<C．<< D．<<12．若相異兩實數(shù)x，y滿足，則之值為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題13．若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)________．14．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________．15．函數(shù)的圖象總在軸上方，則的取值范圍是________16．若關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集是，且中，，則不等式的解集為____________.三、解答題17．（1）解不等式.（2）若不等式的解集為，求實數(shù)，的值；18．已知函數(shù).（1）當，時，求函數(shù)的值域.（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.19．已知.（1）當時，求關(guān)于的不等式大于0的解集；（2）若不等式的解集為，求實數(shù)，的值.20．已知函數(shù)（1）若，求a的值；（2）當時，的解集為M，求M21．已知不等式的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）解關(guān)于的不等式：（為常數(shù)，且）.22．已知關(guān)于x的不等式．（1）當時，解關(guān)于x的不等式；（2）當時，不等式恒成立，求x的取值范圍．參考答案1．A【分析】利用“三個二次”的關(guān)系解二次不等式.【詳解】解不等式得.故選：A.【點睛】方法點睛：二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．2．D【分析】將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為二次不等式即可求解.【詳解】原不等式可化為，解得．故選：D．3．D【分析】利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，當x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0，∴x＝2是極小值點，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．故選：D4．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=3，此函數(shù)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞增.故選：C5．D【分析】分別求二次函數(shù)的頂點，判斷選項.【詳解】A.的頂點是，B.的頂點是，C.的頂點是，D.的頂點是，綜上可知，頂點不在坐標軸上的是D.故選：D6．D【分析】將因式分解，根據(jù)x的范圍，可得的正負，即可得答案.【詳解】由已知得f（x）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），因為1＜x＜2，所以x﹣1＞0，x﹣2＜0，所以f（x）＜0，即f（x）＝x2﹣3x+2在區(qū)間（1，2）內(nèi)的函數(shù)值小于0；故選：D．7．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口和對稱軸可得結(jié)果.【詳解】∵，∴其對稱軸為直線，圖象開口向上，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：C.8．B【分析】由二次函數(shù)的對稱軸是可得．【詳解】由題意，．故選：B．9．B【分析】根據(jù)運算的定義可得關(guān)于的不等式，從而可求不等式的解集.【詳解】即為，整理得到，故，故選：B．10．D【分析】由題得方程的根為和，利用韋達定理可得答案．【詳解】由的解集是，得方程的根為和，則，得．故選：D．11．A【分析】先求出拋物線的對稱軸方程為，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析得解.【詳解】因為拋物線經(jīng)過A(1，1)，B(3，1)，所以拋物線的對稱軸方程為，因為二次函數(shù)的圖象開口向下，，所以<<.故選：A【點睛】方法點睛：對于二次函數(shù)的有關(guān)問題，一般通過數(shù)形結(jié)合分析解答.二次函數(shù)是初中，也是高中一種很重要的函數(shù).要理解熟練掌握它的圖象和性質(zhì).12．D【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得所求表達式的值.【詳解】兩式作差消元得：，反代回去得：，同理可得：，由同構(gòu)及韋達定理有：繼而有：.故選：D13．【分析】由二次不等式的解集可得相應(yīng)一元二次方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因為不等式的解集是，所以方程的根為，所以，解得：，.故答案為：.14．【分析】將關(guān)于x的不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】由題意有，可得．故答案為：.15．【分析】由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)列不等式求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)的圖像總在軸上方，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.16．【分析】不等式的解集是，不等式的解集為R，原不等式等價于與同號，從而等價于的解集.【詳解】由題意知：不等式的解集是，所以不等式的解集是，不等式的解集是，不等式的解集為R，所以等價于與同號，所以其等價于，故不等式的解集為.故答案為：.17．（1）不等式的解集為或;（2）,.【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法即可求出；（2）根據(jù)函數(shù)與方程的思想即可求出.【詳解】（1）即為,而的兩根為,所以不等式的解集為或.（2）由題意可知的兩根為,所以,,解得,.18．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)對稱軸的位置可求函數(shù)的值域.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得對稱軸的位置，從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，對稱軸為直線，而，故，故函數(shù)的值域為.（2）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故.19．（1）；（2）.【分析】（1）當時，得，解此不等式即可；（2）由題意可知是方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可求出，的值.【詳解】（1）當時，.∴不等式為，解得，∴所求不等式的解集為.（2）∵，∴，∴是方程的兩根，∴，解得20．(1)或;(2)且.【分析】(1)代入解方程即可求得結(jié)果；（2）化簡為，即可求得結(jié)果.【詳解】（1），則，即解得：或.（2）當時，，所以，解得：且所以解集且.【點睛】本題考查一元二次方程的解法，考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.21．（1），；（2）當時解集為或；當時解集為或.【分析】（1）不等式的解集為，即得解；（2）不等式為，再對分類討論得解.【詳解】（1）不等式的解集為，因為不等式的解集為，所以，.（2）由（1）可知：不等式為，為常數(shù)，且，當時解集為或；當時解集為或.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.22．（1）答案見解析；（2）．【分析】（1）不等式可化為，然后分，，，，五種情況求解不等式；（2）不等式對恒成立，把看成自變量，構(gòu)造函數(shù)，則可得，解不等式組可求出x的取值范圍【詳解】