高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第1課時(shí)向量的概念及線性運(yùn)算(原卷版+解析)

第五章平面向量與復(fù)數(shù)第1課時(shí)向量的概念及線性運(yùn)算編寫：廖云波【回歸教材】1.平面向量的相關(guān)概念名稱定義表示方法注意事項(xiàng)向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的記作零向量的方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量的相反向量為2.向量運(yùn)算運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

三角形法則

平行四邊形法則(1)加法交換律:a+b=b+a;

(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法減去向量等于加上這個(gè)向量的相反向量三角形法則

a-b=a+(-b)數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘,

記作λa(1)|λa|=|λ||a|.

(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0(1)對(duì)向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb;

對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得.【注】限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．【典例講練】題型一向量的基本概念【例1-1】判斷下列命題是否正確，并說明理由.①若，則一定不與共線；()②若，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；()③在平行四邊形ABCD中，一定有；()④若向量與任一向量平行，則=；()⑤若=，=，則=；()⑥若，，則.()歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】下列命題中：①存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則．其中正確命題的序號(hào)是________.題型二向量的線性運(yùn)算【例2-1】如圖所示，解答下列各題：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.【例2-2】已知中，，，AD與BE交于點(diǎn)P，且，，則（

）A． B． C． D．【例2-3】設(shè)、為內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】如圖，平行四邊形ABCD中，已知，，設(shè)，.(1)用向量和表示向量，；(2)若，，求實(shí)數(shù)x和y的值.【練習(xí)2-2】已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．題型三向量共線定理及應(yīng)用【例3-1】設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若，，，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【例3-2】在中，若，為線段上且滿足，則實(shí)數(shù)的值為__________．【例3-3】如圖，在中，點(diǎn)C滿足，點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交線段OA，OB于點(diǎn)M，N，若，，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】如圖在△ABC，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【練習(xí)3-2】如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為________．【完成課時(shí)作業(yè)（三十二）】

【課時(shí)作業(yè)（三十二）】A組礎(chǔ)題鞏固1．以下說法正確的是（

）A．零向量與任意非零向量平行 B．若，，則C．若(為實(shí)數(shù))，則必為零 D．和都是單位向量，則2．已知，，，則（

）A．A，B，D三點(diǎn)共線B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線3．在矩形中，，則向量的長(zhǎng)度等于（

）A．4 B． C．3 D．24．如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．5．如圖所示，中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的四等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B． C． D．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．8．【多選題】在△ABC中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，CM與BN交于P點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．9．已知不共線向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________.10．如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是__________.11．若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為________．12．平行四邊形中，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N在上，且，記，(1)以，為基底表示；(2)求證：M、N、C三點(diǎn)共線.B組挑戰(zhàn)自我1．已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外的點(diǎn)D，若，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．2．在中，是線段上一點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作直線與、分別交于點(diǎn)、，則___________.4．如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點(diǎn)M．設(shè)，．(1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，設(shè)，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．第五章平面向量與復(fù)數(shù)第1課時(shí)向量的概念及線性運(yùn)算編寫：廖云波【回歸教材】1.平面向量的相關(guān)概念名稱定義表示方法注意事項(xiàng)向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度等于0的向量，方向是任意的記作零向量的方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量的相反向量為2.向量運(yùn)算運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

三角形法則

平行四邊形法則(1)加法交換律:a+b=b+a;

(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法減去向量等于加上這個(gè)向量的相反向量三角形法則

a-b=a+(-b)數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫作向量的數(shù)乘,

記作λa(1)|λa|=|λ||a|.

(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0(1)對(duì)向量加法的分配律:λ(a+b)=λa+λb;

對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律:(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得.【注】限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．【典例講練】題型一向量的基本概念【例1-1】判斷下列命題是否正確，并說明理由.①若，則一定不與共線；()②若，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；()③在平行四邊形ABCD中，一定有；()④若向量與任一向量平行，則=；()⑤若=，=，則=；()⑥若，，則.()【答案】

錯(cuò)誤

錯(cuò)誤

正確

正確

正確

錯(cuò)誤【解析】【分析】根據(jù)共線向量的概念判斷①，由四點(diǎn)在一條直線上特殊情況判斷②，根據(jù)平行四邊形及向量相等的概念判斷③，由零向量的性質(zhì)判斷④，根據(jù)相等向量判斷⑤，由特殊情況判斷⑥.【詳解】①兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；②，A，B，C，D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故②不正確；③在平行四邊形ABCD中，，與平行且方向相同，故，③正確；④零向量的方向是任意的，與任一向量平行，④正確；⑤=，則||=||且與方向相同；=，則||=||且與方向相同，則與方向相同且模相等，故=，⑤正確；⑥若=，由于的方向與的方向都是任意的，可能不成立；≠時(shí)，成立，故⑥不正確.故答案為：錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；正確；正確；正確；錯(cuò)誤.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】下列命題中：①存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；②為單位向量，且，則；③；④與共線，與共線，則與共線；⑤若且，則．其中正確命題的序號(hào)是________.【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)平面共線向量的定義和性質(zhì)、結(jié)合平面向量垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】①：只有當(dāng)時(shí)，才能成立，所以本命題不正確；②：當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以同向或反向，所以成立，所以本命題正確；③：因?yàn)椋员久}正確；④：當(dāng)時(shí)，顯然與共線，與共線，但是與共線不一定成立，所以本命題不正確；⑤：當(dāng)都與垂直時(shí)，顯然，但是不一定成立，故答案為：②③題型二向量的線性運(yùn)算【例2-1】如圖所示，解答下列各題：(1)用表示；(2)用表示；(3)用表示；(4)用表示.【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）依據(jù)向量加法法則去求解即可解決；(1)；(2)；(3)；(4)．【例2-2】已知中，，，AD與BE交于點(diǎn)P，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用基底向量表示,然后利用向量相等即可求解.【詳解】，，AD與BE交于點(diǎn)P，且，，∴，又，∴，解得，，∴.故選：A.【例2-3】設(shè)、為內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用平行四邊形法則作出P，利用同底的三角形的面積等于高的比求出的面積與的面積之比，同理可得的面積與的面積之比，從而即可求得的面積與的面積之比．【詳解】解：設(shè)，，，，由平行四邊形法則知，的面積與的面積之比，同理由，可得的面積與的面積之比為，的面積與的面積之比為，故選：D．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】如圖，平行四邊形ABCD中，已知，，設(shè)，.(1)用向量和表示向量，；(2)若，，求實(shí)數(shù)x和y的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)用平面向量的線性運(yùn)算整理可得：，，代入已知向量即可得到.(2)用平面向量的線性運(yùn)算整理可得：，結(jié)合題干條件，可得到等式，解等式即可.(1)，；(2)因?yàn)?即，因?yàn)榕c不共線，從而，解得.【練習(xí)2-2】已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件確定O在△ABC中位線MN上，且O為靠近N的三等分點(diǎn)，進(jìn)而得到與的面積之比.【詳解】設(shè)AC的中點(diǎn)是M，BC的中點(diǎn)是N，由題有，即，，所以O(shè)在△ABC中位線MN上，且O為靠近N的三等分點(diǎn)，設(shè)S△ONC=k，則S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k所以.故選：B.題型三向量共線定理及應(yīng)用【例3-1】設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若，，，求證：A、B、C三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）推理出，即可得到A、B、C三點(diǎn)共線；（2）由共線即可設(shè)8＋k＝λ（k＋2），得到，即可求出.(1)證明：因?yàn)?，，，所以＝?＋）－（2－）＝＋2，＝（－3）－（3＋）＝－2（＋2）＝－2，所以A、B、C三點(diǎn)共線．(2)因?yàn)?＋k與k＋2共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得8＋k＝λ（k＋2）?（8－λk）＋（k－2λ）＝0，因?yàn)榕c不共線，所以，所以．【例3-2】在中，若，為線段上且滿足，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】【分析】利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可得解【詳解】，又三點(diǎn)共線，，解得故答案為：【例3-3】如圖，在中，點(diǎn)C滿足，點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交線段OA，OB于點(diǎn)M，N，若，，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】先由向量的線性運(yùn)算得，再由得，由三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】由題意得，，則，又，則，則，又三點(diǎn)共線，則，即.故選：D.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】如圖在△ABC，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算得到，再利用向量共線定理的推論得到方程，求出m的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得：.故選：C【練習(xí)3-2】如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為________．【答案】3【解析】【分析】設(shè)，求出，，再根據(jù)P，G，Q三點(diǎn)共線得到，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：設(shè)，由題意知，，由P，G，Q三點(diǎn)共線，得存在實(shí)數(shù)使得，即，從而消去，得．故答案為：3【完成課時(shí)作業(yè)（三十二）】

【課時(shí)作業(yè)（三十二）】A組礎(chǔ)題鞏固1．以下說法正確的是（

）A．零向量與任意非零向量平行 B．若，，則C．若(為實(shí)數(shù))，則必為零 D．和都是單位向量，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)和定義即可逐一判斷.【詳解】解：對(duì)于A,零向量與任意向量平行，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，滿足，，但不一定成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,時(shí)，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，和都是單位向量，則，但不一定成立，故錯(cuò)誤．故選：A．2．已知，，，則（

）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的共線定理判斷即可【詳解】由題意得，又有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.故選：A3．在矩形中，，則向量的長(zhǎng)度等于（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法化簡(jiǎn)，根據(jù)矩形的特征可求對(duì)角線的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求模長(zhǎng).【詳解】在矩形中，由可得,又因?yàn)?故，故，故選:A4．如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意可得，，根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算可得.【詳解】由已知可得，，所以．故選：B．5．如圖所示，中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的四等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加減法的三角形法則計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可得：，，，．∴，故選：D.6．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算及平面向量基本定理求解即可.【詳解】由題意知，因?yàn)?，所以，?故選：B.7．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算，結(jié)合其幾何應(yīng)用求得、、、，即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】，即A不正確；連接AC，知G是△ADC的中線交點(diǎn)，如下圖示由其性質(zhì)有∴，即B不正確；，即C正確；同理，即∴，即D不正確；故選：C.8．【多選題】在△ABC中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，CM與BN交于P點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及三點(diǎn)共線的向量表示得解.【詳解】設(shè)，，由，可得，．因?yàn)镃，P，M共線，所以，解得．因?yàn)镹，P，B共線，所以，解得．故，，即，．故選：AD．9．已知不共線向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的向量表達(dá)可得，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與基本定理求解即可【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，所以，即，因?yàn)椴还簿€，所以，解得故答案為：10．如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示即可求出的值【詳解】因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以,因?yàn)椋?，故答案為?1．若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為________．【答案】##0.4【解析】【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點(diǎn)M的位置，再借助面積關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，于是得點(diǎn)在邊上，并且，有，所以與的面積之比為.故答案為：12．平行四邊形中，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N在上，且，記，(1)以，為基底表示；(2)求證：M、N、C三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）首先得到，即可得到，從而得證；(1)解：；(2)證明：∵，，∴，∴且與有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線.B組挑戰(zhàn)自我1．已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO