高一數(shù)學課堂抄重點講義(人教A版2019必修第二冊)8.5空間直線、平面的平行(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

8.5空間直線、平面的平行（講義+例題+小練）一、直線與直線平行平行與同一直線的兩直線平行等角定理如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，這兩個角相等或互補例1：1.（1）基本事實：平行于同一條直線的兩條直線_______________．（2）等角定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角___________或___________圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補[微思考]如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？______________2．已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．舉一反三1．異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線，，我們把直線_______所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（2）空間兩條直線所成角的取值范圍：_____________．空間兩直線垂直如果兩條異面直線所成的角是____________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作______________．2．如圖，空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，則四邊形是()A．梯形

B．平行四邊形

C．菱形

D．矩形二、直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號：例2如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點.求證：平面.注：證明線面垂直1，找中位線2，找平行四邊形3，正兩個面平行舉一反三如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點。求證：平面三．直線和平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，則線線平行.符號:例3如圖，在三棱錐中，分別是中點，平面平面.求證：.舉一反三1．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．四．平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行，則面面平行.符號：例4如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.舉一反三1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點．(1)求證：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中點，求證：平面B1DF∥平面ACE．五．平面與平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行，則線線平行.符號：補充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行例5如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM．舉一反三1．如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．2．如圖，是邊長為2的等邊三角形，在平面四邊形ACDE中，，，，，求證：平面ABC．鞏固提升1．設為兩個不同的平面，則的充要條件是（

）A．內有無數(shù)條直線與平行B．垂直于同一平面C．平行于同一條直線D．內的任何直線都與平行2．如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（）A． B．C． D．3．三棱錐中，為的重心，在棱上，且，則與平面的位置關系為（

）A．在平面內 B．在平面外C．與平面相交 D．與平面平行4．如圖，已知圓錐的頂點為，是底面圓的直徑，點在底面圓上且，點為劣弧的中點，過直線作平面，使得直線平面，設平面與交于點，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則6．如圖，在正四面體中，是棱的中點，在棱上，且，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出以下結論，其中正確的是（

）A．OM∥PD B．OM∥平面PACC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA8．如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點，下列四個推斷中正確的是（

）A．平面B．平面C．平面D．平面平面三、填空題9．設平面，直線，則___________.10．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下結論：①平面DE；②平面AF；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正確結論的序號是______.四、解答題11．如圖，四棱錐中，O為底面平行四邊形DBCE對角線的交點，F(xiàn)為AE的中點．求證：平面DCF．12．如圖所示是一個長方體截去一個角得到的幾何體的直觀圖及正視圖和側視圖（單位：cm）．（1）畫出該多面體的俯視圖，并標上相應的數(shù)據；（2）設為上的一點，為中點，且，證明：平面平面．．13．長方體中，分別為棱的中點.（1）求證：；（2）求證：.14．如圖，，直線AC分別交平面，，于點A，B，C，直線DF分別交平面，，于點D，E，F(xiàn)．求證：．8.5空間直線、平面的平行（講義+例題+小練）一、直線與直線平行平行與同一直線的兩直線平行等角定理如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，這兩個角相等或互補例1：1.（1）基本事實：平行于同一條直線的兩條直線_______________．（2）等角定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角___________或___________圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補[微思考]如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？______________【答案】

平行

相等

互補

比一定平行，可以相交、異面、平行2．已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．【答案】證明見解析【解析】【分析】連接AC，利用正方體的性質，得到四邊形AA′C′C為平行四邊形，再結合M，N分別是CD，AD的中點，得到MN∥A′C′且MN=A′C′證明.【詳解】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分別是CD，AD的中點，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．舉一反三1．異面直線所成的角（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線，，我們把直線_______所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（2）空間兩條直線所成角的取值范圍：_____________．空間兩直線垂直如果兩條異面直線所成的角是____________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作______________．【答案】

與

直角

2．如圖，空間四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點，則四邊形是()A．梯形

B．平行四邊形

C．菱形

D．矩形【答案】B【解析】【詳解】根據中位線定理可知：//且，可知四邊形為平行四邊形故選：B二、直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面；(2)判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號：例2如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點是的中點.求證：平面.【答案】證明見解析【分析】根據圖像，連接，與相交與，連接，是平行四邊形，是的中點，根據中位線的性質即可得證.【詳解】如圖，連接，與相交與，連接，∵是平行四邊形，∴是的中點，又是的中點，∴，又平面，平面，∴平面.注：證明線面垂直1，找中位線2，找平行四邊形3，正兩個面平行舉一反三如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點。求證：平面【答案】證明見解析.【分析】取的中點，連接，由三角形的中位線定理可得∥,，而已知∥，，從而得∥，，所以四邊形為平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證明【詳解】證明：取的中點，連接因為為的中點，所以∥,，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.三．直線和平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，則線線平行.符號:例3如圖，在三棱錐中，分別是中點，平面平面.求證：.【答案】證明見解析【分析】先根據線面平行證明，結合平行的傳遞性可得.【詳解】因為分別是的中點，所以，所以.又平面，平面，所以平面.因為平面，平面平面，所以.又，所以.【點睛】本題主要考查空間中的直線與直線平行，線線平行可以通過線面平行轉化，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).舉一反三1．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據線面平行的判定定理、性質定理即可得證【詳解】因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以，因為平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，又因為平面ACD，且平面平面BCD，所以，又因為平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH2．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC=l.求證:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先由BC∥AD證明BC∥平面PAD，再結合平面PBC∩平面PAD=l，由線面平行推出線線平行，即得證；（2）取PD的中點E，連接AE，NE，可證明四邊形AMNE是平行四邊形，即MN∥AE，由線線平行推線面平行，即得證【詳解】（1）∵?ABCD∴BC∥AD，又BC平面PAD，平面PAD∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD=l，平面PBC∴l(xiāng)∥BC.（2）如圖，取PD的中點E，連接AE，NE，則NE∥CD，且NE=CD，又AM∥CD，且AM=CD，∴NE∥AM，且NE=AM.∴四邊形AMNE是平行四邊形.∴MN∥AE.又∵AE?平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.四．平面與平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行，則面面平行.符號：例4如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.【答案】見解析【分析】由正方形的性質得出，可得出平面，由線面垂直的性質定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可證得結論.【詳解】由于四邊形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.【點睛】本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎題.舉一反三1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點．(1)求證：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中點，求證：平面B1DF∥平面ACE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）連BD，使BD∩AC＝G，連EG，由中位線定理以及線面平行判定定理證明即可；（2）證明B1F∥平面ACE，結合B1D∥平面ACE，利用面面平行判定定理證明即可.(1)連BD，使BD∩AC＝G，連EG．∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中點，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又平面ACE，平面ACE，∴B1D∥平面ACE．(2)∵E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四邊形B1ECF是平行四邊形，∴B1F∥CE，又∴平面ACE，平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．五．平面與平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行，則線線平行.符號：補充：平行于同一平面的兩平面平行；夾在兩平行平面間的平行線段相等；兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個平面平行例5如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM．【答案】見解析．【分析】先通過中位線，通過線線平行，證得平面平面，在根據面面平行的性質定理證得.【詳解】因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【點睛】本小題主要考查線線平行的證明、線面平行的證明和面面平行的證明，其中涉及到了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，還有面面平行的性質定理.在平行轉化的過程中，已知和求之間，用判定定理還是性質定理，要看清楚題目所給的條件來判斷.舉一反三1．如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．【答案】【解析】【分析】根據面面平行的性質，結合平行線的性質進行求解即可【詳解】由題意可知：平面，平面，因為平面平面，所以，因此有.2．如圖，是邊長為2的等邊三角形，在平面四邊形ACDE中，，，，，求證：平面ABC．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據給定條件證明平面平面即可推理作答.【詳解】因為，則四邊形ACDE是菱形，有，而平面ABC，平面ABC，于是得平面ABC，又，平面ABC，平面ABC，則平面ABC，因為，且平面，因此，平面平面ABC，又因平面，所以平面ABC.鞏固提升1．設為兩個不同的平面，則的充要條件是（

）A．內有無數(shù)條直線與平行B．垂直于同一平面C．平行于同一條直線D．內的任何直線都與平行【答案】D【解析】【分析】根據面面平行、相交的知識確定正確選項.【詳解】A選項，內有無數(shù)條直線與平行，與可能相交，A選項錯誤.B選項，垂直于同一平面，與可能相交，B選項錯誤.C選項，平行于同一條直線，與可能相交，C選項錯誤.D選項，內的任何直線都與平行，則，D選項正確.故選：D2．如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案．【詳解】對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關系，故AB和平面MNQ不平行：對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故選：A．3．三棱錐中，為的重心，在棱上，且，則與平面的位置關系為（

）A．在平面內 B．在平面外C．與平面相交 D．與平面平行【答案】D【解析】【分析】通過對應線段成比例得到線線平行，從而得到線面平行.【詳解】如圖，延長交于點，連接，因為為的重心，所以，又，平面，平面，平面.故選：D4．如圖，已知圓錐的頂點為，是底面圓的直徑，點在底面圓上且，點為劣弧的中點，過直線作平面，使得直線平面，設平面與交于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接交于點，連接，根據線面平行的性質定理知，再根據平行線分線段成比例定理得到，然后根據圓的性質得到，進而得，即可求出的值.【詳解】解：如圖，連接交于點，連接，則平面平面，又平面，所以，所以.因為是底面圓的直徑，，點為劣弧的中點，連接，所以，所以，易得，所以，則.故選：B.5．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【解析】【分析】利用線面平行、面面平行的判定、性質定理，依次分析即得解【詳解】選項A：有可能出現(xiàn)的情況；選項B：和有可能異面；選項C：和有可能相交；選項D：由，，得直線和平面沒有公共點，所以，故選：D6．如圖，在正四面體中，是棱的中點，在棱上，且，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，找到異面直線與所成角即為（或其補角），利用余弦定理求出，由勾股定理求出，利用余弦定理求出答案.【詳解】設為棱上與點最近的一個四等分點，連接，，，，則，所以異面直線與所成角即為（或其補角）．不妨設正四面體的棱長為4，則．在中，，，，由余弦定理得：，解得：，同理，．在等腰三角形中，．在中，，，，由余弦定理得，解得：．在中，由余弦定理得:．故選：C二、多選題7．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出以下結論，其中正確的是（

）A．OM∥PD B．OM∥平面PACC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA【答案】AC【解析】【分析】根據已知條件，利用三角形中位線定理判定A正確；利用線面平行的判定定理判定C正確；根據線面平行的定義——沒有公共點，判定BD錯誤.【詳解】因為矩形對角線的交點為O，所以O是BD的中點，又M為PB的中點，為△的中位線，,又平面,平面,所以OM∥平面PDA，故正確；與平面有公共點,與平面有公共點,故BD錯誤.故選：.8．如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點，下列四個推斷中正確的是（

）A．平面B．平面C．平面D．平面平面【答案】AC【解析】【分析】由已知可得，由線面平行的判定定理可判斷A；由，與平面相交可判斷B；由，根據線面平行的判定定理可判斷C，由與平面相交可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：因為在正方體中，，，分別是，，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，故選項A正確；對于B：因為，與平面相交，所以與平面相交，故選項B錯誤；對于C：因為，，分別是，，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故選項C正確；對于D：與平面相交，所以平面與平面相交，故選項D錯誤.故選：AC三、填空題9．設平面，直線，則___________.【答案】9【解析】【分析】根據題意作出可能的示意圖，根據面面平行的性質，可得到線線平行，從而列出比例式，解得答案,【詳解】根據題意可作圖如下：因為直線，故可設它們確定的平面為m,則m和α的交線為AC,和β的交線為BD,因為，故,故,即，則,故答案為：9.10．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下結論：①平面DE；②平面AF；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正確結論的序號是______.【答案】①②③④.【解析】【分析】將圖形還原為正方體，進而根據點線面的位置關系及線面平行和面面平行的判定定理判斷答案.【詳解】如圖，對①，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面DE，平面DE，則平面DE.正確；對②，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面AF，平面AF，則平面AF.正確；對③，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，而，所以平面B