專題 轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用 中考數(shù)學(xué)

專題16轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：轉(zhuǎn)化思想方法包含三個(gè)基本要素:1、把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對(duì)象;2、轉(zhuǎn)化到何處去，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo);3、如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的方法。轉(zhuǎn)化思想方法應(yīng)遵循以下五條原則:1、熟悉化原則:將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟悉的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決;2、簡(jiǎn)單化原則:將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù):3、和諧化原則:轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示和諧統(tǒng)的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律:4、直觀化原則:將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決;5、正難則反原則:當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決或證明的可能性。題型一：圓中的轉(zhuǎn)化思想1．（2023?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：，；（2）類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：；（4）實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則．2．（2024?介休市模擬）閱讀與思考如圖是小強(qiáng)同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．平面直角坐標(biāo)系與直角三角形年月日星期三原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點(diǎn)分三種情況進(jìn)行分類討論．口訣：“兩線一圓”作圖：舉例如下：已知、，在直線上求點(diǎn)，使得為直角三角形．以下分三種情況討論：情況一：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．如圖①，有一個(gè)點(diǎn)；情況二：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．如圖②，有一個(gè)點(diǎn)；情況三：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以為直徑作圓，則該圓與直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．如圖③，有，兩個(gè)點(diǎn)；方法：一、幾何法：構(gòu)造“型”或“一線三垂直”相似；二、代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式，列方程，解方程，檢驗(yàn)根；三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)．任務(wù)：（1）上面課堂筆記中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；．?dāng)?shù)形結(jié)合．統(tǒng)計(jì)思想．分類討論．轉(zhuǎn)化思想（2）選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中的坐標(biāo)．（3）直接寫出“情況二”中的坐標(biāo)；（4）請(qǐng)你寫出在“情況三”中，確定、的坐標(biāo)位置及求坐標(biāo)過(guò)程中，所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或原理（寫出一個(gè)即可）．3．（2023?吳川市二模）已知：的直徑，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、、重合），射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接、，中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出這個(gè)角并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求與面積的比值．4．（2023?微山縣二模）如圖，中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）若，，求的長(zhǎng)．5．（2023?花都區(qū)一模）如圖，是的外接圓，直徑，，平分交于點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中：①證明：是的切線；②求的值．6．（2023?阿城區(qū)模擬）已知：、是的直徑，弦，垂足為，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為，求證；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．7．（2023?松江區(qū)二模）如圖1，是半圓的直徑，是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，射線交半圓于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．（1）如圖2，恰好落在半圓上，求證：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的長(zhǎng)．8．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，已知線段與直線，過(guò)、兩點(diǎn)，作使其與直線相切，切點(diǎn)為，易證，可知點(diǎn)對(duì)線段的視角最大．問(wèn)題提出（1）如圖②，已知的外接圓為，與相切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若，，求的長(zhǎng)．問(wèn)題解決（2）如圖③，一大型游樂(lè)場(chǎng)入口設(shè)在道路邊上，在“雪亮工程”中，為了加強(qiáng)安全管理，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況，相關(guān)部門準(zhǔn)備在與地面道路夾角為的射線方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）確定一個(gè)位置，并架設(shè)斜桿，在斜桿的中點(diǎn)處安裝一攝像頭，對(duì)入口實(shí)施監(jiān)控（其中點(diǎn)、、、、、、在同一平面內(nèi)），已知米，米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最大時(shí)監(jiān)控效果最好，請(qǐng)問(wèn)在射線上是否存在一點(diǎn)，使得達(dá)到最大？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)在上的位置及斜桿的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求證：①是的切線；②；（2）若點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，試求陰影部分的面積．10．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)四模）（1）如圖①，在中，，，，求外接圓的半徑；（2）如圖②，是一個(gè)半徑為200米的圓形廣場(chǎng)，弦是廣場(chǎng)上一個(gè)長(zhǎng)為米的納涼演繹舞臺(tái)，現(xiàn)計(jì)劃在廣場(chǎng)上建一個(gè)長(zhǎng)為200米的手工藝集市，并在舞臺(tái)和集市之間修建兩個(gè)休閑長(zhǎng)廊和，規(guī)劃長(zhǎng)廊、舞臺(tái)、集市圍成四邊形為活動(dòng)區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧上確定兩點(diǎn)、，使得長(zhǎng)廊最長(zhǎng)？若能，請(qǐng)求出的最大值，并計(jì)算此時(shí)的度數(shù)及四邊形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022?青秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，是弦，點(diǎn)在圓外，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、、，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）設(shè)的面積為，的面積為，若，求的值．

題型二：函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想1．（2021?南岸區(qū)校級(jí)模擬）初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)理了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下我們研究函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．（1）下表是與的幾組值，請(qǐng)?jiān)诒砀裰械目瞻滋幪钌锨‘?dāng)?shù)臄?shù)字；0134504（2）在平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全描出表格中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)的圖象，請(qǐng)寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：．（4）若方程為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為．2．（2021?望奎縣模擬）自主學(xué)習(xí)，請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程．解一元二次不等式：．解：設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng)，或時(shí)函數(shù)圖象位于軸上方，此時(shí)，即，所以，一元二次不等式的解集為：，或．通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題：（1）上述解題過(guò)程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和．（只填序號(hào)）①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想（2）一元二次不等式的解集為．（3）用類似的方法解一元二次不等式：．3．（2024?全椒縣一模）如圖1，拋物線與軸相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．4．（2023?沭陽(yáng)縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，，，與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，直接寫出的最小值；（4）若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)不小于時(shí)，求的取值范圍．專題16轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：轉(zhuǎn)化思想方法包含三個(gè)基本要素:1、把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對(duì)象;2、轉(zhuǎn)化到何處去，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo);3、如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的方法。轉(zhuǎn)化思想方法應(yīng)遵循以下五條原則:1、熟悉化原則:將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟悉的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決;2、簡(jiǎn)單化原則:將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù):3、和諧化原則:轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示和諧統(tǒng)的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律:4、直觀化原則:將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決;5、正難則反原則:當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決或證明的可能性。題型一：圓中的轉(zhuǎn)化思想1．（2023?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：，；（2）類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：；（4）實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用證明即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用證明即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用證明即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，先找到點(diǎn)，利用勾股定理計(jì)算出，再利用第3小題的結(jié)論得到三角形的高，的面積即可求出．【解答】解：（1），，理由如下：如圖1所示：和都是等腰三角形，，，又，，，，，，；（2），，理由如下：如圖2所示：證明：，，即，又和都是等腰三角形，，，，，，，，；（3），理由如下：如圖3所示：和都是等腰三角形，，，，，即：，，，，，，，，；（4）如圖4所示：連接，以為直徑作圓，由題意，取滿足條件的點(diǎn)，，則．，，，連接，作于點(diǎn)，在上截取，，，，，，，由（3）可得：，，，同理可得：，故的面積為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2024?介休市模擬）閱讀與思考如圖是小強(qiáng)同學(xué)的數(shù)學(xué)課堂筆記本，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．平面直角坐標(biāo)系與直角三角形年月日星期三原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點(diǎn)分三種情況進(jìn)行分類討論．口訣：“兩線一圓”作圖：舉例如下：已知、，在直線上求點(diǎn)，使得為直角三角形．以下分三種情況討論：情況一：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．如圖①，有一個(gè)點(diǎn)；情況二：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．如圖②，有一個(gè)點(diǎn)；情況三：當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以為直徑作圓，則該圓與直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．如圖③，有，兩個(gè)點(diǎn)；方法：一、幾何法：構(gòu)造“型”或“一線三垂直”相似；二、代數(shù)法：兩點(diǎn)間的距離公式，列方程，解方程，檢驗(yàn)根；三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點(diǎn)．任務(wù)：（1）上面課堂筆記中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；．?dāng)?shù)形結(jié)合．統(tǒng)計(jì)思想．分類討論．轉(zhuǎn)化思想（2）選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中的坐標(biāo)．（3）直接寫出“情況二”中的坐標(biāo)；（4）請(qǐng)你寫出在“情況三”中，確定、的坐標(biāo)位置及求坐標(biāo)過(guò)程中，所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或原理（寫出一個(gè)即可）．【分析】（1）根據(jù)題意即可解答．（2）選幾何法，先證三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．（3）根據(jù)一線三等角的模型得出三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)即可解答，在求解過(guò)程中依據(jù)的定理是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．【解答】解：（1）上面課堂筆記中的分析過(guò)程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想．故選：．（2）當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，，，又，，△，，，，，，解得，的坐標(biāo)為．（3）過(guò)作軸交軸于點(diǎn)，如圖：則，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，，，．，△，，，，，，解得，的坐標(biāo)為．（3）當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以為直徑作圓，則該圓與直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．，，與（2）同理可得△△，△△，，，設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，則，，，；，，，，，，解得，或（舍去），的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，在求解過(guò)程中依據(jù)的定理是相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，一線三垂直模型等，構(gòu)造構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．3．（2023?吳川市二模）已知：的直徑，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、、重合），射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接、，中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出這個(gè)角并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求與面積的比值．【分析】（1）連接、、，由勾股定理求出，由求出，則．（2）不變，連接，則，由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得．（3）①當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明是等邊三角形，求出，由勾股定理求出，分別求出兩個(gè)三角形的面積作比，即可得到結(jié)果．②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，證明，用表示出，由，列出關(guān)于的方程并求出，再求出兩個(gè)三角形的面積即可得結(jié)果．③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，長(zhǎng)度沒(méi)變，長(zhǎng)度變了，依據(jù)②中的數(shù)值可求得結(jié)果．【解答】（1）解：如圖1，連接、、，是的中點(diǎn)，是半徑，，，，，，，，，，，，．（2）不變，．如圖2，連接，是的中點(diǎn)，，是的直徑，，，，．（3）解：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，．②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，設(shè)，，，，由得，，，，，，，③如圖5，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，長(zhǎng)度與②中相同，，，綜上得，與面積的比值為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓中垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練掌握各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．4．（2023?微山縣二模）如圖，中，，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接，利用及角平分線得即可；（2）連接，先利用計(jì)算、，然后證明求，再證明即可求．【解答】（1）證明：連接，是半徑，，的平分線交于點(diǎn)，，，，，是的切線；（2）解：連接，，，，為直徑，，，，，，，，，，，即：，解得：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023?花都區(qū)一模）如圖，是的外接圓，直徑，，平分交于點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中：①證明：是的切線；②求的值．【分析】（1）以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)即可．（2）①先證，再由是半徑即可得結(jié)論．②先證，得出的長(zhǎng)，再證即可．【解答】（1）如圖1，以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．（2）①證明：是的直徑，，，，，，，，平分，，，，又是半徑，是的切線．②解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，平分，，，，．，，，，，解得，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（2023?阿城區(qū)模擬）已知：、是的直徑，弦，垂足為，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為，求證；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）利用切線的性質(zhì)和可證，根據(jù)圓周角定理可得，即可得證；（2）利用垂徑定理可得，，證明，得出，即可得證；（3）連接，過(guò)作于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，，利用等角對(duì)等邊可證，證明，可得，進(jìn)而可證為正方形，利用等角的正切值相等可得，證明是等腰直角三角形，可得出，根據(jù)，，可求出，，，根據(jù)，即可求出．【解答】（1）證明：是切線，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，；（3）解：連接，過(guò)作于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，為直徑，，，四邊形為矩形，，矩形為正方形，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形形的判定與性質(zhì)．7．（2023?松江區(qū)二模）如圖1，是半圓的直徑，是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，射線交半圓于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．（1）如圖2，恰好落在半圓上，求證：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到，證出是等邊三角形，得出，即可得結(jié)論．（2）設(shè)的半徑為，作于，則，求出，，，得到，再求出，得到，證出，得到，作比即可．（3）①當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，于，由，得到，又，從而求得．②當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，同樣方法求得的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖2，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，是等邊三角形，，，，，．（2）解：如圖3，設(shè)的半徑為，則，作于，，，，在中，，，，，，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，由對(duì)稱性得，，，，．（3）解：①如圖4，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，，由對(duì)稱性知，過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，，．②如圖5，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，于，則，，，又，，，．綜上得，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．8．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，已知線段與直線，過(guò)、兩點(diǎn)，作使其與直線相切，切點(diǎn)為，易證，可知點(diǎn)對(duì)線段的視角最大．問(wèn)題提出（1）如圖②，已知的外接圓為，與相切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若，，求的長(zhǎng)．問(wèn)題解決（2）如圖③，一大型游樂(lè)場(chǎng)入口設(shè)在道路邊上，在“雪亮工程”中，為了加強(qiáng)安全管理，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況，相關(guān)部門準(zhǔn)備在與地面道路夾角為的射線方向上（位于垂直于地面的平面內(nèi)）確定一個(gè)位置，并架設(shè)斜桿，在斜桿的中點(diǎn)處安裝一攝像頭，對(duì)入口實(shí)施監(jiān)控（其中點(diǎn)、、、、、、在同一平面內(nèi)），已知米，米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最大時(shí)監(jiān)控效果最好，請(qǐng)問(wèn)在射線上是否存在一點(diǎn)，使得達(dá)到最大？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)在上的位置及斜桿的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）①作直徑，連接，則，與相切，得，再根據(jù)圓周角定理即可得結(jié)果．②證明，得，代入數(shù)值可得結(jié)果．（2）取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，經(jīng)過(guò)，作與相切于點(diǎn)，此時(shí)最大，由求出，由勾股定理求出，，，再求出，最終得到，的長(zhǎng)度．【解答】（1）解：①，理由如下：如圖②，連接并延長(zhǎng)至圓上一點(diǎn)，連接，則，為圓的直徑，，，與相切于點(diǎn)，，，，，．②，，，，，，，，．（2）解：存在一點(diǎn)，使得達(dá)到最大．如圖③，取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，經(jīng)過(guò)，作與相切于點(diǎn)，由題意知，此時(shí)最大．，是中點(diǎn)，，，作直徑，連接，則，，，是的切線，是切點(diǎn)，，，，又，，，，．過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，由勾股定理得，，．故點(diǎn)在上距離點(diǎn)處，斜桿的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似，圓的張角等知識(shí)，屬于圓的綜合題，恰當(dāng)添加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．9．（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求證：①是的切線；②；（2）若點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，試求陰影部分的面積．【分析】（1）①連接，根據(jù)圓周角定理推出，并根據(jù)平行線的判定得出，從而得到即可證明是的切線；②連接，，根據(jù)同角的余角相等推出，并得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明；（2）連接、、，根據(jù)題意由圓心角定理推出和是等邊三角形，并得出相關(guān)角的大小即邊之間的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的判定得到，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積進(jìn)行求解即可．【解答】（1）①證明：如圖1，連接，，，（圓周角定理），，，根據(jù)題意可知，，是的切線．②如圖2，連接，，為直徑，，，，由（1）可知，，在和中，，，，故．（2）如圖3，連接、、，和交于點(diǎn)，則，根據(jù)題意點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，，和是等邊三角形，，，由（1）可知，，在和中，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，通常要結(jié)合圓周角定理及圓心角定理求解各角、各邊之間的關(guān)系．10．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)四模）（1）如圖①，在中，，，，求外接圓的半徑；（2）如圖②，是一個(gè)半徑為200米的圓形廣場(chǎng)，弦是廣場(chǎng)上一個(gè)長(zhǎng)為米的納涼演繹舞臺(tái)，現(xiàn)計(jì)劃在廣場(chǎng)上建一個(gè)長(zhǎng)為200米的手工藝集市，并在舞臺(tái)和集市之間修建兩個(gè)休閑長(zhǎng)廊和，規(guī)劃長(zhǎng)廊、舞臺(tái)、集市圍成四邊形為活動(dòng)區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧上確定兩點(diǎn)、，使得長(zhǎng)廊最長(zhǎng)？若能，請(qǐng)求出的最大值，并計(jì)算此時(shí)的度數(shù)及四邊形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）作出外接圓，連接，，交于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系解答即可；（2）連接，，，，過(guò)點(diǎn)分別作，，，利用勾股定理求得，利用，可知當(dāng)最大時(shí)，取最大值，利用三角形的面積公式與正弦的取值范圍即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)外接圓為，連接，，交于點(diǎn)，如圖，，，，，，，，為等邊三角形．，在中，，；（2）在優(yōu)弧上確定兩點(diǎn)、，使得長(zhǎng)廊最長(zhǎng)．連接，，，，過(guò)點(diǎn)分別作，，，垂足分別為，，，如圖，的半徑為200米，米，米，，，．米，為等邊三角形，，．．，，．，，．在和中，，．．，，，，．，，，．，當(dāng)最大時(shí)，取最大值，，當(dāng)，，最大，即最大，最大值為20000，當(dāng)時(shí)，的值最大．在優(yōu)弧上確定兩點(diǎn)、，使得長(zhǎng)廊最長(zhǎng)；此時(shí)，如圖，，，．四邊形的面積米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，全等三角形的拍大片與性質(zhì)，函數(shù)的極值，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022?青秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，是弦，點(diǎn)在圓外，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、、，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）設(shè)的面積為，的面積為，若，求的值．【分析】（1）由證明即可得到結(jié)果；（2）證明即即可得證；（3）把轉(zhuǎn)化為，設(shè)，用表示出半徑，再由的面積比等于相似比平方可得到答案．【解答】解：（1）證明：，又，，于點(diǎn)，，，，即，，是的切線；（2），，，，，，；（3）為直徑，，，，，，在中，，設(shè)，則，，于點(diǎn)，，，由（2）知，，而，，，設(shè)，則，的面積為，而的面積為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線、相似三角形判定及性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為．題型二：函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想1．（2021?南岸區(qū)校級(jí)模擬）初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)理了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程，以下我們研究函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．（1）下表是與的幾組值，請(qǐng)?jiān)诒砀裰械目瞻滋幪钌锨‘?dāng)?shù)臄?shù)字；0134504（2）在平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全描出表格中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)，補(bǔ)全函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)的圖象，請(qǐng)寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：．（4）若方程為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為．【分析】（1）利用函數(shù)解析式求值即可；（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)圖象解答問(wèn)題即可；（4）令，當(dāng)或時(shí)，，將方程化為，當(dāng)△時(shí)，解得或，此時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，與也有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，由此可求解．【解答】解：（1）時(shí)，；時(shí)，，故答案為：，2；（2）圖象如圖所示：（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值；故答案為：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，沒(méi)有最大值；（4）如圖：由，可知，令，當(dāng)或時(shí)，，，當(dāng)△時(shí)，，解得或，此時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)與也有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，方程為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會(huì)用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．2．（2021?望奎縣模擬）自主學(xué)習(xí)，請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程．解一元二次不等式：．解：設(shè)，解得：，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng)，或時(shí)函數(shù)圖象位于軸上方，此時(shí)，即，所以，一元二次不等式的解集為：，或．通過(guò)對(duì)上述解題過(guò)程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問(wèn)題：（1）上述解題過(guò)程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的①和．（只填序號(hào)）①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想（2）一元二次不等式的解集為．（3）用類似的方法解一元二次不等式：．【分析】（1）根據(jù)題意容易得出結(jié)論；（2）由圖象可知：當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象位于軸下方，此時(shí)，即，即可得出結(jié)果；（3）設(shè)，解方程得出拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，畫出二次函數(shù)，的大致圖象，由圖象可知：當(dāng)，或時(shí)函數(shù)圖象位于軸上方，此時(shí)，即，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）上述解題過(guò)程中，滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的①和③；故答案為：①，③；（2）由圖象可知：當(dāng)時(shí)函數(shù)圖象位于軸下方，此時(shí)，即，一元二次不等式的解集為：；故答案為：．（3）設(shè)，解得：，，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當(dāng)，或時(shí)函數(shù)圖象位于軸上方，此時(shí)，即，一元二次不等式的解集為：，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象、拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、一元二次方程的解法等知識(shí)；熟練掌握二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2024?全椒縣一模）如圖1，拋物線與軸相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)，使