2024版新高考新教材版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)八

2024版新高考新教材版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題八.解析幾何（A）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2023安徽蚌埠高三質(zhì)檢，4）直線/：X+沖+1—〃2=0與圓。：（％-1）2+（丁一2）2=9的

位置關(guān)系是（）

A相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

22

2.（2023北京朝陽(yáng)高三期末，4）已知雙曲線「-與=1（〃＞0力＞0）的一條漸近線的傾斜角

ab-

為60。，則雙曲線的離心率為（）

A.@B.亞IC.JjD.2

23

3.（2023廣東東莞高三期末，5）已知尸為拋物線V=4x的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若1。尸1=3,則|OP|=（）

A.272B.3C.273D.V17

4.（2023河北張家口高三期末，7）過(guò)點(diǎn)P（l,l）作圓E:/+y2-4x+2y=0的切線，則切

線方程為（）

A,x+y—2=0B,2x—y-l=0

C,x-2y+l=0D.x—2>+1=0或2工一y—1=0

尤2V2

5.（2023山東淄博三模，6）已知橢圓。：鼻+方=1（。＞方＞0）,尸為其左焦點(diǎn)，直線

丁=日（2＞0）與橢圓。交于點(diǎn)人，B,且AELAB.若NA防=30°,則橢圓C的離心

率為（）

也也逅

AB屈CD.

3366

6.（2023廣東廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校5月適應(yīng)性考試，6）已知F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)

F的直線/交地物線C于AB兩點(diǎn)，若|Aq=4忸目=/1,則4=（）

3

A.1B.一C.3D.4

2

7.(2023河北承德一模,7)己知過(guò)點(diǎn)P(l,2)可作雙曲線C：二=1(a>0,b>0)的兩

a~

條切線，若兩個(gè)切點(diǎn)分別在雙曲線。的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為

()

A.(75,+oo)B.(1,A/5)C.(1,V3)D.(V3,+oo)

8.(2023河北秦皇島二模，8)已知Q,B分別是雙曲線C：￡■-馬=l(a>0,6>0)的左、

a~b~

2222

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，PFt1PF2,圓。：x+y^^(a+b),直線尸Q與圓。相交

于A,B兩點(diǎn)，直線尸尸2與圓。相交于M,N兩點(diǎn).若四邊形AMBN的面積為9從，則C的

離心率為()

A3B.§C.好D.亞

4525

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

V-22

9.(2023湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)二模，9)已知橢圓E：4v=1(“>/,〉0)的右焦點(diǎn)為/(3,0),

a~b

過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓￡于A,B兩點(diǎn).若A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,7)，則()

22

A.直線的方程為y=g(x—3)B.a=2b

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+工=1D.橢圓的離心率為也

932

10.(2023廣東汕頭一模，10)已知直線4：2x-y-3=0,/2：x-2y+3=0,圓C：

(x-a)2+(y-b)2=r2,若圓C與直線心4都相切，則下列選項(xiàng)一定正確的是()

A.4與《關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)

B.若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9

C,圓C的圓心在直線x+y—6=0或直線x-y=()上

D.與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)

11.（2023廣東惠州一模，11）己知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率

為2夜的直線交拋物線C于A、8兩點(diǎn)，其中A在第一象限，若|AF|=3,則（）

3

A.p=lB.\BF\=-

C.以AF為直徑的圓與y軸相切D.OAOB^-3

2,2

12.（2023福建漳州二模，12）已知［（-2,0）,歷（2,0）是雙曲線C*f=l（a>0,b>0）的

左、右焦點(diǎn)，且鳥(niǎo)到C的一條漸近線的距離為行，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為C

右支上的一點(diǎn)，則（）

A.a=b=6B.過(guò)點(diǎn)M且斜率為1的直線與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

1

C.\PO\=\PFi\-\PF2\D.當(dāng)P,M,耳，鳥(niǎo)四點(diǎn)共圓時(shí)，々和=15。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2023山東青島三模，13）已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線夕='/

4

的焦點(diǎn)重合，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

14.（2023山東省實(shí)驗(yàn)二模，14）已知直線/過(guò)圓（x-1）-+y2=1的圓心，且與圓相交于A，

8兩點(diǎn)，P為橢圓"+《=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則QA.P6的最大值與最小值之和為.

2

15.（2023湖北十堰四調(diào)，15）已知尸（五，兒）是雙曲線E:9—V=1上一點(diǎn)，片、鳥(niǎo)分

別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，△P6苞的周長(zhǎng)為12+26，則cos/%Pg=,

4PF用的面積為.

16.（2023廣東厘門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校5月適應(yīng)性考試，16）已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F，短軸

的長(zhǎng)為2百,已。為C上異于用，層的兩點(diǎn).設(shè)/2與為=，，且

tan（a+Q）=-3（tana+tan4）,則△PQF的周長(zhǎng)的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

17.（2023廣東廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校5月適應(yīng)性考試，21）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)

川一行,0),工(6,0),點(diǎn)M滿足|5|一|叫|=4,記點(diǎn)M的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)、B,C為E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足NBAC=1?過(guò)A作直線AQ_L8C交

TT

E于點(diǎn)Q.若NBQC=3,求直線的斜率.

18.(2023山東青島三模，20)已知?jiǎng)訄A尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(一8,0),并且與圓8：

(%-6)2+/=16相切，記圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若動(dòng)圓。的圓心在曲線C上，定直線/：x=f與圓。相切，切點(diǎn)記為M,探究：是否

存在常數(shù)膽使得|Q8|=〃?|QM|?若存在，求膽及直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

19.(2023湖南師大附中二模,21)如圖，橢圓C：二+±=1(">2),圓。：/+,2=/+4,

a-4

橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo).

(1)過(guò)橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線/交圓。于M,N兩點(diǎn)，若歸功歸閭=6,求

IPMHPNI的值;

(2)過(guò)圓。上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直.

92

20.(2023安徽宣城二調(diào)，21)己知橢圓C：y1/6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,且離心

率為丸

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線y=履+機(jī)與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM,ON的斜率

之積等于-1,求OMN的面積的取值范圍.

22

21.（2023福建福州高三質(zhì)檢，21）已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為4

。為原點(diǎn)，點(diǎn)尸（1,1）在C的漸近線上，二PAO的面積為

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作直線/交C于M,N兩點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)G,H為NG

的中點(diǎn)，證明：直線4,的斜率為定值.

22.（2023廣東省二模，22）已知A,8是拋物線E：上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸下

\PA\|PB|,

方，%與拋物線E交于點(diǎn)C,P8與拋物線E交于點(diǎn)。，且滿足黃=上■=4,其中工

是常數(shù)，且zlwl.

（1）設(shè)AB,CO的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N,證明：MN垂直于x軸;

（2）若點(diǎn)尸為半圓/+產(chǎn)=1（><0）上的動(dòng)點(diǎn)，且4=2,求四邊形A8DC面積的最大值.

專(zhuān)題八.解析幾何（A）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2023安徽蚌埠高三質(zhì)檢，4）直線/：龍+加丁+1-〃2=0與圓C:（x-iy+（y—2）2=9的

位置關(guān)系是（）

A相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】已知直線/：x+加y+1一m=0過(guò)定點(diǎn)（一1,1）,將點(diǎn)（—1,1）代入圓的方程得

（-1-1）2+（1-2）2<9,所以點(diǎn)（一1,1）在圓內(nèi)，所以直線/：X+沖+1—〃2=0與圓

C:（x—1『+（丁—2）2=9相交，故選：A.

22

2.（2023北京朝陽(yáng)高三期末，4）已知雙曲線=V-4V=13>0力>0）的一條漸近線的傾斜角

ab~

為60。，則雙曲線的離心率為（）

A.且B.C.6D.2

23

【答案】D

【解析】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率2=tan60。=6，

a

所以雙曲線離心率e=(==2故選：D

3.(2023廣東東莞高三期末，5)已知F為拋物線V=4尤的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PF|=3,則|OP|=()

A.272B.3C.2GD.歷

【答案】C

［解析】由題意知拋物線＞2=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),且準(zhǔn)線方程為x=-l,

設(shè)P(Xp,%),：|PF|=3,即Xp+l=3,；.Xp=2,代入y2=4x得常=8,

即P(2,±20),故|。尸|=病與=厄=26,故選：C

4.(2023河北張家口高三期末，7)過(guò)點(diǎn)P(l,l)作圓E:/+y2-4x+2y=0的切線，則切

線方程為()

A,x+y—2=0B,2x—y-l=0

C.x—2y+l=0D,x—2)+1=()或2工一y—1=0

【答案】C

【解析】由題意可知：圓石：/+/一4%+2丁=0的圓心E(2,T),半徑尸=逐，

,.?『+12-4x1+2x1=0,...點(diǎn)尸在圓E上，

-1-11

又?：kpF=k^~=2則切線的斜率A=

2-12

???切線方程為y-l=g(x-l),即x-2y+l=(),故選：C.

y2

5.(2023山東淄博三模，6)已知橢圓。：二?+廠為其左焦點(diǎn)，直線

aF

>=履（左>0）與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且AFLAB.若NA防=30°,則橢圓。的離心

率為（）

A.也B.顯C.也D.近

3366

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸2,連接4工，BF〉故四邊形APBB為平行四邊形，設(shè)

\AF\=m,ZABF=30°>則|網(wǎng)|=2/〃，忸閭=|AF|=〃?，忸同+忸周=2機(jī)+加=加，

20,4、2,2丫42

m=--a,△BFF）中，（2c）~=—a4-—a-2x—QX—axcosl200,整理得

3-VbJUJ33

4c2=生生，即,=也4,故e=￡=也，故選：A

93a3

6.（2023廣東廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校5月適應(yīng)性考試，6）已知產(chǎn)為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)

產(chǎn)的直線/交地物線C于A6兩點(diǎn)，若|A月=4忸同=2,則;1=（）

3

A.1B,-C.3D.4

2

【答案】C

【解析】如圖，過(guò)A作準(zhǔn)線于兒，過(guò)8作準(zhǔn)線于4，

由拋物線c:V=3x的焦點(diǎn)尸,0),準(zhǔn)線方程為X=—:，

31Q

由拋物線的定義可得忸司=忸聞=4+a=1，所以4="代入拋物線方程得力=±三

若8匕'三’直線A8的斜率為&8=十口-=一6,則直線方程為

4-4

戶一反+乎得16/一40X+9=0,

即y=—Gx+上叵聯(lián)立,

-4丁=3x

991.393

則所以4=7，則|4耳=4+彳=彳+彳=3=4；

lo4444

V3n

若8，直線AB的斜率為原8=一九一=石，則直線A6方程為

4~4

3百

即三?。ぢ?lián)立［3

~T~得16X2—40X+9=0,

9393

故選

%A-%+-+-3-A綜上AC

4-4-4-4-

7.(2023河北承德一模,7)已知過(guò)點(diǎn)P(l,2)可作雙曲線C：=1（4>0,8>0）的兩

?2b2

條切線，若兩個(gè)切點(diǎn)分別在雙曲線C的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為

()

A.(V5,+oo)B.(l,x/5)C.(1,百)D.(瓜+8)

【答案】B

b

【解析】要滿足題意，點(diǎn)尸(1,2)必須在漸近線y=—x與)軸圍成的區(qū)域，且不能在漸近

a

b

線及)軸上，所以必須滿足2>一，得從<46,.?.。2-4<4以2,...c2V5/,

a

又e>l,.」Ivec布,故選：B

8.(2023河北秦皇島二模，8)已知B,B分別是雙曲線C：烏-￡=1(°>0,6>0)的左、

ab

2222

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，PF\1PF2,圓O：x+y=^a+b),直線,與圓。相交

于A,B兩點(diǎn)，直線尸尸2與圓O相交于M,N兩點(diǎn).若四邊形AMBN的面積為9從，則C的

離心率為()

A。B.§C.且D.亞

4525

【答案】D

【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示,

圓O：x2+y2=^(a2+b2),圓心為。(0,0),半徑為六，

22

設(shè)|尸盟=〃，|尸司二根，點(diǎn)尸在雙曲線上，PF}-LPF?,則有n-m=2a，n+/=4c，

in

可得癡=2/，過(guò)。作MN的垂線，垂足為。，。為耳工的中點(diǎn)，則|QD|=/|P用=/,

,同理，,邳=2{七)一］晟),由

四邊形4MBN的面積為JABHMN|=gx29b°，

，加2+/、9c222，只［r4Q/、4/4\o

81c4mn二4(行一丁+］卜”，化簡(jiǎn)得八滬則有

4、4k

16

a2=c2-b2=-b2,則c的離心率e=￡=￡=沏°,故選：D

3ay/55

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

22

9.(2023湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)二模，9)已知橢圓七：二+3=1(。>/,>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),

a~b~

過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓后于A5兩點(diǎn).若A5的中點(diǎn)坐標(biāo)為則()

A.直線A6的方程為y=g(x—3)

B.a2-2Z?2

22D.橢圓的離心率為立

C,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1

932

【答案】ABD

【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)廠(3,0)和點(diǎn)所以直線AB的方程為y=g(x—3),

、

221,消去九得小3Q

代入橢圓方程二+4x2——crx-\■—a2-a2h2=0,

a2b2

724

2=1,即/=26,

所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(2

2—+b2

4

又〃=。2+<;2，所以。=c=3,a=，離心率為4二,

2

所以圓E的方程為三+二=1,故選：ABD.

189

10.(2023廣東汕頭一模，10)已知直線4：2x-y-3=0,/2：x-2y+3=0,圓C：

(x-a)2+(y-b)2=r2,若圓C與直線4,4都相切，則下列選項(xiàng)一定正確的是()

A.4與《關(guān)于直線丁=工對(duì)稱(chēng)

B.若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9

C.圓C的圓心在直線x+y—6=0或直線x-y=0上

D.與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,設(shè)直線小2x—y—3=0上任意一點(diǎn)伍,2/一3）關(guān)于直線>=%對(duì)稱(chēng)的

2九0-3一〃

----------=-1

點(diǎn)為（根,〃）,則40解得加一2〃+3=0,所以點(diǎn)（根,〃）在直線4：

+2x0-3

22

x—2y+3=0上，所以4與4關(guān)于直線丁=%對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B,因?yàn)閳AC的圓心

在x軸上，設(shè)圓心為（a,0）,因?yàn)閳AC與直線心4都相切，所以廠=邑舁=埠1,解

a%R9975

得a=0或。=6,當(dāng)a=0時(shí)，r=—j==----；當(dāng)。=6時(shí),廠斗=吧,故B錯(cuò)誤;

65y/55

對(duì)于C,由圓C：（x-a）2+（y-b）2=，，得圓心為（a,》），半徑為r,因?yàn)閳AC與直線4,

I,都相切，所以r==.之+斗

解得a+匕-6=0或a=Z?,所以圓心在

直線x+y—6=0或直線x—y=0上，故C正確；

對(duì)于D,由圓C：（x-。）~+（y-bp=廠，得圓心為（。/），半徑為廣，因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸

都相切，得圓心到x軸的距離為例，到y(tǒng)軸的距離為同，所以r=時(shí)且r=|耳，即時(shí)=網(wǎng)，

解得。=8或。=一力，當(dāng)。=匕時(shí)，由題意可知色二浮1=同，解得,二6=3（石+1）

V54

或a=b=3（'T），當(dāng)。=一人時(shí)，此時(shí)不滿足，所以與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有

4

2個(gè)，故D正確，故選：ACD.

11.（2023廣東惠州一模，11）已知拋物線C：：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率

為2夜的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn),其中A在第一象限，若|AF|=3,則（）

3

A.p=\B.忸F|=]

C.以A"為直徑的圓與y軸相切D.OAOB^-3

【答案】BCD

【解析】設(shè)F（§,0）,則過(guò)尸的直線斜率為2及的方程為：y=2夜（%—，），

代入拋物線方程消去y可得：4f—5px+p2=0,

解得玉=p,4因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以乙=〃，

貝IJ|AF|=4+5=,=3,所以p=2,A錯(cuò)誤，

四1=/=%勺學(xué)=|，B正確，

由p=2可得拋物線的方程為：y2=4x,且A（2,2V2）,B（p-V2）,

所以O(shè)A-O8=（2,2后）?（」「行）=1-4=-3,。正確，

2

33

A尸的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為以AF為直徑的圓的半徑為J,

所以圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，則以AF為直徑的圓與y軸相切，C正確,

故選：BCD.

22

12.（2023福建漳州二模，12）已知月（一2,0）,居（2,0）是雙曲線知=-4=1（">0,6>0）的

a~b~

左、右焦點(diǎn)，且工到C"的一條漸近線的距離為0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（l,百），P為C

右支上的一點(diǎn)，則（）

A.a=b=亞B.過(guò)點(diǎn)M且斜率為1的直線與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

C.|PO『=|尸制?忸瑪D.當(dāng)P,M，K，鳥(niǎo)四點(diǎn)共圓時(shí)，/P耳馬=15。

【答案】ACD

【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c=2,一條漸近線為：y=-x^bx-ay=Q

a

l|2/?-?x0|2b2br

因?yàn)?到C的一條漸近線的距離為,即d=----=—=—=<2,

yja'+h2c2

所以6=、歷，又c=2,所以〃=血，故A正確，

對(duì)于B,雙曲線的漸近線的斜率為1,所以過(guò)點(diǎn)M且斜率為1的直線為y=x+百-1,

聯(lián)立一I消去丁得：x=-y/3,y=-l,只有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，

x-y=2

對(duì)于C,由雙曲線的定義知，|尸埒一歸周=2J2

所以|助「+歸月「=2-用.歸國(guó)+8,

因?yàn)?。為大鳥(niǎo)的中點(diǎn)，P為C右支上的一點(diǎn)，

?21尸）；（用尸片.尸工+年

所以O(shè)P=5（OF;+O居），所以Po『=w（P￡+62=|P2+2

，＜+|和+濟(jì)麗

=撲司2+明）+；同慳cos/"E，

在鳥(niǎo)中，由余弦定理得：

cos與PF,=聞#豐1n21P耳?|尸6|?cosZFIPF^\PF^+\PF^-\F^,

2P￡.叫111122

則卜4=；（PW+|P可）一（歸目即歸°『4（附『+|尸用＞%回

-（2|PF；|-|P^|+8）--xl6=|P/;；|-|P^b故C正確;

2A

對(duì)于D,當(dāng)P,M，K，瑪四點(diǎn)共圓時(shí)，所在的圓方程為尤-+y/=4,

*2+y2=4

聯(lián)立＞2得［（百,1"（瘋—1）,

----------=1

22

因?yàn)?毋=百可二號(hào)，所以/“月居=30°,

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為［（73,1）時(shí)，k。p、=*nAPXOF1=

30，

又網(wǎng)=|0￡|,所以/耳耳亮=15,

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為巴（6,-1）時(shí)，kOPi=-^-^ZP2OF

\=30，

又|0周=|0用，所以N￡耳乙=15,故D正確，故選:ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2023山東青島三模,13）已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y=

4

的焦點(diǎn)重合，則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【答案】匕+土=1

43

【解析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得-=4y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,1),

?.?拋物線焦點(diǎn)與橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓焦點(diǎn)在y軸，

22

設(shè)橢圓方程為4+1=1,(a>8>0),則由焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)知c=l,2a=4,二

a2b2

22

4=2,.?./72=42一,,2=3，...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+上=]

43

14.(2023山東省實(shí)驗(yàn)二模，14)已知直線/過(guò)圓(X—仔+丁=1的圓心，且與圓相交于A，

22

8兩點(diǎn)，P為橢圓、■+]■=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸A.尸5的最大值與最小值之和為-

【答案】18

【解析】圓(x—lp+y2=i,圓心Q(l,0),半徑廠=1，

因?yàn)橹本€/過(guò)圓(x—l)2+y=i的圓心，且與圓相交于A,8兩點(diǎn)，

所以Qf=—QA,又橢圓/+￡=1,則a=3,c=l,右焦點(diǎn)為(1,0),

所以PA.P8=(PQ+QA)?(PQ+?8)

=(PO1+gA)(PO|-gA)=PO'-O^=\PO^-1,

又“一。?|「0||?0+0,即2?|尸01|44,所以3<忖0『—1K15,

即3WP4-PB?15，所以P4P8的最大值為15，最小值為3.

則PA-PB的最大值與最小值之和為18.

2

15.(2023湖北十堰四調(diào)，15)已知〃(X。，人)是雙曲線E:?—y2=i上一點(diǎn)，月、鳥(niǎo)分

別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，△「耳鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為12+2不，則cos/片產(chǎn)鳥(niǎo)=

的面積為_(kāi)_______

【答案】①.與②.西

16

【解析】在雙曲線E中，a=2,b=\,則c="2+從=非,

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線E的右支上，則歸附—?dú)w周=4.

因?yàn)橛啥?2c=26，△PKK的周長(zhǎng)為12+2君，所以歸耳|+|尸閭=12,

所以|正耳|=8,|尸用=4.

電「+|P用2_誨用2=]5

在△尸百鳥(niǎo)中,COSZFPF=

I22|PE||P〃|"16

2

則sin/6P用=^l-cosZFtPF2

所以△P/M的面積為S叼；=g|P制?儼丹卜缶/6？瑪=gx8x4x1|^=JJT.

16.(2023廣東廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校5月適應(yīng)性考試，16)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F,短軸B艮

的長(zhǎng)為2百,P,Q為C上異于耳，B2的兩點(diǎn).設(shè)NPB1為=a,NPB2B]=，，且

tan(a+Q)=-3(tana+tan4),則△PQ/7的周長(zhǎng)的最大值為.

【答案】8

【解析】由條件tan(a+￡)=-3(tana+tan區(qū)巴嗎，

1-tan6ztanp

14

a+/?V兀,tana+tan/?w0,HP1-tanatanJ3=——,tanatanJ3=—,

設(shè)尸（4，九），由題意：耳（0,b）,B2（0,—百）,則tana=，耳；丫-,tan氏=百：），,

尤24Y2V2Y2V2

.?.tan?tan/?=-^_=-,即迎+九=1,即橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1

3-尤34343

a=2,b=?c=l；設(shè)左焦點(diǎn)為F,右焦點(diǎn)為工，如下圖:

則△尸尸。的周長(zhǎng)1=歸尸|+|。目+|「。|=4"一|尸鳥(niǎo)|一抬閭+可0,

\PF2\+\QF2\>\PQ\,當(dāng)P,Q，K三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，4a=8,/的得最大值為8；

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

17.（2023廣東廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校5月適應(yīng)性考試，21）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知點(diǎn)

川一行,0）,6（逐,0）,點(diǎn)M滿足阿周一|用/4=4,記點(diǎn)M的軌跡為E.

（1）求足的方程；

（2）點(diǎn)A（2,0），點(diǎn)、B,C為E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足NBAC='?過(guò)A作直線AQ，6C交

￡于點(diǎn)。.若/6QC=],求直線8。的斜率.

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M滿足|阿|一|帆|=4,所以點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的右支，故

a—2,c=Vs，所以〃=1,

2

所以曲線￡的方程為?—V=]*>o）

（2）設(shè)5C與AQ的交點(diǎn)為。.

顯然直線8c的斜率存在，設(shè)8C的方程為丫=丘+，”,

y=kx+m,

聯(lián)立方程〈消去y得（4廿—1）/+?>kmx+Arrr+4=0,

x2-4y2=4,

8km

“"-百

設(shè)8（%，乂），0（孫％），所以＜

4m2+4

中2二/7

又％陽(yáng)=上不，砥8=』7,因?yàn)樾腃?&8=-1，所以-2^.‘不=一1，

x2-2玉-2x2-2Xj-2

故（攵2+1）玉工2+（"成一2）（%+%2）+"「+4=0,

代入（公+1）瑞U：+（“左一2）（一擋'）+/+4=0,整理得2042+3加2+16加=0,

即（10%+3加）（2%+/〃）=0,解得〃2=-弓&或機(jī)=-2無(wú)（舍）.

所以直線8c的方程為了=左（%—岑），即直線BC恒過(guò)定點(diǎn)（￥，o]

因?yàn)锳,8,Q,C四點(diǎn)共圓，且BC為直徑，由3C_LAO,

所以點(diǎn)。為A。中點(diǎn)，且直線AD的方程為y=—2）,

2

一（T10k+6

X=3（F71）

聯(lián)立彳'）,解得

y=-1（x-2）-4k

3儼+1）

、

10左2+6Tk14k2+6—8k

所以點(diǎn)。，故。

3,2+1)，3①+力I?伊+l)’3(f

代入曲線E的方程=4,

解得I—左2=o,即％=±1,所以直線3C的斜率為±1.

18.（2023山東青島三模，20）已知?jiǎng)訄A尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（一8,0）,并且與圓8：

（尤―百丁+卜2=16相切，記圓心尸的軌跡為曲線c

（1）求曲線C的方程；

（2）若動(dòng)圓Q的圓心在曲線C上，定直線/：x=f與圓Q相切，切點(diǎn)記為M,探究：是否

存在常數(shù)機(jī)使得|。邳=根|。閘？若存在，求〃?及直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

由題意知，圓8圓心為8（、療,0）,半徑為4,設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R,

因?yàn)椋ㄒ?-百><16,所以點(diǎn)A（-J1,0）在圓B內(nèi)，如圖所示，

所以|Q4|=R,|P8|=4—R,所以|網(wǎng)+|冏=4>|AB|=2G，

所以圓心P的軌跡為以A、8為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的桶圓.

所以2a=4,2c=2出，故a=2,。=6，則/?=后_.2=].

2

所以曲線C的方程為三+>2=].

4

（2）如圖所示,

存在常數(shù)〃?使得IQ8|=m|QM|,理由如下：

2

設(shè)。(%,%),則%"+y；=l，x0e[-2,2J,M(t,y0),

2

所以IQB\=J(尤0-6)2+y；=J(x0-y/3)+(1-^-)=2>/3x0+4,

\QMh\x.-t\,

假設(shè)存在常數(shù)m使得\QB\=m\QM\,

2、2

則也—2G/+4=機(jī)2(/一。2對(duì)于任意的與￡[_2,2>恒成立，

、4)

即：-=機(jī)2(%7)2對(duì)于任意的/e[-2,2]恒成立，

413,

41“2_345/3

所以"1=—,t----?

43

即：存在常數(shù)加=±且使得|Q3|=7〃|QM|,此時(shí)直線/方程為x=勺叵.

23

19.（2023湖南師大附中二模，21）如圖，橢圓C：=+2-=1（。＞2）,圓。：/+y2=^2+4,

a4

橢圓c的左、右焦點(diǎn)分別為《，鳥(niǎo).

（1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)0作直線/交圓。于M,N兩點(diǎn)，若忸周忖閭=6,求

I