安徽省亳州市渦陽縣聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月階段性檢測(cè) 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023－2024學(xué)年（下）安徽高一5月份階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知和是兩個(gè)不重合的平面，則下列條件中可判定的是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．和垂直于同一條直線C．和平行于同一條直線 D．和都垂直于同一平面3．如圖，某學(xué)校共有教師200人，按老年教師、中年教師、青年教師的比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數(shù)為（

）A．18 B．14 C．12 D．64．已知非零向量，滿足，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)是的重心，且，則（

）A． B． C． D．6．已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，.若存在一球與圓臺(tái)上、下底面及所有母線均相切，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．7．如圖（1），在梯形中，，，點(diǎn)在邊上，且四邊形是正方形，現(xiàn)將正方形沿直線折起，使得平面平面，得到如圖（2）所示的三棱錐.若是棱的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求其面積的公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積”翻譯成公式，即，其中，，分別為中角，，的對(duì)邊，為的面積．現(xiàn)有面積為的滿足，則其內(nèi)切圓的半徑是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知一組數(shù)據(jù)，，，，由生成一組新數(shù)據(jù)，，，，則（

）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定比原數(shù)據(jù)的平均數(shù)小B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定比原數(shù)據(jù)的中位數(shù)小C．新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定比原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差小D．新數(shù)據(jù)的極差一定比原數(shù)據(jù)的極差小10．下列關(guān)于復(fù)數(shù)，的說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則11．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將一個(gè)棱長為2的正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共要截去八個(gè)三棱錐，形成一個(gè)由正三角形和正方形圍成的“阿基米德多面體”，如圖，則（

）A．該多面體共有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．該多面體的表面積為C．該多面體的外接球體積為D．所在直線與直線所成的角是的棱共有8條三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)，則．13．某班共有36名男生和24名女生，統(tǒng)計(jì)他們的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg），已知男生體重的平均數(shù)為65，方差為34，全體學(xué)生體重的平均數(shù)為59，方差為86，則該班女生體重的方差為.14．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1）），亦稱“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，已知與的面積之比為，設(shè)，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知向量，．(1)若的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求．16．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．(1)求；(2)若，求周長的最大值．17．某家面包店以往每天制作120個(gè)三明治，為了解銷售情況，店長統(tǒng)計(jì)了去年三明治的日銷售量（單位：個(gè)），并繪制頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求圖中的值，并求該面包店去年（按360天算）三明治日銷售量不少于100個(gè)的頻率；(2)估計(jì)該面包店去年三明治日銷售量的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(3)由于三明治的保質(zhì)期只有一天，為了避免浪費(fèi)，店長決定今年減少每天三明治的制作量，但要求有的天數(shù)可以滿足顧客的需求，估計(jì)每天應(yīng)該制作多少個(gè)三明治.（結(jié)果用四舍五入法保留到整數(shù)）18．如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別在棱和上.(1)證明：；(2)若三棱錐的體積是，平面，試確定點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論.19．如圖，在多面體中，底面是正方形，平面平面，，，.(1)求二面角的余弦值；(2)求三棱錐的體積.

1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，即可求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C2．B【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則，可能相交或，當(dāng)與相交時(shí)，這無數(shù)條直線都與兩平面的交線平行，故內(nèi)有無數(shù)條直線與平行得不出與平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，垂直于同一條直線時(shí)，可得與平行，所以B正確；對(duì)于C，，平行于同一條直線，與相交或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，垂直于同一平面，與相交或，所以D錯(cuò)誤．故選：B．3．A【分析】根據(jù)分層抽樣的方法求解即可.【詳解】由題意，青年教師所占比例為，故用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)60人的樣本，被抽到的青年教師的人數(shù)為.故選：A4．B【分析】將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，即，所以，又，所?故選：B5．B【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，點(diǎn)是的重心，則在上，，所以，，所以.故選：.6．C【分析】根據(jù)已知條件求解，，再根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征，求解圓臺(tái)的高，然后代入圓臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上下底面的圓心為，已知圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，，且，，則.存在一球與圓臺(tái)上、下底面及所有母線均相切,圓臺(tái)內(nèi)切球的球心一定在的中點(diǎn)處，設(shè)內(nèi)切球半徑為，球與母線切于點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過A作，垂足為，則，又，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C.7．D【分析】連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，平面，求出、，再由余弦定理計(jì)算可得.【詳解】連接，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以平面，平面，所以，平面，所以，又，所以，所以，，所以在中，由余弦定?故選：D8．A【分析】由已知根據(jù)正弦定理可得，設(shè)，，，，代入題目中所給公式可求得，，，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可知，設(shè)，則，，，所以，解得，所以，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，得.故選：.9．CD【分析】AB選項(xiàng)，可舉出反例；CD選項(xiàng)，得到新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和極差都是原數(shù)據(jù)的倍，且這兩個(gè)量都大于，從而CD正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)的平均數(shù)為，即，則新數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，故，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)的中位數(shù)為，由于單調(diào)遞增，則新數(shù)據(jù)，，…，的中位數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，故新數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)，故新數(shù)據(jù)的方差為，故新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，由于，故，故新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差一定比原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差小，C正確；對(duì)于D，設(shè)的極差為，由于單調(diào)遞增，故新數(shù)據(jù)極差為，由于，故新數(shù)據(jù)的極差比原數(shù)據(jù)的小，D正確.故選：CD10．ACD【分析】對(duì)于，取即可判斷；對(duì)于，設(shè)，，，，，，利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷；對(duì)于，取，，利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于，若，則，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，，，，，，，所以，，所以，故正確；對(duì)于，取，，，，所以，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，取，，，，，但，故錯(cuò)誤.故選：.11．AC【分析】對(duì)A，根據(jù)立體圖象直接數(shù)點(diǎn)面數(shù)即可；對(duì)B，分別計(jì)算三角形與正方形的面積再求和即可；對(duì)C，將該幾何體補(bǔ)全到正方體中分析外接球半徑求解即可；對(duì)D，分析與相交的6條棱中與直線所成的角是的棱，再根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)A，由該立體圖象可得，該多面體共有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面，故A正確；對(duì)B，由該立體圖象可得，該多面體共有8個(gè)正三角形面，6個(gè)正方形面，又該幾何體由棱長為2的正方體所切，故正三角形與正方形邊長，則該多面體的表面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，易得該幾何體的外接球球心即正方體的中心，又正方體的棱長為2，故外接球的半徑，體積為，故C正確；對(duì)D，如圖，易得為正三角形，故與夾角均為，又，，且與的夾角為，即與的夾角為，同理與的夾角為.故與相交的6條棱中與直線所成的角是的棱有4條，又這四條棱每一條都有3條平行的棱，故與直線所成的角是的棱共有16條，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．【分析】由已知根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可得，，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，解得，所?故答案為：.13．【分析】利用均值公式求得女生體重均值，應(yīng)用方差公式及男生的體重方差和求全體學(xué)生的體重方差求解女生的體重方差.【詳解】設(shè)男生平均體重為，方差為，女生平均體重為，方差為，全體學(xué)生體重為，方差為，則男生在班級(jí)中所占比重為，女生在班級(jí)中所占比重為，故，，，，所以，解得，，解得.故答案為:14．【分析】依據(jù)題意設(shè)出邊長，建立平面直角坐標(biāo)系，同時(shí)在中利用余弦定理結(jié)合等面積法和勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，后依據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，求解參數(shù)，最后求和即可.【詳解】設(shè)邊長為，邊長為，由題意得與的面積之比為，可得，化簡得，可得，不妨設(shè)，如圖，作，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，在中，設(shè)，由余弦定理得，解得，故，，且設(shè)，作，故，故得，解得，由勾股定理得，故，易知，，，可得，，，且，，可得，得到，解得，顯然.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，然后求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到所要求的參數(shù)值，再求和即可．15．(1)且(2)【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件計(jì)算即可求出；（2）由坐標(biāo)表示向量垂直的沖要條件結(jié)合模長的計(jì)算即可；【詳解】（1）因?yàn)榈膴A角為銳角，所以且與不共線，則解得且，故實(shí)數(shù)的取值范圍是且.（2）由題可得．由，得，即，解得，則，所以．16．(1)(2)【分析】（1）由已知根據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，利用兩角和的正弦公式即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，又，所以；（2）由余弦定理得，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，即周長的最大值為.17．(1)，63(2)89.75(3)98【分析】（1）根據(jù)小長方形的面積和為1求出，計(jì)算日銷售量不少于100個(gè)的頻率，進(jìn)而得解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式求解；（3）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法求解.【詳解】（1）由，解得.日銷售量不少于100個(gè)的頻率為，則估計(jì)該面包店去年三明治日銷售量不少于100個(gè)的天數(shù)為.（2）由題圖知，平均數(shù)為，故估計(jì)該面包店去年三明治日銷售量的平均數(shù)為89.75.（3）由題意，即求三明治日銷售量的分位數(shù)，設(shè)為.對(duì)應(yīng)的頻率，對(duì)應(yīng)的頻率，故.由，得，故估計(jì)每天應(yīng)該制作98個(gè)三明治.18．(1)證明見解析(2)當(dāng)點(diǎn)是棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即時(shí)平面，證明見解析【分析】（1）依題意可得、，從而得到平面，即可得證；（2）當(dāng)點(diǎn)是棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即時(shí)平面，首先求出，過點(diǎn)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，即可得到，從而證明平面，則，結(jié)合（1）即可得證.【詳解】（1）連接、，因?yàn)檎襟w，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）當(dāng)點(diǎn)是棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即時(shí)平面，證明如下：因?yàn)槿忮F的體積是，所以，即，解得，所以，即，過點(diǎn)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，所以，