廣東省東莞市海德雙語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月月考 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期6月份調(diào)整性考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則（

）A． B．2 C． D．52．在中,,則是A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形3．中國古代數(shù)學(xué)著作主要有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《四元玉鑒》《張邱建算經(jīng)》，若從上述5部書籍中任意抽取2部，則抽到《周髀算經(jīng)》的概率為（

）A． B． C． D．4．如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為的正方形，則原平面圖形的面積為（

）A． B． C． D．5．已知、、表示不同的點(diǎn)，表示直線，、表示不同的平面，則下列推理中錯誤的是（

）A．，，，B．，C．，直線與直線可能是異面直線D．，，6．艷陽高照的夏天，“小神童”是孩子們喜愛的冰淇淋之一．一個“小神童”近似為一個圓錐，若該圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．已知球O為正三棱柱的外接球，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．8．如圖所示，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔高為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．為了解學(xué)生名著的年閱讀量（單位：本），某班調(diào)查了12名男生，其年閱讀量的平均數(shù)為4，方差為9；調(diào)查了8名女生，其年閱讀量的平均數(shù)為7，方差為15，若將這20名學(xué)生合在一起組成一個容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的（

）A．平均數(shù)為5.5 B．平均數(shù)為5.2C．方差為13.56 D．方差為14.5610．的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若，則是鈍角三角形11．如圖所示，在正方體中，O為DB的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．，M，O三點(diǎn)共線 B．平面C．直線與平面所成角的為 D．直線和直線是共面直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，，與的夾角為，且，則________.13．甲?乙?丙三人參加一次面試，他們通過面試的概率分別為，所有面試是否通過互不影響．那么三人中恰有兩人通過面試的概率是．14．“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形?六個面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為．

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），且為實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)復(fù)數(shù)（x，）滿足，求的最小值.16．設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.(1)求角的大??；(2)若，，求.17．某校為了提高學(xué)生安全意識，利用自習(xí)課時間開展“防溺水”安全知識競賽（滿分150分），加強(qiáng)對學(xué)生的安全教育，通過知識競賽的形式，不僅幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)自己對“防溺水”知識認(rèn)知的不足之處，還教會了同學(xué)們溺水自救的方法，提高了應(yīng)急脫險能力．現(xiàn)抽取了甲組20名同學(xué)的成績記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙組20名同學(xué)的成績，將成績分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五組，并畫出了其頻率分布直方圖．(1)根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲組20名同學(xué)成績的中位數(shù)和第80百分位數(shù)；(2)估計(jì)乙組20名同學(xué)成績的平均分（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表替）；(3)現(xiàn)從甲乙兩組同學(xué)的不低于140分的成績中任意取出2個人的成績，求取出的2個人的成績不在同一組的概率．18．如圖，邊長為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).將，分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的正弦值.19．對任意兩個非零向量，，定義：(1)若向量，，求的值；(2)若單位向量，滿足，求向量與的夾角的余弦值；(3)若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數(shù)，求的取值范圍．

1．C【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即得.【詳解】因?yàn)椋瑒t故選：C2．B【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡判定即可.【詳解】,則,故是等邊三角形.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量判定三角形形狀的方法,屬于基礎(chǔ)題型.3．D【分析】求出5部書籍中任意抽取2部的取法數(shù)，求得抽到《周髀算經(jīng)》的取法數(shù)，可求抽到《周髀算經(jīng)》的概率.【詳解】將這5部書籍依次記為則從這5部書籍中任意抽取2部的樣本空間，，共有10個樣本點(diǎn)，其中抽到《周髀算經(jīng)》的樣本點(diǎn)為共有4個，所以抽到《周髀算經(jīng)》的概率.故選：D.4．B【分析】計(jì)算直觀圖的面積為，再根據(jù)直觀圖的面積與原圖面積的關(guān)系為，計(jì)算得到答案.【詳解】直觀圖的面積，原圖面積，由直觀圖的面積與原圖面積的關(guān)系為，得.故選：B.5．B【分析】由點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的相關(guān)公理和定理逐一判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，利用公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，故A正確；對于B，因?yàn)?，，所以平面與平面至少有一個公共點(diǎn)，利用公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故B錯誤；對于C，直線與點(diǎn)，則不能判斷直線與直線的位置關(guān)系，所以直線與直線可能平行、相交或者異面，故C正確；對于D，因?yàn)橹本€與平面有公共點(diǎn)，又，則直線與平面只能相交，且交點(diǎn)為點(diǎn)，故D正確.故選：B.6．C【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，由題意可得，可求，由圓錐的體積公式可求體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則底面圓的面積為，側(cè)面面積為，由題意知，所以，解得，因此該圓錐的高，故該圓錐的體積．故選：C．7．B【分析】外接球球心為正三棱柱上下底面的外接圓圓心連線的中點(diǎn)，先求出底面外接圓半徑，再由勾股定理即可求出外接球半徑.【詳解】解：設(shè)三棱柱的高為h，底邊邊長為a．設(shè)球O的半徑為R，則三棱柱底面三角形的外接圓半徑滿足：，解得：由題知，，，故球O的表面積為，故選：B.8．C【分析】在中，利用正弦定理求出長，再在直角中即可作答.【詳解】在中，依題意有，由正弦定理得，即，由于塔垂直于地面，于是在直角中，，從而得，所以塔高m.故選：C9．BC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差公式即可求解．【詳解】由題意該樣本的平均數(shù)，故A錯誤，B正確；方差，故C正確，D錯誤.故選：BC.10．AB【分析】利用正弦定理判斷A、B，利用余弦定理判斷C、D.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，由正弦定理得，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，，所以，即，又，所以有兩解，所以有兩解，故B正確；對于C，因?yàn)闉殁g角三角形，當(dāng)為鈍角時，，則，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，設(shè)，則，，顯然，由余弦定理，又，所以為銳角，則是銳角三角形，故D錯誤.故選：AB11．ABC【分析】根據(jù)正方體的特性，依次分析各項(xiàng)正誤.【詳解】由正方體的特性可知，為正方體的體對角線，平面，平面平面于，又交平面于點(diǎn)，故點(diǎn)在上，故A項(xiàng)正確；由正方體的特性可知，平面，平面，故，同理，，于點(diǎn)，故平面，故B項(xiàng)正確；設(shè)正方體的邊長為1，直線與平面的夾角為，則，點(diǎn)到平面的距離為，故，，C項(xiàng)正確；直線與直線為異面直線，故D項(xiàng)錯誤.故選：ABC.12．【分析】由已知得，再由平面向量的模長公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以所以，故答案為?3．【分析】根據(jù)事件獨(dú)立性和互斥性直接計(jì)算求解即可.【詳解】三人中恰有兩人通過面試，可能情況為甲和乙通過、丙未通過；甲和丙通過、乙未通過；乙和丙通過、甲未通過.根據(jù)事件互斥性可知所求概率為.故答案為：14．【分析】根據(jù)半正多面體的幾何性質(zhì)結(jié)合異面直線AB與CD所成角的定義即可得夾角的余弦值；利用三棱錐的等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，即可轉(zhuǎn)化求解直線AB與平面BCD所成角的正弦值.【詳解】如圖，連接

由題意可知，三角形為等邊三角形因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角為異面直線AB與CD所成角因?yàn)槿切螢榈冗吶切嗡?，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為；設(shè)半正多面體的棱長為，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意可得點(diǎn)到平面的距離為所以三棱錐的體積為所以，則則直線AB與平面BCD所成角的正弦值為.故答案為：；.15．（1）；（2）【解析】(1)設(shè)復(fù)數(shù)，化簡,由復(fù)數(shù)的相等求解.(2)設(shè)（x，）,由得，可得的關(guān)系，從而解出答案.【詳解】解：（1）由（），得，為實(shí)數(shù)，，.（2）設(shè)（x，），，，，即，，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及角的取值范圍，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，再結(jié)合余弦定理，即可求解．【詳解】（1），由正弦定理可得，則，又在中，，，又為銳角三角形，．（2）在中，，，由（1）知，，所以由余弦定理，，則．17．(1)中位數(shù)是，第80百分位數(shù)為(2)(3)【分析】（1）利用中位數(shù)與第百分位數(shù)的定義即可求解；（2）利用在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和即可求解；（3）利用列舉法寫出基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由題意可知，甲組20名同學(xué)成績的中位數(shù)是，∵，∴甲組20名同學(xué)成績的第80百分位數(shù)為．所以甲組20名同學(xué)成績的中位數(shù)為119,甲組20名同學(xué)成績的第80百分位數(shù)為133.（2）由頻率分布直方圖可知：乙組20名同學(xué)成績的平均數(shù)分為：．（3）甲組20名同學(xué)的成績不低于140（分）的有2個，記作、；乙組20名同學(xué)的成績不低于140（分）的有個，記作、、．記事件為“取出的2個成績不是同一組”，任意選出2個成績的所有樣本點(diǎn)為：，，，，，，，，，，共10個，其中兩個成績不是同一組的樣本點(diǎn)是：，，，，，，共6個，∴．所以取出的2個人的成績不在同一組的概率為.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合，利用棱錐的體積公式，即可求解；（3）取線段的中點(diǎn)，得到，得出即為二面角的平面角，在直角中，即可求解.【詳解】（1）證明：折疊前，因?yàn)樵谡叫沃校?，則折疊后，可得，又因?yàn)?，且平面，所以平?（2）解：由（1）得平面，所以，由題意知且，故，故.（3）解：取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以有，且平面，平面，所以即為二面角的平面角，又由?）得平面，平面，可得，因?yàn)?，，故，即二面角的正弦值?19．(1)(2)(3)【分析】（1）先求出向量的坐