江蘇省揚州市2023-2024學年高一下學期6月期末 數學試題【含答案】

2023—2024學年高一第二學期期末檢測數學2024.06一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）1．設復數滿足，則（

）A． B． C． D．2．方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．數據的45百分位數為（

）A．73 B．76 C．77 D．784．已知平面向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．如圖，為了測量河對岸兩點之間的距離，在河岸這邊找到在同一直線上的三點.從點測得，從點測得，從點測得.若測得（單位：百米），則兩點的距離為（

）百米.A． B． C． D．36．在正方體中，分別是棱的中點，下列結論正確的是（

）.A． B．C．平面 D．平面平面7．如圖，在中，是上的兩個三等分點，，則的值為（

）A．50 B．80 C．86 D．1108．已知，則的值（

）A． B． C． D．二?多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9．在中，角所對的邊為，根據下列條件解三角形，其中僅有一解的有（

）A． B．C． D．10．連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲，結果向上的點數小于3”記為事件A，“第二次拋擲，結果向上的點數是偶數”記為事件B，“兩次拋擲，結果向上的點數之和為奇數”記為事件，則下列敘述中正確的有（

）A．A與互斥 B．A與相互獨立C．與對立 D．11．如圖，正方形的中心為，邊長為4，將其沿對角線折成直二面角，設為的中點，為的中點，則下列結論正確的有（

）A．三棱錐的外接球表面積為B．直線與平面所成角的正切值為C．點到平面的距離為D．三角形沿直線旋轉一周得到的旋轉體的體積為三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知一個正四棱臺的體積為，上?下底面邊長分別為，則棱臺的高為.13．若復數滿足，則的最小值是.14．已知的面積為滿足條件，則.；若，延長至點，使得，則.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15．已知.設.(1)若三點共線，求的值；(2)若，求的值.16．某保險公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫(yī)療保障，設計了一款針對某疾病的保險.現從10000名參保人員中隨機抽取100名進行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費與參保年齡如下表所示：年齡保費（單位：元）(1)若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和內的參保人員中共抽取6人進行問卷調查，再從中選取2人進行調查對該種保險的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內的概率.(2)由于10000人參加保險，該公司每年為此項保險支出的各種費用為200萬元.為使公司不虧本，則年齡段的參保人員每人每年需要繳納的保費至少為多少元？17．已知函數.(1)當時，求函數的值域；(2)求函數在區(qū)間上的所有零點之和.18．如圖，在斜三棱柱中，側面為菱形，，為中點，與的交點為.(1)求證：//平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的正弦值.19．如圖所示，已知是以為斜邊的等腰直角三角形，在中，，.(1)若，求的面積；(2)①求的值；②求的最大值.1．B【分析】根據復數的四則運算法則計算可得結果.【詳解】由可得，所以.故選：B2．C【分析】利用零點存在性定理分析判斷即可.【詳解】令，在上連續(xù)，且單調遞增，對于A，因為，，所以的零點不在內，所以A錯誤，對于B，因為，，所以的零點不在內，所以B錯誤，對于C，因為，，所以的零點在內，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因為，，所以的零點不在內，所以D錯誤，故選：C3．B【分析】根據百分位數的定義計算即可.【詳解】因為，所以這10個數的45百分位數為第5個數76.故選：B4．A【分析】利用投影向量定義，由數量積的坐標表示代入計算可得結果.【詳解】由可得；；根據投影向量的定義可得在上的投影向量為.故選：A5．D【分析】根據已知條件，結合三角形的性質，正弦定理，余弦定理，即可求解.【詳解】在中，，，則，，在中，，，，則，，，在中，，，則，.故選：.6．C【詳解】對于A，連接，如下圖所示：因為分別是棱的中點，所以，由正方體性質可得，因此可得，而相交，所以錯誤，即A錯誤；對于B，取的中點，連接，如下圖所示：易知，，所以即為異面直線與所成的角（或其補角）；不妨設正方體的棱長為2，則，，顯然，可知不是直角，所以與不垂直，即B錯誤；對于C，連接，如下圖所示：由正方體性質可得平面，而平面，所以；因為是正方形，所以，又，平面，所以平面,又因為分別是棱的中點，所以可得平面，即C正確；對于D，如下圖所示：易知平面，且，而平面，所以平面；因此可得平面與平面有公共點，可知兩平面必有一條過的共公交線；因此平面平面是錯誤的，即D錯誤.故選：C7．B【分析】根據題意利用平向量基本定理將用表示出來，然后利用數量積的運算律求解即可.【詳解】因為在中，是上的兩個三等分點，，所以，，所以.故選：B8．D【分析】先對利用誘導公式與兩角和的余弦公式化簡可得，代入中利用兩角和的正切公式化簡計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D9．ABD【分析】對于A,B,D,根據三角形全等，易得三角形的形狀唯一確定，故解唯一；對于C，可用正弦定理，結合正弦函數的圖象，說明符合條件的三角形有兩解.【詳解】對于A，三角形中，已知三邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即A正確；對于B，三角形中，已知兩個角和夾邊，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即B正確；對于C，由正弦定理，可得，，因，則,因，結合正弦函數的圖象可知角有兩解，故C錯誤；對于D，三角形中，已知兩邊和夾角，由三角形全等知，三角形的形狀唯一確定，故僅有一解，即D正確.故選：ABD.10．BD【分析】AC選項，列舉出事件A，B和事件C中的基本事件，得到，，判斷出AC錯誤；B選項，利用作出判斷；D選項，列舉出事件中的基本事件，求出概率.【詳解】A選項，事件A中的基本事件有，事件B中的基本事件有，，，故，事件A和事件B不互斥，A錯誤；B選項，連續(xù)拋擲兩次骰子，共有36種情況，其中事件A中的基本事件數為12，故，事件C中的基本事件有，，共18種情況，故，事件AC中的基本事件有，共9種情況，故，由于，故A與相互獨立，B正確；C選項，由AB選項知，，事件B與事件C不互斥，故不對立，C錯誤；D選項，事件中的基本事件有，，，，，共24種情況，故，D正確.故選：BD11．ACD【分析】對于A，找到球心即可；對于B，可利用幾何法快速解決；對于C，可利用等體積法；對于D，旋轉體為兩個底面重合的圓錐構成的組合體.【詳解】對于A，由于，所以O為三棱錐的球心，表面積為，A正確；對于B，過M作MH⊥AC于H，則MH⊥平面ABC，所以∠MNH即為直線MN與平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B錯誤；對于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距離，C正確;對于D，過O作OT⊥MN于T，則旋轉體體積是以OT為底面半徑，以TM為高的圓錐的體積的兩倍，所以，D正確；故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何的綜合問題，解決本題中的問題涉及的思路主要有：(1)利用球的定義找球心，并求球的體積；(2)運用幾何法求線面角的大??；(3)利用等體積法求三棱錐的高；(4)掌握常見的幾何體的體積公式.12．【分析】根據棱臺的體積公式計算即可.【詳解】設棱臺高為，由棱臺的體積公式知，其中分別為上下底面面積.故答案為：613．【分析】利用復數的模的幾何意義，理解等式表示的動點軌跡圖形為圓形，由圖易得動點到原點的距離最小值即得.【詳解】如圖，設復數對應的點為,則由可知點到點的距離為1，即點的軌跡為以點為圓心，以1為半徑的圓，而則表示動點到原點的距離，由圖可知，圓上與原點距離最小的點為,故的最小值是1.故答案為：1.14．【分析】化簡即可求得，結合的度數以及即可求得，通過設即可用x表示出各邊長度，結合三角恒等變換化簡即可求得的值；【詳解】由題得，，因為，所以；由可得，設，由正弦定理可知，所以，如圖所示：過A作，交BC的于E點，，，所以在中可算得，故答案為：，.15．(1)(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標表示計算可得；（2）根據向量垂直的坐標表示可求得.【詳解】（1）因為，，又因為三點共線，所以，則，解得.（2）由，可得，即解得.16．(1)(2)250元.【分析】（1）先由概率和為1求出a的值，再利用分層隨機抽樣的概念確定在和在內的抽取人數，結合古典概型知識即可求得答案.（2）求出保險公司每年收取的保費為，所以要使公司不虧本，則，解不等式即可求得答案.【詳解】（1）由得，設“抽取2人中恰好有1人年齡段在內”為事件.由題設可知，年齡在和內的頻率分別為0.16和0.32，則抽取的6人中，年齡在內的有2人，年齡在內的有4人.記年齡在內2位參保人員為，年齡在的4位參保人員為，則從6人中任取2人，樣本空間，共包含15個樣本點，共包含8個樣本點，所以.（2）保險公司每年收取的保費為：，所以要使公司不虧本，則，即，解得，所以年齡段需要繳納的保費至少為250元.17．(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換整理可得，再根據正弦函數單調性可得其值域；（2）求出函數在區(qū)間上的所有零點即可得結果.【詳解】（1）易知因為，所以，由正弦函數單調性可得，則的值域為（2）因為，所以，由得所以，解得，所以函數在區(qū)間上的所有零點之和為.18．(1)證明見解析(2)證明見解析(3).【分析】（1）利用線線平行推得線面平行即得；（2）由等邊三角形證，再由勾股定理逆定理證，由線線垂直推導線面垂直即得；（3）作，證平面，作，證，得為二面角的平面角，由題設求得即得.【詳解】（1）如圖（1），連接.由三棱柱可知側面為平行四邊形，所以為中點；又因為為中點，所以//，又平面平面，所以//平面；（2）如圖（2），連接.由菱形可知，因為，可得為等邊三角形；因是中點，則，且；由可得，；因為，則有，即，又平面平面，故平面；（3）由（2）可知平面，因為平面，所以平面平面；如圖（3），過點作，垂足為，過作，垂足為，連接.因為平面平面平面，所以平面，因為平面平面，所以；因為平面平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角.在中，，可得，在中，，可得，在中，，可得，因為，所以，即二面角的正弦值為.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查線面垂直的判定和應用，以及運用幾何法求解二面角，屬于較難題.解題關鍵在于深刻把握線面垂直的判定定理，執(zhí)果索因，尋找線線垂直條件；求二面角的關鍵在