2023-2024學(xué)年安徽省亳州市蒙城八中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年安徽省亳州市蒙城八中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若zz?1=1+i，則z=(

)A.?1?i B.?1+i C.1?i D.1+i2.cos2πA.?32 B.?12 3.下列各組向量中，可以作為基底的是(

)A.e1=(0,0)，e2=(1,2) B.e1=(2,?4)，e2=(4,?8)

C.4.已知a,b是兩個(gè)單位向量，且?a,b?=60°，若A.12 B.32 C.15.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的圖形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，則平面圖形ABCD的面積為(

)

A.2 B.22 C.3 6.若m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個(gè)不同的平面，那么下列命題成立的是(

)A.若α//m，β//m，那么α/?/β B.若m/?/α，n?α，那么m/?/n

C.若m/?/n，n/?/α，那么m/?/α D.若α/?/β，m?α，那么m//β7.當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin(3x?π6)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.6 D.88.黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，為武漢市地標(biāo)建筑．某同學(xué)為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側(cè)找到一座高為30(3?1)m的建筑物AB，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A、樓頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得樓頂C的仰角為15°，則估算黃鶴樓的高度CD為A.203m B.202m二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象，則(

)A.ω=2

B.φ=π3

C.點(diǎn)(π6,0)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

D.

10.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是(

)A. B.

C. D.11.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m?1)，其中n，m∈R，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若2a+b=(2,6)，則a/?/b

B.若a=?2b，則與b同向的單位向量為(22,?22)

C.若n=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,?1)，則sinα+cosα的值為_(kāi)_____．13.已知向量a=(1,0)，b=(2,3)，則b在a上的投影向量為_(kāi)_____．14.下列各圖是正方體與四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，過(guò)四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(2,4)，b=(6,x)，c=(4,y)，且a//b，a⊥c．

(1)求b和c；

(2)若m=216.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2sinx4?cosx4+3cosx2．

(1)17.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

(1)求A；

(2)若a=2，2bsinC=csin2B18.(本小題17分)

如圖：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．

(1)求證：BD1//平面19.(本小題17分)

已知向量a=(sinx,12)，b=(cosx,?1)．

(1)當(dāng)a⊥b時(shí)，求x的值；

(2)當(dāng)a/?/b時(shí)，求tanx的值；答案解析1.【答案】C

【解析】解：由于zz?1=1+i，

則z?1+1z?1=1+1z?1=1+i，即z?1=1i=?i，

可得z=1?i【解析】解：cos2π8?sin2π8=cos【解析】解：對(duì)于A，e?1=0?，不可以作為基底，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，∵e?1=12e2，∴e1?，e2?共線，不可以作為基底，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，e1與e2為不共線的非零向量，可以作為一組基底，C正確；

【解析】解：已知a,b是兩個(gè)單位向量，a?b=1×1×cos60°=12，

因?yàn)閏=2a?b，所以a?c=a?(2a【解析】解：如圖，

作平面直角坐標(biāo)系x?O?y，使A與O重合，AD在z軸上，且AD=2，AB在y軸上，且AB=2，

過(guò)B作BC/?/AD，且BC=1，則四邊形ABCD為原平面圖形，其面積為S=12(1+2)×2=3．

故選：6.【答案】D

【解析】解：m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A，若α//m，β//m，那么α與β相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若m/?/α，n?α，那么m與n平行或異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若m/?/n，n/?/α，那么m/?/α或m?α，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若α/?/β，m?α，那么由面面平行的性質(zhì)得m//β，故D正確．

故選：D．

7.【答案】C

【解析】解：在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=sinx與y=2sin(3x?π6)在[0,2π]上的圖象如下，

由圖象可知，當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin(3x?π6)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為68.【答案】C

【解析】解：在Rt△ABM中，AM=ABsin15°，

在△ACM中，∠CAM=15°+15°=30°，∠AMC=180°?15°?60°=105°，

所以∠ACM=180°?30°?105°=45°，

由正弦定理，AMsin∠ACM=CMsin∠CAM，

故CM=AM?sin∠CAMsin∠ACM=9.【答案】ACD

【解析】解：A選項(xiàng)，由圖象可得到函數(shù)最小正周期12T=5π12?(?π12)=π2，故T=π，

因?yàn)棣?gt;0，所以2πω=π，解得ω=2，A正確；

B選項(xiàng)，將(5π12,2)代入解析式得2sin(2×5π12+φ)=2，因?yàn)閨φ|<π2，

解得φ=?π3，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，f(x)=2sin(2x?π3)，故f(π6)=2sin(π3?π3)=0，

故點(diǎn)(π【解析】解：選項(xiàng)A中，如圖(1)，連接A1B，取A1B的中點(diǎn)O，連接OQ，

因?yàn)镺，Q分別為A1B和AA1的中點(diǎn)，所以O(shè)Q/?/AB，所以AB與平面MNQ不平行．

選項(xiàng)B中，如圖(2)，連接A1B1，在正方體中，AB/?/A1B1，MQ/?/A1B1，

所以AB//MQ，因此AB/?/平面MNQ．

選項(xiàng)C中，如圖(3)，連接A1B1，在正方體中，知AB/?/A1B1，

又因?yàn)镸，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，所以MQ/?/A1B1，

所以AB//MQ，所以AB/?/平面MNQ．

11.【答案】BD

【解析】解：由a=(n,2)，b=(1,m?1)，

A選項(xiàng)：2a+b=(2n+1,3+m)=(2,6)，

則2n+1=23+m=6，解得m=3n=12，則a=(12,2)，b=(1,2)，

所以a，b不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：a=?2b，則n=?22=?2(m?1)，解得m=0，n=?2，

即a=(?2,2)，b=(1,?1)，|b|=12+(?1)2=2，

所以與b同向的單位向量為b|b|=(22,?22)，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：n=1時(shí)，a=(1,2)，

又a與b的夾角為銳角，【解析】解：∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,?1)，

∴sinα=?122+(?1)2=?55，cosα=2【解析】解：由b在a上的投影向量為|b|cos<a,b>?a|a|，而cos<a【解析】解：①由題意知在正方體中，PS和QR都和上底的對(duì)角線平行，所以PS//QR，則P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)共面，所以正確．

②由題意知在正方體中，把另外兩條棱的中點(diǎn)找出來(lái)，可以構(gòu)成正六邊形，而正六邊形一定是平面圖形的，則P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)共面，所以正確．

③因PQ和RS分別是相鄰側(cè)面的中位線，所以PQ//SQ，所以P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)共面，所以正確．

④根據(jù)圖中幾何體得，PQ和SR是異面直線，則P、Q、R、S四個(gè)點(diǎn)不共面，所以錯(cuò)誤．

故答案為：①②③．

15.【答案】解：(1)因?yàn)閍//b，所以2x?24=0，解得x=12，

因?yàn)閍⊥c，所以8+4y=0，解得y=?2，

首頁(yè)b=(6,12)，c=(4,?2)；

(2)因?yàn)閙=2a?b=(?2,?4)，n=a+c=(6,2)，

設(shè)向量m和向量n的夾角為θ，

則cosθ=【解析】(1)由a//b列方程可求出x，再由a⊥c列方程可求出y，從而可求出b和c；

(2)先求出向量m和向量n的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求解即可．

16.【答案】解：(1)∵f(x)=sinx2+3cosx2=2sin(x2+π3)，

∴f(x)的最小正周期T=2π12=4π．

當(dāng)sin(x2+π3)=?1時(shí)，f(x)取得最小值?2；

當(dāng)sin(x【解析】利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=2sinx4?cosx4+3cosx2，為y=2sin(x2+π3)，

(1)直接利用周期公式求出周期，求出最值．

(2)求出g(x)=f(x+π3)的表達(dá)式，g(x)=2cosx2.然后判斷出奇偶性即可．

17.【答案】解：(1)因?yàn)閟inA+3cosA=2，

所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，

由A為三角形內(nèi)角得A+π3=π2，

即A=π6；

(2)因?yàn)?bsinc=csin2B【解析】(1)由輔助角公式及角A的范圍，可得角A的大??；

(2)由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范圍，可得角B的大小，進(jìn)而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，進(jìn)而求出△ABC的周長(zhǎng)．

18.【答案】解：(1)證明：連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO，∵因?yàn)锳BCD?A1B對(duì)角線AC?BD交于O點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，在∴OE是?DBD1的中位線又為OE?平面AEC，BD1?所以BD1//(2)證明：CC1上的中點(diǎn)F即滿足平面AEC//因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，E為DD所以四邊形CFD1E又因?yàn)镋C?平面AEC，D1F?平面所以D1F//平面AEC；由(1)知BD1//所以平面AEC//平面BF

【解析】

(1)通過(guò)連接BD，利用正方形的性質(zhì)，可構(gòu)造中位線平行關(guān)系，即可得到線面平行條件并得以證明;(2)若F為CC1上的中點(diǎn)，則易構(gòu)造平行四邊形證明CF//ED1，同時(shí)由(1)知BD19.【答案】(1)解：因?yàn)閍=(sinx,12),b=(cosx,?1)，且a⊥b，

所以a?b=sinx?cosx?12=0，即sin2x=1，

所以2x=π2+2kπ,k∈Z，解得x=π4+kπ,k∈Z；

(