四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考大聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)試題【含答案】

四川省大數(shù)據(jù)學(xué)考大聯(lián)盟高一下期期末模擬質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．點(diǎn)滿足向量，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)為線段的中點(diǎn) B．點(diǎn)在線段延長線上C．點(diǎn)在線段的延長線上 D．點(diǎn)不在直線上5．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．柳編技藝在我國已有上千年的歷史，如今柳編產(chǎn)品已經(jīng)選入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．如圖，若柳條編織的米斗可近似看作上底面圓半徑為2，下底面圓半徑為1，體積為的圓臺，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B．0 C． D．18．中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且分別為的外心和內(nèi)心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的長度為（

）A． B． C． D．1二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．在中，的對邊分別是，，，若有兩個解，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．4 D．10．已知是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，則D．若，則的最大值為11．如圖，正方體的棱長為1，下列說法正確的是（

）A．直線與平面所成角的正切值為B．若點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動且滿足，則點(diǎn)的軌跡的長度為C．四棱錐與四棱錐公共部分的體積為D．設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡上.412．按斜二測畫法得到，如圖所示，其中，那么的面積為．13．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到達(dá)處時測得公路右側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫椋瑒t此山的高度．14．若存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，不等式恒成立，則的最大值為．四、解答題：本題共5個小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知．(1)求的值；(2)若，求的值．16．如圖，在三棱錐中，．(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)時，求二面角的正弦值．17．在中，角的對邊分別是，且．(1)求角的大小；(2)若的周長為8，外接圓的面積為，求的面積．18．如圖，在銳角中，，；(1)用表示；(2)若，求的長度；(3)當(dāng)取最小值時，求．19．在三角函數(shù)領(lǐng)域，為了三角計(jì)算的簡便并且追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過以下兩種少見的三角函數(shù)：定義為角的正矢（或），記作；定義為角的余矢（Coversed或coversedsine），記作．(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程的有三個實(shí)根，則：①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求的取值范圍．

1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后可得在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的位置．【詳解】由題意得，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：D．2．C【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解【詳解】因?yàn)椋?，，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.故選：C3．A【詳解】，，所以當(dāng)時，成立，即充分性成立；當(dāng)時，不一定成立，可能是異面直線，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件，故選：A4．C【分析】分析可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，可得，所以點(diǎn)在線段的延長線上.故選：C.5．D【分析】首先利用兩角差的正弦公式及二倍角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合三角函數(shù)的平移規(guī)則判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以將向右平移個單位長度得到，故D正確；若將向左平移個單位長度得到，故A錯誤；若將向右平移個單位長度得到，故B錯誤；若將向左平移個單位長度得到，故C錯誤；故選：D6．A【分析】設(shè)圓臺的高為，根據(jù)圓臺的體積求出，即可求出母線，再由側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)圓臺的高為，又圓臺的上底面圓半徑，下底面圓半徑，則圓臺的體積，解得，所以圓臺的母線，所以圓臺的側(cè)面積.故選：A7．B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式得到，結(jié)合平方關(guān)系求出，再由兩角差的正弦公式及二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，即，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，即，所?故選：B8．A【分析】由已知可得在的垂直平分線上，由，可得，進(jìn)而由正弦定理可得，的值最大，進(jìn)而計(jì)算可求.【詳解】由，所以，所以在的垂直平分線上，設(shè)為的中點(diǎn)，可得，，所以，從而，由正弦定理可得，所以，當(dāng)，，又要使的值最大時，則為銳角，所以，從而為等腰直角三角形，所以，所以均在斜邊的垂直平分線上，即為內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，解得，所以.故選：A.本題主要考查向量的幾何運(yùn)算及外接圓，內(nèi)切圓的性質(zhì)、正弦定理的應(yīng)用，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡單）．9．BD【分析】法一：當(dāng)時有兩個解，即可求出的取值范圍，即可判斷；法二：由正弦定理得，然后利用正弦函數(shù)圖象分析可得.【詳解】法一：因?yàn)?，，?dāng)時有兩個解，即，解得，故符合題意的有B、D.法二：由正弦定理，所以且，所以，即，作出正弦函數(shù)圖象如圖．因?yàn)樵撊切斡袃蓚€解，所以，即，故符合題意的有B、D．故選：BD10．AD【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合模長關(guān)系分析判斷；對于BC：舉反例即可；對于D：分析可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，則，可得或，所以或，故A正確；對于選項(xiàng)B：例如，則，符合題意，但為虛數(shù)，不能比較大小，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：例如，，則，符合題意，但均不為0，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

又因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，即，且，由圓的性質(zhì)可得，所以的最大值為，故D正確.故選；AD．11．ACD【分析】對于A，將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成角即可；對于B，根據(jù)，在正方體每個表面上確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡即可；對于C，先確定四棱錐與四棱錐的公共部分，并將公共部分分成一個三棱柱與一個四棱錐，計(jì)算體積即可；對于D，先確定三棱錐底面的外心，再確定三棱錐的球心及半徑，計(jì)算表面積即可.【詳解】對于A，連接，如圖①所示，因?yàn)槠矫?所以直線與平面所成角即為直線與直線所成角，設(shè)直線與直線所成角為，所以，故A正確；對于B，在線段取點(diǎn)，在線段取點(diǎn)，連接，使得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，且，所以點(diǎn)在平面上運(yùn)動時，則弧長即為點(diǎn)在平面的運(yùn)動軌跡，同理弧長為點(diǎn)在平面的運(yùn)動軌跡，如圖①所示，所以點(diǎn)在正方體表面的運(yùn)動弧長為，其中弧長分別以為圓心，半徑為的圓弧，弧長都是以為圓心，半徑為的圓弧，又因?yàn)?，所以，故B錯誤；對于C，如圖②所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn),分別取中點(diǎn),連接，四棱錐與四棱錐的公共部分為多邊形,且多邊形可分為三棱柱與四棱錐,故，，所以公共部分的體積為，故C正確；對于D，如圖③所示，直線與平面的交點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過作平面，則點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），直線與直線相交于點(diǎn),所以與相似，即,即，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以點(diǎn)為的外心，過點(diǎn)作平面，則,設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為，，如圖④所示，且，所以在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，解得，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.圖①

圖②

圖③

圖④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題.（1）將線面角轉(zhuǎn)化為線線角，便于求解；（2）求點(diǎn)在正方體表面的運(yùn)動軌跡長度，先要確定每段軌跡的圓心與半徑，再來求解；（3）求兩個四棱錐的公共部分體積，先要找出公共部分，再將公共部分分割為常見的多面體；（4）求不規(guī)則的三棱錐的外接球，先確定底面所在外心，再根據(jù)三棱錐的高和底面外心求外接球的球心及半徑.12．【分析】根據(jù)直觀圖得到平面圖形，求出相關(guān)線段的長度，即可求出面積.【詳解】由直觀圖可得平面圖形如下所示：則，，，所以.故答案為：13．【分析】先求出，在中，由正弦定理得到，從而得到.【詳解】由題意得，故，故中，由正弦定理得，即，解得，又在點(diǎn)測得山頂?shù)难鼋菫?，故，?故答案為：14．【分析】先以為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問題可得，解不等式結(jié)合題意可得，即可得的最大值.【詳解】因?yàn)?，即，若存在?shí)數(shù)使得上式成立，則，且，即，可得，則，解得，由題意可知：，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：雙變量問題的解題關(guān)鍵是一次只研究其中一個變量，本題先以為變量，轉(zhuǎn)化為存在性問題分析求解.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角關(guān)系可得，即可得，再利用兩角和差公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)同角三角關(guān)系可得，再利用兩角和差公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，解得或，且，則，可得，則，所以.（2）由題意可得，解得或，且，則，可得，所以.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可證明平面，從而得證；（2）由（1）可得，則為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】（1）在中，，由余弦定理，即，解得，所以，即，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因?yàn)槠矫妫制矫?，所以，又，所以為二面角的平面角，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又，所以，所以，所以二面角的正弦值?17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換分析求解；（2）根據(jù)題意利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，進(jìn)而可求面積.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，由正弦定理可得，且，則，可得，且，則，可得，即，所以.（2）設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)榈耐饨訄A的面積為，則，由正弦定理可得，又因?yàn)榈闹荛L為，則，由余弦定理可得，即，可得，所以的面積.18．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算可求得；（2）由向量的線性運(yùn)算可得，利用點(diǎn)共線可得，結(jié)合條件可求得，利用面積可求，利用余弦定理可求；（3）利用，可求最小值及此時的，進(jìn)而可求.【詳解】（1），所以，所以，所以；（2）又，所以，所以，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，若，可得，所以，又，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，在中，由余弦定理可得，所以；（3）由（2）可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取最小值時，所以，所以，所以.19．(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題干所給條件化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）①首先化簡的解析式，即可分析的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出的取值范圍；②由可知，，再結(jié)