四川省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題含解析

Page16一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由特稱命題的否定是全稱命題即可得出答案.【詳解】命題“”的否定是:.故選：C.3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式求得余弦值.【詳解】由誘導(dǎo)公式知，故選：D4.如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的隨意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的全部向量中，除向量外，與向量共線的向量共有（）A.6個(gè) B.7個(gè) C.8個(gè) D.9個(gè)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)共線向量的定義與正六邊形的性質(zhì)干脆得出.【詳解】圖中與共線的向量有：，共9個(gè)，故選：D.5.在邊長(zhǎng)為的正三角形中，的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以、為鄰邊作菱形，則，計(jì)算出菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度即可得出答案.【詳解】以、為鄰邊作菱形，則，由圖形可知，的長(zhǎng)度等于等邊的邊上的高的倍，即，因此，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查差向量模的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是作出圖形，找出差向量，分析圖形的形態(tài)，進(jìn)而求出線段長(zhǎng)度，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.6.角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用隨意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，可得的值．【詳解】解：角終邊上一點(diǎn)，，，則，故選：．7.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及余弦函數(shù)的性質(zhì)解答.【詳解】解：，，，綜上可得故選：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)的圖象進(jìn)行分析，由的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定的取值范圍.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示，依題意有個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用三角函數(shù)的周期公式即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，最小正周期為；對(duì)于B，，最小正周期為；對(duì)于C，，最小正周期為；對(duì)于D，，最小正周期為，故選：ABC10.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C.函數(shù)的定義域?yàn)?D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)解析式求出,得出解析式,再分別求出定義域值域推斷即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,解得,故B正確;所以,又因的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,所以,解得,故A錯(cuò)誤;因?yàn)?則其定義域,值域均為,故C錯(cuò)誤,D正確.故選:BD.11.若正實(shí)數(shù)m、n，滿意，則以下選項(xiàng)正確的有（）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為4 D.的最小值為2【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)基本不等式求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，,但，，與已知為正數(shù)，且沖突，所以等號(hào)不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC12.已知，若存在，使得，則下列結(jié)論正確的有（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍為 B.的最大值為C. D.取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，利用和的圖象有4個(gè)交點(diǎn)解出的范圍推斷A，依據(jù)是方程的兩根推斷B，依據(jù)是方程的兩個(gè)根結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推斷C，利用及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性推斷D.【詳解】依據(jù)題意作出的圖象如下：由圖象可知當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與有4個(gè)交點(diǎn)，即存在，使得，且，，，，選項(xiàng)A正確；因?yàn)槭欠匠?，即兩根，所以依?jù)韋達(dá)定理得，結(jié)合可得不存在最大值，B錯(cuò)誤；因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，且，，所以，即，所以，解得，C正確；由是方程的兩根可得，因?yàn)?，，所以，令?由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，D正確；故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)分母不為零，對(duì)數(shù)真數(shù)大于零得到不等式組，解得即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：14.已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用集合法，將是的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為兩集合間真包含關(guān)系，列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】因?yàn)椋?，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，且不是空集.所以且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為:.【點(diǎn)睛】解決依據(jù)充分條件和必要條件條件求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題：一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的包含、相等關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.15.設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，，，.若A，B，D三點(diǎn)共線，則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為向量，計(jì)算向量后，再轉(zhuǎn)化為向量相等，即可求解的值.【詳解】因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得.又，，，所以，化簡(jiǎn)為，所以，又與不共線，所以解得.故答案為：16.“大膽猜想，當(dāng)心求證”是科學(xué)探討發(fā)覺(jué)重要思路.意大利聞名天文學(xué)家伽利略曾錯(cuò)誤地揣測(cè)“固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是拋物線”，直到17世紀(jì)，瑞典數(shù)學(xué)家雅各布.伯努利提出該曲線為“懸鏈線”而非拋物線并向數(shù)學(xué)界征求答案.其中雙曲余弦函數(shù)coshx就是一種特別的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，對(duì)應(yīng)的雙曲正弦函數(shù).設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿意不等式，則m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化簡(jiǎn)不等式，從而求得的取值范圍.【詳解】依題意，的定義域是，，所以是奇函數(shù)，，所以在上遞增，所以，由得，則，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17計(jì)算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則及根式的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解：.【小問(wèn)2詳解】解：.18.已知為第三象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦求出余弦，再求出正切值；（2）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)目標(biāo)式，再代入求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈谌笙藿牵?，所以?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.19.已知關(guān)于x的不等式的解集為或．（1）求a，b的值；（2）若，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)不等式的解集和方程的根的關(guān)系，列方程組求a，b的值；（2）代入a，b的值，然后分與的大小關(guān)系探討來(lái)解不等式.【小問(wèn)1詳解】關(guān)于x的不等式的解集為或即方程的根為，，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）得關(guān)于的不等式，即，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，以及此時(shí)的取值．【答案】（1）；（2）時(shí)，取得最大值為3；當(dāng)時(shí)，取得最小值為．【解析】【分析】利用倍角公式降冪，再由幫助角公式可把函數(shù)化簡(jiǎn)為．（1）求出函數(shù)的半周期得答案；（2）由的范圍求出的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求原函數(shù)的最值及使原函數(shù)取得最值時(shí)的值．【詳解】．（1）函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為；（2），∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為3；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查型函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式與兩角和的正弦的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖像上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所得函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.【答案】（1）（2）（3）函數(shù)的最小值為，最大值為2【解析】【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)的圖像求參數(shù)的值即可得解；（2）由三角函數(shù)圖像的平移變換，求其平移后的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可；（3）先結(jié)合（1）求出函數(shù)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合三角函數(shù)的值域的求法即可得解.【詳解】解：（1）由題圖得，因?yàn)?，?由，得，所以，解得.又因?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，.又由，得.故.（2）將的圖像上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖像，再將圖像右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像.由，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）.∵，∴，∴函數(shù)的最小值為，最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)的圖像求參數(shù)的值、三角函數(shù)圖像的平移變換、三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及三角函數(shù)的值域的求法，屬綜合性較強(qiáng)的題型.22.已知函數(shù).（1）推斷并證明的奇偶性；（2）若關(guān)于x的方程在內(nèi)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）已知函數(shù)，若對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性，證明，可得答案；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，化簡(jiǎn)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程在定區(qū)間上有根問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，建立不等式組，可得答案；（3）利用函數(shù)解析式，明確函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，由題意，建立不等式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】奇函數(shù)，理由如下：由函數(shù)，令，整理可得，解得或，則函數(shù)的定