九年級初中數(shù)學(xué) 相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題 （典型題型）附答案

專題相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

【典型例題】

1.（2020?銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AB=S,AD=3,BC=4,

點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，若△用。與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)D.4個(gè)

2.（2020?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)初三期中）如圖，在R/4ABC中，NB=90°,AC=10cm,BC=6cm,現(xiàn)有兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以icm/s的

速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止.連接PQ.設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.

（I）含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長度;

（2）x為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？當(dāng)和△CR4相似時(shí)，求此時(shí)x的值

3.（2019?江蘇海陵?泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，對入4灰;中，NACB=90°,AC=6an,8c=8cm.動(dòng)

點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3c/n的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在C8邊上以每

秒2c,”的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒（0<r<此），連接MN.

（1）若△8MN與△ABC相似，求，的值;

（2）連接4MCM,若AMLCM,求，的值.

【專題訓(xùn)練】

一、選擇題

1.（2020?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在AABC中，AB=6,AC=4,P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直

線交AB于點(diǎn)Q,若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長為（）

A.3

2.（2019?山東中區(qū)?初三期中）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=l2cm,動(dòng)點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)

到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止.點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為1c機(jī)/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒.如果

兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)4、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△4BC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）

4.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

3.（2020?青海西寧?初三月考）如圖，在RfZiABC中，NC=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿

AB方向以每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒lew的速度向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，若四邊形QPCP'

為菱形，則t的值為（

A.0C.20

4.（2019?四川南充?初三三模）如圖，nABC中，NC=90°，AC=3,BC=4,M是8c邊

上的動(dòng)點(diǎn)，過M作MN〃AB交AC于點(diǎn)N,尸是MN的中點(diǎn)，當(dāng)R4平分N84C時(shí)，BM=（）

5.（2020?桐柏縣新集一中初三月考）如圖1,在矩形A8CD中，點(diǎn)E在CD上，ZAEB=90°,點(diǎn)尸從

點(diǎn)4出發(fā)，沿的路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，作PQ_LCD于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,PQ長

為y,若y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)x=6時(shí)，PQ的值是（）

3

圖2

3

6.如圖，在矩形ABC。中，BC=6,E是BC的中點(diǎn)，連接AE,tanZBAE=~,P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn),

4

沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)。落在AE上的點(diǎn)處,當(dāng)AAPD'是直角三角形時(shí),PQ的值為（）

2一68-248-3010一18

A.一或一B.一或一C.一或—D.——或一

37373737

二、填空題

7.（2020?山東省泰安第六中學(xué)初二期中）如圖，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,點(diǎn)M在AB邊上,

且AM=3,過點(diǎn)”作直線MN與AC邊交于點(diǎn)N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=

8.（2020?江西吉安?初三其他）如圖，在矩形ABC。中，AO=2AB=2,E是8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過點(diǎn)。作。FL4E于F,連接CF,當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，則的長是一.

9.（2020?江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，正方形ABCD中，BC=2,點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),

連接DM,DM與AC交于點(diǎn)P,點(diǎn)F為ZW中點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)NDFE=45°時(shí)，則DE=

10.（2020?合肥市第四十五中學(xué)初三期中）如圖，在矩形4BCD中，點(diǎn)E是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過A作A凡LAE交射線￡＞尸于點(diǎn)F,若AO=2AB=4,連接BD交AF于點(diǎn)G,連接EG,當(dāng)CF=1時(shí)，

EG=.

11.（2020?全國初三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段

上的動(dòng)點(diǎn)，過P作P凡LAE于F,當(dāng)以點(diǎn)P、/、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，4P的長為

三、解答題

12.（2020?山東初三期中）如圖，在AABC中,AB=Scin,BC=\6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿4B邊運(yùn)動(dòng),

速度為Icm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng),速度為2c，”/s；如果P、。兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)^

QBP與△ABC相似？

A

13.（2019?山東省濟(jì)南匯才學(xué)校初三期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P

在射線AD±,過P作PFVAE于F.

（1）請判斷以與AABE是否相似，并說明理由;

（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線A。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與

相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由.

14.（2020?寧夏永寧?初三月考）如圖，在R/ZV18C中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從

點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A,B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

2c,"的速度沿向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為f（單位：秒，0<r<2.5）.

（1）當(dāng)，為何值時(shí)，以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

（2）是否存在某一時(shí)刻f,使四邊形4PNC的面積5有最小值？若存在,求S的最小值：若不存在，請說

明理由.

15.(2020?深圳市海濱中學(xué)初三期中)如圖，在矩形ABCD中，A8=6cm,BC=8c”動(dòng)點(diǎn)P以2?n/s

的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。以Icm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā).沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)

P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)rs(0<r<5)后，Z\CQP的面積為Sc/1

(I)在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，ACOP的面積能否等于3.6c，”2?若能，求出此時(shí)r的值；若不能，請說

明理由；

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與ACAB相似.

16.如圖，已知aABC是邊長為6c機(jī)的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC

勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是lc,"/s,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度是2c/n/s,當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩點(diǎn)都

停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為"s),解答下列問題：

(1)當(dāng)尸2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設(shè)4BP。的面積為S(CT?2),求S與，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)作QR〃BA交AC于點(diǎn)R,連接PR,當(dāng)，為何值時(shí)，"PRSAPRQ.

RC

17.(2019?遼寧昌圖?初三月考)已知：如圖①，在RrZXABC中，NC=90°,AC=3cm,BC=6cm,點(diǎn)

P由8出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)4勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Icm/s；點(diǎn)Q由4出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度

為2cm/s；連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s)(0<Z<4),解答下列問題：

(1)當(dāng)r為何值時(shí)，PQ//BC-,

(2)設(shè)aAOP的面積為y(〃/),求y與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻“使線段PQ恰好把R/ZXACB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)，的值;

若不存在，說明理由；

(4)如圖②，連接PC,并把APOC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時(shí)刻，，使四邊

形PQP，C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由.

【典型例題】

1.(2020?銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考)如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=9O°,A8=8,AD=3,BC=4,

點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，若△21。與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)￡).4個(gè)

2.(2020?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)初三期中)如圖，在K/4ABC中，NB=90°,AC=Mem,BC=6cm,現(xiàn)有兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)。以\cm/s的

速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止.連接PQ.設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.

（I）含x的代數(shù)式表示B。、PB的長度;

（2）x為何值時(shí)，aPB。為等腰三角形？當(dāng)和△CR4相似時(shí)，求此時(shí)x的值

3.（2019?江蘇海陵?泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，對入4灰;中，NACB=90°,AC=6an,8c=8cm.動(dòng)

點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3c/n的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在C8邊上以每

秒2c,"的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0Vf<W）,連接MN.

3

（I）若△BMN與△ABC相似，求f的值;

（2）連接4MCM,若AN_LCM,求，的值.

【專題訓(xùn)練】

四、選擇題

1.（2020?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AB=f>,AC=4,P是4c的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直

線交AB于點(diǎn)Q,若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長為（）

434

A.3B.3或一C.3或一D.—

343

2.（2019?山東中區(qū)?初三期中）如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC=\2cm,動(dòng)點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)

到8點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止.點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1c，”/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒.如果

兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）

4.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

3.（2020?青海西寧?初三月考）如圖，在中，NC=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿

A8方向以每秒0cM的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿8c方向以每秒的速度向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為r秒，若四邊形QPCP

為菱形，則t的值為（）

C.20D.3

4.（2019?四川南充?初三三模）如圖，DABC中，NC=90°，AC=3,8C=4,M是8c邊

上的動(dòng)點(diǎn)，過〃作MN〃AB交AC于點(diǎn)N,尸是MN的中點(diǎn)，當(dāng)FA平分N3AC時(shí)，BM=（）

20201525

A.B.—c.—

IT1311

5.（2020?桐柏縣新集一中初三月考）如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，NAEB=90°,點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，沿的路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，作PQ_LC。于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,P。長

為y,若y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)x=6時(shí)，PQ的值是（）

A.2

3

6.如圖，在矩形A3CQ中，BC=6,E是3C的中點(diǎn)，連接A￡,tanZBAE=-,。是A。邊上一動(dòng)點(diǎn),

4

沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)AAP/y是直角三角形時(shí),PD的值為（）

D.W或電

A.

3737

五、填空題

7.（2020?山東省泰安第六中學(xué)初二期中）如圖，在aABC中，AB=9,AC=6,BC=12,點(diǎn)M在A8邊上,

且4M=3,過點(diǎn)”作直線MN與AC邊交于點(diǎn)N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=.

8.（2020?江西吉安?初三其他）如圖，在矩形ABC7）中，AD=2AB=2,E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過點(diǎn)。作。FL4E于F,連接CF,當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，則8E的長是_

9.（2020?江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，正方形4BCD中，BC=2,點(diǎn)M是邊43的中點(diǎn),

連接。M,DM與AC交于點(diǎn)P,點(diǎn)F為。M中點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)NDFE=45°時(shí)，則。E—.

10.（2020?合肥市第四十五中學(xué)初三期中）如圖，在矩形ABCO中，點(diǎn)E是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過A作AF_LAE交射線OF于點(diǎn)廣，若4￡>=2AB=4,連接BO交AF于點(diǎn)G,連接EG,當(dāng)CF=1時(shí)，

EG=.

11.（2020?全國初三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段

A。上的動(dòng)點(diǎn)，過P作P凡LAE于F,當(dāng)以點(diǎn)P、/、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時(shí)，4P的長為

六、解答題

12.（2020?山東初三期中）如圖，在AABC中,AB=Scin,BC=\6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿4B邊運(yùn)動(dòng),

速度為Icm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng),速度為2c，”/s；如果P、。兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)^

QBP與△ABC相似？

13.（2019?山東省濟(jì)南匯才學(xué)校初三期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P

在射線AD±,過尸作PFLAE于F.

（I）請判斷△PfiA與△ABE是否相似，并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與

△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由.

14.（2020?寧夏永寧?初三月考）如圖，在RfZXABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從

點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿。、C8向終點(diǎn)A,B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

2c,"的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為/（單位：秒，0</<2.5）.

(1)當(dāng)r為何值時(shí)，以4P,"為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似？

<2)是否存在某一時(shí)刻f,使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說

明理由.

15.(2020?深圳市海濱中學(xué)初三期中)如圖，在矩形ABCQ中，A8=6cm,BC=3cm,動(dòng)點(diǎn)尸以2c，"/s

的速度從點(diǎn)4出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。以Icvn/s的速度從點(diǎn)C出發(fā).沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)

P、。兩點(diǎn)移動(dòng)fs(0<fV5)后，ZSCQP的面積為Sc小

(I)在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，ACOP的面積能否等于3.6。層？若能，求出此時(shí)r的值；若不能，請說

明理由;

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△CAB相似.

16.如圖，己知△ABC是邊長為6cM的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AS、BC

勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是lcm/s,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度是2c/n/s,當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、。兩點(diǎn)都

停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為"s),解答下列問題:

(1)當(dāng)尸2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由;

⑵設(shè)aBP。的面積為S(c*,求S與，的函數(shù)關(guān)系式;

(3)作QR〃8A交AC于點(diǎn)R,連接PR,當(dāng)f為何值時(shí)，△APRSAPRQ.

B

17.(2019?遼寧昌圖?初三月考)已知：如圖①，在氏△A8C中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm,點(diǎn)

戶由8出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；點(diǎn)。由月出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度

為2c”,/s；連接PQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s)(0<Z<4),解答下列問題：

(1)當(dāng)，為何值時(shí)，PQ//BC,

<2)設(shè)aAOP的面積為y(c〃)，求y與r之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻，，使線段PQ恰好把放AACB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)f的值;

若不存在，說明理由；

(4)如圖②，連接PC,并把沿QC翻折，得到四邊形PQP'C,那么是否存在某一時(shí)刻r,使四邊

形「QP'C為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長；若不存在，說明理由.

P'

分界線

答案

【典型例題】

1.（2020?銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,

點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，若△用。與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

4.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

2.（2020?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)初三期中）如圖，在RrzlABC中，ZB=90°,AC=10cw,BC=6cm,現(xiàn)有兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以icm/s的

速度沿8c向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止.連接PQ.設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.

（1）含x的代數(shù)式表示BQ、PB的長度；

（2）x為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？當(dāng)和ACB4相似時(shí)，求此時(shí)x的值

【答案】

解：(1)?：ZB=9(y,4c=10cm,BC=6cm,

由運(yùn)動(dòng)知，BQ=x(cm),AP=2x(cm),

：.PB=(8-2x)(cm),

故答案為：X,(8-2x)；

(2)由題意，得

8-2x=x,

8

Ax=—.

3

8

工當(dāng)齊一時(shí)，△PB。為等腰三角形；

3

設(shè)經(jīng)過x秒，貝i]AP=2x,RQ=x,

：.PB=S-2x,

?；NPBQ=NABC=90°,

...當(dāng)NBPe=NA時(shí)，XPBQs^ABC,貝ij

PBBQ8-2xx

----------,h|--------....,

ABBC86

解得x=2.4.

當(dāng)N8Pfi=NC時(shí)，尸QS2\8C4,

BPBQ8-2xx

----——----,即a-------——―,

BCBA68

32

解得x=--.

11

32

所以，經(jīng)過2.4或——秒△P8Q和△C84相似.

11

3.(2019?江蘇海陵?泰州中學(xué)附屬初中初三月考)如圖，RrZkABC中,ZACB=90°,AO6cm,BC=8cm.動(dòng)

點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在84邊上以每秒3°n的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每

10

秒2c，”的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(0<7<—),連接

3

(I)若△BMN與△ABC相似，求f的值；

(2)連接AN,CM,若AN_LCM,求，的值.

XI圖2

【答案】

22=1(CW)>

(1)由題意知，BM=3lcm,CN=2lcm,：.BN=(8-2z)cm,BA=A/6+8°當(dāng)

BMBN3/8—2，20

時(shí),一，?.—,解得：t~；

BABC10811

BMBN3t8-2r*,32

當(dāng)ABMNSABCA時(shí)，---=-A—=-----,解得：尸—

BCBA81023

2032

ABMN與△ABC相似時(shí)，/的值為一或一：

1123

(2)過點(diǎn)“作"D_LC8于點(diǎn)。，由題意得：DM^BMsinB-3t-—-t(CM),BDBMCOSB-3t-——t

105105

012

(cm),BM^3tcin,CN=2tcm,：.CD=(8-------1)cm,'：ANLCM,N4C8=90°,：.ZCAN+ZACM~90°,

5

NMCD+N4cM=90°,：.4CAN=NMCD,"MDLCB,：.ZMDC=ZACB-90°,：.ACAN^^DCM,：.

ACCD6

解得尸—.

~CN~~DM2t912

-t

5

【專題訓(xùn)練】

七、選擇題

1.（2020?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在AASC中，AB=6,AC=4,P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直

線交AB于點(diǎn)Q,若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則4。的長為（）

-4_34

A.3B.3或一C.3或一D.一

343

【答案】B

2.（2019?山東中區(qū)?初三期中）如圖，在鈍角三角形4BC中，AB=（＞cm,AC=\2cm,動(dòng)點(diǎn)。從4點(diǎn)出發(fā)

到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止.點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為1c,”/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2c加/秒.如果

兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、。、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）

A.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

【答案】A

3.（2020?青海西寧?初三月考）如圖，在中，ZC=90°,AC=BC=6?n,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿

48方向以每秒J5c切的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將△PQC沿8c翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，若四邊形QPCP'

為菱形，則t的值為（）

A.五B.2C.25/2D.3

【答案】B

4.（2019?四川南充?初三三模）如圖，nASC中，NC=90°，AC=3,BC=4,M是邊

上的動(dòng)點(diǎn)，過M作MN〃AB交AC于點(diǎn)N,尸是MN的中點(diǎn)，當(dāng)D4平分N8AC時(shí)，BM=（）

A

N

CMB

20201525

A.——B.—c.—D.

11131113

【答案】A

5.（2020?桐柏縣新集一中初三月考）如圖1,在矩形A8C。中，點(diǎn)后在8上，NAEB=90°,點(diǎn)尸從

點(diǎn)A出發(fā)，沿A~E~B的路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，作PQ_LC￡＞于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,PQ長

為），，若y與X之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)x=6時(shí)，PQ的值是（）

96

4.2B.

55

【答案】B

3

6.如圖，在矩形A8C。中，BC=6,E是BC的中點(diǎn)，連接4E,tanZBAE=-,P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn),

4

沿過點(diǎn)p的直線將矩形折疊，使點(diǎn)。落在AE上的點(diǎn)處，當(dāng)AAPZ）'是直角三角形時(shí),PD的值為（）

2或9D.W或更

A.

3737

【答案】B

八、填空題

7.（2020?山東省泰安第六中學(xué)初二期中）如圖，在△ABC中，AB=9,4c=6,BC=12,點(diǎn)M在AB邊上,

且AM=3,過點(diǎn)M作直線MN與4c邊交于點(diǎn)N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=_____.

【答案】4域6

8.（2020?江西吉安?初三其他）如圖，在矩形ABCO中，AD=2AB=2,E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過點(diǎn)。作?！闘AE于尸，連接CF,當(dāng)△CD尸為等腰三角形時(shí)，則8E的長是—.

【答案】I或百或2-也.

9.（2020?江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，正方形ABCD中，8c=2,點(diǎn)M是邊A8的中點(diǎn),

連接DM,ZJM與AC交于點(diǎn)P,點(diǎn)F為DM中點(diǎn)，點(diǎn)E為。C上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)NOFE=45°時(shí)，則。尺.

5

【答案】一.

6

10.（2020?合肥市第四十五中學(xué)初三期中）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是線段C。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,過A作AELAE交射線D尸于點(diǎn)F,若AD=2AB=4,連接交4F于點(diǎn)G,連接EG,當(dāng)CF=1時(shí),

EG=

11.（2020?全國初三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段

AD上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PF1AETF,當(dāng)以點(diǎn)P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與AABE相似時(shí)，AP的長為______.

【答案】3或—

6

九、解答題

12.（2020?山東初三期中）如圖，在△ABC中,AB=&cm,BC=\6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng),

速度為lcm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿RC邊運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s；如果P、。兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)^

QBP與△ABC相似?

【答案】

解：設(shè)經(jīng)過，秒時(shí)，以△QBC與△ABC相似,

則AP=2r,BP=8-2t,BQ=4t.

?：ZPBQ=ZABC,

BPBQ

.,.當(dāng)——=-^時(shí)，△BPQS4BAC,

ABBC

即胃哈解得:心

當(dāng)空=些時(shí)，△BPQs2BCA,

BCBA

8-2/4r…

------——，解得：尸0.8s；

168

即經(jīng)過2秒或0.8秒時(shí)，4QBC與AABC相似.

13.(2019?山東省濟(jì)南匯才學(xué)校初三期中)如圖，正方形A8CD的邊長為8,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P

在射線AD上，過戶作PF1AE于F.

(1)請判斷必與aABE是否相似，并說明理由;

<2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P,F,E為頂點(diǎn)的三角形也與

△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由.

【答案】

(1)證明；

ZPAF^ZAEB.

?.?NPA4=N48E=90°,

:.RPFNsRABE.

若△EFPSAABE,則NPEF:NEAB.

如圖，連接尸反?！?/p>

：.PE//AB,

???四邊形A8律為矩形.

???必二四=2,即x=2.

如圖，延長AO至點(diǎn)尸,作尸F(xiàn)J_AE于點(diǎn)尸，連接PE,

若APFESAABE,貝ijNPEb=NAE8

???NR4F二乙4￡8,

ZPZTF=ZB4F.

：.PE=RA,

?；PF1AE,

???點(diǎn)尸為AE的中點(diǎn).

?；AE=1AB?+BE?=2亞,

：.EF=萬心6

???三變，即隼好

AEEB25/52

：.PE=5,即戶5.

...滿足條件的x的值為2或5.

14.(2020?寧夏永寧?初三月考)如圖，在知△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從

點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒lc/n的速度分別沿C4、CB向終點(diǎn)A,B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒

2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為r(單位：秒，0<r<2.5).

(1)當(dāng)，為何值時(shí)，以A,P,"為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

(2)是否存在某一時(shí)刻,,使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說

明理由.

【答案】

解：?.?如圖，在RfZXABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.

.?.根據(jù)勾股定理，得AB=JAC?+BC?=5cm.

(1)以A,尸，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：

APAM5—2，4-r,3

①當(dāng)△AMPs/XABC時(shí)，----=-----,即------=-----,解得z￡=—：

ACAB452

AMAP4-t5-2t

②當(dāng)時(shí)，----=——，即-----=------,解得片0(不合題意，舍去).

ACAB45

3

綜上所述，當(dāng)，=一時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

2

(2)存在某一時(shí)刻/,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:

假設(shè)存在某?時(shí)刻/,使四邊形4PNC的面積S有最小值.

如圖，過點(diǎn)P作8c于點(diǎn)則PH〃AC,

...s有最小值.

3、21

當(dāng)f=一時(shí),S"小",=—.

25

321

答：當(dāng)，=一時(shí)，四邊形4PM7的面積5有最小值，其最小值是一.

25

15.（2020?深圳市海濱中學(xué)初三期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s

的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。以Icm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā).沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)

P、。兩點(diǎn)移動(dòng)IS（0<r<5）后，ACOP的面積為Sc〃?2

51--------------

（1）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，4002的面積能否等于3.60〃2?若能,求出此時(shí)，的值；若不能，請說

明理由；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△CPQ與△C48相似.

【答案】

解：（1）如圖1,過點(diǎn)P作P〃于點(diǎn)〃，

B\---------?——

H。=°

圖1

在矩形ABCD中,

AB=6cm,BC=8cm,

.,.AC=10cm,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)fs(0V/V5)時(shí)，AP=2tcm,PC=(10-2/)cm,CQ=tcm,

,:NACB=NHCP,NB=/PHC,

:APHCSAABC,

,PHCP

~AB~~~CA

/.PH=—(10-2/)cm,

5

根據(jù)題意，得—（10-2/）=3.6,

25

解得：A=2,,2=3.

答：當(dāng),的值為2s或3s時(shí)，△CQP的面積等于3.6”小時(shí).

(2)如圖2,當(dāng)NPQC=90°時(shí)，PQLBC,

?：AB1BC,AB=6,BC=8,QC=t,PC=\0-21,

.PCCQ

,7cBC

10—2f

即-------

108

40.

解得，=(秒);

13

如圖3,當(dāng)NCP0=90°時(shí)，PQA.AC,

■:NACB=4QCP,NB=NQPC,

,CP_CQ

"SCAC'

即號

10

解得/=（秒）.

7

綜上所述，f為一秒與——秒時(shí)，△CPQ與△C48相似.

137

16.如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從4、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿4B、BC

勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是lc,”/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2c/n/s,當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都

停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“S),解答下列問題：

(1)當(dāng)匚2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；

(2)設(shè)ABP。的面積為5(“泳)，求S與，的函數(shù)關(guān)系式;

(