2021-2022學年數(shù)學蘇教版必修第二冊學案：第14章分層抽樣

14.2.2分層抽樣

L通過實例,J'解分U抽樣的特點和適川冠國.廣解分屋抽樣的必要性.

二、：2.掌握各層樣本容Q比例分配的方法.

本不準

3.在簡單的實際情境H?,能根據(jù)實際問題的特點.設(shè)計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.

》基礎(chǔ)認知-自主學習Q—

【概念認知】

1.分層抽樣

(1)分層抽樣的定義

一般地,當總體由差異明顯的幾個部分組成時，將總體中的個體按不

同的特點分成層次比較分明的幾個部分，然后按各個部分在總體中所

占的比實施抽樣，這種抽樣方法叫作分層抽樣.

(2)分層抽樣的步驟

①將總體按一定標準分層；

②計算各層的個體數(shù)與總體的個數(shù)的比；

③按各層的個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；

④在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣).

2.兩種抽樣方法的特點及適用范圍

⑴隨機樣本

為了使樣本相對總體具有很好的代表性,就必須使得總體中的每個個

體被抽到的概率相等，如果一個樣本是按照這種規(guī)則抽取的，那么稱

這個樣本為隨機樣本.

(2)兩種抽樣方法的特點及適用范圍

類

特點相互聯(lián)系適用范圍共同點

別

簡

單

總體中的

隨從總體中逐個抽

____個體數(shù)相

機取

對較少

抽抽樣過程中每

樣個個體被抽到

的可能性相同

分總體由差

將總體分成幾各層抽樣時，

層異明顯的

層，按各層的個可以采用簡單

抽幾部分組

體數(shù)之比抽取隨機抽樣

樣成

【自我小測】

1,下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()

A.從10名同學中抽取3人參加座談會

B.一次數(shù)學競賽中，某班有10人在110分以上，40人在90-110

分,12人低于90分，現(xiàn)從中抽取12人了解有關(guān)情況

C.從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時間

D.從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

選B.A中總體個體無明顯差異且個數(shù)較少，適合用簡單隨機抽樣；C

和D中總體個體無明顯差異且個數(shù)較多，不適于用分層抽樣；B中總

體個體差異明顯，適合用分層抽樣.

2.經(jīng)調(diào)查，在某商場掃碼支付的老年人，中年人，青年人的比例為

2：3：5,用分層抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)杳，

其中中年人數(shù)為9,則n=（）

A.30B.40C.60D.80

選A.因為老年人，中年人，青年人的比例為2：3：5,又中年人為9

人，所以老年人為6人，青年人為15人，所以n=6+9+15=30.

3.（教材練習改編）某學校高一、高二、高三三個年級共有學生3500

人，其中高三學生數(shù)是高一學生數(shù)的兩倍，高二學生數(shù)比高一學生數(shù)

多300人，現(xiàn)在按壺的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽

取高一學生數(shù)為（）

A.8B.11C.162D.10

選A.若設(shè)高三學生數(shù)為x,則高一學生數(shù)為自，高二學生數(shù)為力+

300,所以有x+1+/+300=3500,解得x=1600.故高一學生數(shù)

為800,因此應(yīng)抽取高一學生數(shù)為黑=8.

4.在距離2016年央視春晚直播不到20天的時候，某節(jié)目被取消，

為此，某網(wǎng)站針對“是否支持該節(jié)目上春晚”對網(wǎng)民進行調(diào)查，得到如

下數(shù)據(jù)：

網(wǎng)民態(tài)度支持反對無所謂

人數(shù)（單位：人）8000600010000

若采用分層抽樣的方法從中抽取48人進行座談，則持“支持”態(tài)度的

網(wǎng)民抽取的人數(shù)為.

由分層抽樣的方法，得持“支持”態(tài)度的網(wǎng)民抽取的人數(shù)為

8000

48x=48x-=16.

8000+6000+10000

答案：16

5.某縣共有320個自然村，其中山區(qū)32個，丘陵地區(qū)240個,平原

地區(qū)48個.為調(diào)查村民收入狀況，要從中抽出20個村進行調(diào)查，試

設(shè)計一種比較合理的抽樣方案，并簡述抽樣過程.

由于各地區(qū)自然條件的限制，各地區(qū)村民的經(jīng)濟收入有較大差異，故

采用分層抽樣法較為合理.

因為券,所以按￡的比例抽取,應(yīng)在山區(qū)抽取32x2=

J乙U1V/JLUJLU

2（個），丘陵地區(qū)抽取240x^=15（個），平原地區(qū)抽取48x^=3（個）.

具體實施過程：對于山區(qū)和平原地區(qū)，由于自然村數(shù)量較少，可采用

抽簽法，具體實施過程略.對于丘陵地區(qū)，自然村個數(shù)較多且差異不

大,可采取隨機數(shù)表法.首先將240個村按001,002,,240編號,

然后用隨機數(shù)表法抽取15個.這樣便得到了一個容量為20的樣本.

修學情診斷,課時測評《

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生

的課業(yè)負擔情況，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調(diào)

杳，則最合理的抽樣方法是（）

A.抽簽法B.簡單隨機抽樣

C.分層抽樣D.隨機數(shù)表法

選C.根據(jù)年級不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應(yīng)為分層隨機抽

樣.

2.下列試驗中最適合用分層抽樣方法抽樣的是（）

A.從一箱3000個零件中抽取5個入樣

B.從一箱3000個零件中抽取600個入樣

C.從一箱30個零件中抽取5個入樣

D.從甲廠生產(chǎn)的100個零件和乙廠生產(chǎn)的200個零件中抽取6個入

樣

選D.D中總體有明顯差異，故用分層抽樣.

3.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有如下問題，“今有北鄉(xiāng)8758

人,西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少從三個鄉(xiāng)共

征集487人，問從各鄉(xiāng)征集多少人.”在上述問題中，需從南鄉(xiāng)征集

的人數(shù)大約是（）

A.112B.128C.145D.167

487

選D.從南鄉(xiāng)征集的人數(shù)大約是8356x句67（人）.

4.甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生,

為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層隨機抽樣法抽取一個容

量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學生（）

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人

選B.先求抽樣比節(jié)=，然后各層按抽樣

3600+5400+1800-120

比分別抽取,

甲校抽取3600x函=30（人），

乙校抽取5400x卷=45（人），

丙校抽取1800X擊=15（人）.

5.某實驗中學共有職工150人，其中高級職稱的職工15人，中級職

稱的職工45人，普通職員90人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取容量為

30的樣本，則抽取的高級職稱、中級職稱、普通職員的人數(shù)分別為

（）

A.5,10,15B.3,9,18

C.3,10,17D.5,9,16

選B.分層抽樣是按比例抽取的，

設(shè)抽取的高級職稱的職工、中級職稱的職工、普通職員的人數(shù)分別為

a,b,c,貝=瑞，解得a=3,b=9,c=18.

6.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知

曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查，假設(shè)四個社區(qū)

駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、

丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個社

區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）

A.101B.808

C.1212D.2012

選B.因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數(shù)

為12人,

121

所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為前=1,

所以駕駛員的總?cè)藬?shù)為(12+21+25+43)4=808(A).

O

二、多選題

7.某高校大一新生中，來自東部地區(qū)的學生有2400人、中部地區(qū)

學生有1600人、西部地區(qū)學生有1000人.從中選取100人為樣本

調(diào)研飲食習慣，為保證調(diào)研結(jié)果相對準確，下列判斷正確的有()

①用分層抽樣的方法分別抽取東部地區(qū)學生48人、中部地區(qū)學生32

人、西部地區(qū)學生20人；

②用簡單隨機抽樣的方法從新生中選出100人；

③西部地區(qū)學生小劉被選中的概率為吉；

④中部地區(qū)學生小張被選中的概率為高?

A.①B.②C.③D.④

選AC.A.由分層抽樣的概念可知，取東部地區(qū)學生

2400

100x=48人、中部地區(qū)學生

2400+1600+1000

1600

100x=32人、西部地區(qū)學生

2400+1600+1000

1000

100x=20人，題中的說法正確；

2400+1600+1000

B.新生的人數(shù)較多，不適合用簡單隨機抽樣的方法抽取人數(shù)，題中

的說法錯誤；C西部地區(qū)學生小劉被選中的概率為

_______wo___________1_

，題中的說法正確；

2400+1600+1000—50

D.中部地區(qū)學生小張被選中的概率為24。。+黑。+1。。。$,題

中的說法錯誤；

綜上可得，正確的說法是AC.

8.為了保證分層抽樣時，每個個體等可能地被抽取，下列說法不正

確的是()

A.每層的個體數(shù)必須一樣多

B.每層抽取的個體數(shù)相等

C.每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni=n^(i=l,

2,,k)個個體，其中k是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，N是第i層

所包含的個體數(shù)，N是總體容量

D.只要抽取的樣本容量一定，每層抽取的個體數(shù)沒有限制

選ABD.每層的個體數(shù)不一定都一樣多，所以選項A不正確；

又因為由于每層的容量不一定相等，每層抽同樣多的個體，從整個總

體來看，各層之間的個體被抽取的可能性顯然就不一樣了，所以選項

B不正確；

對于第i層的每個個體，它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān)，即對于每

個個體來說，被抽入樣本的可能性是相同的，所以選項C正確；

每層抽取的個體數(shù)是有限制的，所以選項D不正確.

三、填空題

9.我校高一、高二、高三共有學生2400名，為了了解同學們對“智

慧課堂”的意見,計劃采用分層隨機抽樣的方法,從這2400名學生

中抽取一個容量為48的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數(shù)恰

好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高二年級的學生人數(shù)為

設(shè)從高一年級抽取的學生人數(shù)為2x,則從高二、高三年級抽取的人

數(shù)分別為2x+2,2x+4.由題意可得2x+(2x+2)+(2x+4)=48,所以

x=7.故高二年級抽取16人，設(shè)我校高二年級的學生人數(shù)為N,再根

據(jù)馬親=，求得N=800.

答案:800

10.某高中各年級男、女生人數(shù)統(tǒng)計如表：

高一局?—(W)—

男生592563520

女生528517a

按年級分層隨機抽樣，若抽取該校學生80人中，高二學生有27人,

則表中a=

80

由題意可得

592+563+520+528+517+a

27

,求得a=480.

563+517

答案:480

四、解答題

11.某校高一年級500名學生中，血型為O型的有200人，血型為A

型的有125人，血型為B型的有125人，血型為AB型的有50人.為

了研究血型與色弱的關(guān)系，要從中抽取一個容量為40的樣本，每種

血型各有多少人？

因為40-500=22,所以應(yīng)用分層抽樣抽取血型為O型的22X200=

16(A)A型的奈xl25=10(A)B型嵯xl25=10(A),AB型的套

x50=4(人).

12.為了對某課題進行討論研究，用分層抽樣的方法從三所高校A,

B,C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單

位:人).

高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)

AX1

B36y

C543

⑴求X,y；

⑵若從高校B相關(guān)人員中選2人作專題發(fā)言，應(yīng)采用什么抽樣方法,

請寫出合理的抽樣過程.

(1)分層抽樣是按各層相關(guān)人數(shù)和抽取人數(shù)的比例進行的，所以有意

=|=>x=18,|^=y=2.故x=18,y=2.

⑵總體容量和樣本容量較小，所以應(yīng)采用抽簽法，過程如下：

第一步，將36人隨機編號,號碼為1,2,3,,36；

第二步，將號碼分別寫在相同的紙片上，揉成團，制成號簽；

第三步，將號簽放入一個不透明的容器中，充分攪勻，依次不放回地

抽取2個號碼，并記錄上面的編號；

第四步，把與號碼相對應(yīng)的人抽出，即可得到所要的樣本.

【綜合突破練】

一、選擇題

1.某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8~10歲，11~12

歲，13~14歲，15~16歲四個年齡段回收的問卷依次為：120份，

180份，240份，x份.因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層

抽取容量為300的樣本，其中在11~12歲學生問卷中抽取60份，則

在15~16歲學生中抽取的問卷份數(shù)為()

A.60B.80C.120D.180

選C.從11-12歲的學生中回收180份問卷，從中抽取60份，則抽樣

比為；,

因為從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，

所以從8~1。歲,11~12歲,13~14歲，15~16歲四個年齡段回收

的問卷總數(shù)為芋=900（份），則15?16歲回收問卷份數(shù)為x=900

3

-120-180-240=360（份）.

所以在15~16歲學生中抽取的問卷份數(shù)為360x|=120（份）.

2.當前，國家正分批修建經(jīng)濟適用房以解決低收入家庭住房緊張的

問題.已知甲、乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、

180戶，若第一批經(jīng)濟適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中

90戶低收入家庭的住房問題，采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù),

則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）

A.40B.30C.20D.36

901

選A.抽樣比為360+U+]8O=i，則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家

庭的戶數(shù)為360x3=40.

3.（多選）某單位老年人、中年人、青年人的人數(shù)分布如表，用分層

抽樣的方法抽取17人進行單位管理問卷調(diào)查，若抽到3位老年人,

則下列說法正確的為（）

類別人數(shù)

老年人15

中年人?

青年人40

A.抽至I」8位青年人B.抽到6位中年人

C.中年人有6人D.中年人有30人

3

選ABD.設(shè)該單位的中年人的人數(shù)為x,則由題表可知，啟=

17

15+X+40

17

解得x=3。.因此在抽取的17人中,中年人的人數(shù)為3。'石5

=6.

由抽樣比可知抽到的青年人為8人.

二、填空題

4.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,

400,300,100件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上

所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取

________件.

應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取60x襦=18件.

答案：18

5.一班有學員54人，二班有學員42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法

從兩個班中抽出一部分人參加4x4方隊進行軍訓表演，則一班和二班

分別被抽取的人數(shù)是________.

設(shè)一班被抽取的人數(shù)是x,

貝“專二/J，解得x=9,

“42+54

所以一班被抽取的人數(shù)是9,二班被抽取的人數(shù)是16-9=7.

答案：9,7

6某公司生產(chǎn)三種型號的轎車產(chǎn)量分別為1200輛￡000輛和2000

輛.為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛轎車

進行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取的輛數(shù)為.

設(shè)三種型號的轎車依次應(yīng)抽取x輛，y輛，z輛，則有

(_x_____y_____z_x=6,

==

<T20060002000^解得八=30,