三角形的四心-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學同步精講精練（人教B版2019必修第三冊）（解析版）

專題8-2三角形的四心

。?？碱}型目錄

題型1重心.........................................................................................3

?類型1重心的判斷..........................................................................3

?類型2重心的應用一參數(shù)取值................................................................7

?類型3重心的應用二數(shù)量積.................................................................11

?類型4重心的應用三角度相關...............................................................12

?類型5重心的應用四面積問題...............................................................13

?類型6重心的應用五其他問題...............................................................14

?類型7重心與最值..........................................................................19

題型2外心........................................................................................23

?類型1外心的判定.........................................................................23

?類型2外心的應用一參數(shù)取值..............................................................26

?類型3外心的應用二長度問題..............................................................30

?類型4外心的應用三數(shù)量積問題............................................................31

?類型5外心的應用四角度問題..............................................................35

?類型6外心的應用五其他問題..............................................................36

?類型7外心與最值.........................................................................38

題型3內心........................................................................................49

?類型1內心的判定.........................................................................49

?類型2內心的應用一三角形形狀問題........................................................52

?類型3內心的應用二數(shù)量積問題............................................................54

?類型4內心的應用三參數(shù)取值..............................................................56

?類型5內心的應用四角度問題..............................................................56

?類型6內心的應用五其他問題..............................................................57

?類型7內心與最值.........................................................................58

題型4垂心........................................................................................60

?類型1垂心的判定.........................................................................60

?類型2垂心的應用一角度問題..............................................................62

?類型3垂心的應用二角度問題..............................................................67

?類型4垂心的應用三數(shù)量積問題............................................................67

?類型5垂心的應用四其他問題..............................................................68

題型5四心綜合...................................................................................69

u知識梳理

知識點一.重心

1.定義：三角形三條中線的交點

2.頸：

①設。是△ABC的重心，則沒力+□由+□由=力

②設。是△ABC的重心，P為平面內任意一點，則吊=grnn+W+W;

③設0是△ABC的重心,奔馳定理結論:口必□□口:口&□□□；□□口=□:□:O=1:1:1

④P為平面內任意一點，用=口（京+團］）或屈口（4邙京］）,□＞。則P一定經

過三角形的重心.

⑤P為平面內任意一點，=0（）或方方=向+口（+

1\DD\DDDD\DU\DDDD/'\口0\□□□□

三言五九。＞。則P的軌跡一定經過三角形的重心.

知識點二.內心

1.定義：三條角平分線的交點

2.性質：

①設O是AABC的內心,|BC|nn+|AC|Z7n+|麗|萬方=藏口口白+方無=2其中a,b,c

是AABC的邊長.

②設O是△ABC的內心，奔馳定理結論:Uccc；口&□□□；口4□□口=口;口:Z7=a:b:c=sinA:sinB:sinC

③P為平面內任意一點，方方=0（署+器，，則P一定經過三角形的重心.

④若G是內心，O是任意一點，DU=產g,（證明方法：乘開化簡即可）

知識點三.外心

1.定義：三條垂直平分線的交點

2.性質：

①設O是AABC的外心則|配=|五方|=|西或者用2'=

②設O是AABC的外心，（萬斤+^Q?方萬=（DO+~DLI）=（DD+~DH）=~0

③設P是任意一點，滿足酒="+口(/而，□＞。廁P的軌跡一定經過三

角形的外心.

④型也定理結論:□：□皿□:口&□□□=□；口；□=DDD2D-.□□□/.□□□Ki

N□□口

知識點四.垂心

1.定義：三條高線的交點

2.性質：

①0是△ABC的垂心，則方方，~DD=~DD=DU-

②O是△ABC的垂心，則方^+=~DD4-

③設P是任意一點，滿足，防=3萬+u(^^□□□+口嘉□□口入口＞。則P的軌跡一定經過三角

形的垂心.

④奔馳定理結論：□:□、□□□：=□：口；□=tanA:tanB:tanC,tanA-□□+tanB-□□4-

x□□口

tanC?□由=~0

⑤□>(),口(~DDW入此向量代表垂直于方斤的向量.

\no\auDu\on\onou

題型分類

題型1重心

【方法總結】

(1)重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.

(2)重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

(3)在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均數(shù)

(4)口是卜口口口^心0口□+□□+力,

(5)四平面SB任一點,~DD=獷尻1+~DD+=□是X□□灌心.

?類型1重心的判斷

【例題1-1］（2023春?全國?高一專題練習）已知點G是三角形ABC所在平面內一點，滿足歷+W+

歷=6,則G點是三角形ABC的（）

A.垂心B.內心C.外心D.重心

【答案】D

【分析】直接利用平面向量的線性運算和三角形重心的定義，即可判斷點G是AABC的重心.

【詳解】因為無+OO+0,所以無+一配=~DD.

以GA、GB為鄰邊作平行四邊形GADB,連接GD交AB于點。.如圖所示

則無=方斤，所以用=jW,CO是AB邊上的中線，所以G點是&ABC的重心.

故選：D

【變式1-U1.（2023?全國?高一專題練習）已知△口口收，點小邊口O中點，氤口為4O口O所在平

面內一點，則?方=g歷+|萬方’為"點巾△口□灌心”（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

［分析］歷=g藥+|無等價于晶=2比等價于點班△口口鼻心.

【詳解】充分性：nD=^DD+l~DD

等價于：300=OO+2DD

等價于：W-~CD=2DD-2UD

等價于：~DLl=2Dn

所以a為。功勺靠近。的三等分點，所以點少）△□□灌心；

必要性：若點％△□□am心,由重心性質知晶=200,故晶=：晶+：萬方

故選：c

【變式1-1]2.（2022?高一課時練習）0是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點

P滿足：品=■+0（歷+聞），。>0,則直線AP一定通過58（：的（）

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】取線段BC的中點E，則無+方方=2UD動點P滿足:無=~DD+￡7（00+~DU）,O>0,

則比=2匚之方.即可判斷出結論.

【詳解】取線段BC的中點E,則西+玩=2OD.

動點P滿足：W=~nn+￡7（方萬+,￡7>0,

則晶-晶=2出方

則方斤=2萬無

則直線AP一定通過"ABC的重心.

故選：C.

【變式i-i】3過?？诳?。內一點off作一條直線，再分別過頂點a口,a乍。a勺垂線垂足分別為a□,口,

若無+用+吊=施成立，則點潑口?？谥校?/p>

A.垂心B.重心C.外心D.內心

【答案】B

【分析】本題采用特殊位置法，將直線特殊為過三角形頂點，從而可得解.

【詳解】本題采用特殊位置法較為簡單.

因為過000〃內一點Off作一條直線，可將此直線特殊為過點A,則用=力,有歷+用=5

如圖：

則有直線AM經過BC的中點，

同理可得直線BM經過AC的中點，直線CM經過AB的中點，

所以點。是。的重心，

故選B.

【點睛】本題主要考查了向量在三角形中的應用，采用了特殊位置法，屬于難題.

【變式1-1】4.（2023?全國?高一專題練習）已知。點在△￡700所在的平面內，滿足用=云+

0（袤J+滂祟R（OeD）,則動點5勺軌跡一定通過^□口曲（）

\LJU\s\nU|Z_7Z_/|sinL/

A.內心B.垂心C.外心D.重心

【答案】D

【分析】由給定條件可得|西sin。=|運sin。，由歷萬■示出萬樂阿判斷作答.

【詳解】令^□□迎BC上的高為h，則有|西sinO=|OOlsinO=h.，令邊BC的中點為D,則用+

因此，無=無一無=0（■牛+牛）=早（無+運）=年無，即萬包后萬，

所以動點勺軌跡一定通過仆OOO的重心.

故選：D

【變式1-1】5.侈選）（2021春?高一課時練習）（多選）平面上點P與不共線的三點A、B、C滿足關系：

W+W+W='DD,則下列結論錯誤的是（）

A.P在CA上，且晶=2HD

B.P在AB上，且200

C.P在BC上，且歷=2比

D.P點為△口口并重心

【答案】BCD

【分析】利用向量的線性運算化簡，即可得到結論

【詳解】由無+晶+方方=晶，則方方+無=無一無，即無+歷=用，得寶=

2W,

則有近/云，所以P在CA上，A選項正確，BCD選項錯誤.

故選：BCD

?類型2重心的應用一參數(shù)取值

【例題1-2】（2023春?湖北武漢?高一華中科技大學附屬中學校聯(lián)考期中）已知G是AABC的重心，若晶=

口^方+ZZj無QZ7eR））則0-20=（）

A.-1B.1C.lD.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形重心的定義和向量的線性運算進行解決.

【詳解】由題意，畫圖如下：

A

由重心的定義，可知：

.一?O?1?O1/"—■，."，?illII>\d■■?1'I

□□=%□□=4Z7Z7)=5□□+5口□.

則。-2￡7=g-2xg=-g.

故選：D.

【變式1-2]1.(2023春?江蘇鹽城?高一?？计谥?在平行四邊形口。S中，功△口。中)重心玩=

ZD^+則30+￡7=()

5

AB2CD

3-

【答案】C

【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質，得到線段的比例關系，利用平面向量的運算，可得答案.

【詳解】如圖，設?？谂cOOffi交于點曲XZ7OG］重心，

可得皿OOB勺中點，口口=2□口,

歷=定+歷=①+!正=無+：用=：（無+^）+3（晶-^）=!比+|歷

可得O=gQ=：,3D+D=g;

故選：C

【變式1-2】2（2023春?安徽宿州?高一統(tǒng)考期中月知4重心為口若向量用=方方,

則0=()

【答案】A

【分析】由三角形法則和平行四邊形法則求解即可.

【詳解】由三角形法則和平行四邊形法則可得

OO=W+OO=W+1x|(OO+W)=-|^+5^<則。=-|.

故選：A

【變式1-2】3.(2023?全國專題練習)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB,

AC兩邊交于M,N兩點，設)<無=方方，丫無=方方，則$的值為()

A.3B.4

C.5D.6

【答案】A

【分析】由向量共線的推論知晶=DDD+(1-￡7)OOao<Z7<1,結合已知有歷=0000+

0(1-再由重心的性質有用萬方+藥,根據(jù)平面向量基本定理列方程組即可求值.

【詳解】由題意用=-n)Wao<n<1,而><用=云，yoo=W,

所以用=DDDD+0(1-D)DD,

又G是“kBC的重心，故吊=|x“方斤+西=家方方+用，

(□□二

所以31,可得擊+*=1,即g+《=3.

1/7(1-=\

故選：A

【變式1-2]4.(2023春?江西贛州?高一校聯(lián)考期中汝口圖，記△內角。，D,可對邊分別為。,

EJ,U,3sin2ZZ7+3sin2ZZ7+2sin/ZfeinZ7=3sin2ZZZ

⑴求cos/7;

（2）若口班邊口入的中線f&0口。的重心，口以。口世外心，且晶.吊=嗯,口=3口,

求。.

【答案】（1）一：

。）。=1

【分析】（1）由題意及正弦定理得34+34+2□口=3ZJ2,然后利用余弦定理求出cosZ7

（2）作口Z271口口，得出用.歷=g|萬萬pOO=1|O^|2，從而得至!|歷.無=―而2+

的8+!方君由題意得口=2w口,最后求出a

66

【詳解】（1）由題意及正弦定理得3U2++200=34，

即d+萬-￡^=-|?！?,

由余弦定理得cos￡7=與茅=-j.

（2）如圖，過點。作口方氤口.

因為口為4外心，所以U為Z7O的中點，

則￡7/j.口由=|口61U[j\COSN□□口=|口61口向=^|ZZ7ZZ7|2,

同理。力?□口=|Z7Zj||Z7/7|cosz￡7ZZ7￡7=^|￡7￡7|2.

因為a為A的重心，

所以晶=|用二|G無+g西=:方方+：方方，

___-?-+，24'*"42，-?

又□□=□□-□□='□□+'□□-no,

,1■■■■?......，.......，/1.......,,1.......?.......,、??■?一?一>2《...?-1,,,>4....1.......?

所以￡7ZZ7?□□=□□-《□□吟□□-DD）=-□□□□心□□.□□

----->21------>21----->2

=一□□+不□□+不□□

66

由￡7=30,3仃+3D2+200=3U，得0=275/7.

由cos￡7=—g,得sin匚7=誓,

因為皿△加外心,所以Z7孕A。。夕卜接圓的半徑網口口=號=半口,

2smL78

JllJOO--:DD+-Z7￡^+-OO=--^+-^+-￡^=--/^=--,

AJ6632662424’

得。=1.

?類型3重心的應用二數(shù)量積

【例題L3I2023春?山東棗莊?高一滕州市第一中學新校校考階段練習圮知△口?？谕饨訄A圓心為0,

牛4OZZ7Z品勺重心目|市目=4,|OO|=6貝!]方方.（無+no）=

【答案】卷

【分析】由三角形重心及外心的性質即可得出結果.

【詳解】如圖所示,取。B點Z7,過口作□□[□□,□□工,則以□是□□、中點.

勺重心,.-.on+no=2力=|比=*無+^5),

2

W-oo=-|oo|??七卜cos乙□□口=_曰^|2,同理用.云=_2|-^n|(

故無.(DU+W)=1.W-(W+W)=-1(|oq2+|W|2)=-§=-f

A

EL\\V

/乂。

故答案為：-g

【點睛】結論點睛：

(1)三角形的重心是三角形三條中線的交點，且是中線的三等分點(靠中點近)，即無=((方方+DD)=

2□白、

22

(2)三角形的外心是三角形三條中垂線的交點，即有用京二三|日m加二;|W|,W-

W=1|W|2.

?類型4重心的應用三角度相關

【例題1-4］在4口口8,角。，口,U所對的邊分別為。，u,D,叨。的外心，口為oa邊

上的中點，□=4,,口口=5,sin/Z7+sin￡7-4sin￡7=0,貝！Jcos￡7=()

A.§B4C.JD.4

2248

【答案】C

【分析】根據(jù)玩=★百萬+西化簡歷?百方=河得孚+孝=5,代入O=4,所以D=2,

再根據(jù)正弦定理化簡sinO+sin。-4sinZ7=何得。=4,進而根據(jù)余弦定理可得cos￡7

A

BDC

【詳解】E

由題意，抽△口口□的外心上的中點，可得:W=^（OO+~OU），因為歷?云=5,

可得：歷V（京=1歷+=（歷=5?又用.歷^.歷=

-pD，所以有孚+手=5即§+g=5，因為。=4，所以。=2，又因為sin￡7+sin。一

4sin￡7=0,所以40-口=口口=4,由余弦定理：cos￡7=岑/=；

故選：C.

?類型5重心的應用四面積問題

【例題1-5】（2023春?吉林?高一東北師大附中?？茧A段練習）已知A、B、C是平面上不共線的三點，。

是AABC的重心，點P滿足用=（萬斤+!無+:無，貝必ACO與4BP面積比為（）

OOO

A.5:6B.3:4C,2:3D.1:2

【答案】D

【分析】利用重心的性質和已知線性關系可得2晶=晶，故P為0A中點，進而可得面積比.

【詳解】由。是AABC的重心，得無+用+晶=6,而無=（無+（方方+（方方，

O0O

所以點P為0A中點，即點P、點。為BC邊中線的兩個三等分點，

/21/—>1r—t2

所以=§x5□"□□口-□足□□口<口□口-§□口口'

所以AACO與ACBP面積比為1:2.

故選：D

【變式1-5】（2023?廣東廣州?廣州市第二中學?？寄M預測）已知0是小SB）外心，口口=6,□□:

10,若方方=/JDD+/2a2ZZ7+100=5,貝必Z7O小勺面積為_.

【答案】20企或24

【分析】根據(jù)外心特點可知歷?云=g畝,OO-市=g帚，利用向量數(shù)量積的定義和運算律,

結合20+10/7=5可構造方程組求得cos￡7,進而得到sinO,利用三角形面積公式可求得結果.

【詳解】%△UUlJm心，□□=0￡7L7=1O,

22

18,OO-=50,

,□口=1口□□+□□山?□□=□□口+□□□,口□=36口+60ZZfcosZZ7=18,

即60+10￡7cos￡7=3;①

,___.r___,____,___?___>2

,口□=(□□□+?□□=□□□?□□+□□□=60ZjbosLJ+100。=50,

即6ZZAx)s〃+10Z7=5;②

由2。+10￡7=5得10。=5-2。，③

1

-

4

把③代入①②得胃7=3,解得3

Q-

I6Z.7cosZ_7+5—2LJ—5-5

又口e(0,TT),

當cosO=孑寸，sin〃=竽，□△□□□=%□□?O%nD=；x6x10x等=20底;

當cos￡7=|時,sin/Z7=:,口△□□口=g□□,DUsinU=^x6x10x^=24.

故答案為：20夜或24.

?類型6重心的應用五其他問題

【例題1-6](多選X2023春?湖南?臨澧縣第一中學校聯(lián)考期中)如圖，已知口□,口企別是4□□口

的三條中線，型△?？诹可字匦?，設口為4￡7￡7。所在平面上任意一點，貝！J()

A

A.Z7ZZ7+LJLJ+￡7/j=OB.DLJ+LJIJ+ULJ=LJLJ

c.WD.W-oo+oo-W+W-oo=o

【答案】ACD

【分析】根據(jù)三角形重心的性質，結合向量的分解即可判斷.

【詳解】對于A選項，注意到。。=2口□,因此用=2DD=方斤+W,

從而用+OO+無=6,故A正確；

對于B選項，由晶+W+歷=日可得

□由一□□+□白-□白+□白-□白=0,

即百方+00+00=3DH,故B錯誤；

對于C選項，00+00=2DD,

相加即得方斤+方斤+萬斤=方斤+濟+~on,故C正確；

對于D選項，2oo-oo==W-W+oo-

同理2方方?~DD=方萬.~DD+~aa-方方,

2W-W=00-00+0^-00,

三式相加即得方方?~DD+~DD-W+W-W=0,故D正確.

故選:ACD.

【變式1-6】1.（多選）（2023春?安徽阜陽?高一?？计谥校┮阎c。是4OO5勺重心，則下列說法中正

確的有（）

A.IJD+DD+己口=OB.己□晨\己口+6叫

C.d口=；舊口+員7）D.DD+慶7=4員7+

【答案】AB

【分析】利用重心的性質，結合圖形可解.

【詳解】記D為BC中點，則。為AD靠近點D的三等分點

因為員7+/JD=2DD,/JD=-2/J/J,所以員7+LJD+6口=6,A正確；

又日口+臺口=26口力口=三6口,所以“萬萬+萬口）=萬Z,B正確，C錯誤；

又萬3+萬Z=2萬匕員7+萬Z=2&7=6萬Z,所以萬Z+蘇D=；（萬Z+萬口），故D錯誤.

故選：AB

【變式1-6]2.（多選）（2023春江蘇揚州?高一揚州中學?？茧A段練習）口是△OZ7O0勺重心，口口=

2,￡70=4,乙口口口=120°,口是△OOO所在平面內的一點，則下列結論正確的是（）

A.W+W+W=o

B.百斤在配方向上的投影等于2

C.歷?①=g

D.晶?（無+量的最小值為-1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)重心的性質、f向量在另f向量方向上投影的概念、數(shù)量積的運算性質，逐項判斷即可.

【詳解】對于A,設AB的中點為M,則無+~DD=2晶=方力故原式=方方+晶=6,故A正確；

對于B,因為\口口=4/□□□=120°,所以用在無方向上的投影等于|用cos120°=4x

(-g)=-2,故B錯誤；

對于C,設。。中點為口則用?方方=(W+-(DD-~5a)=OO-~DD=OO-1,

而|OZZ7|2=|Z7￡7|2+|Z7Z7|2-2|Z7￡7|■、口4-cos120°=1+16-2x1x4x(一；)=21，故\UD\=

V21,

所以|￡7O|==苧，從而可得晶?~UD=—1=g,故~DD-~DD=—押C正確；

對于D,設口。中點0,AO中點為□,則

___t,,,,,,,___t?t,2

□□?(□□+LJEJ)=□□.(□□+ZZ7ZZ7)=,2□口—2(ZZ7ZZ7+LJCJ)?(□□—LJCJ)—2LJLJ—

2UD

=2畝一：畝2—g畝，(當P與Q重合時最小).

而故+=3

,故00.(00+OO)>-|,故D正確.

故選:ACD.

【變式1-6]3.（四川省達州市2023屆數(shù)學（理科）試題）如圖，在4□□講,￡7/7=3,乙□□□=/

歷?晶=18,平面027。內的點￡7、OS直線側,△口口口與x0口中是以￡7為直角頂點的

等腰直角三角形，口、4分別是△□□□、△口。06勺重心.則。14=（）

o2

A.V26B.3V3C.5D.6

【答案】A

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得OO,求出。&、口口2、乙口1口口2，利用余弦定理可求得。14

的長.

【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得士?歷=|西.|nqcos^=^|w|=18,解得=

6V2,

延長Z74交OZ7于點Z7,延長交于點。，則以2分別為口。型中點，

因為△口□□、△口。磔是以點％直角頂點的等腰直角三角形，目口口=3,口口=6及,

所以，□□=△□□=30,口口=隹口口=^2.腳□□=三口口=當,□□=三口口=6,

因為a、□扮那是△□□□、△〃〃中］重心，

則￡74=|00="苧=遮，口口2=4口口=4,

改為乙□□□=；乙□□□=,同理可得NOO￡7=?,

所以，N&口口2=乙□□□+乙□□□+￡□□□黨,

由余弦定理可得01——ZZZZZ^+ZZ7/Z^—2口口、■ZZZZZZjCOS—=2+16—2xV2x4x=26,

因此,口\口2=V26.

故選：A.

?類型7重心與最值

【例題1-7]在四邊形中,%△口/7%）重心，口□=2'點。在線段口O上,則歷?

（W+W+時的最小值為（）

A.—3B.—2C.—1D.0

【答案】A

【分析】首先根據(jù)平面向量的加法幾何意義，三角形重心的性質和平面數(shù)量積的概念得到京?（濟+

用+翦=-5|W|?|西,再利用基本不等式性質即可得到答案.

【詳解】如圖所示：

因為吊=歷+方與晶=歷+無晶=歷+用，

所以濟+萬萬+方方=300,

于是有用?（用+云+方方）=3OC-~DD=-5|OO|-|W|,

又|西?|西<（I因產）=1,當且僅當|西=|曰=對取等號,

所以晶?（吊+京+^）=3oa-~aa>-3.

故選：A

【變式1-7]1.（2023春?廣東深圳?高一?？计谥校┻^加重心二勺直線啰別交線段O&OO于

點a〃，若用=防萬萬方=防方，則20+中）最小值為（）

AJ+等B.3+2V2

25

c+23V2D

3-

【答案】A

【分析】利用重心的性質及已知用宓方加示出灰，再由，a儂線得++*=1,最后應用基本

不等式"1"的代換求最值，注意取值條件.

【詳解】如下圖，若為口。中點，又ADOU的重心o,則a口,儂線，且方方=彳萬方，

而萬方=；方方+；方方=+方方+右方方,又aa儂線，

所以?百甘=士可甘+上與甘,即萬方=上方萬+工方方，則工+工=1,

尸〃“22￡72￡7，口3￡73D1AJ3Z730，

故20+O=120+。弓+》="3+*號）*（3+=等,

當且僅當口=遮口，即0=竽,口=等時等號成立.

63

故選：A

【變式1-7】2.（2023春?陜西西安?高一西安市鐵一中學?？计谥校┤鐖D，已知點。是△口口蜜勺重心，

若0as△重心￡7,且無=斤，~DD=D,~DD=CD,OO=￡70（D>0,￡7>0）,試

求0+2中最小值.

【分析】根據(jù)重心的幾何性質和三點共線的向量表示，依據(jù)線段長的比例進行運算即可.

【詳解】,:□是400并重心，二口理03上的中線，口口=2口口,

.-.nD=^(pD+DD)=^(n+n),

二用號云=知(斤+中=睜+可，

又???云=no,~DD=[jQ{￡7>0,口>0),.,.斤云，n=^OD,

,-.W=1(0+0)=1(100+^DD)=*+了,

又???〃，口,W點共線，

+—=1.

3￡73D

又二,〃>0,0,?,?由基本不等式,有

口+2口=(口+2口位+*=1+券+1+2擺xQ1+竽,

當且僅當券=品，即。=華，。=半時，等號成立，

3口3036

.??。+2療勺最小值為1+手

【變式1-7】3.(2023春?山西運城?高一康杰中學校考階段練習)已知點。是△?？谥兄匦?，過點乍

直線與口a。。兩邊分別交于兩點，且比=IJDD,~DD=由電(口>0,口>0),則。2+4

最小值是_________.

【答案】1/4.5

【分析】由重心性質得歷=|方方="比+方。=§方方+3品，由三點共線得0+0=3,然

后由基本不等式求得最小值即可.

【詳解】延長。。交￡70于O,則〃是￡7￡7中點，

OO=|OO=2(OT+=yW+yW,

又aD,，三點共線，所以另+g=1,所以。+。=3,

所以^+4=[^+4+爐+萬)？“爐+爐+2DD)>i(O+。2=/

當且僅當。=。=I時等號成立，所以行+仃的最小值是I.

故答案為：I.

【變式1-7]4.（2023春河南濮陽?高一濮陽一高?？计谥校┤鐖D，過AABC的重心乍一線，分別

交邊口￡7,口方點、口,口（不含端點），若晶=ODD,~DD=DUD,￡7>0,口>0,記^ADE,

△ABC,SDG,"EG的面積分別為&,4,4,4,試探究：

（2）用口分別表示舁，§,并且求出球的最小值.

l_J2LJqLJA

【答案】⑴3

磴=名，6（〉。赍警M+苧

【分析】（1）設出基底，由。，口,片點共線的基本性質,利用共線向量的性質列出等式，求出g+Jep

可；

（2）利用三角形重心的性質，三角形面積比的基本模型即可表示出舞,圣,利用換元法及不等式的性質求

出最小值.

【詳解】（1）設方方=aDD=D,則向量用=|用=乂方+藥,

由Z7,O,片點共線，可設歷=方方，則用一歷=0（方方—方⑦，

即X方+同一用=0（方方一￡70）,整理得《一Z7+Z7￡7）O=（□□一瓶,

可得g-O+□□=□□-5=0,

消去Of導￡+$=3,其中￡7,□吟,1）.

（2）卻器焉=也=名,?。ǎ?）

由口^△Z7OU的重心，可得△□□□、△□□□、△。口。B勺面積相等，

所以小一=。，方且一=1一。，

口△口口口口3口口口

口3_B□-1）

口42ZZ7—1

令口=2Z7—1e（0,1）,則管=（弋產）=乂3￡7+￡+4”1+苧，

當且僅當口=?，即0=；+R時，第最小值1+y.

題型2外心

【方法總結】

（1）口是X□□邙\~心0\OL]\=\DL]\=\D^,

（2）若口是》□□邙卜心,貝（Jsin2ZZ7ZZ7￡7+sin2ZZ7ZZ7ZZ7+Win2□□□=~0.

（3）若口是X□□邙卜心,則對于平面內任意點口，均有：歷=就需無+君磊晶+

2sinLjsinZ-J2sinZJsin/_/

cosgUP

zfeinLfein/7

?類型1外心的判定

【例題2-1】（2023?高一課時練習）已知P在△。。小斤在平面內，滿足|西=|西=|西，則P是

△□□曲（）

A.外心B.內心C.垂心D.重心

【答案】A

【分析】由向量模的定義結合三角形的四心定義判斷.

【詳解】|西=|on|=|再表示口,￡7三點距離相等，。為外心.

故選：A.

【變式2-1】1(2023?廣東佛山?佛山一中?？家荒??￡△口口內設^^=2DD-(W-W),

那么動點5勺軌跡必通過△口□闔()

A.垂心B.內心C.重心D.外心

【答案】D

【分析】設線段。。的中點為。，推導出口□,結合外心的定義可得出結論.

【詳解】設線段。中)中點為O,則比方日互為相反向量，

所以，~DD^~DD=(OO+~nn)+(on+~HD)=2DD+(DD+,

因為=2DD-{pa-,即-(UU-~DD)=2DD-,

所以，~DS)-(W-~DD)=200-~DD,即2萬方.云=2晶.方力，

gpW-(W-W)=W-nn=o,即。01口口,

所以，。。垂直且平分線段?？冢?/p>

因此動點木軌跡是勺垂直平分線，必通過△口口/jm心.

故選：D.

【變式2-1]2.(2023秋?江蘇?統(tǒng)考期末)△□□儻,0％口式邊上的高且無=3晶，動點◎茜足

W-W=,則點。的軌跡一定過4DUU^()

A.外心B.內心C.垂心D.重心

【答案】A

【分析】設i〃a=4。，=n,以%原點，配用方向為以a由正方向建立空間直角坐標

系，根據(jù)已知得出點a□,并坐標，沒口(口,D),根據(jù)歷?百斤=加列式得出點2勺軌跡方程為

口=一口，即可根據(jù)三角形四心的性質得出答案.

【詳解】設\UU\=4□八口口=U,

以a為原點，向、配方向為口以由正方向如圖建立空間直角坐標系，

v口口=3口□,

|ZZ7ZZ7]=3ZZ7,|￡7/27|=口、

則0（0,0）,。（—3a0）,Z7（ao）,口,則晶=（4￡7,0）,

設口（口,口,則晶=（口，口-口,

..,一?-1

???,

：??□□=T4a）2,gp/7=-n,

即點中軌跡方程為口=-□,

而直線口=-。平分線段口。