高考數(shù)學一輪復習考點微專題(新高考地區(qū)專用)考向22解三角形(重點)(原卷版+解析)

考向22解三角形【2022·全國·高考真題（理）】記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【解析】(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.【2022·全國·高考真題】記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．解答三角高考題的策略：（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”．（2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系．（3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉化．兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應用的實例．另外，利用正弦定理解三角形時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解．1．方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解2．在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）2．相關應用（1）正弦定理的應用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（2）內角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內角成等差數(shù)列．3．實際應用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．1．(2023·青?！つM預測（理））在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC的面積為時，k的最大值是（

）A．2 B． C．4 D．2．(2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，則的最小值為______．4．(2023·上海·位育中學模擬預測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點處各有一個水聲監(jiān)測點，兩點到點的距離分別為20千米和50千米．某時刻，收到發(fā)自靜止目標的一個聲波信號，8秒后同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是千米/秒．（1）設到的距離為千米，用表示到的距離，并求的值；（2）求靜止目標到海防警戒線的距離．（結果精確到千米）．5．(2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．（1）求角B；（2）若，，D為AC邊的中點，求的面積．6．(2023·河南省杞縣高中模擬預測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）若，，求的面積．7．(2023·全國·高三專題練習）在中，內角對應的邊分別為，，向量與向量互相垂直．（1）求的面積；（2）若，求的值．1．(2023·全國·高三專題練習）已知在中，，則等于（

）A． B． C．或 D．2．(2023·河南·南陽中學模擬預測（文））中，若，點E滿足，直線CE與直線AB相交于點D，則CD的長（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形4．(2023·四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里5．（多選題）(2023·福建·福州三中高三階段練習）中，角的對邊分別為，且，以下四個命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．是中點，的最大值為3D．當時，的面積為6．（多選題）(2023·廣東·華南師大附中三模）已知圓錐的頂點為P，母線長為2，底面圓直徑為，A，B，C為底面圓周上的三個不同的動點，M為母線PC上一點，則下列說法正確的是（

）A．當A，B為底面圓直徑的兩個端點時，B．△PAB面積的最大值為C．當△PAB面積最大值時，三棱錐C-PAB的體積最大值為D．當AB為直徑且C為弧AB的中點時，的最小值為7．（多選題）(2023·河北·滄縣中學模擬預測）在中，三邊長分別為a，b，c，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．8．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））在中，為其外心，，若，則________．9．(2023·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學家阿基米德得出．若的周長為15，，則的面積為___________________．10．(2023·全國·高三專題練習（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最大值為______．11．(2023·遼寧·沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內的一泓碧水蜿蜒形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個標志性景點，如圖．若為測量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學任意選定了與、不共線的處，構成，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量、、；②測量、、；③測量、、；④測量、、．其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號是_____________．12．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，已知BC＝2，.(1)若，求BD的長；(2)若，且AB＝4，求AC的長.13．(2023·青海玉樹·高三階段練習（文））在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大?。?2)若，求．14．(2023·上海浦東新·二模）已知函數(shù)(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)當時，在中（所對的邊分別為、、），若，且的面積為，求的值．15．(2023·全國·高三專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．16．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值．17．(2023·上海金山·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大??；(2)若，證明：是直角三角形.18．(2023·湖南·湘潭一中高三階段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．19．(2023·上海黃浦·二模）某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長度為米，且．設（）．(1)當，時，求的長；（結果精確到米）(2)當時，求面積的最大值及此時的值．20．(2023·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最??？1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.4．(2023·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．5．(2023·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．6．(2023·上?！じ呖颊骖}）在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________7．（2023·全國·高考真題（理））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．8．(2023·全國·高考真題（理））記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．9．(2023·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．10．(2023·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．11．(2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．12．(2023·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．13．(2023·全國·高考真題（文））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：14．(2023·上海·高考真題）如圖，矩形ABCD區(qū)域內，D處有一棵古樹，為保護古樹，以D為圓心，DA為半徑劃定圓D作為保護區(qū)域，已知m，m，點E為AB上的動點，點F為CD上的動點，滿足EF與圓D相切.(1)若∠ADE，求EF的長；(2)當點E在AB的什么位置時，梯形FEBC的面積有最大值，最大面積為多少？（長度精確到0.1m，面積精確到0.01m2）15．（2023·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．16．（2023·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．17．（2023·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；18．（2023·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.1．答案：B【解析】由題意得，所以，又因為，所以，所以，其中，且，所以的取值范圍為，故選：B．2．答案：C【解析】△ABC中，，則又，則由，可得，代入則有，則，則又，則△ABC的形狀是等邊三角形故選：C3．答案：【解析】，則原等式為，由正弦定理得，，當且僅當時取等號．故答案為：．4．【解析】（1）根據(jù)題意可得：（千米），（千米），（千米），（千米），∵，則即，解得（2）在△中，，則設到的距離為（千米），則∴靜止目標到海防警戒線的距離為千米5．【解析】（1）由，有，兩邊同乘得，故，即．因為，所以A為銳角，，所以．又因為，所以．（2）在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．6．【解析】（1）因為，由正弦定理得，又，所以．因為，所以，所以，所以．（2）由余弦定理，得，即，因為，所以，所以7．【解析】（1）因為，解得，因為，所以，．有因為，所以，所以的面積．（2），所以．1．答案：C【解析】由正弦定理,得，因為，故或，故選：C2．答案：A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：設，，因為，所以，即，因為A、B、D三點共線，所以，解得：，所以，即因為AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以.故選：A3．答案：A【解析】由，得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以,所以為等腰直角三角形，故選：A4．答案：A【解析】由題意可知，所以，在中，由正弦定理得，得，在中，因為，所以，在中，由余弦定理得，故選：A5．（多選題）答案：BD【解析】以為原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，由，得，即，，化簡得：，即點在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點）.如圖所示：對于：以為圓心，為半徑作圓，記該圓與圓的交點為，則為直角三角形，錯誤；對于：由圖得面積的最大值為正確；對于是中點，的值為在上的投影與的積，又點在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點），故，錯誤；對于D：若，則，，正確.故選：BD6．（多選題）答案：ACD【解析】對于A，記圓錐底面圓心為O，，所以，所以，故A正確；對于B，設，則截面三角形的面積，故B不正確；對于C，由選項B中推理可知，此時，所以點C到AB的距離的最大值為，從而可知三棱錐C-PAB的體積最大值為，故C選項正確；對于D，由題意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，進而，記PC邊上的高為h（垂足為Q），則，所以，當M與Q重合時取等號，故D選項正確；故選：ACD．7．（多選題）答案：ABC【解析】對于A，，即，也就是，另一方面，在中，，則成立，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，邊長為的三角形，滿足，但，故D錯誤．故選：ABC．8．答案：【解析】設外接圓的半徑是，．設，則在等腰中，．所以．故答案為：.9．答案：【解析】解：可令將上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因為：解得：a=3，b=5，c=7.所以代入海倫公式解得：S=故答案為：10．答案：【解析】∵，∴，∴，當且僅當時等號成立，又，所以，∴.故答案為：．11．答案：②③【解析】對于①，由正弦定理可得，則，若且為銳角，則，此時有兩解，則也有兩解，此時也有兩解；對于②，若已知、，則確定，由正弦定理可知唯一確定；對于③，若已知、、，由余弦定理可得，則唯一確定；對于④，若已知、、，則不確定.故答案為：②③.12．【解析】(1)∵，∴.又∵，所以，∴在中，由正弦定理，可得，即BD的長為.(2)，∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，∴，可得，解得.∴AC的長為.13．【解析】(1)因為，所以，.又因為，所以.(2)因為，所以，即，所以，.因為，，所以，即..14．【解析】(1)任取

因為函數(shù)為偶函數(shù).所以

（法二：特值法，再驗證）由函數(shù)為偶函數(shù)知，（可取不同特殊值）得，t=0

又當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，

（法三：觀察法，需舉反例），時，函數(shù)為偶函數(shù)，

任選，則有

當時，舉反例，如，

此時為非奇非偶函數(shù)，所以，函數(shù)為偶函數(shù)時；(2)當時,，

由則有

由題意，

在中，，則．15．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．16．【解析】(1)由，可得，得，則，由于，所以．(2)由，可得，又，則，則，（當且僅當時等號成立）則，（當且僅當時等號成立）則，即面積的最大值為．17．【解析】(1)由正弦定理可知，，又在中，，即，為銳角，.(2)所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即為直角三角形.18．【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，整理得：，由余弦定理得：，而，解得，所以.(2)由（1）知，即，因為銳角三角形，即，解得，由正弦定理得：，則，當時，，，而，即，因此，，則，所以周長的取值范圍是.19．【解析】(1)在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的長約為米．(2)連接．由題意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．當，即時，取到最大值，最大值為．因此，當時，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米20．【解析】(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積(2)設，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因為，故要面積最小，則當，即，時面積取得最小值，即多大時，平行四邊形綠地占地面積最小1．答案：A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．答案：D【解析】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.3．答案：

【解析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.4．答案：.【解析】因為，所以．故答案為：.

5．答案：【解析】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.

6．答案：【解析】根據(jù)余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圓半徑為.故答案為:.7．答案：【解析】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.8．【解析】(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.9．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．10．【解析】(1)由于，，則．因為，由正弦定理知，則．(2)因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．11．【解析】(1)解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.12．【解析】(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；(2)由正弦定理得：，則，則，.13．【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．(2)由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．14．【解析】(1)設EF與圓D相切于對點，連接，則，則，所以直角與直角全等所以在直角中，在直角中，(2)設,，則，所以梯形的面積為當且當，即時取得等號，此時即當時，梯形的面積取得最小值則此時梯形FEBC的面積有最大值所以當時，梯形FEBC的面積有最大值,最大值為15．【解析】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.16．【解析】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故.17．【解析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.18．【解析】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構造輔助線利用相似的性質如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.考向22解三角形【2022·全國·高考真題（理）】記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【解析】(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.【2022·全國·高考真題】記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．解答三角高考題的策略：（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”．（2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系．（3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓剑偈共町惖霓D化．兩定理的形式、內容、證法及變形應用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應用的實例．另外，利用正弦定理解三角形時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解．1．方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解2．在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）2．相關應用（1）正弦定理的應用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（2）內角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內角成等差數(shù)列．3．實際應用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．1．(2023·青?！つM預測（理））在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC的面積為時，k的最大值是（

）A．2 B． C．4 D．答案：B【解析】由題意得，所以，又因為，所以，所以，其中，且，所以的取值范圍為，故選：B.2．(2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案：C【解析】△ABC中，，則又，則由，可得，代入則有，則，則又，則△ABC的形狀是等邊三角形故選：C3．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，則的最小值為______．答案：【解析】，則原等式為，由正弦定理得，，當且僅當時取等號．故答案為：.4．(2023·上?！の挥袑W模擬預測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點處各有一個水聲監(jiān)測點，兩點到點的距離分別為20千米和50千米.某時刻，收到發(fā)自靜止目標的一個聲波信號，8秒后同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是千米/秒.(1)設到的距離為千米，用表示到的距離，并求的值;(2)求靜止目標到海防警戒線的距離.(結果精確到千米).【解析】(1)根據(jù)題意可得：(千米),(千米),(千米),(千米),∵，則即，解得(2)在△中，，則設到的距離為(千米)，則∴靜止目標到海防警戒線的距離為千米5．(2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．(1)求角B；(2)若，，D為AC邊的中點，求的面積．【解析】(1)由，有，兩邊同乘得，故，即．因為，所以A為銳角，，所以．又因為，所以．(2)在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．6．(2023·河南省杞縣高中模擬預測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角A的大?。?2)若，，求的面積.【解析】(1)因為，由正弦定理得，又，所以．因為，所以，所以，所以．(2)由余弦定理，得，即，因為，所以，所以7．(2023·全國·高三專題練習）在中，內角對應的邊分別為，，向量與向量互相垂直.(1)求的面積；(2)若，求的值.【解析】(1)因為，解得，因為，所以，.有因為，所以，所以的面積.(2)，所以.1．(2023·全國·高三專題練習）已知在中，，則等于（

）A． B． C．或 D．答案：C【解析】由正弦定理,得，因為，故或，故選：C2．(2023·河南·南陽中學模擬預測（文））中，若，點E滿足，直線CE與直線AB相交于點D，則CD的長（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在△ABC中，由余弦定理得：設，，因為，所以，即，因為A、B、D三點共線，所以，解得：，所以，即因為AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因為，所以.故選：A3．(2023·全國·高三專題練習）在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若且，則是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形答案：A【解析】由，得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以,所以為等腰直角三角形，故選：A4．(2023·四川省宜賓市第四中學校模擬預測（文））如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里答案：A【解析】由題意可知，所以，在中，由正弦定理得，得，在中，因為，所以，在中，由余弦定理得，故選：A5．（多選題）(2023·福建·福州三中高三階段練習）中，角的對邊分別為，且，以下四個命題中正確的是（

）A．滿足條件的不可能是直角三角形B．面積的最大值為C．是中點，的最大值為3D．當時，的面積為答案：BD【解析】以為原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，由，得，即，，化簡得：，即點在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點）.如圖所示：對于：以為圓心，為半徑作圓，記該圓與圓的交點為，則為直角三角形，錯誤；對于：由圖得面積的最大值為正確；對于是中點，的值為在上的投影與的積，又點在以為圓心，以為半徑的圓上（除去兩點），故，錯誤；對于D：若，則，，正確.故選：BD6．（多選題）(2023·廣東·華南師大附中三模）已知圓錐的頂點為P，母線長為2，底面圓直徑為，A，B，C為底面圓周上的三個不同的動點，M為母線PC上一點，則下列說法正確的是（

）A．當A，B為底面圓直徑的兩個端點時，B．△PAB面積的最大值為C．當△PAB面積最大值時，三棱錐C-PAB的體積最大值為D．當AB為直徑且C為弧AB的中點時，的最小值為答案：ACD【解析】對于A，記圓錐底面圓心為O，，所以，所以，故A正確；對于B，設，則截面三角形的面積，故B不正確；對于C，由選項B中推理可知，此時，所以點C到AB的距離的最大值為，從而可知三棱錐C-PAB的體積最大值為，故C選項正確；對于D，由題意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，進而，記PC邊上的高為h（垂足為Q），則，所以，當M與Q重合時取等號，故D選項正確；故選：ACD．7．（多選題）(2023·河北·滄縣中學模擬預測）在中，三邊長分別為a，b，c，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】對于A，，即，也就是，另一方面，在中，，則成立，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，邊長為的三角形，滿足，但，故D錯誤．故選：ABC．8．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））在中，為其外心，，若，則________．答案：【解析】設外接圓的半徑是，．設，則在等腰中，．所以．故答案為：.9．(2023·河北·高三期中）已知中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學家阿基米德得出．若的周長為15，，則的面積為___________________．答案：【解析】解：可令將上式相加：由此可解的：由正弦定理：又因為：解得：a=3，b=5，c=7.所以代入海倫公式解得：S=故答案為：10．(2023·全國·高三專題練習（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最大值為______．答案：【解析】∵，∴，∴，當且僅當時等號成立，又，所以，∴.故答案為：．11．(2023·遼寧·沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內的一泓碧水蜿蜒形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”．湖畔有秀湖閣和臨秀亭兩個標志性景點，如圖．若為測量隔湖相望的、兩地之間的距離，某同學任意選定了與、不共線的處，構成，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量、、；②測量、、；③測量、、；④測量、、．其中一定能唯一確定、兩地之間的距離的所有方案的序號是_____________．答案：②③【解析】對于①，由正弦定理可得，則，若且為銳角，則，此時有兩解，則也有兩解，此時也有兩解；對于②，若已知、，則確定，由正弦定理可知唯一確定；對于③，若已知、、，由余弦定理可得，則唯一確定；對于④，若已知、、，則不確定.故答案為：②③.12．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，已知BC＝2，.(1)若，求BD的長；(2)若，且AB＝4，求AC的長.【解析】(1)∵，∴.又∵，所以，∴在中，由正弦定理，可得，即BD的長為.(2)，∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，∴，可得，解得.∴AC的長為.13．(2023·青海玉樹·高三階段練習（文））在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大小；(2)若，求．【解析】(1)因為，所以，.又因為，所以.(2)因為，所以，即，所以，.因為，，所以，即..14．(2023·上海浦東新·二模）已知函數(shù)(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)當時，在中（所對的邊分別為、、），若，且的面積為，求的值．【解析】(1)任取

因為函數(shù)為偶函數(shù).所以

（法二：特值法，再驗證）由函數(shù)為偶函數(shù)知，（可取不同特殊值）得，t=0

又當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，

（法三：觀察法，需舉反例），時，函數(shù)為偶函數(shù)，

任選，則有

當時，舉反例，如，

此時為非奇非偶函數(shù)，所以，函數(shù)為偶函數(shù)時；(2)當時,，

由則有

由題意，

在中，，則．15．(2023·全國·高三專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．16．(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值．【解析】(1)由，可得，得，則，由于，所以．(2)由，可得，又，則，則，（當且僅當時等號成立）則，（當且僅當時等號成立）則，即面積的最大值為．17．(2023·上海金山·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大?。?2)若，證明：是直角三角形.【解析】(1)由正弦定理可知，，又在中，，即，為銳角，.(2)所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即為直角三角形.18．(2023·湖南·湘潭一中高三階段練習）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，整理得：，由余弦定理得：，而，解得，所以.(2)由（1）知，即，因為銳角三角形，即，解得，由正弦定理得：，則，當時，，，而，即，因此，，則，所以周長的取值范圍是.19．(2023·上海黃浦·二模）某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長度為米，且．設（）．(1)當，時，求的長；（結果精確到米）(2)當時，求面積的最大值及此時的值．【解析】(1)在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的長約為米．(2)連接．由題意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．當，即時，取到最大值，最大值為．因此，當時，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米20．(2023·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最??？【解析】(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積(2)設，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因為，故要面積最小，則當，即，時面積取得最小值，即多大時，平行四邊形綠地占地面積最小1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距答案：A【解析】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3答案：D【解析】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.3．（2023·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.答案：

【解析】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.4．(2023·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．答案：.【解析】因為，所以．故答案為：.

5．(2023·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．答案：【解析】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.

6．(2023·上?！じ呖颊骖}）在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________答案：【解析】根據(jù)余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圓半徑為.故答案為:.7．（2023·全國·高考真題（理））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．答案：【解析】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.8．(2023·全國·高考真題（理））記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【解析】(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.9．(2023·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．10．(2023·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解析】(1)由于，，則．因為，由正弦定理知，則．(2)因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．11．(2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【解析】(1)解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.12．(2023·全國·高考真題）記的內角A，B