【寒假自學(xué)課】蘇教版2024年高一數(shù)學(xué)寒假第03講函數(shù)概念與性質(zhì)以及函數(shù)應(yīng)用(原卷版+解析)

第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)以及函數(shù)應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)習(xí)用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù)概念．2、通過(guò)函數(shù)的不同表示方法加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)．3、學(xué)習(xí)用精確的符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)性質(zhì)的方法，并通過(guò)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)函數(shù)研究函數(shù)的基本內(nèi)容、過(guò)程和方法．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念考點(diǎn)二：定義域考點(diǎn)三：值域考點(diǎn)四：函數(shù)的表示考點(diǎn)五：?jiǎn)握{(diào)性考點(diǎn)六：奇偶性考點(diǎn)七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根考點(diǎn)八：二分法考點(diǎn)九：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（2）無(wú)窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)．列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫(xiě)函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開(kāi)方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒(méi)有具體解析式的函數(shù)類(lèi)型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)鍵是注意對(duì)應(yīng)法則．在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來(lái)表示．知識(shí)點(diǎn)四、函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．知識(shí)點(diǎn)五、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)六、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)七、函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋绻嬖?，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)八、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)九、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng)．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識(shí)點(diǎn)十、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．知識(shí)點(diǎn)十一：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩俸瘮?shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)十二：二分法1、二分法對(duì)于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度．知識(shí)點(diǎn)十三：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程2、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息．第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問(wèn)題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問(wèn)題作出解答．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念1．(2023·河南省浚縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．2．(2023·安徽省舒城曉天中學(xué)高一期中）下列四個(gè)式子中，y是x函數(shù)的是（

）A．=x B．y=C． D．3．(2023·北京廣渠門(mén)中學(xué)教育集團(tuán)高一期中）下列四組中的給出的兩個(gè)函數(shù)，為同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，考點(diǎn)二：定義域4．(2023·陜西·大荔縣教學(xué)研究室高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．(2023·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．6．(2023·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．考點(diǎn)三：值域7．(2023·上海徐匯·高一期末）函數(shù)的值域是________________．8．(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）函數(shù)的值域是______.9．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是___________.10．(2023·遼寧營(yíng)口·高一期末）為不超過(guò)的最大整數(shù)，若函數(shù)，，的值域?yàn)?，則的最大值為_(kāi)_____．考點(diǎn)四：函數(shù)的表示4．(2023·黑龍江·哈爾濱市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知是一次函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．5．(2023·北京十五中高一期中）若，則（

）A． B． C． D．6．(2023·山東菏澤·高一期中）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：?jiǎn)握{(diào)性12．(2023·福建·泉州七中高一期中）已知定義在的函數(shù)滿足：①對(duì)，，；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求，判斷并證明的單調(diào)性；(2)若，使得，對(duì)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)解關(guān)于的不等式.13．(2023·山東·濟(jì)寧市兗州區(qū)教學(xué)研究室高一期中）已知函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性．14．(2023·浙江省春暉中學(xué)高一期中）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在上的值域；(3)作出函數(shù)，的圖象．考點(diǎn)六：奇偶性20．(2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則的值為_(kāi)_______．15．(2023·山東棗莊·高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)寫(xiě)出函數(shù)的解析式；(2)寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間和值域（無(wú)需過(guò)程）．16．(2023·上?！とA師大二附中高一階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，且滿足下列三個(gè)條件：①在上為嚴(yán)格增函數(shù)；②；③對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有.(1)求的值；(2)從對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸兩方面討論的對(duì)稱(chēng)性，如果具有對(duì)稱(chēng)性，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心?一條對(duì)稱(chēng)軸，并給出證明；如果沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)解不等式：.17．(2023·福建三明·高一期中）已知函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；(3)解不等式.考點(diǎn)七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根7．(2023·廣東·雷州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．8．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．18．(2023·江西·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，且是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若，函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).19．(2023·上海師大附中高一階段練習(xí)）函數(shù)，，記，且為偶函數(shù).(1)求常數(shù)的值；(2)若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)八：二分法9．(2023·黑龍江·哈師大附中高一期中）用二分法求方程在內(nèi)的近似解時(shí)，記，若，，，，據(jù)此判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（

）A． B． C． D．10．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．11．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（誤差不超過(guò)）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，關(guān)于下一步的說(shuō)法正確的是（）A．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算考點(diǎn)九：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題20．(2023·湖南·新邵縣第八中學(xué)高一階段練習(xí)）2020年初，一場(chǎng)突如其來(lái)的“新冠肺炎”襲擊了我國(guó)，給人民的身體健康造成了很大的威脅，也造成了醫(yī)用物資的嚴(yán)重短缺，為此，某公司決定大量生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服.已知該公司生產(chǎn)防護(hù)服的固定成本為30萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件防護(hù)服需另投入40元.設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)件，且能全部售完.若每萬(wàn)件防護(hù)服的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且(1)求月利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入一成本）；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該公司可獲得最大利潤(rùn)，并求該公司月利潤(rùn)的最大值.21．(2023·山東棗莊·高一期中）設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，其中．如圖所示，把它沿對(duì)角線向折疊，折過(guò)去后交邊于點(diǎn)．設(shè)，．(1)將表示成的函數(shù)，并求定義域；(2)當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，的面積最大，并求出最大值．【真題演練】1．(2023·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．(2023·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．5．（2023·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.6．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.7．(2023·浙江·高考真題）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．8．(2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為_(kāi)_______；a的最大值為_(kāi)__________．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．(2023·山東棗莊·高一期中）我們知道：的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是為奇函數(shù)，若，則，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·山東棗莊·高一期中）函數(shù)，對(duì)且，，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B．C． D．3．(2023·上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）游泳池原有一定量的水．打開(kāi)進(jìn)水閥進(jìn)水，過(guò)了一段時(shí)間關(guān)閉進(jìn)水閥．再過(guò)一段時(shí)間打開(kāi)排水閥排水，直到水排完．已知進(jìn)水時(shí)的流量、排水時(shí)的流量各保持不變．用表示游泳池的水深，表示時(shí)間．下列各函數(shù)圖象中能反映所述情況的是（

）A． B．C． D．4．(2023·湖南·溆浦縣第一中學(xué)高一期中）定義在R上的偶函數(shù)滿足：在上單調(diào)遞減，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．0 C．2 D．46．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為（

）A． B． C． D．8．(2023·上?！とA師大二附中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①函數(shù)在是周期函數(shù)②函數(shù)在上嚴(yán)格增③函數(shù)在取得最大值0，且無(wú)最小值④若方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．(2023·廣東·雷州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根D．函數(shù)的定義域是10．(2023·陜西西安·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A．0 B． C． D．111．(2023·安徽省懷寧縣新安中學(xué)高一期中）對(duì)于定義在上的函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．若對(duì)，有，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)D．若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)12．(2023·廣東·惠州一中高一期中）一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱(chēng)為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱(chēng)為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”三、填空題13．(2023·廣東·珠海市第一中學(xué)高一期中）若是定義在上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.14．(2023·江蘇·鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)c的范圍是______.15．(2023·河北保定·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為和1，則的取值范圍為_(kāi)_____________.16．(2023·上?！とA師大二附中高一階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)?且是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,.函數(shù),則方程的所有的根之和為_(kāi)__________.四、解答題17．(2023·廣東·廣州思源學(xué)校高一期中）近年來(lái)大氣污染防治工作得到各級(jí)部門(mén)的重視，某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為，現(xiàn)為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為萬(wàn)元，除塵后當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，總成本.(1)求的值；(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬(wàn)元，試求除塵后日產(chǎn)量為多少時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？18．(2023·廣東·佛山市順德區(qū)東逸灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(3)由簡(jiǎn)圖指出函數(shù)的值域；19．(2023·上海師大附中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為.(1)求；(2)若，求及此時(shí)的最大值.20．(2023·江西·進(jìn)賢縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函數(shù)，且滿足21．(2023·廣東湛江·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，都有.當(dāng)時(shí)，，且.(1)求的值，并證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性，并證明；(3)若，求不等式的解集.22．(2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)求時(shí)，的解析式；(3)當(dāng)時(shí)，求方程的所有實(shí)根之和.（寫(xiě)出正確答案即可）第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)以及函數(shù)應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)習(xí)用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù)概念．2、通過(guò)函數(shù)的不同表示方法加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)．3、學(xué)習(xí)用精確的符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)性質(zhì)的方法，并通過(guò)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)函數(shù)研究函數(shù)的基本內(nèi)容、過(guò)程和方法．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念考點(diǎn)二：定義域考點(diǎn)三：值域考點(diǎn)四：函數(shù)的表示考點(diǎn)五：?jiǎn)握{(diào)性考點(diǎn)六：奇偶性考點(diǎn)七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根考點(diǎn)八：二分法考點(diǎn)九：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（2）無(wú)窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)．列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫(xiě)函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開(kāi)方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒(méi)有具體解析式的函數(shù)類(lèi)型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)鍵是注意對(duì)應(yīng)法則．在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來(lái)表示．知識(shí)點(diǎn)四、函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．知識(shí)點(diǎn)五、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)六、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)七、函數(shù)的最大（小）值1、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋绻嬖?，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)椋绻嬖?，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)八、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)九、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng)．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識(shí)點(diǎn)十、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．知識(shí)點(diǎn)十一：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩俸瘮?shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)十二：二分法1、二分法對(duì)于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度．知識(shí)點(diǎn)十三：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程2、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息．第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問(wèn)題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問(wèn)題作出解答．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念1．(2023·河南省浚縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由函數(shù)的概念：一個(gè)自變量，不能對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，對(duì)于選項(xiàng)D，時(shí)，對(duì)于一個(gè)自變量有兩個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這與函數(shù)的概念矛盾，故選：D.2．(2023·安徽省舒城曉天中學(xué)高一期中）下列四個(gè)式子中，y是x函數(shù)的是（

）A．=x B．y=C． D．答案：C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，定義域內(nèi)每個(gè)值按對(duì)應(yīng)法則不是唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，定義域?yàn)闊o(wú)解，所以不是函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，定義域?yàn)?，?duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)值都有唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)，C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值0，1與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C.3．(2023·北京廣渠門(mén)中學(xué)教育集團(tuán)高一期中）下列四組中的給出的兩個(gè)函數(shù)，為同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：D【解析】A：定義域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，顯然兩個(gè)函數(shù)解析式不一致，故A錯(cuò)誤；B：定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)解析式一致，故B錯(cuò)誤；C：定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)解析式一致，故C錯(cuò)誤；D：定義域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，并且，兩個(gè)函數(shù)解析式也一致，故D正確.故選：D.考點(diǎn)二：定義域4．(2023·陜西·大荔縣教學(xué)研究室高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可知：且，解得所以定義為，故選：D5．(2023·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，∴，則，即的定義域?yàn)?，由，得，∴的定義域是，故選：A6．(2023·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．答案：B【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．考點(diǎn)三：值域7．(2023·上海徐匯·高一期末）函數(shù)的值域是________________．答案：．【解析】，且，，，，，故函數(shù)的值域是．故答案為：8．(2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）函數(shù)的值域是______.答案：【解析】，，故答案為9．(2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是___________.答案：【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，解?故答案為：.10．(2023·遼寧營(yíng)口·高一期末）為不超過(guò)的最大整數(shù)，若函數(shù)，，的值域?yàn)椋瑒t的最大值為_(kāi)_____．答案：4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，的值域?yàn)?，所以最大取?，最小取到，所以的最大值為，故答案為：4考點(diǎn)四：函數(shù)的表示4．(2023·黑龍江·哈爾濱市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知是一次函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】依題意，設(shè)，則有，解得，所以.故選：D5．(2023·北京十五中高一期中）若，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令，則，所以，所以，故選:D.6．(2023·山東菏澤·高一期中）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】.故選：B.考點(diǎn)五：?jiǎn)握{(diào)性12．(2023·福建·泉州七中高一期中）已知定義在的函數(shù)滿足：①對(duì)，，；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求，判斷并證明的單調(diào)性；(2)若，使得，對(duì)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)解關(guān)于的不等式.【解析】（1）令，得，解得：；令，即，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，，所以在上的單調(diào)遞減；故單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.（2）由（1）知，時(shí)，單調(diào)遞減，又，則時(shí)，；因?yàn)?，使得，?duì)成立，所以，則，即對(duì)，成立；設(shè)（），則對(duì)，恒成立，即解得：或；故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）令，得，又知，即，所以；因?yàn)?，所以，；不等式等價(jià)于，即；又因?yàn)?，所以，故，則；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，①時(shí)，，解得或；②時(shí)，，解得或；③時(shí)，解得；④時(shí)，，解得；綜上所述：不等式的解集為：時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為.13．(2023·山東·濟(jì)寧市兗州區(qū)教學(xué)研究室高一期中）已知函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性．【解析】（1）由用代替x可得，，.，聯(lián)立方程，解得：.（2）證明：任取，且，.因?yàn)椋?，所以，，故，即，所以在上單調(diào)遞減.14．(2023·浙江省春暉中學(xué)高一期中）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在上的值域；(3)作出函數(shù)，的圖象．【解析】（1）證明．設(shè)，則，∵∴，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增（2）函數(shù)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在的值域?yàn)椋?）由（1）（2）可得，圖象如圖所示考點(diǎn)六：奇偶性20．(2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則的值為_(kāi)_______．答案：【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則有，解得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則有，則，所以恒成立，即，所以；故答案為：15．(2023·山東棗莊·高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)寫(xiě)出函數(shù)的解析式；(2)寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間和值域（無(wú)需過(guò)程）．【解析】（1）因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，則，，即時(shí)，．

故（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，，綜上可知函數(shù)的增區(qū)間是，，函數(shù)的值域?yàn)椋?6．(2023·上?！とA師大二附中高一階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)椋覞M足下列三個(gè)條件：①在上為嚴(yán)格增函數(shù)；②；③對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有.(1)求的值；(2)從對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸兩方面討論的對(duì)稱(chēng)性，如果具有對(duì)稱(chēng)性，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心?一條對(duì)稱(chēng)軸，并給出證明；如果沒(méi)有對(duì)稱(chēng)性，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)解不等式：.【解析】（1）由，令，得，所以，令，得，由，得；（2）令，得，即，所以是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，令，得，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）由，得，令，得，代入，得，因?yàn)樵谏蠟閲?yán)格增函數(shù)，所以，則，設(shè)，由和，得，即，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)，而在一個(gè)周期內(nèi)的解為，所以的解集為.17．(2023·福建三明·高一期中）已知函數(shù)定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；(3)解不等式.【解析】（1）由題意可知，，解得；經(jīng)檢驗(yàn)成立（2）由（1）可知，設(shè)，則，，，，，，即，在上單調(diào)遞增；（3）由，則，即，由（2）可知在上單調(diào)遞增，，解得，不等式的解集為.考點(diǎn)七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根7．(2023·廣東·雷州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)?，則，，，，.所以，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知存在x0∈1,2，有故選：B.8．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題知，在區(qū)間上有零點(diǎn)，令，所以在上有解，所以，在上有解，因?yàn)?，根?jù)滿足對(duì)勾函數(shù)特點(diǎn)，可作下圖由圖知在上單調(diào)遞增，所以的最小值為；的最大值為；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C18．(2023·江西·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，且是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若，函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】（1）由題意得的定義域?yàn)?，所以，得，得，?jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，即符合題意.（2）由題意得，令函數(shù)，任取，則，因?yàn)?，所以，得，則，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，.令，則，設(shè)函數(shù)，令，則或.當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，即有4個(gè)零點(diǎn).19．(2023·上海師大附中高一階段練習(xí)）函數(shù)，，記，且為偶函數(shù).(1)求常數(shù)的值；(2)若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意可知，，，為偶函數(shù)，，即，，，，.（2）由（1）得，條件，即：，，設(shè)，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立，，即；（3）依題意：，即僅有一解，則即，故設(shè)，依題意只有一個(gè)正實(shí)根.當(dāng)時(shí)，，（舍）當(dāng)時(shí)，方程有一正根，一負(fù)根，由，得.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的正根.由，得，即，其中，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)八：二分法9．(2023·黑龍江·哈師大附中高一期中）用二分法求方程在內(nèi)的近似解時(shí)，記，若，，，，據(jù)此判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在上有唯一零點(diǎn)，即，故，所以方程的根落在區(qū)間上，且為，對(duì)于ACD，易知選項(xiàng)中的區(qū)間與沒(méi)有交集，故不在ACD選項(xiàng)中的區(qū)間上，故ACD錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然滿足題意，故B正確.故選：B.10．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】四個(gè)圖像中，與x軸垂直的直線和圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以四個(gè)圖像都表示函數(shù)的圖像，對(duì)于A，函數(shù)圖像和x軸無(wú)交點(diǎn)，所以無(wú)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，D，函數(shù)圖像和x軸有交點(diǎn)，函數(shù)均有零點(diǎn)，但它們均是不變號(hào)零點(diǎn)，因此都不能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，且函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，并且其零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn).故選：C．11．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（誤差不超過(guò)）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，關(guān)于下一步的說(shuō)法正確的是（）A．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算答案：C【解析】，在內(nèi)有零點(diǎn)；，沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該繼續(xù)計(jì)算.故選：C.考點(diǎn)九：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題20．(2023·湖南·新邵縣第八中學(xué)高一階段練習(xí)）2020年初，一場(chǎng)突如其來(lái)的“新冠肺炎”襲擊了我國(guó)，給人民的身體健康造成了很大的威脅，也造成了醫(yī)用物資的嚴(yán)重短缺，為此，某公司決定大量生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服.已知該公司生產(chǎn)防護(hù)服的固定成本為30萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件防護(hù)服需另投入40元.設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬(wàn)件，且能全部售完.若每萬(wàn)件防護(hù)服的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且(1)求月利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入一成本）；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該公司可獲得最大利潤(rùn)，并求該公司月利潤(rùn)的最大值.【解析】（1）由題意得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故（2）當(dāng)時(shí)，在時(shí)最大，最大值，當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故在時(shí)最大，最大值，綜上，當(dāng)月產(chǎn)量萬(wàn)件時(shí)，該公司可獲得最大利潤(rùn)，月利潤(rùn)最大值為萬(wàn)元，21．(2023·山東棗莊·高一期中）設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，其中．如圖所示，把它沿對(duì)角線向折疊，折過(guò)去后交邊于點(diǎn)．設(shè)，．(1)將表示成的函數(shù)，并求定義域；(2)當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，的面積最大，并求出最大值．【解析】（1）根據(jù)題意，由，得，易知，故，故，又在中，則，即，整理得，又且，即且，故，所以，定義域?yàn)椋?）由（1）得的面積，令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故當(dāng)長(zhǎng)為時(shí)，面積最大，最大值為．【真題演練】1．(2023·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.2．（2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可得：，而，故.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意可得，對(duì)于A，不是奇函數(shù)；對(duì)于B，是奇函數(shù)；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)；對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù).故選：B4．(2023·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．答案：【解析】因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)?；故答案為?．（2023·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.答案：2【解析】，故，故答案為：2.6．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.答案：1【解析】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：17．(2023·浙江·高考真題）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．答案：

【解析】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.8．(2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為_(kāi)_______；a的最大值為_(kāi)__________．答案：

0（答案不唯一）

1【解析】若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．(2023·山東棗莊·高一期中）我們知道：的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是為奇函數(shù)，若，則，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】令，則則，所以為奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，故，且，所以.故選：A2．(2023·山東棗莊·高一期中）函數(shù)，對(duì)且，，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)閷?duì)且，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，所以，得.故選：B3．(2023·上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）游泳池原有一定量的水．打開(kāi)進(jìn)水閥進(jìn)水，過(guò)了一段時(shí)間關(guān)閉進(jìn)水閥．再過(guò)一段時(shí)間打開(kāi)排水閥排水，直到水排完．已知進(jìn)水時(shí)的流量、排水時(shí)的流量各保持不變．用表示游泳池的水深，表示時(shí)間．下列各函數(shù)圖象中能反映所述情況的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】游泳池原有一定量的水，故函數(shù)圖像不過(guò)原點(diǎn)，排除AC；再過(guò)一段時(shí)間打開(kāi)排水閥排水，故函數(shù)值有一段時(shí)間不變，排除B.故選：D4．(2023·湖南·溆浦縣第一中學(xué)高一期中）定義在R上的偶函數(shù)滿足：在上單調(diào)遞減，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)闉镽上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式可整理為，解得或.故選：B.5．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．0 C．2 D．4答案：A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，因此由，所以函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，因此，，于是，故選：A6．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D7．(2023·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，故選：B8．(2023·上海·華師大二附中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①函數(shù)在是周期函數(shù)②函數(shù)在上嚴(yán)格增③函數(shù)在取得最大值0，且無(wú)最小值④若方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】的圖像如圖所示:對(duì)于①,因?yàn)?,可得所以函數(shù)在上不是周期函數(shù),故①不正確;對(duì)于②,當(dāng),結(jié)合函數(shù)圖像可知,函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,故②正確;對(duì)于③,通過(guò)圖像可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且無(wú)最小值，故③正確;對(duì)于④,如圖所示,圖中兩條曲線對(duì)應(yīng)的分別為和,故方程為,有且只有兩個(gè)實(shí)根,則,故④正確.故選:C.二、多選題9．(2023·廣東·雷州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根D．函數(shù)的定義域是答案：BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A．函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B．時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C．由題可得是方程的一個(gè)根，時(shí)，（舍去），時(shí)，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D．由，得所以函數(shù)的定義域是，故D正確．故選：BCD．10．(2023·陜西西安·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)若方程有三個(gè)不