新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視專題6.1概率(必修)(精講精析篇)(原卷版+解析)

專題6.1概率（必修）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.結(jié)合隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)，考查對(duì)概率意義及基本性質(zhì)的理解，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合概率的意義及事件的概念，考查事件的關(guān)系及運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4．結(jié)合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計(jì)算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.事件與概率(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.(2)了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式.(2)會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

3.了解事件的獨(dú)立性.三、主干知識(shí)梳理1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．事件與集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系事件集合必然事件全集不可能事件空集(?)事件B包含于事件A(B?A)集合B包含于集合A(B?A)事件B與事件A相等(B＝A)集合B與集合A相等(B＝A)事件B與事件A的并事件(B∪A)集合B與集合A的并集(B∪A)事件B與事件A的交事件(B∩A)集合B與集合A的交集(B∩A)事件B與事件A互斥(B∩A＝?)集合B與集合A的交集為空集(B∩A＝?)事件A的對(duì)立事件集合A的補(bǔ)集(?UA)5．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(6)對(duì)于事件A與事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)--P(A∩B)6．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).8.事件的獨(dú)立性(1)對(duì)于事件、，若的發(fā)生與的發(fā)生互不影響，則稱、是相互獨(dú)立事件．(2)若與相互獨(dú)立，則與，與，與也都相互獨(dú)立．(3)若，則與相互獨(dú)立．二、真題展示1.（2023·江蘇高考真題）邏輯表達(dá)式等于（）A． B． C． D．2.（2023·全國高考真題（文））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8考點(diǎn)01隨機(jī)事件間的關(guān)系

【典例1】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）在200件產(chǎn)品中，192有件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級(jí)品；④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，至少一件是一級(jí)品．其中的隨機(jī)事件有（）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②【典例2】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）把紅、黃、藍(lán)3張卡片隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人1張，事件：“甲得紅卡”與事件：“乙得紅卡”是（）A．不可能事件 B．必然事件C．對(duì)立事件 D．互斥且不對(duì)立事件【典例3】（2023·全國）有下列說法：（1）某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點(diǎn)，他認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的．（2）某地氣象局預(yù)報(bào)，明天本地下雨概率為70%，由此認(rèn)為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨．（3）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是．（4）圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認(rèn)為一定有一次會(huì)摸到黑子．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．2 C．3 D．1【總結(jié)提升】1.判斷一個(gè)事件是隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機(jī)事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)．2.列舉試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的方法(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必須首先明確試驗(yàn)的條件；(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉所有可能的結(jié)果．可應(yīng)用畫樹形圖、列表等方法，這樣才能不重不漏地列舉出所有可能結(jié)果．3.判斷互斥事件、對(duì)立事件的2種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件（2）集合法：=1\*GB3①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．=2\*GB3②事件A的對(duì)立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集考點(diǎn)02隨機(jī)事件的頻率與概率【典例4】（2023·全國）下列說法正確的是（）A．任何事件的概率總是在，之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會(huì)穩(wěn)定于概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定【典例5】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是________.(填序號(hào))①頻率反映事件出現(xiàn)的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大?。虎谧鰊次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝；③含百分比的數(shù)是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離n次隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是脫離隨機(jī)試驗(yàn)的客觀值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.【總結(jié)提升】1.隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計(jì)的角度，通過計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算概率．2.隨機(jī)事件的頻率與概率的常見題型及解題策略(1)補(bǔ)全或列出頻率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一計(jì)數(shù)，寫出頻率．(2)由頻率估計(jì)概率．可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計(jì)概率．(3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值．可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．考點(diǎn)03互斥事件與對(duì)立事件的概率【典例6】(2023年全國卷Ⅲ文）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【典例7】【多選題】（2023·山東萊西·高一期末）甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，若甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則下列結(jié)論正確的為（）A．兩人都中靶的概率為0.72B．恰好有一人中靶的概率為0.18C．兩人都脫靶的概率為0.14D．恰好有一人脫靶的概率為0.26【典例8】（2023·天津一中高一期末）擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件（表示事件的對(duì)立事件）發(fā)生的概率為______.【典例9】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為，求：(1)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．【總結(jié)提升】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)考點(diǎn)04古典概型

【典例10】（2023·山東高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．【典例11】（2023年高考全國Ⅱ卷文）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為（）A． B．C． D．【規(guī)律方法】(1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于是否具有兩個(gè)特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，下列三類試驗(yàn)都不是古典概型；①基本事件個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②基本事件個(gè)數(shù)無限，但等可能．③基本事件個(gè)數(shù)無限，也不等可能．【易錯(cuò)提醒】確定基本事件空間可以采用“樹圖法”、“列表法”，要注意確定的基本事件不重不漏.考點(diǎn)05古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合【典例12】(2023·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．【典例13】(2023年文北京卷）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（Ⅱ）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；（Ⅲ）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）【典例14】(2023·北京文，17)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．【典例15】（2023·天津高考真題（文））2019年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.【典例16】（2023·湖北荊門外語學(xué)校）2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，避免外出是減少相互交叉感染最好的方式.全國大?中?小學(xué)生都開始了網(wǎng)上學(xué)習(xí).為了了解某校學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校隨機(jī)抽取了40位同學(xué)，記錄了他們每周的學(xué)習(xí)時(shí)間，其頻率分布直方圖如下：（1）求的值并估計(jì)該班學(xué)生每周學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）在該樣本中每周學(xué)習(xí)時(shí)間不少于50小時(shí)的同學(xué)中隨機(jī)的抽取兩人，其中這兩人來自不同的組的概率是多少？1.（2023·全國）下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中哪個(gè)是正確的（）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定D．頻率就是概率2．（2023·山東高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（）A． B． C． D．3．（2023·福建高一期末）已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對(duì)立，且，則（）A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.94.（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，就稱“甲、乙心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．5.（2023·山東高三其他）寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“—”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為（）A． B． C． D．6．（2023·貴州高二學(xué)業(yè)考試）若A，B為對(duì)立事件，則下列式子中成立的是（）A． B． C． D．7．（2023·眉山市東坡區(qū)永壽高級(jí)中學(xué)高二期中（文））從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C．“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”8．（2023·山東高二期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．9．（2023·河北高二月考）某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選一人參加數(shù)學(xué)競賽，抽取了近期兩人次數(shù)學(xué)考試的成績，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績(分)乙的成績(分)(1)若從甲、乙兩人中選出一人參加數(shù)學(xué)競賽，你認(rèn)為選誰合適?請(qǐng)說明理由.(2)若數(shù)學(xué)競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中有兩種答題方案：方案一：每人從道備選題中任意抽出道，若答對(duì)，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.方案二：每人從道備選題中任意抽出道，若至少答對(duì)其中道，則可參加復(fù)賽，否則被潤汰.已知學(xué)生甲、乙都只會(huì)道備選題中的道，那么你推薦的選手選擇哪種答題方條進(jìn)人復(fù)賽的可能性更大?并說明理由.10．（2023·遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)校高二期中（理））生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,甲機(jī)床的廢品率為0.04,乙機(jī)床的廢品率為0.05,從甲,乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件,求:(1)至少有1件廢品的概率;(2)恰有1件廢品的概率.專題6.1概率（必修）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.結(jié)合隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)，考查對(duì)概率意義及基本性質(zhì)的理解，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合概率的意義及事件的概念，考查事件的關(guān)系及運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．4．結(jié)合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率計(jì)算公式，凸顯數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.事件與概率(1)了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別.(2)了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式.(2)會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

3.了解事件的獨(dú)立性.三、主干知識(shí)梳理1．事件的分類確定事件必然事件在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件2．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．事件與集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系事件集合必然事件全集不可能事件空集(?)事件B包含于事件A(B?A)集合B包含于集合A(B?A)事件B與事件A相等(B＝A)集合B與集合A相等(B＝A)事件B與事件A的并事件(B∪A)集合B與集合A的并集(B∪A)事件B與事件A的交事件(B∩A)集合B與集合A的交集(B∩A)事件B與事件A互斥(B∩A＝?)集合B與集合A的交集為空集(B∩A＝?)事件A的對(duì)立事件集合A的補(bǔ)集(?UA)5．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(6)對(duì)于事件A與事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)--P(A∩B)6．基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)①有限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).8.事件的獨(dú)立性(1)對(duì)于事件、，若的發(fā)生與的發(fā)生互不影響，則稱、是相互獨(dú)立事件．(2)若與相互獨(dú)立，則與，與，與也都相互獨(dú)立．(3)若，則與相互獨(dú)立．二、真題展示1.（2023·江蘇高考真題）邏輯表達(dá)式等于（）A． B． C． D．答案：D分析：從集合角度去理解邏輯表達(dá)式【詳解】如圖，類似于，則類似于故選：D.2.（2023·全國高考真題（文））將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8答案：C分析：利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.考點(diǎn)01隨機(jī)事件間的關(guān)系

【典例1】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）在200件產(chǎn)品中，192有件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級(jí)品；④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，至少一件是一級(jí)品．其中的隨機(jī)事件有（）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②答案：A分析：按照隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的定義一一判斷.【詳解】由于在200件產(chǎn)品中，192有件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則①“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品”，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故是隨機(jī)事件．②“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品”，這件事根本不可能發(fā)生，故是不可能事件．③“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是一級(jí)品”，這件事可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故是隨機(jī)事件．④“在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級(jí)品的件數(shù)小于100”，是一定要發(fā)生的事件，故是必然事件故選：A．【典例2】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）把紅、黃、藍(lán)3張卡片隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人1張，事件：“甲得紅卡”與事件：“乙得紅卡”是（）A．不可能事件 B．必然事件C．對(duì)立事件 D．互斥且不對(duì)立事件答案：D分析：利用互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷即可【詳解】黑、紅、白3張卡片分給甲、乙、丙三人，每人一張，事件“甲分得紅卡”與“乙分得紅卡”不可能同時(shí)發(fā)生，但事件“甲分得紅卡”不發(fā)生時(shí)，事件“乙分得紅卡”有可能發(fā)生，有可能不發(fā)生，事件“甲分得紅牌卡”與“乙分得紅卡”是互斥但不對(duì)立事件．故選：D．【典例3】（2023·全國）有下列說法：（1）某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點(diǎn)，他認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的．（2）某地氣象局預(yù)報(bào)，明天本地下雨概率為70%，由此認(rèn)為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨．（3）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是．（4）圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認(rèn)為一定有一次會(huì)摸到黑子．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．2 C．3 D．1答案：D分析：某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是一樣，這枚骰子的質(zhì)地可能是不均勻的；天氣預(yù)報(bào)中下雨的概率是指要下雨的把握有多大；根據(jù)事件的隨機(jī)性，圍棋盒里棋子有放回抽樣，不一定有一次會(huì)摸到黑子.【詳解】由題意得：某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點(diǎn)，這枚骰子的質(zhì)地可能是不均勻的，故（1）不正確；某地氣象局預(yù)報(bào)，明天本地下雨概率為，是指要下雨的把握有多大，故（2）不正確；拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是．根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率知（3）正確；圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，不一定有一次會(huì)摸到黑子．（4）不正確．綜上可知，有1個(gè)說法是正確的，故選：D．【總結(jié)提升】1.判斷一個(gè)事件是隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機(jī)事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)．2.列舉試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的方法(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必須首先明確試驗(yàn)的條件；(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉所有可能的結(jié)果．可應(yīng)用畫樹形圖、列表等方法，這樣才能不重不漏地列舉出所有可能結(jié)果．3.判斷互斥事件、對(duì)立事件的2種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件（2）集合法：=1\*GB3①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．=2\*GB3②事件A的對(duì)立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集考點(diǎn)02隨機(jī)事件的頻率與概率【典例4】（2023·全國）下列說法正確的是（）A．任何事件的概率總是在，之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會(huì)穩(wěn)定于概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定答案：C分析：由概率和頻率的有關(guān)概念求出結(jié)果.【詳解】：任何事件的概率總是在，之間，故錯(cuò)誤；：頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定，故錯(cuò)誤；：由頻率的性質(zhì)知：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會(huì)穩(wěn)定于概率，故正確；：概率是客觀的，在試驗(yàn)前能確定，故錯(cuò)誤．故選：C．【典例5】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是________.(填序號(hào))①頻率反映事件出現(xiàn)的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大小；②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝；③含百分比的數(shù)是頻率，但不是概率；④頻率是不能脫離n次隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是脫離隨機(jī)試驗(yàn)的客觀值；⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.答案：①④⑤．分析：①根據(jù)頻率和概率的定義可以判斷．②根據(jù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率和概率的關(guān)系判斷．③利用頻率和概率的關(guān)系判斷．④根據(jù)頻率和概率的關(guān)系判斷⑤由頻率和概率的關(guān)系判斷．【詳解】解：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大小所以①正確；②頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值，所以他們并不是一個(gè)值，所以②錯(cuò)誤；③理論上的百分率是概率，所以③錯(cuò)誤；④頻率是不能脫離次試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗(yàn)次數(shù)的理論值，所以④正確；⑤頻率的數(shù)值是通過實(shí)驗(yàn)完成的，是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．所以⑤正確．所以正確的說法是①④⑤．故答案為：①④⑤．【總結(jié)提升】1.隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計(jì)的角度，通過計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算概率．2.隨機(jī)事件的頻率與概率的常見題型及解題策略(1)補(bǔ)全或列出頻率分布表．可直接依據(jù)已知條件，逐一計(jì)數(shù)，寫出頻率．(2)由頻率估計(jì)概率．可以根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，由頻率直接估計(jì)概率．(3)由頻率估計(jì)某部分的數(shù)值．可由頻率估計(jì)概率，再由概率估算某部分的數(shù)值．考點(diǎn)03互斥事件與對(duì)立事件的概率【典例6】(2023年全國卷Ⅲ文）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B【解析】設(shè)設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，則，因?yàn)?，所以，故選B.【典例7】【多選題】（2023·山東萊西·高一期末）甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，若甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則下列結(jié)論正確的為（）A．兩人都中靶的概率為0.72B．恰好有一人中靶的概率為0.18C．兩人都脫靶的概率為0.14D．恰好有一人脫靶的概率為0.26答案：AD分析：由積事件的概率判斷A，由和事件及互斥事件的概率判斷B；由對(duì)立事件的概率判斷C，由互斥事件的和判斷D.【詳解】記“甲中靶”，“乙中靶”，“甲不中靶”，“乙不中靶”，則兩兩獨(dú)立.因?yàn)椋?，所以?對(duì)于選項(xiàng)A：“兩人都中靶”，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：“恰好有一人中靶”，，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：“兩人不都中靶”與“兩人都中靶”是對(duì)立事件，由選項(xiàng)A可知，“兩人不都中靶”的概率是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：“恰好有一人脫靶”，由B知，概率為0.26，故D正確.故選：AD【典例8】（2023·天津一中高一期末）擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件（表示事件的對(duì)立事件）發(fā)生的概率為______.答案：【解析】依題意可知，事件與事件為互斥事件，且，，所以.故答案為：.【典例9】（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為，求：(1)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．答案：（1）；（2）；（3）.【解析】(1)∵每1000張獎(jiǎng)券中設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè),∴.(2)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件D,則P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=.(3)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng)”為事件E,則P(E)=1-P(A)-P(B)=1-.點(diǎn)睛：求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算．二是間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便．【總結(jié)提升】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)間接法(正難則反)考點(diǎn)04古典概型

【典例10】（2023·山東高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．答案：D分析：應(yīng)用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率即可.【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點(diǎn)的種數(shù)為，其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的種數(shù)為2，∴甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率為．故選：D【典例11】（2023年高考全國Ⅱ卷文）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為（）A． B．C． D．答案：B【解析】設(shè)其中做過測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，，共10種．其中恰有2只做過測(cè)試的取法有，共6種，所以恰有2只做過測(cè)試的概率為，故選B．【規(guī)律方法】(1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于是否具有兩個(gè)特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，下列三類試驗(yàn)都不是古典概型；①基本事件個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②基本事件個(gè)數(shù)無限，但等可能．③基本事件個(gè)數(shù)無限，也不等可能．【易錯(cuò)提醒】確定基本事件空間可以采用“樹圖法”、“列表法”，要注意確定的基本事件不重不漏.考點(diǎn)05古典概型與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合【典例12】(2023·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．答案：(1)分別抽取3人，2人，2人．(2)①{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②P(M)＝.【解析】(1)因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，所以應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).【典例13】(2023年文北京卷）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（Ⅱ）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；（Ⅲ）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五類電影的好評(píng)率,

減少第二類電影的好評(píng)率.【解析】（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50，故所求概率為.（Ⅱ）設(shè)“隨機(jī)選取1部電影,這部電影沒有獲得好評(píng)”為事件B.沒有獲得好評(píng)的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五類電影的好評(píng)率,減少第二類電影的好評(píng)率.【典例14】(2023·北京文，17)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．答案：【解析】分析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率，然后利用頻率估計(jì)概率；(2)計(jì)算出樣本中分?jǐn)?shù)在[40,50)內(nèi)的人數(shù)，然后按比例求出總體中分?jǐn)?shù)在此范圍內(nèi)的人數(shù)；(3)先求出樣本中男女生人數(shù)，然后利用樣本比例估計(jì)總體比例．詳解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4，所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5，所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30，所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，所以樣本中男生和女生人數(shù)的比例為60：40＝3：2，所以根據(jù)分層抽樣原理，估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例為3：2.【典例15】（2023·天津高考真題（文））2019年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.答案：（I）6人，9人，10人；（II）（i）見解析；（ii）.【解析】（I）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.（II）（i）從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為,,,,共15種；（ii）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為,,,,共11種，所以，事件M發(fā)生的概率.【典例16】（2023·湖北荊門外語學(xué)校）2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，避免外出是減少相互交叉感染最好的方式.全國大?中?小學(xué)生都開始了網(wǎng)上學(xué)習(xí).為了了解某校學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校隨機(jī)抽取了40位同學(xué)，記錄了他們每周的學(xué)習(xí)時(shí)間，其頻率分布直方圖如下：（1）求的值并估計(jì)該班學(xué)生每周學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）在該樣本中每周學(xué)習(xí)時(shí)間不少于50小時(shí)的同學(xué)中隨機(jī)的抽取兩人，其中這兩人來自不同的組的概率是多少？答案：（1），平均數(shù)：；（2）.分析：（1）根據(jù)小矩形面積之和為1求出a，進(jìn)而用每個(gè)小矩形面積乘以對(duì)應(yīng)底邊的中點(diǎn)值，最后求和得到平均數(shù)；（2）先分別算出組與組中抽取的人數(shù)，進(jìn)而列舉出所有情況，最后由古典概型公式算出答案.【詳解】（1）解得：平均數(shù)為：=（2）組：人，記為組：人，記為從6人中任取兩人：基本事件總數(shù)為15種來自不同的組：共8種所以這兩人來自不同組的概率.1.（2023·全國）下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中哪個(gè)是正確的（）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定D．頻率就是概率答案：A分析：因?yàn)楦怕适窃诖罅恐貜?fù)試驗(yàn)后，事件發(fā)生的頻率逐漸接近的值，所以就可得到正確答案．【詳解】事件的頻率是指事件發(fā)生的頻數(shù)與次事件中事件出現(xiàn)的次數(shù)比，一般來說，隨機(jī)事件在每次實(shí)驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生是不能預(yù)料的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)后，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在區(qū)間，中的某個(gè)常數(shù)上，這個(gè)常數(shù)就是事件的概率．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率．故選：A．2．（2023·山東高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（）A． B． C． D．答案：B分析：利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算結(jié)果.【詳解】5位老師，每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進(jìn)入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B3．（2023·福建高一期末）已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對(duì)立，且，則（）A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9答案：C【解析】因?yàn)?，事件B與C對(duì)立，所以，又，A與B互斥，所以，故選C.4.（2023·全國高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為，其中，若，就稱“甲、乙心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．答案：D分析：由題意，樣本點(diǎn)總數(shù)為36，可列舉出滿足條件的樣本點(diǎn)共16個(gè)，由古典概型的概率公式，即得解【詳解】記“|a－b|≤1”為事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，則事件A包含的樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，