2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 中心對(duì)稱與旋轉(zhuǎn) 課件

一題串講重難點(diǎn)2河南9年真題子母題31考點(diǎn)精講中心對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)

課標(biāo)要求1.通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)．探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等；2.了解中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分；3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱性質(zhì)；4.認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱圖形．命題點(diǎn)與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計(jì)算(9年13考)

考情及趨勢(shì)分析考情分析年份題號(hào)題型分值圖形背景旋轉(zhuǎn)方式結(jié)合知識(shí)點(diǎn)20229選擇題3正六邊形＋直角三角形，與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角形，每次旋轉(zhuǎn)90°正六邊形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)規(guī)律探索求點(diǎn)坐標(biāo)202215填空題3等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)線段勾股定理20219選擇題3平行四邊形＋直角三角形，與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角形相似，勾股定理202023解答題11正方形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)線段等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似考情分析年份題號(hào)題型分值圖形背景旋轉(zhuǎn)方式結(jié)合知識(shí)點(diǎn)202310選擇題3三角形＋正方形，與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合順時(shí)針旋轉(zhuǎn)組合圖形，每次旋轉(zhuǎn)90°正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)規(guī)律探索求點(diǎn)坐標(biāo)201922解答題10等腰三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)線段全等，相似201814填空題3等腰直角三角形繞邊的中點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°勾股定理201822解答題10等腰三角形和直角三角形三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)全等，相似，勾股定理201710選擇題3扇形扇形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°等邊三角形的判定及性質(zhì)考情分析年份題號(hào)題型分值圖形背景旋轉(zhuǎn)方式結(jié)合知識(shí)點(diǎn)201722解答題10等腰直角三角形三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中位線的性質(zhì)，全等，點(diǎn)圓最值20168選擇題3菱形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)規(guī)律探索求點(diǎn)坐標(biāo)201623解答題3一次、二次函數(shù)直角三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角三角函數(shù)201522解答題10直角三角形三角形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)勾股定理，相似【考情總結(jié)】1.2015～2019年每年都會(huì)有一道解答題涉及“手拉手模型”；2.除2015，2020，2021年外，其他年份均有兩道題考查圖形的旋轉(zhuǎn)．考點(diǎn)精講旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱定義將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，得到另一個(gè)圖形將一個(gè)圖形繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，得到另一個(gè)圖形示意圖

旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱示意圖要素

旋轉(zhuǎn)中心(點(diǎn)O)對(duì)稱中心(點(diǎn)O)旋轉(zhuǎn)角度(α)α＝180°旋轉(zhuǎn)方向：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°－α旋轉(zhuǎn)方向：180°(順時(shí)針、逆時(shí)針均可)旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱示意圖

性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等(對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等)即△ABC≌△A′B′C′1.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等(對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等)即△ABC≌△A′B′C′2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等即OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′2.對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離相等即OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱示意圖

性質(zhì)

3.三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等，且等于旋轉(zhuǎn)角即∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝α3.對(duì)稱點(diǎn)連線與對(duì)稱中心夾角均為180°即∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′＝180°4.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的兩個(gè)圖形，旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上4.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分總結(jié)：中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的特殊情況，圖形旋轉(zhuǎn)180°就是中心對(duì)稱一題串講重難點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)鞏固例1如圖，將線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至OB，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段________，連接AB，則△ABO的形狀為____________．例1題圖圓弧等腰三角形例2如圖，將∠AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至∠DOE，則圖中相等的角有___________________________________．例2題圖∠AOB＝∠DOE，∠AOD＝∠BOE例3如圖，將∠AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至∠DOE，則圖中相等的角有_____________________________________．例3題圖∠AOB＝∠DOE，∠AOD＝∠BOE例4如圖，將∠AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到∠A′OB′，則圖中的對(duì)頂角有___________________________________.例4題圖∠AOB和∠A′OB′，∠A′OB和∠AOB′例5如圖，將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C，則B′C＝________，∠A′B′C＝________，∠A′CA＝________．例5題圖BC∠B∠B′CB例6如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，BA上，且DE∥AC.如圖②，將△EDB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△GFB，連接CF，AG，求證：△CFB∽△AGB.例6題圖證明：∵DE∥AC，∴△EDB∽△ACB，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DB＝FB，EB＝GB，∠ABC＝∠GBF，∴，

∴，∵∠ABC＝∠ABF＋∠CBF，∠GBF＝∠GBA＋∠ABF，∴∠FBC＝∠GBA，∴△CFB∽△AGB.例6題圖例7如圖，△ACB和△DCE都是等邊三角形，將△DCE繞著頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AD，BE.求證：△ACD≌△BCE.例7題圖證明：∵△ACB和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，∠DCE＝∠BCD＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)．重難考法突破與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計(jì)算(9年13考)例8已知，四邊形ABCD是正方形，E為AB邊的中點(diǎn)，AB＝2.(1)如圖①，將BE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，連接DM，求DM的最小值；例8題圖①解：(1)如解圖①，由題意得，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BE長(zhǎng)為半徑的圓，連接BD交⊙B于點(diǎn)M′，例8題解圖①當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M′時(shí)，DM取最小值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE＝BM，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，E為AB邊的中點(diǎn)，∴BD＝4，BE＝BM＝

，∵BM′＝BM＝

，∴DM′＝BD－BM′＝4－

，∴DM的最小值為4－

；例8題解圖①(2)如圖②，點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)，連接EF，將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，連接AE，CF，當(dāng)C，F(xiàn)，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求

的值及∠CEA的度數(shù)；例8題圖②(2)∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝AB，∵BC＝2BF，BA＝2BE，∴BF＝BE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴＝1，如解圖②，記AB與CE交于點(diǎn)G，∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE，∵∠CGB＝∠AGE，∴∠AEC＝∠CBG＝90°；如解圖③，記AE與BC交于點(diǎn)H，例8題解圖∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF，∵∠AHB＝∠CHE，∴∠AEC＝∠ABH＝90°.

∴＝1，∠CEA＝90°.

綜上所述，

＝1，∠CEA＝90°.

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分點(diǎn)F在線段CE上與點(diǎn)F在CE延長(zhǎng)線上兩種情況討論．(3)如圖③，點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)，連接EF，將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，當(dāng)點(diǎn)E落在對(duì)角線BD上時(shí)，求圖中陰影部分的面積；例8題圖③(3)如解圖④，設(shè)BD與EF交于點(diǎn)H，由題意得，BE＝

，∠ABD＝45°，BD⊥EF，∴BH＝EH＝1，S陰影＝S扇形EBE′－S△BEH＝

；例8題解圖④(4)如圖④，點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn)，連接EF，將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，連接AE，CF，當(dāng)點(diǎn)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求AE的長(zhǎng)．例8題圖④(4)當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在C，E之間時(shí)，如解圖⑤，連接AC，由(2)可知△ABE≌△CBF，∠AEC＝90°，∴CF＝AE，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝

AB＝4，例8題解圖⑤∵BC＝2BF，BA＝2BE，∴BF＝BE＝

，∵BF⊥BE，∴EF＝

BF＝2，在Rt△CEA中，AC2＝AE2＋EC2，即16＝AE2＋(AE＋2)2，解得AE＝

－1(負(fù)值已舍去)；②當(dāng)點(diǎn)E在C，F(xiàn)之間時(shí)，如解圖⑥，連接AC，例8題解圖⑥∴CF＝AE，由(2)可知△ABE≌△CBF，∠AEC＝90°，例8題解圖⑤∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝

AB＝4，∵BC＝2BF，BA＝2BE，∴BF＝BE＝

，∵BF⊥BE，∴EF＝

BF＝2，在Rt△CEA中，AC2＝AE2＋EC2，即16＝(CE＋2)2＋CE2，解得CE＝

－1(負(fù)值已舍)，∴AE＝CE＋EF＝

＋1；綜上所述，AE的長(zhǎng)為

－1或

＋1.例8題解圖⑥

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分為點(diǎn)F在C，E之間與點(diǎn)E在C，F(xiàn)之間兩種情況討論．

拓展設(shè)問例8

(5)在(1)的條件下，當(dāng)∠ADM＝45°時(shí)，求DM的長(zhǎng)．(5)∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB＝2，∴BE＝，∵將BE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，∴點(diǎn)M在以點(diǎn)B為圓心，BE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠ADM＝45°時(shí)，需分兩種情況討論，例8題圖①①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)M在BD上時(shí)，∠ADM＝45°，DM＝BD－BM＝4－，②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)M在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠ADM＝45°，DM＝BD＋BM＝4＋.例8題解圖河南9年真題子母題與圖形旋轉(zhuǎn)