2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第三部分 題型二 微專題10 輔助圓在解題中的應(yīng)用 課件

微專題10輔助圓在解題中的應(yīng)用

考情及趨勢分析考情分析年份題號題型分值背景圖形變化方式輔助圓最值類型結(jié)合知識點202315填空題3等腰直角三角形線段旋轉(zhuǎn)定點定長作圓點圓最值勾股定理202215填空題3矩形(圖形不固定)折疊定點定長作圓/相似，勾股定理202115填空題3等腰直角三角形折疊定點定長作圓/平行線分線段成比例202022(3)解答題2等腰三角形直角旋轉(zhuǎn)三角形定點定長作圓點圓最值勾股定理201915填空題3圖形不固定折疊定點定長作圓/相似，勾股定理201815填空題3正方形折疊定點定長作圓/勾股定理一階

方法訓(xùn)練方法一點圓最值方法解讀已知平面內(nèi)一定點D和⊙O，點E是⊙O上一動點，設(shè)點O與點D之間距離為d，⊙O半徑為r.位置關(guān)系點D在⊙O內(nèi)點D在⊙O上點D在⊙O外圖示DE的最大值d＋r2rd＋r此時點E的位置連接DO并延長交⊙O于點EDE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交⊙O于點E點E與點D重合連接OD交⊙O于點E【應(yīng)用依據(jù)】直徑是圓中最長的弦．1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是邊BC的中點，以點D為圓心，BD長為半徑作⊙D，點E是⊙D上一點，若AB＝8，BC＝6，則線段AE長的最小值為________．第1題圖2.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O內(nèi)一點，AC＝BC，點D是⊙O上一點，連接CD，若∠ACB＝120°，△ABC的面積為

，則線段CD長的最小值為________，最大值為________．第2題圖方法二線圓最值已知⊙O及直線l，⊙O的半徑為r，點Q為⊙O上一動點，圓心O與直線l之間的距離為d.方法解讀位置關(guān)系直線與⊙O相離直線與⊙O相切直線與⊙O相交圖示點Q到直線l距離的最大值d＋r2rd＋r位置關(guān)系直線與⊙O相離直線與⊙O相切直線與⊙O相交圖示此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，其反向延長線與⊙O的交點，即為點Q點Q到直線l距離的最小值d－r00此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，與⊙O的交點即為點Q直線l與⊙O的交點即為點Q3.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以點A為圓心，2為半徑作圓，圓上動點P到BC的距離的最小值為________，最大值為_____．第3題圖264.如圖，已知AB為⊙O的弦，點P為⊙O上一點，若∠APB＝45°，AB＝4，則△ABP面積的最大值為________．第4題圖方法三定點定長作圓

(9年5考)已知平面內(nèi)一定點A和一動點B，若AB長度固定，則動點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓(如圖)(依據(jù)：圓的定義，圓是平面上所有到定點的距離等于定長的點的集合)方法解讀推廣：在旋轉(zhuǎn)或折疊問題中，有時會利用“定點定長作圓”模型確定動點的運動軌跡5.如圖，在Rt△ABC中，AB＝6，∠BAC＝60°，將AC邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點為C′，當(dāng)點C′第一次落在線段BA的延長線上時，點C運動的路徑長為________．第5題圖2π

方法四直角對直徑如圖，在△ABC中，AB的長為定值，點C為動點，∠C＝90°，則點C的軌跡是以AB為直徑的圓(不含A，B兩點)．方法解讀注：作出輔助圓是關(guān)鍵，計算時結(jié)合求點圓、線圓最值等方法進行相關(guān)計算．6.如圖，在正方形ABCD中，BC＝4，點E為正方形內(nèi)一點，且∠BEC＝90°，連接DE，則DE的最小值為________．第6題圖方法五四點共圓(1)同側(cè)型：AB為△ABC和△ABD的公共邊，點C，D在AB的同側(cè)，如圖①，當(dāng)∠C＝∠D，此時A，B，C，D四點共圓；如圖②，當(dāng)∠C＝∠D＝90°時，AB為⊙O的直徑．(依據(jù)：同弦所對的圓周角相等)方法解讀圖①圖②(2)異側(cè)型：如圖③，由點A，B，C，D構(gòu)成的四邊形中，若∠D＋∠B＝180°，則A，B，C，D四點共圓，∠A＋∠C＝180°.(依據(jù)：圓內(nèi)接四邊形對角互補)圖③提示：可用反證法證明7.如圖，△ABC是等邊三角形，點D是平面內(nèi)一點，連接AD，CD，BD，且∠CAB＝∠CDB.求證：BD＝AD＋CD.第7題圖證明：如解圖，

在BD上取一點E，使BE＝CD，連接AE，∵∠CAB＝∠CDB，∴A，B，C，D四點共圓，∴∠ACD＝∠ABD.又∵AC＝AB，CD＝BE，∴△ADC≌△AEB(SAS)，第7題解圖∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC＋∠CAE＝∠EAB＋∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AD，∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD.第7題解圖變式題

將∠CAB＝∠CDB改為∠ADC＝120°.求證：BD＝AD＋CD.一題多解法證法一：如解圖①，變式題解圖①

在BD上取一點E，使BE＝CD，連接AE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，又∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴A，B，C，D四點共圓，∴∠ACD＝∠ABD.第7題圖又∵AC＝AB，CD＝BE，∴△ADC≌△AEB(SAS)，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC＋∠CAE＝∠EAB＋∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AD，∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD.變式題解圖①變式題解圖②證法二：如解圖②，將BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD′，連接CD′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BD＝BD′.∵∠ABD＋∠CBD＝60°，∠CBD′＋∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBD′.在△ABD和△CBD′中，AB＝CB∠ABD＝∠CBD′,BD＝BD′∴△ABD≌△CBD′(SAS)．∴∠BAD＝∠BCD′，AD＝CD′.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD′＋∠BCD＝180°，∴D，C，D′三點共線，∴△BDD′是等邊三角形，∴BD＝DD′＝CD′＋CD＝AD＋CD.變式題解圖②二階

綜合提升1.(點圓最值－點在圓內(nèi))如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝4，點P為AC上一點，且AP＝

AC

，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點A的對應(yīng)點為D，點B的對應(yīng)點為E，連接PD，則PD的最大值為________．第1題圖2.(線圓最值－相交)如圖，直線l與⊙O相交于點B，D，點A，C是直線l兩側(cè)的圓弧上的動點，若⊙O的半徑為1，∠A＝30°，則四邊形ABCD的面積的最大值為________．第2題圖13.(線圓最值－相離)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.點O是AB的三等分點(靠近點A)，半圓O與AC相切，點M，N分別是BC與半圓O上的動點，則MN的最小值與最大值之和為________．第3題圖64.(2023菏澤)(直角對直徑；點圓最值－點在圓外)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD<BC，點E在線段BC上運動，點F在線段AE上，∠ADF＝∠BAE，則線段BF的最小值為________．第4題圖5.(四點共圓)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，則CQ的最大值為________．第5題圖6.(直角對直徑)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，則四邊形ABCD面積的最大值是________．第6題圖67.(定點定長作圓)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝

，點E是邊CD上一點，將△ADE沿直線AE折疊得到△AFE，連接BF并延長交邊CD于點G，則DG長的最大值為________．第7題圖2

解題關(guān)鍵點點F在以點A為圓心，AD長為半徑的圓上運動，要使DG長取得最大值，則AF⊥