2020-2021學年新教材高中數(shù)學數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.2.2等差數(shù)列習題課課件

第2課時等差數(shù)列習題課核心互動探究探究點一求等差數(shù)列前n項和的最值【典例1】在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求{an}的前n項和Sn的最大值.【思維導引】解答本題方法一:可先由條件求出公差d,進而求出等差數(shù)列{an}的前n項和,然后借助二次函數(shù)知識求Sn的最大值.方法二:先由求出取最大值時n的值再求和.【解析】方法一:由題意得即所以Sn=25n+·(-2)=-(n-13)2+169.故當n=13時,Sn有最大值169.方法二:由方法一知所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由所以n=13時,Sn有最大值S13=169.【類題通法】求等差數(shù)列前n項和的最值問題的兩種方法(1)通項公式法:在等差數(shù)列{an}中,當a1>0,d<0時,Sn有最大值,使Sn取到最大值的n可由不等式組確定;當a1<0,d>0時,Sn有最小值,使Sn取到最小值的n可由不等式組確定.(2)運用函數(shù)思想求最值:Sn=n2+,若d≠0,則從二次函數(shù)的角度看:當d>0時,Sn有最小值;當d<0時,Sn有最大值;n取最接近對稱軸的正整數(shù)時,Sn取到最值.【定向訓練】1.等差數(shù)列{an}中,a3+a10=5,a7=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則Sn的最大值為(

)A.1 B.19 C.60 D.70【解析】選D.設等差數(shù)列{an}的首項與公差分別為a1,d,則所以Sn=na1+=二次函數(shù)圖像的對稱軸為n=,因為n∈N*,所以當n=7時,Sn(max)=70.2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S9>0,S8<0,則使得Sn取得最小值的n為 (

)【解析】選B.由S9>0,S8<0,得S9=9a5>0,所以a5>0,由S8==4(a4+a5)<0,所以a4<0,所以Sn取得最小值的n為4.探究點二等差數(shù)列前n項和Sn的函數(shù)特征【典例2】數(shù)列{an}的前n項和Sn=33n-n2,(1)求{an}的通項公式;(2){an}的前多少項和最大?(3)設bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn′.【思維導引】(1)利用Sn與an的關系求通項,也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1,d,從而求出通項.(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值,也可以用通項公式找到通項的變號點求解.(3)利用an判斷哪些項是正數(shù),哪些項是負數(shù),再求解,也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項的正負求解.【解析】(1)方法一:(公式法)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=34-2n,又當n=1時,a1=S1=32=34-2×1滿足an=34-2n.故{an}的通項公式為an=34-2n.方法二:(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是關于n的缺常數(shù)項的二次函數(shù),所以{an}是等差數(shù)列,由Sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,故數(shù)列{an}的前17項大于或等于零.又a17=0,故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大.(3)由(2)知,當n≤17時,an≥0;當n≥18時,an<0.所以當n≤17時,Sn′=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2,當n≥18時Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544,故Sn′=

【延伸探究】1.(變條件)將例題中的條件“Sn=33n-n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中a1=25,S17=S9”求其前n項和Sn的最大值.【解析】方法一:因為S9=S17,a1=25,所以9×25+=17×25+解得d=-2.所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.所以當n=13時,Sn有最大值169.方法二:同方法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.因為a1=25>0,由得又因為n∈N*,所以當n=13時,Sn有最大值169.方法三:因為S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13+a14=0.因為a1>0,所以d<0.所以a13>0,a14<0.所以當n=13時,Sn有最大值169.方法四:設Sn=An2+Bn.因為S9=S17,所以二次函數(shù)對稱軸為n==13,且開口方向向下,所以當n=13時,Sn取得最大值169.2.(變條件)將例題中的條件“Sn=33n-n2”變?yōu)椤啊鼻髷?shù)列{|an|}的前n項和Tn.【解析】a1=S1=-×12+×1=101,當n≥2時,an=Sn-Sn-1==-3n+104.因為n=1也適合an=-3n+104,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+104(n∈N*).由an=-3n+104≥0,得n≤34.7.即當n≤34時,an>0;當n≥35時,an<0.(1)當n≤34時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n;(2)當n≥35時,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn==n2-n+3502.故

【類題通法】1.在等差數(shù)列中,求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點,則從第一項起到該分界點的各項和為最值.(2)借助二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求最值.2.尋求正、負項分界點的方法(1)尋找正、負項的分界點,可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用來尋找.(2)到函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)的圖像的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個整數(shù)或離對稱軸最近且關于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應項即為正、負項的分界點.3.求數(shù)列{|an|}的前n項和,應先判斷{an}的各項的正負,然后去掉絕對值號,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.【定向訓練】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項和Tn等于(

)

22-6n+18C. D.

【解析】選C.由Sn=n2-6n得{an}是等差數(shù)列,且首項為-5,公差為2,所以an=-5+(n-1)×2=2n-7,當n≤3時,an<0,當n>3時,an>0,Tn=

【補償訓練】Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項和,且S4=S9,a1=-12.(1)求數(shù)列{an}的通項an及Sn.(2)求和:Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.【解析】(1)設公差為d,因為S4=S9,a1=-12,所以4×(-12)+6d=9×(-12)+36d?d=2,所以an=-12+2(n-1)=2n-14,Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)當n≤7時,Tn=-(a1+a2+a3+…+an)=-Sn=13n-n2,當n≥8時,an>0,Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7)+(a8+…+an)=Sn-2S7=n2-13n+84.綜上,Tn=

探究點三等差數(shù)列的綜合應用【典例3】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,且(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)設bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.【思維導引】(1)借助已知Sn求an公式,利用等差數(shù)列的定義an-=常數(shù)來證.(2)先求出Sn,bn,觀察發(fā)現(xiàn)運用裂項法求和.【解析】(1)①當n=1時,a1=S1=解得a1=1.②當n≥2時,由得即又因為an+>0,所以an-=1(n≥2).所以{an}是以1為首項,以1為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)知an=n,所以所以Tn=b1+b2+b3+…+bn==【類題通法】裂項相消法求和當數(shù)列的通項是分式形式,分母是兩個式子的乘積,且兩個式子的差為常數(shù),這時可以把通項分裂成兩項之差,如在求和時,中間很多項都會相互抵消,只剩首尾若干項,從而求出數(shù)列的和.【定向訓練】在等差數(shù)列中,a1=8,a3=4.(1)設數(shù)列的前n項和為Sn,求Sn的最大值及使得Sn最大的序號n的值;(2)設Tn為數(shù)列的前n項之和,求Tn.【解析】(1)等差數(shù)列的公差所以an=10-2n,

=于是當n取4或5時,(2)所以【補償訓練】Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知an>0,=4Sn+3.(1)求{an}的通項公式.(2)設,求數(shù)列{bn}的前n項和.【解題指南】(1)根據(jù)an+1=Sn+1-Sn及+2an=4Sn+3確定{an}的通項公式.(2)利用裂項法求和.【解析】(1)由+2an=4Sn+3,可知+2an+1=4Sn+1+3,可得+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)==(an+1+an)(an+1-an),由于an>0,可得an+1-an=2,又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1.

(2)由an=2n+1可知

設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則Tn=b1+b2+…+bn===【課堂小結(jié)】

課堂素養(yǎng)達標1.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a8的值為(

)

【解析】選8=S8-S7=