北師大版初中九年級數(shù)學(xué)上冊第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定第2課時菱形的判定課件

第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定第2課時菱形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形1.(2023河北邯鄲三模)依據(jù)所標(biāo)的數(shù)據(jù),下列平行四邊形一

定為菱形的是

(

)

C解析∵四邊形是平行四邊形,∴對角線互相平分,故A不一

定是菱形;∵四邊形是平行四邊形,∴對邊相等,故B不一定是

菱形;∵四邊形是平行四邊形,∴對邊平行,故D不一定是菱形;C中,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理可得180°-70°-55°=55°,可得四邊形鄰邊相等,∵四邊形是平行四邊形,∴C是菱形.

故選C.2.(2023湖南張家界中考)如圖,已知點(diǎn)A,D,C,B在同一條直線

上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.(1)求證:AE∥BF.(2)若DF=FC,求證:四邊形DECF是菱形.證明

(1)∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,∴AC=BD,∵AE=

BF,CE=DF,∴△AEC≌△BFD(SSS),∴∠A=∠B,∴AE∥BF.(2)∵△AEC≌△BFD,∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,∵EC=

DF,∴四邊形DECF是平行四邊形,∵DF=FC,∴平行四邊形

DECF是菱形.3.(新獨(dú)家原創(chuàng))在平行四邊形ABCD中,E、F分別是CD,AB上

的點(diǎn),且AE∥CF.(1)求證:△ADE≌△CBF.(2)若平行四邊形ABCD的周長是△ADE的周長的2倍,求證:

四邊形AECF為菱形.證明

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠D=∠B,AD=CB,

DC∥AB,∴∠AED=∠EAB,∵AE∥CF,∴∠CFB=∠EAB,∴

∠AED=∠CFB,∴△ADE≌△CBF.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AF∥CE,∵AE∥CF,∴四邊形AFCE是平行四邊形,∵平行四邊形ABCD的周長是△ADE的周長的2倍,∴2(AD+

DC)=2(AD+DE+AE),∴AD+DC=AD+DE+AE,∴DC=DE+AE,∵DC=DE+EC,∴AE=EC,∴四邊形AECF為菱形.知識點(diǎn)2

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4.(新考向·開放型試題)(2023黑龍江齊齊哈爾中考)如圖,在四

邊形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于點(diǎn)O.請?zhí)砑右粋€條件:

,使四邊形ABCD成為菱形.

AD∥BC(答案不唯一)解析答案不唯一.當(dāng)添加“AD∥BC”時,∵AD∥BC,AD=

BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.5.(教材變式·P6例2)(2023湖南永州中考)如圖,已知四邊形

ABCD是平行四邊形,其對角線相交于點(diǎn)O,OA=3,BD=8,AB=

5.(1)△AOB是直角三角形嗎?請說明理由.(2)求證:四邊形ABCD是菱形.

解析

(1)△AOB是直角三角形,理由如下:∵四邊形ABCD是

平行四邊形,BD=8,∴OB=OD=

BD=4,∵OA=3,AB=5,∴OA2+OB2=AB2,∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.(2)由(1)可知,∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴平行四邊形ABCD是

菱形.知識點(diǎn)3四邊相等的四邊形是菱形6.(2024貴州六盤水水城期中)如圖所示,已知△ABC,AB=AC,

將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn),得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形

ABDC,則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是(

)A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.四邊相等的四邊形是菱形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形BD.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形解析將△ABC沿BC邊翻轉(zhuǎn)可得AB=BD,CD=AC,∵AB=AC,

∴AB=AC=BD=CD,∴根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”可

以直接判定四邊形ABDC是菱形.故選B.7.如圖,AC=8,分別以點(diǎn)A,C為圓心,以5為半徑作弧,兩條弧分

別相交于點(diǎn)B和點(diǎn)D.依次連接點(diǎn)D,A,B,C,D,連接BD、AC,交

于點(diǎn)O.(1)判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.(2)求BD的長.

解析

(1)四邊形ABCD為菱形.理由如下:由作法,得AB=AD=

CB=CD=5,∴四邊形ABCD為菱形.(2)∵四邊形ABCD為菱形,

∴OA=OC=

AC=4,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,OB=

=3,∴BD=2OB=6.8.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,O是菱形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn),連接OA、

OB、OC、OD,點(diǎn)E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的

中點(diǎn),求證:四邊形EFGH是菱形.

證明∵E、F為OA、OB的中點(diǎn),∴EF為△OAB的中位線,∴EF=

AB,同理可得FG=

BC,GH=

CD,HE=

AD,又∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=BC=CD=DA,∴EF=FG=GH=HE,∴四邊形EFGH為菱形.能力提升全練9.(新考向·尺規(guī)作圖)(2023上海奉賢模擬,5,★★☆)用尺規(guī)在

一個平行四邊形內(nèi)作菱形ABCD,下列作法中錯誤的是

(

)

C解析選項(xiàng)A,由作圖可知AC是BD的垂直平分線,∴AB=AD,

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,則OB=OD.易知AD∥BC,∴∠ADO=

∠CBO,又∠AOD=∠COB,∴△AOD≌△COB,∴AD=BC,∴

四邊形ABCD是平行四邊形,又AB=AD,∴四邊形ABCD是菱

形,不符合題意;選項(xiàng)B,由作圖可知AB=BC,AD=AB,∴BC=AD,

又BC∥AD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又AB=BC,∴四邊

形ABCD是菱形,不符合題意;選項(xiàng)C,由作圖可知AB、CD是

角平分線,只能得出四邊形ABCD是平行四邊形,符合題意;選

項(xiàng)D,由作圖可知∠DAC=∠CAB,∠DCA=∠ACB,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA,∴AB∥CD,AD

=DC,結(jié)合AD∥BC可得四邊形ABCD是菱形,不符合題意.故

選C.10.(2023湖南湘西州中考,22,★★☆)如圖,四邊形ABCD是平

行四邊形,BM∥DN,且分別交對角線AC于點(diǎn)M,N,連接MD,

BN.(1)求證:∠DMN=∠BNM.(2)若∠BAC=∠DAC.求證:四邊形BMDN是菱形.

證明

(1)連接BD,交AC于點(diǎn)O,如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD,∵BM∥DN,∴∠MBO=∠NDO,又∠BOM=∠DON,∴△BOM≌△DON(ASA),∴BM=DN,∴四邊形BMDN為平行四邊形,∴BN∥DM,∴∠DMN=∠BNM.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD,∴∠BCA=∠DAC,∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥

BD,∴MN⊥BD,由(1)知四邊形BMDN是平行四邊形,∴平行四邊形BMDN是

菱形.11.(2024河南鄭州一中月考,22,★★★)如圖1,△ABC為等腰三角形,AB=AC=a,P是底邊BC上的一個動點(diǎn),PD∥AC,PE∥AB.(1)用a表示四邊形ADPE的周長為

.(2)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,四邊形ADPE是菱形?請說明理由.(3)如果△ABC不是等腰三角形(如圖2),其他條件不變,點(diǎn)P運(yùn)

動到什么位置時,四邊形ADPE是菱形(不必說明理由)?解析

(1)∵PD∥AC,PE∥AB,∴四邊形ADPE為平行四邊形,

∴AD=PE,DP=AE,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DP∥AC,∴∠DPB=∠C=∠B,∴DB=DP,∴四邊形ADPE的周長=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a.故答案為2a.(2)當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時,四邊形ADPE是菱形.理由如下:連接AP,如圖1,∵PD∥AC,PE∥AB,∴四邊形ADPE為平行四邊形,∵AB=AC,P為BC的中點(diǎn),∴∠PAD=∠PAE,∵PE