2025九年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)2025九年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)22.1.4 第1課時(shí) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)含答案

2025九年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)2025九年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)22.1.4第1課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)22.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)◆基礎(chǔ)掃描1.函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.2.已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示,則下列關(guān)于，，間的關(guān)系判斷正確的是（）A．＜0B.＜0C.D.OyOyx圖1圖2圖33.二次函數(shù),當(dāng)x=時(shí),y有最值為.4.如圖2所示的拋物線是二次函數(shù)的圖象，那么的值是．5.已知二次函數(shù)（是常數(shù)），與的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則當(dāng)滿足的條件是時(shí)，；當(dāng)滿足的條件是時(shí)，．0123020◆能力拓展6.如圖3,二次函數(shù)圖象過(guò)A、C、B三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且AB=OC.（1）求C的坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)最大值。7.某產(chǎn)品每件成本10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表:X(元)152030…y(件)252010…若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù).(1)求出日銷售量y(件)是銷售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日的銷售利潤(rùn)是多少元?◆創(chuàng)新學(xué)習(xí)8．如圖，對(duì)稱軸為直線x＝的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）①當(dāng)四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷OEAF是否為菱形？②是否存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．C2．D3．大44．－15．0或20＜＜26．(1)C(0,5)(2)7．(1)設(shè)此一次函數(shù)關(guān)系式為,則{,解得故一次函數(shù)的關(guān)系式為.(2)設(shè)所獲利潤(rùn)為元,則所以產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元,此時(shí)每日的銷售利潤(rùn)為225元．8．（1）由拋物線的對(duì)稱軸是，可設(shè)解析式為．把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得解之，得故拋物線解析式為，頂點(diǎn)為（2）∵點(diǎn)在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合.，∴y<0，即－y>0,－y表示點(diǎn)E到OA的距離．∵OA是的對(duì)角線，∴．因?yàn)閽佄锞€與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）的（6，0），所以，自變量的取值范圍是1＜＜6．①根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即．化簡(jiǎn)，得解之，得故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E1（3，－4），E2（4，－4）．點(diǎn)E1（3，－4）滿足OE=AE，所以是菱形；點(diǎn)E2（4，－4）不滿足OE=AE，所以不是菱形．②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，－3）．而坐標(biāo)為（3，－3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，使為正方形．第2課時(shí)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式一、選擇題1.函數(shù)y=x2+2x+1寫(xiě)成y=a(x－h(huán))2+k的形式是A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－12.拋物線y=－2x2－x+1的頂點(diǎn)在第_____象限A.一 B.二 C.三 D.四3.不論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線y=a(x+m)2+m(a≠0)的頂點(diǎn)都A.在y=x直線上 B.在直線y=－x上C.在x軸上 D.在y軸上4.任給一些不同的實(shí)數(shù)n，得到不同的拋物線y=2x2+n，如當(dāng)n=0，±2時(shí)，關(guān)于這些拋物線有以下結(jié)論：①開(kāi)口方向都相同；②對(duì)稱軸都相同；③形狀都相同；④都有最低點(diǎn)，其中判斷正確的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)5.二次函數(shù)y=x2+px+q中，若p+q=0，則它的圖象必經(jīng)過(guò)下列四點(diǎn)中A.(－1，1) B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)6.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.二次函數(shù)y=－2x2中，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值是0B.二次函數(shù)y=4x2中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大C.在三條拋物線y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的圖象開(kāi)口最大，y=－x2的圖象開(kāi)口最小D.不論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，拋物線y=ax2(a≠0)的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)7.已知二次函數(shù)y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，則k的值是A. B.－ C. D.－8.小穎在二次函數(shù)y=2x2+4x+5的圖象上，依橫坐標(biāo)找到三點(diǎn)(－1，y1)，(，y2)，(－3，y3)，則你認(rèn)為y1，y2，y3的大小關(guān)系應(yīng)為A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1二、填空題9.拋物線y=(x+3)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______.10.將拋物線y=3x2向上平移3個(gè)單位后，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______.11.函數(shù)y=x－2－3x2有最_____值為_(kāi)____.12.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)為(－2，3)，且過(guò)(－1，5)，則拋物線的表達(dá)式為_(kāi)_____.13.二次函數(shù)y=mx2+2x+m－4m2的圖象過(guò)原點(diǎn)，則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______.三、解答題14.根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達(dá)式（1）圖象的頂點(diǎn)為（2，3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，6）；（2）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（0，-3），且對(duì)稱軸是直線x=2。15.(8分)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次函數(shù)，此二次函數(shù)具備頂點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)(0，1)兩個(gè)條件，并說(shuō)明你的理由.16.(10分)把拋物線y=－3(x－1)2向上平移k個(gè)單位，所得的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=，請(qǐng)你求出k的值.17.(10分)如圖6是把一個(gè)拋物線形橋拱，量得兩個(gè)數(shù)據(jù)，畫(huà)在紙上的情形.小明說(shuō)只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就能求出此拋物線的表達(dá)式.你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎？如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果正確，請(qǐng)你幫小明求出該拋物線的表達(dá)式.圖618.(12分)有這樣一道題：“已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象過(guò)P(1，－4)，且有c=－3a，……求證這個(gè)二次函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)A(－1，0).”題中“……”部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字.(1)你能根據(jù)題中信息求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式嗎？若能，請(qǐng)求出；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)請(qǐng)你根據(jù)已有信息，在原題“……”處添上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整.第2課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中的不等關(guān)系●基礎(chǔ)練習(xí)1.已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:(1)a=_______,c=______.(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是_________,頂點(diǎn)坐標(biāo)P__________.(3)該函數(shù)有最______值,當(dāng)x=______時(shí),y最值=________.(4)當(dāng)x_____時(shí),y隨x的增大而減小.當(dāng)x_____時(shí),y隨x的增大而增大.(5)拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)A_______,B________;與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______;=_________,=________.(6)當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是_________;當(dāng)y<0時(shí),x的取值范圍是_________.(7)方程ax2-5x+c=0中△的符號(hào)為_(kāi)_______.方程ax2-5x+c=0的兩根分別為_(kāi)____,____.(8)當(dāng)x=6時(shí),y______0;當(dāng)x=-2時(shí),y______0.2.已知下表:x012ax21ax2+bx+c33(1)求a、b、c的值，并在表內(nèi)空格處填入正確的數(shù)；(2)請(qǐng)你根據(jù)上面的結(jié)果判斷:①是否存在實(shí)數(shù)x,使二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值為0?若存在,求出這個(gè)實(shí)數(shù)值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.②畫(huà)出函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象示意圖,由圖象確定,當(dāng)x取什么實(shí)數(shù)時(shí),ax2+bx+c>0?3.請(qǐng)畫(huà)出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象,求方程x2=x+3的解.4.若二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;(2)如果要通過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭?使得這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),那么應(yīng)該怎樣平移?向右還是向左?或者是向上還是向下?應(yīng)該平移向個(gè)單位?5.已知某型汽車在干燥的路面上,汽車停止行駛所需的剎車距離與剎車時(shí)的車速之間有下表所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.速度V(km/h)48648096112…剎車距離s(m)22.53652.57294.5…(1)請(qǐng)你以汽車剎車時(shí)的車速V為自變量,剎車距離s為函數(shù),在圖所示的坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線,畫(huà)出函數(shù)的圖象;(2)觀察所畫(huà)的函數(shù)的圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么?(3)若把這個(gè)函數(shù)的圖象看成是一條拋物線,請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù),選擇三對(duì),求出它的函數(shù)關(guān)系式;(4)用你留下的兩對(duì)數(shù)據(jù),驗(yàn)證一個(gè)你所得到的結(jié)論是否正確.●能力提升6.如圖所示,矩形ABCD的邊AB=3,AD=2,將此矩形置入直角坐標(biāo)系中,使AB在x軸上,點(diǎn)C在直線y=x-2上.(1)求矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)若直線y=x-2與y軸交于點(diǎn)E,拋物線過(guò)E、A、B三點(diǎn),求拋物線的關(guān)系式;(3)判斷上述拋物線的頂點(diǎn)是否落在矩形ABCD內(nèi)部,并說(shuō)明理由.7.已知一條拋物線經(jīng)過(guò)A(0,3),B(4,6)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=.(1)求這條拋物線的關(guān)系式.(2)證明:這條拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中,必存在點(diǎn)C,使得對(duì)x軸上任意點(diǎn)D都有AC+BC≤AD+BD.8.如圖所示,一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃圈水平距離為4m處跳起投籃,球沿一條拋物線運(yùn)行,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí),達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi).已知籃圈中心離地面距離為3.05m.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m,這次跳投時(shí),球在他頭頂上方0.25m處出手.問(wèn):球出手時(shí),他跳離地面多高?9.某工廠生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸所需費(fèi)用為P元,而賣出x噸這種產(chǎn)品的售價(jià)為每噸Q元,已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.(1)該廠生產(chǎn)并售出x噸,寫(xiě)出這種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)W(元)關(guān)于x(噸)的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)生產(chǎn)多少噸這種產(chǎn)品,并全部售出時(shí),獲利最多?這時(shí)獲利多少元?這時(shí)每噸的價(jià)格又是多少元?10.已知拋物線y=2x2-kx-1與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一個(gè)大于2,另一個(gè)小于2,試求k的取值范圍.●綜合探究11.已知拋物線L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是,與y軸的交點(diǎn)是M(0,c)我們稱以M為頂點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸且過(guò)點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線,直線PM為L(zhǎng)的伴隨直線.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式:伴隨拋物線的關(guān)系式_________________伴隨直線的關(guān)系式___________________(2)若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3,則這條拋物線的關(guān)系是___________:(3)求拋物線L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴隨拋物線和伴隨直線的關(guān)系式;(4)若拋物線L與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)x2>x1>0,它的伴隨拋物線與x軸交于C,D兩點(diǎn),且AB=CD,請(qǐng)求出a、b、c應(yīng)滿足的條件.答案：1.(1)a=1;c=4(2)直線x=,(3)小;;(4)(5)(1,0);(4,0);(0,4);6;;(6)x<1或x>4;1<x<4(7)正號(hào);x1=1;x2=4(8)>;>2.(1)由表知,當(dāng)x=0時(shí),ax2+bx+c=3;當(dāng)x=1時(shí),ax2=1;當(dāng)x=2時(shí),ax2+bx+c=3.∴,∴,∴a=1,b=-2,c=3,空格內(nèi)分別應(yīng)填入0,4,2.(2)①在x2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴不存在實(shí)數(shù)x能使ax2+bx+c=0.②函數(shù)y=x2-2x+3的圖象示意圖如答圖所示,觀察圖象得出,無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)總有ax2+bx+c>0.3.:在同一坐標(biāo)系中如答圖所示,畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖象,畫(huà)出函數(shù)y=x+3的圖象,這兩個(gè)圖象的交點(diǎn)為A,B,交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)和2就是方程x2=x+3的解.4.:(1)∵y=x2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴,,∴y=.(2)∵y==∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2),∴欲使函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),應(yīng)向下平移2個(gè)單位.5.:(1)函數(shù)的圖象如答圖所示.(2)圖象可看成是一條拋物線這個(gè)函數(shù)可看作二次函數(shù).(3)設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為:s=av2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分別代入s=av2+bv+c,得,解得.∴(4)當(dāng)v=80時(shí),∵s=52.5,∴當(dāng)v=112時(shí),∵s=94.5,∴經(jīng)檢驗(yàn),所得結(jié)論是正確的.6.:(1)如答圖所示.∵y=x-2,AD=BC=2,設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2),把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).設(shè)經(jīng)過(guò)E(0,-2),A(1,0),B(4,0)三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax2+bx+c,∴,解得∴y=.(3)拋物線頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)部.∵y=,∴頂點(diǎn)為.∵,∴頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)部.7.(1)解:設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+bx+c,∵A(0,3),B(4,6),對(duì)稱軸是直線x=.∴,解得∴y=.(2)證明:令y=0,得=0,∴∵A(0,3),取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E,∴E(0,-3).設(shè)直線BE的關(guān)系式為y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=,∴y=x-3.由x-3=0,得x=.故C為,C點(diǎn)與拋物線在x軸上的一個(gè)交點(diǎn)重合,在x軸上任取一點(diǎn)D,在△BED中,BE<BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D與C重合,則AC+BC=AD+BD.∴AC+BC≤AD+BD.8:(1)圖中各點(diǎn)字母表示如答圖所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(1.5,3.05).∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,3.5),∴設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+3.5,把D(1.5,3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=-0.2×2.52+3.5=2.25.∴該運(yùn)動(dòng)員跳離地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)=.(2)∵W==-(x-150)2+2000.∵-<0,∴W有最大值.當(dāng)x=150噸時(shí),利潤(rùn)最多,最大利潤(rùn)2000元.當(dāng)x=150噸,Q=-+45=40(元).10:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-