第三章　三角函數(shù)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期第一節(jié)導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算[學習要求]1.了解導數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝C（C為常數(shù)），y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的導數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).5.了解復合函數(shù)的求導法則，能求簡單復合函數(shù)（僅限于形如f（ax＋b[知識梳理]知識點一函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)定義如果當Δx→0時，平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y＝f（x）在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f（x）在x＝記法記作f'（x0）或y'｜x＝x0，即f'（x0幾何意義函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)f'（x0）就是過該點切線的斜率k0，即k0＝limΔx→0f（知識點二導數(shù)的物理意義函數(shù)s＝s（t）在點t0處的導數(shù)s'（t0）是物體在t0時刻的瞬時速度v，即v＝s'（t0）；v＝v（t）在點t0處的導數(shù)v'（t0）是物體在t0時刻的瞬時加速度a，即a＝v'（t0）.知識點三基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f（x）＝C（C為常數(shù)）f'（x）＝0f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝αxα－1f（x）＝sinxf'（x）＝cosxf（x）＝cosxf'（x）＝－sinxf（x）＝exf'（x）＝exf（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝axlnaf（x）＝lnxf'（x）＝1f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝1知識點四導數(shù)的運算法則1.導數(shù)的四則運算法則若f'（x），g'（x）存在，則有（1）函數(shù)和差求導法則：[f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）；（2）函數(shù)積的求導法則：[f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；（3）函數(shù)商的求導法則：g（x）≠0，則f（xf'(2.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)（1）一般地，對于兩個函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x），如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f（u）與u＝g（x）的復合函數(shù)，記作y＝f（g（x））.學生用書?第53頁（2）復合函數(shù)y＝f（g（x））的導數(shù)與函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導數(shù)間的關系為y'x＝y(tǒng)'u·u'x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.[小題診斷]1.（2024·河北邯鄲模擬）下列求導運算中正確的是（??）A.4'＝2 B.3x'＝x·3x－C.lnx'＝1xln10 D.x5'答案：D解析：對于A，4'＝0，故A錯誤；對于B，3x'＝3x·ln3，故B對于C，lnx'＝1x，故對于D，x5'＝5x4，故D正確2.（2024·河南鄭州模擬）已知fx＝ex＋sinx，則f'0＝（??）A.1 B.－1C.2 D.0答案：C解析：因為f'x＝ex＋cosx，所以f'0＝e0＋cos0＝2.3.（2024·江蘇連云港模擬）曲線y＝x3＋1在點a，2A.y＝3x＋3 B.y＝3x－1C.y＝－3x－1 D.y＝－3x－3答案：B解析：因為a3＋1＝2，所以a＝1，即切點坐標為1，2，由f'x＝3x2，所以f'1＝3，所以y＝x3＋1在點1，2處的切線方程為y－2＝3x－1，即4.（2024·安徽合肥模擬）設函數(shù)fx＝e2xx＋a，若f'0＝1答案：1解析：由題意可知f'x＝2e2xx＋a－e2x整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.考點一變化率問題[例1]（1）（2024·云南楚雄模擬）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系式為h＝13t3＋t2，當t＝t0時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s，則當t＝t0＋1時，液體上升高度的瞬時變化率為（??）A.5cm/s B.6cm/sC.8cm/s D.10cm/s（2）已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)是f'（x），若f'（x0）＝2，則limΔxA.12 C.2 D.4[答案]（1）C（2）B[解析]（1）由h＝13t3＋t2，得h'＝t2＋2t當t＝t0時，h'＝t02＋2t0＝3，解得t0＝1（t0＝－3舍去故當t＝t0＋1＝2時，液體上升高度的瞬時變化率為22＋2×2＝8cm/s.（2）因為f'（x0）＝2，所以limΔx→0fx0＋1212.求運動物體瞬時速度的三個步驟（1）求時間改變量Δt和位移改變量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）.（2）求平均速度v＝Δs（3）求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，ΔsΔt無限趨近于常數(shù)3.求ΔyΔx（當Δx無限趨近于0（1）在極限表達式中，可把Δx作為一個數(shù)來參與運算.（2）求出ΔyΔx的表達式后，Δx無限趨近于0，可令Δx＝1.已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，函數(shù)y＝f（x）的導數(shù)為y＝f'（x），則（??）A.f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）B.f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2）C.f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）D.f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）答案：D解析：由f（x）圖象可知f'（3）＜f（3)?f（2即f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）.學生用書?第54頁考點二導數(shù)的運算[例2]求下列函數(shù)的導數(shù).（1）f（x）＝（－2x＋1）2；（2）f（x）＝5x（3）f（x）＝23x＋2；（4）y＝ln（（5）y＝ex+1ex－1；（6）y＝[解]（1）因為f（x）＝（－2x＋1）2＝4x2－4x＋1，所以f'（x）＝8x－4.（2）因為f（x）＝5x+4，所以f'（x）＝12×5（3）因為f（x）＝23x＋2，所以f'（x）＝3×23x＋2ln2.（4）y'＝ln（＝ln＝（＝2x2x（5）y'＝ex（e（6）因為y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin（4所以y'＝－12x'sin4x＋－12x－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2x┃方法總結┃導數(shù)運算的6種形式及技巧連乘積形式先展開化為多項式的形式，再求導分式形式觀察函數(shù)的結構特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導對數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導根式形式先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導復合形式先確定復合關系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元2.（多選）（2024·山東濟南質(zhì)檢）下列求導運算正確的是（??）A.1lnx'B.（x2ex）'＝2x＋exC.cos2x－πD.x－1x'＝答案：AD解析：1lnx'＝－1ln2x·（lnx）（x2ex）'＝（x2＋2x）ex，故B錯誤；cos2x－π3'＝－x－1x'＝1＋1x3.（2024·陜西西安模擬）已知函數(shù)fx＝lnx＋f'1x2－3，則f'1＝????.答案：－1解析：因為fx＝lnx＋f'1x2－3，所以f'x＝1x＋2f'1x，故f'1＝1＋2f'1，解得f'1＝－考點三導數(shù)的幾何意義?角度（一）求切線方程[例3]（1）（2023·全國甲卷）曲線y＝exx+1在點A.y＝e4x B.y＝eC.y＝e4x＋e4 D.y＝e2（2）已知函數(shù)f（x）＝xlnx.若直線l過點（0，－1），并且與曲線y＝f（x）相切，則直線l的方程為????.[答案]（1）C（2）x－y－1＝0[解析]（1）由y＝exx+1，可得y'則y'｜x＝1＝e4∴曲線在點1，e2處的切線方程為y－e2＝e4（x－1），即y＝（2）因為點（0，－1）不在曲線f（x）＝xlnx上，所以設切點為（x0，y0）.又因為f'（x）＝1＋lnx，所以直線l的方程為y＋1＝（1＋lnx0）x.所以由y0＝x0lnx0，y0所以直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.┃方法總結┃求曲線y＝f（x）的切線方程?角度（二）求切點坐標[例4]過點（0，－1）作曲線f（x）＝lnx（x＞0）的切線，則切點坐標為????.[答案]（e，1）[解析]由f（x）＝lnx（x＞0），得f（x）＝lnx2＝2lnx，則f'（x）＝2x，設切點坐標為（x0，2lnx0），顯然（0，－1）則2lnx0+1x0＝2x0，得x0＝學生用書?第55頁┃方法總結┃求切點坐標，其思路是先求函數(shù)的導數(shù)，然后讓導數(shù)值等于切線的斜率，從而得出切?角度（三）求與切線有關的參數(shù)值（范圍）[例5]（1）（2024·山東濟寧模擬）若曲線y＝ax+1ex在點0，1處的切線方程是2x－y＋1＝0A.3 B.2C.1 D.0（2）（2022·新高考Ⅰ卷）若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是????.[答案]（1）C（2）（－∞，－4）∪（0，＋∞）[解析]（1）由題意，在y＝ax+1ex中，y'＝aex＋ax+1ex＝ax＋在點0，1處，y'＝a＋∵在點0，1處的切線方程是2x－y＋1＝∴在點0，1處的斜率為∴a＋1＝2，解得a＝1.（2）設f（x）＝y(tǒng)＝（x＋a）ex，則f'（x）＝（x＋a＋1）ex，設切點為（x0，（x0＋a）ex0∴切線方程為y－（x0＋a）ex0＝（x0＋a＋1）ex0（x－又∵切線過原點（0，0），∴－（x0＋a）ex0＝（x0＋a＋1）·ex0（－x0），整理得x02＋ax0－a＝0，又切線有兩條，∴關于x0的方程x02＋ax0－a＝0有兩不相等的實根，故Δ＝a2＋4a＞0┃方法總結┃1.利用點與曲線的位置關系可建立不等關系，確定過點作曲線的條數(shù).4.（2024·安徽合肥模擬）已知函數(shù)f（x）＝xlnx，若直線l過點（0，－e），且與曲線y＝f（x）相切，則直線l的斜率為（??）A.－2 B.2C.－e D.e答案：B解析：函數(shù)f（x）＝xlnx的導數(shù)為f'（x）＝lnx＋1，設切點為（m，n），可得切線的斜率k＝1＋lnm，則1＋lnm＝n＋em解得m＝e，故k＝1＋lne＝2.5.若曲線y＝e2ax在點0，1處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則A.－2 B.－1C.1 D.2答案：C解析：直線x＋2y＋1＝0的斜率為k＝－12由題設知y＝e2ax在0，1處的切線的斜率為2，而y'＝2a·e2∴y'｜x＝0＝2a＝2，可得a＝1.6.在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（－e，－1），則點A的坐標是????.答案：（e，1）解析：設A（m，n），則曲線y＝lnx在點A處的切線方程為y－n＝1m（x－m）又切線過點（－e，－1），所以有n＋1＝1m（m＋e）再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1，故點A的坐標為（e，1）. 兩曲線的公切線問題[例]（1）（2024·云南保山模擬）若函數(shù)f（x）＝4lnx＋1與函數(shù)g（x）＝1ax2－2x（a＞0）的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（??）A.0，13C.23，1（2）（2024·河北邯鄲模擬）若曲線y＝ex與圓（x－a）2＋y2＝2有三條公切線，則a的取值范圍是????.[答案]（1）A（2）（1，＋∞）[解析]（1）由函數(shù)f（x）＝4lnx＋1，可得f'（x）＝4x設切點為（t，4lnt＋1），則f'（t）＝4t公切線方程為y－4lnt－1＝4t（x－t）即y＝4tx＋4lnt－3與y＝1ax2－2x聯(lián)立可得1ax2－2+4tx－4lnt＋所以Δ＝－2+4t2－4×1a×（3－4lnt）＝0又由a>0，t>0，可得3－4lnt＞0，解得0令h（t）＝2t+123－4lnt，其中h'（t）＝4t令φ（t）＝t＋4lnt－1，可得φ'（t）＝1＋4t＞0，函數(shù)φ（t）在0，e34上單調(diào)遞增，且φ當0＜t＜1時，φ（t）＜0，即h'（t）＜0，此時函數(shù)h（t）單調(diào)遞減，當1＜t＜e34時，φ（t）＞0，即h'（t）＞0，此時函數(shù)h（t所以h（t）min＝h（1）＝3，且當t→0＋時，h（t）→＋∞，所以函數(shù)h（t）的值域為[3，＋∞），所以1a≥3且a＞0，解得0＜a≤13，即實數(shù)a的取值范圍為（2）曲線y＝ex在點（x0，y0）處的切線方程為y－ex0＝ex0（x－由直線y－ex0＝ex0（x－x0）與圓（x－a）2＋y2＝2相切，得ex0因為曲線y＝ex與圓（x－a）2＋y2＝2有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數(shù)根，即方程e2x0（（x0－令g（x）＝e2x（（x－a－1）2－2），則曲線y＝g（x）與直線y＝2有三個不同的交點.顯然，g'（x）＝2e2x（x－a－2）（x－a＋1）.當x∈（－∞，a－1）時，g'（x）＞0，當x∈（a－1，a＋2）時，g'（x）＜0，當x∈（a＋2，＋∞）時，g'（x）＞0，所以，g（x）在（－∞，a－1）上單調(diào)遞增，在（a－1，a＋2）上單調(diào)遞減，在（a＋2，＋∞）上單調(diào)遞增；且當x→－∞時，g（x）＝（x－a－1）2－2e－2x→0，當x→＋∞時，g（x）＝e2x（（x因此，只需g（a解得a＞1.┃方法總結┃1.兩曲線1.若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnxx的切線，也是曲線y＝2x的切線，則k答案：－1解析：由y＝lnxx可得，y'＝設直線y＝kx＋b與曲線y＝lnxx相切于點（m，n）所以切線方程可表示為y－n＝1－lnmm2（x－m），即y＝1由y＝2x可得，y'＝－2設直線y＝kx＋b與曲線y＝2x相切于點（s，t），則有t＝ks＋b，t＝2s，k＝－2s2，所以切線方程可表示為所以1－lnmm2＝－2s2，2lnm－1m＝4s，消去s，整理得：4ln所以斜率k＝1－lne2.若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln（x＋1）的切線，則b＝????.答案：1－ln2解析：對函數(shù)y＝lnx＋2求導，得y'＝1x，對函數(shù)y＝ln（x＋1）求導，得y'＝1x+1.設直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2相切于點P1（x1，y1），與曲線y＝ln（x＋1）相切于點P2（x2，y2），則y1＝lnx1＋2，y2＝ln（x2＋1）.由點P1（x1，y1）在切線上，得y－（lnx1＋2）＝1x1（x－x1），由點P2（x2，y2）在切線上，得y－ln（x2＋1）＝1x2+1（x－x2）.因為這兩條直線表示同一條直線，所以1x1＝1x2+1，ln（x2+1）＝ln學生用書?第301頁[A組基礎保分練]1.（多選）（2024·河南安陽模擬）下列求導運算正確的是（??）A.x＋1x'＝B.e2x'＝eC.log2x'D.cosxx'答案：AC解析：對于選項A，因為x＋1x'＝1－1對于選項B，因為e2x'＝e2x·（2x）'＝2e2x，故對于選項C，因為log2x'＝1x對于選項D，因為cosxx'＝x－sinx－cosx2.（2024·深圳檢測）曲線y＝（x3－3x）·lnx在點（1，0）處的切線方程為（??）A.2x＋y－2＝0 B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.4x＋y－4＝0答案：A解析：由y'＝（3x2－3）·lnx＋1x·（x3－3x），得所求切線斜率k＝y(tǒng)'｜x＝1＝－2，故所求切線方程為y＝－2（x－1），即2x＋y－2＝3.（2024·河北保定模擬）已知函數(shù)f（x）＝e2x＋f'（1）x2，則f'（1A.－2e2 B.2e2C.e2 D.－e2答案：A解析：由f（x）＝e2x＋f'（1）x得f'（x）＝2e2x＋2f'（1）令x＝1，得f'（1）＝2e2＋2f'（1），所以f'（1）＝－2e2.4.（2024·河北衡水模擬）曲線y＝x－x3在橫坐標為1的點處的切線為l，則點M（1，2）到直線l的距離為（??）A.255 C.25 D.答案：A解析：y'＝1－3x2，則切線l的斜率k＝y(tǒng)'｜x＝1＝－2.又易知切點為（1，0），所以切線l的方程為2x＋y－2＝0，則點M（1，2）到直線l的距離為25＝25.函數(shù)f（x）＝lnx＋ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（??）A.（－∞，2] B.（－∞，2）C.（2，＋∞） D.（0，＋∞）答案：B解析：函數(shù)f（x）＝lnx＋ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f'（x）＝1x＋a＝2在（0，＋∞）上有解，即a＝2－1因為x＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范圍是（－∞，2）6.（2024·陜西咸陽模擬）已知函數(shù)fx＝lnx＋x，過原點作曲線y＝fx的切線l，則切點P的坐標為（??）A.1，1 C.1e，1答案：B解析：由題意可知f'x＝1x＋1設切點為Px0，lnx0＋x0，則切線方程為y＝因為切線過原點，所以0＝1x0+1－x0＋lnx0＋x0＝解得x0＝e，則Pe，7.（多選）（2024·遼寧沈陽模擬）已知函數(shù)fx＝3x＋f'－1·x2＋1，f'x為fxA.f'－1＝B.f'1＝－5C.fx在0，D.f1＝3答案：BCD解析：因為f'x＝－3x2＋2f'－1所以f'－1＝－3－2f'－解得f'－1＝－1則fx＝3x－x2＋1，f'x＝－3x2－易知fx在0，＋∞上單調(diào)遞減，f'1＝－5，f1＝3，故A錯誤，B，C，8.（多選）已知點M是曲線y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在M處的切線為l，則下列結論正確的是A.l斜率最小時的切點坐標為2B.l斜率最小時的切點坐標為2C.切線l的傾斜角α的取值范圍為0，πD.l斜率的取值范圍為k≤1答案：BC解析：∵y'＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴當x＝2時，y'min＝－1，此時y＝53∴斜率最小時的切點坐標為2，53，最小斜率k∴A錯誤，B正確.由k≥－1，得tanα≥－1.又∵α∈[0，π），∴α∈0，π2故α的取值范圍為0，π2∪3π4，9.（2024·江西景德鎮(zhèn)模擬）函數(shù)fx＝1－x1+x＋lnx在x＝答案：y＝12x－解析：由題意知，f（1）＝0，則切點為（1，0），f'（x）＝－2（x+1）2＋1x＝所以切線的斜率為f'1＝12故函數(shù)在x＝1處的切線方程為y－0＝12x－1，即y＝110.（2024·浙江紹興模擬）過點－23，0作曲線y＝x答案：y＝0或y＝3x＋2（寫出一條即可）解析：由y＝x3可得y'＝3x2，設過點－23，0作曲線y＝x3的切線的切點為（x0，y0），則y所以切線方程為y－y0＝3x02（x－x0將－23，0代入得－x03＝3x02－23所以切點坐標為（0，0）或（－1，－1），故切線方程為y＝0或y＝3x＋2.11.（2024·遼寧大連期末）已知曲線y＝x＋1klnx在點（1，1）處的切線與直線x＋2y＝0垂直，則k＝????答案：1解析：易知點（1，1）在曲線y＝x＋1klnx上令f（x）＝x＋1klnx，則f'（x）＝1＋1所以f'（1）＝1＋1k.又該切線與直線x＋2y＝0垂直，所以1＋1k＝2，解得k學生用書?第302頁12.已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）＝x3－lnx，則曲線y＝f（x）在點（－1，－1）處的切線的斜率為????.答案：2解析：因為當x＞0時，f（x）＝x3－lnx，所以當x＜0時，－x＞0，f（－x）＝－x3－ln（－x）.因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）＝－f（－x）＝x3＋ln（－x），則f'（x）＝3x2＋1x，所以f'（－1）＝2，所以曲線y＝f（x）在點（－1，－1）處的切線的斜率為[B組能力提升練]13.已知函數(shù)f（x）＝x3－x和點P（1，－1），則過點P且與該函數(shù)圖象相切的直線的條數(shù)為（??）A.1 B.2C.3 D.4答案：B解析：因為f（1）＝13－1＝0，所以點P（1，－1）沒有在函數(shù)f（x）的圖象上.設切點坐標為（x0，y0），則y0＝x03－x0，f'（x0）＝3x02－1.由導數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率為k＝3x02－1，又k＝y(tǒng)0+1x0－1，所以y0＝x03－x0，y14.（2024·廣東揭陽模擬）已知曲線y＝x3＋2ax2＋x＋b在點1，0處的切線的傾斜角為3π4，則A.－34 B.－C.－2 D.－11答案：A解析：f'x＝3x2＋4ax＋1，由題意可知，切線的斜率k＝tan3π4＝－f（1）=2+2a＋b=0，所以a＋b＝－3415.已知函數(shù)fx＝ax3＋bx2＋cx＋d，且滿足f2x－1＝－f1－2x，f1＝2，f'0A.28 B.－28C.203 D.－答案：B解析：由f2x－1＝－f1－又fx的定義域為R，所以f0＝0，得d＝0.由f－1＝－f1得b＝0，所以fx＝ax3＋cx，f'x＝3ax2＋c由f1＝2，f'0＝－2，得a＋c=2，c＝－2，得a=4，于是f－2＝4×－23－2×16.（2024·四川成都模擬）若點P是曲線y＝lnx－x2上任意一點，則點P到直線l：x＋y－4＝0距離的最小值為（??）A.22 B.C.22 D.42答案：C解析：過點P作曲線y＝lnx－x2的切線（圖略），當切線與直線l：x＋y－4＝0平行時，點P到直線l：x＋y－4＝0距離的最小.設切點為P（x0，y0）（x0＞0），y'＝1x－2x所以，切線斜率為k＝1x0－2x由題知1x0－2x0＝－1得x0＝1或x0＝－12（所以，P（1，－1），此時點P到直線l：x＋y－4＝0距離d＝｜1－1－17.（多選）已知函數(shù)f（x）＝x3＋x－16，則錯誤的結論是（??）A.曲線y＝f（x）在點（2，－6）處的切線方程為13x－y－19＝0B.直線l為曲線y＝f（x）的切線，且經(jīng)過原點，則直線l的方程為x－y＝0C.直線l為曲線y＝f（x）的切線，且經(jīng)過原點，則直線l的方程為x－y＝0或13x－y＝0D.如果曲線y＝f（x）的某一切線與直線y＝－14x＋3垂直，則切點的橫坐標為±答案：ABC解析：因為f'（x）＝（x3＋x－16）'＝3x2＋1，又點（2，－6）在曲線y＝f（x）上，所以f（x）在點（2，－6）處的切線的斜率為f'（2）＝13，所以切線方程為y＋6＝13（x－2），即y＝13x－32，所以A錯誤；對于B，C，設切點坐標為（x0，y0），則直線l的斜率為f'（x0）＝3x02＋所以直線l的方程為y＝（3x02＋1）（x－x0）＋x03＋因為直線l過原點，所以0＝（3x02＋1）（0－x0）＋x03＋x整理得，x03＝－8，所以x0＝－2，所以y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－f'（x0）＝3×（－2）2＋1＝13，所以直線l的方程為y＝13x，所以B，C錯誤.對于D，因為切線與直線y＝－14x＋3垂直，所以切線的斜率k＝設切點的坐標為（x0，y0），則f'（x0）＝3x02＋1＝所以x0＝±1，所以D正確.18.（多選）已知函數(shù)f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0，則下列結論正確的是（??）A.直線m不恒過定點B.a＝－2C.若直線m是曲線y＝g（x）的切線，則m的方程為y＝9或y＝12x＋9D.若直線m既是曲線y＝f（x）的切線，又是曲線y＝g（x）的切線，則m的方程為y＝12x＋9答案：BC解析：由已知得，直線m恒過定點（0，9），所以A錯誤；由已知得f'（x）＝3ax2＋6x－6a.因為f'（－1）＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2，所以B正確；若直線m是曲線y＝g（x）的切線，則設切點為（x0，3x02＋6x0＋12因為g'（x0）＝6x0＋6，所以切線方程為y－（3x02＋6x0＋12）＝（6x0＋6）（x－x0將（0，9）代入切線方程，解得x0＝±1.當x0＝－1時，切線方程為y＝9；當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9，所以C正確；由a＝－2知，f（x）＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f'（x）＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1處，y＝f（x）的切線方程為y＝－18；在x＝2處，y＝f（x）的切線方程為y＝9，所以y＝f（x）與y＝g（x）的公切線是y＝9.②由f'（x）＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0處，y＝f（x）的切線方程為y＝12x－11；在x＝1處，y＝f（x）的切線方程為y＝12x－10，所以y＝f（x）與y＝g（x）的公切線不是y＝12x＋9.綜上所述，y＝f（x）與y＝g（x）的公切線是y＝9，所以D錯誤.19.（2024·安徽宣城模擬）若曲線y＝alnx＋x2（a＞0）的切線的傾斜角的取值范圍是π3，π2，則答案：3解析：因為y＝alnx＋x2（a＞0），所以y'＝ax＋2x≥22a.因為曲線的切線的傾斜角的取值范圍是π3，π2，所以斜率k≥3，所以3＝220.（2024·海南?？谀M）過x軸上一點P（t，0）作曲線C：y＝（x＋3）ex的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)t的一個可能值為????.答案：－4，－5，－6（只需寫出一個答案即可）解析：設切點為（x0，（x0＋3）ex0），因為y'＝（x＋4）ex，所以切線方程為y－（x0＋3）ex0＝（x0＋4）ex0（因為切線l經(jīng)過點P，所以－（x0＋3）ex0＝（x0＋4）ex0（t－由題意關于x0的方程x02－（t－3）x0－4t－3＝則Δ＝（t－3）2＋4（4t＋3）＜0，解得－7＜t＜－3.因為t為整數(shù)，所以t的取值可能是－6，－5，－4.學生用書?第56頁第二節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用[學習要求]1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不會超過三次）.3.了解函數(shù)在某點取得極值的充要條件.4.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.5.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.[知識梳理]知識點一利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)f（x）在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負關系（1）若f'（x）＞0，則f（x）在這個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；（2）若f'（x）＜0，則f（x）在這個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)；（3）若f'（x）＝0，則f（x）在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟（1）求f'（x）；（2）在定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0；（3）根據(jù)結果確定f（x）的單調(diào)區(qū)間.知識點二利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極大值與極小值解方程f'（x）＝0，當f'（x0）＝0時：（1）如果在x0附近的左側f'（x）＞0，右側f'（x）＜0，那么f（x0）是極大值；（2）如果在x0附近的左側f'（x）＜0，右側f'（x）＞0，那么f（x0）是極小值.2.函數(shù)的最大值與最小值（1）求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)y＝f（x）的各極值與端點處的函數(shù)值f（a），f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.[小題診斷]1.函數(shù)f（x）＝x2－2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（??）A.（0，1）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－1，0）∪（0，1）答案：A2.（多選）如果函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則以下關于函數(shù)y＝f（x）的判斷正確的是（??）A.在區(qū)間（2，4）內(nèi)單調(diào)遞減B.在區(qū)間（2，3）內(nèi)單調(diào)遞增C.x＝－3是極小值點D.x＝4是極大值點答案：BD3.（易錯題）已知函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋3x－9.若x＝－3是函數(shù)f（x）的一個極值點，則實數(shù)a＝????.答案：5解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋3.由題意知，x＝－3是方程f'（x）＝0的根，所以3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，解得a＝5.經(jīng)檢驗，當a＝5時，f（x）在x＝－3處取得極值.學生用書?第57頁第一課時利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考點一不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題[例1]（2023·北京卷節(jié)選）設函數(shù)f（x）＝x－x3eax＋b，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y＝－x＋1.（1）求a，b的值；（2）設函數(shù)g（x）＝f'（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間.[解]（1）因為f（x）＝x－x3eax＋b，x∈R，所以f'（x）＝1－（3x2＋ax3）eax＋b.因為f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y＝－x＋1，所以f（1）＝－1＋1＝0，f'（1）＝－1，則1－1所以a＝－1，b＝1.（2）由（1）得g（x）＝f'（x）＝1－（3x2－x3）e－x＋1（x∈R），所以g'（x）＝－x（x2－6x＋6）e－x＋1，令x2－6x＋6＝0，解得x＝3±3，不妨設x1＝3－3，x2＝3＋3，則0＜x1＜x2，易知e－x＋1＞0恒成立，所以令g'（x）＜0，解得0＜x＜x1或x＞x2；令g'（x）＞0，解得x＜0或x1＜x＜x2；所以g（x）在（0，x1），（x2，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－∞，0），（x1，x2）上單調(diào)遞增，即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，3－3）和（3＋3，＋∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，0）和（3－3，3＋3）.┃方法總結┃求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟1.求1.（2024·山東濟南模擬）已知函數(shù)f（x）＝x－2f'（1）ln（x＋1）－f（0）ex，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為????.答案：（－1，0]解析：由題意可知x＞－1，f（0）＝0－2f'（1）ln（0＋1）－f（0）e0＝－f（0），所以f（0）＝0，故f（x）＝x－2f'（1）ln（x＋1），f'（x）＝1－2f所以f'（1）＝1－2f'(1）1+1，解得f'故f'（x）＝1－1x+1＝令f'（x）≤0，即xx+1≤0，解得－1＜x≤故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，0].考點二含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的判斷[例2]（2024·山東濟寧模擬）已知函數(shù)f（x）＝alnx＋x2－（a＋2）x（a＞0），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.[解]因為f（x）＝alnx＋x2－（a＋2）x（a＞0），該函數(shù)的定義域為（0，＋∞），所以f'（x）＝ax＋2x－（a＋2）＝2x2因為a＞0，由f'（x）＝0得x＝a2或x＝①當a2＝1，即a＝2時，f'（x）≥0對任意的x＞0恒成立，且f'（x）此時，函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當a2＞1，即a＞2時，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a2；由f'（x）＜0得1＜x＜此時，函數(shù)f（x）在（0，1），a2，＋③當a2＜1，即0＜a＜2時，由f'（x）＞0得0＜x＜a2或x＞1；由f'（x）＜0得a2＜此時，函數(shù)f（x）在0，a2，（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在綜上所述：當a＝2時，函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；當a＞2時，函數(shù)f（x）在（0，1），a2，＋當0＜a＜2時，函數(shù)f（x）在0，a2，（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在┃方法總結┃1.研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.2.（2024·廣東廣州模擬）已知函數(shù)f（x）＝1+x2eax，a∈R.討論f（解：依題意f'（x）＝－ax若a＝0，則f'（x）＝2x，故當x∈（－∞，0）時，f'（x）＜0，當x∈（0，＋∞）時，f'（x）＞0.若a≠0，令y＝ax2－2x＋a，Δ＝4－4a2，令Δ≤0，解得a≤－1或a≥1.①若a≤－1，則f'（x）≥0.②若a≥1，則f'（x）≤0.③若－1＜a＜1且a≠0，令f'（x）＝0，得x1＝1－1－a2a若－1＜a＜0，則x1＞x2，當x∈（－∞，x2）時，f'（x）＞0，當x∈（x2，x1）時，f'（x）＜0，當x∈（x1，＋∞）時，f'（x）＞0；若0＜a＜1，則x1＜x2，當x∈（－∞，x1）時，f'（x）＜0，當x∈（x1，x2）時，f'（x）＞0，當x∈（x2，＋∞）時，f'（x）＜0.綜上所述：若a≤－1，則f（x）在R上單調(diào)遞增；若－1＜a＜0，則f（x）在－∞，1+1在1+1若a＝0，則f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；若0＜a＜1，則f（x）在－∞，1－在1－若a≥1，則f（x）在R上單調(diào)遞減.學生用書?第58頁考點三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍[例3]（1）（2024·黑龍江哈爾濱模擬）已知函數(shù)fx＝aex－x2＋b是增函數(shù)，則實數(shù)a的最小值是（??）A.2e B.1 C.1e（2）（2023·全國乙卷）設a∈（0，1），若函數(shù)f（x）＝ax＋（1＋a）x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是????.[答案]（1）A（2）5[解析]（1）由fx＝aex－x2＋b是增函數(shù)得f'x＝aex－2x≥0恒成立，即a≥2xe設hx＝2xex，得h'x＝2·e當x∈－∞，1時，h'x＞0，h當x∈1，＋∞時，h'x＜0，故hxmax＝h1＝2e，故a≥（2）由題意得，f'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立.即axlna＋（1＋a）xln（1＋a）≥0在x∈（0，＋∞）上恒成立.∵a∈（0，1），∴a＋1∈（1，2），∴l(xiāng)n（1＋a）＞0，lna＜0，∴y＝axlna與y＝（1＋a）xln（1＋a）在（0，＋∞）上均為增函數(shù)，∴y＝f'（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，∴f'（0）≥0，即lna＋ln（a＋1）≥0，即ln（a2＋a）≥ln1?a2＋a≥1，解得a≤－1－52或a≥－1+52.又a∴a∈5－┃方法總結┃由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法1.可導函數(shù)3.（2023·新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）＝aex－lnx在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則a的最小值為（??）A.e2 B.eC.e－1 D.e－2答案：C解析：∵f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，∴f'（x）≥0在（1，2）上恒成立，即f'（x）＝aex－1x≥0（1＜x＜2），∴a≥1xex（1＜x令g（x）＝xex（1＜x＜2），則g'（x）＝（x＋1）ex＞0，∴g（x）在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，g（x）∈（e，2e2），∴1xex∈12e2，1e，4.（2024·寧夏銀川模擬）若函數(shù)f（x）＝x22－lnx在區(qū)間m，m＋A.0＜m＜23 B.23＜mC.23≤m≤1 D.m＞答案：B解析：函數(shù)f（x）＝x22－lnx的定義域為（0，＋∞且f'（x）＝x－1x＝x2－令f'（x）＝0，得x＝1.因為f（x）在區(qū)間m，所以m>0，m<1<m＋5.已知a≥0，函數(shù)f（x）＝（x2－2ax）ex，若f（x）在[－1，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是????.答案：3考點四函數(shù)單調(diào)性的應用[例4]（1）（2024·云南昆明模擬）設a＝1e，b＝ln33，c＝e－2＋ln2，則a，b，cA.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a（2）（2024·北京模擬）設fx，gx分別是定義域為R的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＞0時，f'xgx－f－xg'x＞0，且g－3＝0，則不等式fx·gx＞0的解集為[答案]（1）A（2）－3，[解析]（1）構造函數(shù)fx＝xef'x＝1－當x＞1時，f'x＜0，函數(shù)fx＝xex在而a＝1e＝f1，b＝ln33＝ln3eln3c＝e－2＋ln2＝2e2＝f2，又1＜ln3＜所以f1＞fln3＞f2，即a＞b＞c.（2）設F（x）＝fxgx，F(xiàn)'（x）＝f'xgx＋fxg'x，因為fx是定義域為R的奇函數(shù)，所以f'xgx－f－xg'x＝f'xgx＋fxg'x＞0即當x＞0時，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，由已知得F（x）＝fxgx為奇函數(shù)，且在（－∞，0），（0，＋∞）上均為增函數(shù).因為F（－3）＝F（3）＝0，所以fxgx＞0的解集為－3，0┃方法總結┃1.比較函數(shù)值大小時，若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化到6.設函數(shù)f'（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（－1）＝0，當x＞0時，xf'（x）－f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（??）A.（－∞，－1）∪（0，1）B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（－1，0）D.（0，1）∪（1，＋∞）答案：A解析：令F（x）＝f（x）x，因為f（x）為奇函數(shù)，所以F（x）為偶函數(shù)，由于F'（x）＝xf'(x)?f（x）x2，當x＞0時，xf'（x）－f（x）＜0，所以F（x）＝f（x）x在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)圖象的對稱性，F(xiàn)（x）＝f（x）x在（－∞，0）上單調(diào)遞增，又f（－1）＝0，f（1學生用書?第303頁[A組基礎保分練]1.（2024·北京模擬）設定義在R上的函數(shù)y＝f（x），其導函數(shù)為f'（x），則“函數(shù)f（x）在a，b上單調(diào)遞增”是“x∈a，b時，導函數(shù)f'（x）＞A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：B解析：函數(shù)f（x）在a，b上單調(diào)遞增，f'（x）≥如y＝x3，x∈－2，2時y'＝3x2x∈a，b時，導函數(shù)f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在x∈則“函數(shù)f（x）在a，b上單調(diào)遞增”是“x∈a，b時，導函數(shù)f'（x）＞2.函數(shù)f（x）＝xlnx＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是（??）A.－∞，1eC.0，1e D.（e，答案：C解析：f（x）的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝1＋lnx，令f'（x）＜0，得0＜x＜1e，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為03.已知函數(shù)f（x）＝x2＋2cosx.若f'（x）是f（x）的導函數(shù)，則函數(shù)f'（x）的圖象大致是（??）答案：A解析：設g（x）＝f'（x）＝2x－2sinx，g'（x）＝2－2cosx≥0，所以函數(shù)f'（x）在R上單調(diào)遞增.4.（2024·天津模擬）函數(shù)f（x）＝lnx－ax（a＞0）的單調(diào)遞增區(qū)間為（??）A.0，1aC.－∞，1a D.（－∞答案：A解析：由f'（x）＝1x－a＞0，x＞0，得0＜x＜1∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為0，5.已知函數(shù)f（x）＝sinx＋acosx在區(qū)間π4，π2上是減函數(shù)，則實數(shù)A.a＞2－1 B.a≥1C.a＞1－2 D.a≥－1答案：B解析：由題意，f'（x）＝cosx－asinx≤0在π4即a≥cosxsinx＝1tan因為y＝tanx在π4，π2上單調(diào)遞增，所以y＝tan所以在x∈π4，π2時，0＜所以a≥1.6.若函數(shù)f（x）＝lnx＋ax2－2在區(qū)間12，2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)aA.[－2，＋∞） B.－C.－2,?18 D.（－2答案：D解析：∵f（x）＝lnx＋ax2－2，∴f'（x）＝1x＋2ax若f（x）在區(qū)間12，2內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f'（x）＞0，x故a＞－12令g（x）＝－12x2，則g（x）＝－1∴g（x）＞g12＝－2故a＞－2.7.（多選）（2024·河北衡水質(zhì)檢）下列不等式成立的是（??）A.2ln32＜32ln2 B.2ln3＜3C.5ln4＜4ln5 D.π＞elnπ答案：AD解析：設f（x）＝lnxx（x＞0），則f'（x）＝∴當0＜x＜e時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x＞e時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.∵32＜2＜e，∴f32＜f（2即2ln32＜32ln2，∵2＜3＜e，∴f（2）＜f（3），即2ln3＞3ln2，B不正確；∵e＜4＜5，∴f（4）＞f（5），即5ln4＞4ln5，C不正確；∵e＜π，∴f（e）＞f（π），即π＞elnπ，D正確.8.（多選）若函數(shù)f（x）＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值可以是（??）A.－3 B.－1C.0 D.2答案：BD解析：依題意知，f'（x）＝3ax2＋6x－1有兩個不相等的零點，故a解得a＞－3且a≠0.9.已知函數(shù)fx＝－4lnx＋12x2＋5，則函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間是????答案：0解析：函數(shù)定義域為0，由于函數(shù)fx＝－4lnx＋12x2＋5f'x＝－4x＋x＝x由f'x＜0得0＜x＜2，所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間是0，10.設函數(shù)f（x）＝12x2－9lnx在區(qū)間[a－1，a＋1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是????答案：（1，2]解析：∵f（x）＝12x2－9lnx，∴f'（x）＝x－9x（x＞0），當x－9x≤0時，有0＜x≤3，即f（x）在（0，3]上單調(diào)遞減，則[a－1，a＋1]?（0，3]，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜11.已知函數(shù)f（x）＝lnx－2a2x2＋3ax－1（a≥0）.討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.解：f（x）的定義域為（0，＋∞），f'（x）＝（4若a＝0，則f'（x）＝1x＞0，f（x）在（0，＋∞）若a＞0，令f'（x）＝0，解得x1＝1a＞0，x2＝－14a＜0（①當0＜x＜1a時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在0②當x＞1a時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在1a12.已知函數(shù)f（x）＝x2＋alnx.（1）當a＝－2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）＋2x在[1，＋∞）上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍解：（1）由題意知函數(shù)f（x）的定義域為（0，＋∞），當a＝－2時，f'（x）＝2x－2x＝2由f'（x）＜0得0＜x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）.（2）由題意得g'（x）＝2x＋ax－2①若g（x）為[1，＋∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，則g'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥2x－2x2在[1，＋∞）上恒成立設φ（x）＝2x－2x2，x∈[1，＋∞）易知φ（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，∴在[1，＋∞）上，φ（x）max＝φ（1）＝0，∴a≥0.②若g（x）為[1，＋∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，則g'（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，易知其不可能成立，不符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞）.學生用書?第304頁[B組能力提升練]13.下列函數(shù)中，滿足“對任意的x1，x2∈（0，＋∞），使得fx1－fxA.f（x）＝－x2－2x＋1B.f（x）＝x－1C.f（x）＝x＋1D.f（x）＝log2（2x）＋1答案：A解析：根據(jù)題意，“對任意的x1，x2∈（0，＋∞），使得fx1－fx2x1－x2＜0”，則函數(shù)f（對于選項A，f（x）＝－x2－2x＋1，為二次函數(shù)，其對稱軸為x＝－1，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，符合題意；對于選項B，f（x）＝x－1x，其導數(shù)f'（x）＝1＋1x2，所以f（x）在（0，＋對于選項C，f（x）＝x＋1為一次函數(shù)，所以f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，不符合題意；對于選項D，由復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”知，f（x）＝log2（2x）＋1在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，不符合題意.14.已知函數(shù)f（x）＝mx3＋3（m－1）x2－m2＋1（m＞0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4），則m＝（??）A.3 B.1C.2 D.1答案：B解析：函數(shù)f（x）＝mx3＋3（m－1）x2－m2＋1（m＞0），則導數(shù)f'（x）＝3mx2＋6（m－1）x.令f'（x）＜0，即3mx2＋6（m－1）x＜0.∵m＞0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4），∴0，4是方程3mx2＋6（m－1）x＝0的兩根，∴0＋4＝2（1－m）m，0×4＝015.已知函數(shù)f（x）＝sinx＋cosx－2x，a＝f（－π），b＝f（2e），c＝f（ln2），則a，b，c的大小關系是（??）A.a＞c＞b B.a＞b＞cC.b＞a＞c D.c＞b＞a答案：A解析：f（x）的定義域為R，f'（x）＝cosx－sinx－2＝2cosx＋π4－2∴f（x）在R上單調(diào)遞減.又2e＞1，0＜ln2＜1，∴－π＜ln2＜2e，故f（－π）＞f（ln2）＞f（2e），即a＞c＞b.16.（多選）若函數(shù)g（x）＝exf（x）（e＝2.718…，e為自然對數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì).下列函數(shù)不具有M性質(zhì)的為（??）A.f（x）＝1x B.f（x）＝x2＋C.f（x）＝sinx D.f（x）＝x答案：ACD解析：對于A，f（x）＝1x，則g（x）＝exx，g'（x）＝ex（x－1）x2，當x＜1且x≠0時，g'（x）＜0∴g（x）在（－∞，0），（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增；對于B，f（x）＝x2＋1，則g（x）＝exf（x）＝ex（x2＋1），g'（x）＝ex（x2＋1）＋2xex＝ex（x＋1）2＞0在實數(shù)集R上恒成立，∴g（x）＝exf（x）在定義域R上是增函數(shù)；對于C，f（x）＝sinx，則g（x）＝exsinx，g'（x）＝ex（sinx＋cosx）＝2exsinx＋π4，顯然g（對于D，f（x）＝x，則g（x）＝xex，則g'（x）＝（x＋1）ex.當x＜－1時，g'（x）＜0，所以g（x）在R上先減后增；∴具有M性質(zhì)的函數(shù)的選項為B，不具有M性質(zhì)的函數(shù)的選項為A，C，D.17.已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）＝1，f（x）的導數(shù)f'（x）＜12，則不等式f（x2）＜x22＋1答案：{x｜x＜－1，或x＞1}解析：設F（x）＝f（x）－12x，∴F'（x）＝f'（x）－1∵f'（x）＜12，∴F'（x）＝f'（x）－12＜即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減.∵f（x2）＜x22＋12，∴f（x2）－x22＜f∴F（x2）＜F（1），又函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，∴x2＞1，即不等式的解集為{x｜x＜－1，或x＞1}.18.（2024·貴州貴陽模擬）已知函數(shù)fx＝lnx－12ax2－x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是?????答案：－解析：函數(shù)fx＝lnx－12ax2－x的定義域為0，＋∞，求導得f'x＝1x依題意，不等式f'x＜0在0，＋∞上有解，等價于a＞1x2而1x2－1x＝1x－122－14≥－1所以實數(shù)a的取值范圍是－119.已知a∈R，函數(shù)f（x）＝（－x2＋ax）ex，x∈R.（1）當a＝2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）當a＝2時，f（x）＝（－x2＋2x）ex，f'（x）＝－（x2－2）ex，令f'（x）＞0，即x2－2＜0，解得－2＜x＜2，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－2，2）.（2）f'（x）＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，若f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增，即當－1＜x＜1時，f'（x）≥0，即－x2＋（a－2）x＋a≥0對x∈（－1，1）恒成立，即a≥x＋1－1x+1對x∈（－1，1令y＝x＋1－1x+1，則y'＝1＋1（∴y＝x＋1－1x+1在（－1，1∴y＜1＋1－11+1＝3∴a≥32，∴a的取值范圍是320.已知函數(shù)f（x）＝（ax－1）ex，a∈R.（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當m＞n＞0時，證明：men＋n＜nem＋m.（1）解：f（x）的定義域為R，且f'（x）＝（ax＋a－1）ex.①當a＝0時，f'（x）＝－ex＜0，此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，＋∞）.②當a＞0時，由f'（x）＞0，得x＞－a－由f'（x）＜0，得x＜－a－此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為－∞,?③當a＜0時，由f'（x）＞0，得x＜－a－由f'（x）＜0，得x＞－a－此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為－a－1（2）證明：當m＞n＞0時，要證men＋n＜nem＋m，只要證m（en－1）＜n（em－1），即證em－1設g（x）＝ex－1x，則g'（x）＝（x－1）設h（x）＝（x－1）ex＋1，則h'（x）＝xex，所以當x＞0時，h'（x）＞0，即h（x）＞h（0）＝0，于是g'（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當m＞n＞0時，em－1m＞en－1n成立，故當m＞n＞0時，men＋學生用書?第59頁第二課時利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值考點一利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題?角度（一）根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值[例1]（1）（2024·河南鄭州模擬）設函數(shù)f（x）在R上可導，其導函數(shù)為f'（x），且函數(shù)y＝（1－x）f'（x）的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（??）A.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）B.函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（1）C.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（－2）D.函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（2）（2）若函數(shù)f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象如圖所示，則x12＋xA.89 B.C.169 D.[答案]（1）D（2）C[解析]（1）由題圖可知，當x＜－2時，f'（x）＞0；當－2＜x＜1時，f'（x）＜0；當1＜x＜2時，f'（x）＜0；當x＞2時，f'（x）＞0.由此可以得到函數(shù)f（x）在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.（2）因為函數(shù)f（x）的圖象過原點，所以d＝0.又f（－1）＝0且f（2）＝0，即－1+b－c=0，8+4b+2c=0，解得b＝－1，c＝－2.所以函數(shù)f（x）＝x3－x2－2x，所以f'（x）＝3x2－2x－2.由題意知x1，x2是函數(shù)的極值點，所以x1，x2是f'（x）＝0的兩個根，所以x1＋x2＝23，x1x2＝－23，所以x1┃方法總結┃由圖象判斷函數(shù)y＝f（x）的極值，要抓住兩點1?角度（二）求函數(shù)的極值[例2] （1）（2024·河南駐馬店模擬）函數(shù)fx＝x3＋12x2－4x的極小值為A.－43 C.－52 D.（2）（2024·陜西商洛模擬）已知函數(shù)fx＝x2－8x＋6lnx＋1，則fx的極大值為（??）A.10 B.－6C.－7 D.0[答案]（1）C（2）B[解析]（1）因為fx＝x3＋12x2－4x所以f'x＝3x2＋x－4＝x－令f'x＝0得x1＝－43，x2＝1當x∈－∞,?43∪1，＋∞時，f'（x）＞0，當x故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為－∞,?43則當x＝1時，fx取得極小值，且極小值為f1＝－52（2）函數(shù)fx的定義域為0，f'x＝2x－8＋6x＝2令f'x＝0，解得x＝1或x＝3，當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如表所示，x01133f'x＞0＝0＜0＝0＞0fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以fx的極大值為f1＝－6.1.（多選）函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（??）A.－3是函數(shù)y＝f（x）的極值點B.－1是函數(shù)y＝f（x）的極小值點C.y＝f（x）在區(qū)間（－3，1）上單調(diào)遞增D.－2是函數(shù)y＝f（x）的極大值點答案：AC解析：由題圖知f'（－3）＝0且兩側符號相反，故A正確；在（－3，1）上y＝f'（x）≥0（當且僅當x＝－1時“＝”成立），所以y＝f（x）在（－3，1）上單調(diào)遞增，故B，D錯誤，C正確.2.（2024·貴州貴陽模擬）已知y＝x·f'（x）的圖象如圖所示，則f（x）的圖象可能是（??）答案：D解析：由題圖可知，當x＜0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當0＜x＜b時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x＞b時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.又f'（b）＝0，所以當x＝b時，f（x）取得極大值.綜上，滿足題意的f（x）的圖象可能是D.學生用書?第60頁3.（2024·九省聯(lián)考測試）已知函數(shù)f（x）＝lnx＋x2＋ax＋2在點（2，f（2））處的切線與直線2x＋3y＝0垂直.（1）求a；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）由題意得f'（x）＝1x＋2x＋a則f'（2）＝92＋a∵直線2x＋3y＝0的斜率為－23，f（x）在（2，f（2））處的切線與直線2x＋3y＝0∴92＋a－23＝－（2）由（1）知f'（x）＝1x＋2x－3＝2x2－3x+1x令f'（x）＝0，解得x＝12或x＝1∴f（x）在0，12上單調(diào)遞增，在12，1上單調(diào)遞減，在（∴f（x）極大值＝f12＝ln12＋f（x）極小值＝f（1）＝0.考點二已知函數(shù)極值情況求參數(shù)值（取值范圍）[例3]（1）（2024·安徽阜陽模擬）若函數(shù)fx＝x3－ax2a>0的極大值點為a－2，則aA.1 B.2C.4 D.6（2）（2024·四川宜賓模擬）已知函數(shù)f（x）＝2x3－ax2＋2在x＝2處取得極值，則實數(shù)a＝????.[答案]（1）B（2）6[解析]（1）f'x＝3x2－2ax.當x＜0或x＞2a3時，f'x＞0；當0＜x＜f'x＜0，所以fx的極大值點為0，則a－2＝0，解得a＝2.（2）f'x＝6x2－2ax，因為fx在x＝2處取極值，故f'2＝0，所以24－4a＝0，即a＝6.又當a＝6時，f'x＝6x2－12x＝6xx－當0＜x＜2時，f'x＜0；當x＞2時，f'x＞0，故fx在x＝2處取極小值，符合題意.┃方法總結┃已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個關鍵點1.列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為4.（多選）（2023·新高考Ⅱ卷）若函數(shù)f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0A.bc＞0 B.ab＞0C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0答案：BCD解析：由題意得f'（x）＝ax＋－bx2＋－2cx3＝ax2－bx－2∵y＝f（x）既有極大值也有極小值，∴y＝ax2－bx－2c在（0，＋∞）上有兩個變號零點.設方程ax2－bx－2c＝0的兩根分別為x1，x2（x1＞0，x2＞0，x1≠x2），∴x∴ab＞0，ac＜0，b2＋8ac＞0，bc＜0.5.（2024·廣東肇慶模擬）已知x＝1是函數(shù)f（x）＝[x2－（a＋3）x＋2a＋3]ex的極小值點，則實數(shù)a的取值范圍是（??）A.（1，＋∞） B.（－1，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，1）答案：D解析：依題意f'（x）＝（x－a）（x－1）ex，它的兩個零點為x＝1，x＝a，若x＝1是函數(shù)f（x）的極小值點，則需a＜1，此時函數(shù)f（x）在（a，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在x＝1處取得極小值.考點三利用導數(shù)研究函數(shù)的最值[例4]（2024·北京模擬）函數(shù)fx＝32x2－27lnx在區(qū)間1，A.0 B.12 C.1 D.[答案]D[解析]f'x＝3x－27x＝3x+3x－3x，定義域為0，＋∞，令f'x＞0，解得x＞3，令f'x＜0，解得0＜x所以fx在區(qū)間1，2上的最大值為f1＝[例5]已知函數(shù)f（x）＝x3－3ax.（1）討論函數(shù)f（x）的極值情況；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值.[解]（1）f'（x）＝3x2－3a＝3（x2－a），當a≤0時，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，無極值；當a＞0時，令f'（x）＞0，解得x＜－a或x＞a；令f'（x）＜0，解得－a＜x＜a，∴函數(shù)f（x）在（－∞，－a），（a，＋∞）上單調(diào)遞增，在（－a，a）上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）在x＝－a處取得極大值f（－a）＝2aa，在x＝a處取得極小值f（a）＝－2aa.（2）由（1）知，當a≤0時，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，故f（x）max＝f（2）＝8－6a；當0＜a＜4時，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，2）上單調(diào)遞增，又f（0）＝0，f（2）＝8－6a，∴若0＜a≤43，則f（x）max＝f（2）＝8－6a；若43＜a＜4，則f（x）max＝f（0）＝當a≥4時，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故f（x）max＝f（0）＝0.綜上，當a≤43時，函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值為8－6a；當a＞43時，函數(shù)f（x）在[0，2]學生用書?第61頁┃方法總結┃1.求函數(shù)6.（2024·遼寧遼陽模擬）函數(shù)f（x）＝lnx＋12x2＋A.92 C.72 答案：C解析：由題意可得f'（x）＝1x－1x3令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，故f（x）的最小值是f（1）＝727.（2022·全國甲卷）當x＝1時，函數(shù)f（x）＝alnx＋bx取得最大值－2，則f'（2A.－1 B.－1C.12 答案：B解析：f'（x）＝ax－bx2由題可知x＝1為f（x）的極大值點，∴f'(1）=0，f（1）∴f'（x）＝－2x+2x2，∴f'學生用書?第305頁[A組基礎保分練]1.（多選）（2024·黑龍江哈爾濱模擬）如圖所示是y＝fx的導數(shù)y＝f'x的圖象，下列結論中正確的有（??）A.fx的單調(diào)遞增區(qū)間是－1，B.x＝－1是fx的極小值點C.fx在區(qū)間2，4上單調(diào)遞減，在區(qū)間D.x＝2是fx的極小值點答案：BC解析：由導函數(shù)的圖象可知，當－3＜x＜－1或2＜x＜4時，f'x＜0；當－1＜x＜2或x＞4時，f'x＞0，所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為－1，2和4，＋∞，單調(diào)遞減區(qū)間為－3,所以x＝－1或x＝4是fx的極小值點，故B正確，所以x＝2是fx取得極大值點，故D錯誤.2.（2024·遼寧沈陽模擬）設函數(shù)f（x）＝xex＋1，則下列結論正確的是（??）A.x＝1為f（x）的極大值點B.x＝1為f（x）的極小值點C.x＝－1為f（x）的極大值點D.x＝－1為f（x）的極小值點答案：D解析：由f（x）＝xex＋1，可得f'（x）＝（x＋1）ex，令f'（x）＞0可得x＞－1，即函數(shù)f（x）在（－1，＋∞）上是增函數(shù)；令f'（x）＜0可得x＜－1，即函數(shù)f（x）在（－∞，－1）上是減函數(shù)，所以x＝－1為f（x）的極小值點.3.函數(shù)f（x）＝12x－sinx在0，A.π12－32 B.πC.π6－12 D.π答案：D解析：由f（x）＝12x－sinx，得f'（x）＝12－cos當x∈0，π3時，f'（x）＜0，f（當x∈π3，π2時，f'（x）＞0，f所以π3是函數(shù)f（x）的極小值點，且極小值為fπ3＝π64.（2024·四川綿陽模擬）函數(shù)fx＝cosx＋x+1sinx＋1在區(qū)間0，2A.－π2 C.－3π2 D.π答案：D解析：f'x＝x+1cosx，當x∈0，f'x＞0，fx單調(diào)遞增，當x∈π2，3π2時f'x＜0，fx單調(diào)遞減，當x∈3π2，2π時，f（0）＝2，fπ2＝2＋π2，f3π2＝－3π2，f2π＝2，∴fxmax5.已知函數(shù)f（x）＝13x3＋（a－1）x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（??）A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞）C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞）答案：C解析：由f（x）＝13x3＋（a－1）x2＋x＋1得f'（x）＝x2＋2（a－1）x＋1.根據(jù)題意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2.6.（2024·貴州遵義模擬）若函數(shù)f（x）＝x3－mx2＋2x（m∈R）在x＝1處有極值，則f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為（??）A.1427 C.1 D.3答案：B解析：由已知得f'（x）＝3x2－2mx＋2，所以f'（1）＝3－2m＋2＝0，所以m＝52，經(jīng)檢驗滿足題意，所以f（x）＝x3－52x2＋2x，f'（x）＝3x2－5x＋2.由f'（x）＜0得23＜x＜1；由f'（x）＞0得x＜23或x＞1.所以函數(shù)f（x）在0，23，（1，2）上單調(diào)遞增，在23，1上單調(diào)遞減，則f（x）極大值＝f23＝1427，f（2）＝2，所以7.（2024·云南玉溪模擬）若x＝2是函數(shù)f（x）＝ex2+2mx的極值點，則A.－4 B.－2C.e－2 D.e－4答案：D解析：由函數(shù)f（x）＝ex2+2mx，可得f'（x）＝（2x＋2因為x＝2是函數(shù)fx的極值點，可得f'2＝4+2me4＋4m＝0，解得m＝－2經(jīng)檢驗，當m＝－2時，f'（x）＝（2x－4）ex當x＜2時，f'（x）＜0，fx單調(diào)遞減；當x＞2時，f'（x）＞0，fx單調(diào)遞增，所以x＝2是函數(shù)fx的極小值點，符合題意，所以f（x）＝ex2－4x，可得f（28.（多選）常數(shù)a≠0，下列有關方程x3＋x2－x－a＝0的根的說法正確的是（??）A.可以有三個負根B.可以有兩個負根和一個正根C.可以有兩個正根和一個負根D.可以有三個正根答案：BC解析：方程x3＋x2－x－a＝0可化為x3＋x2－x＝a.令函數(shù)f（x）＝x3＋x2－x，則f'（x）＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1）.當x＜－1或x＞13時，f'（x）＞0；當－1＜x＜13時，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，－1），13，＋∞上單調(diào)遞增，在－1，13上單調(diào)遞減，且f（－1）＞0，f13＜0.作出f（x）的圖象如圖，從而方程x39.（2024·河北保定模擬）函數(shù)y＝2xex的極值為????.答案：－2解析：y'＝21+xex令y'＝21+xex＞0，得x＞－1，令y'＝21＋xex＜0，得x所以函數(shù)y＝2xex在－∞,?所以當x＝－1時，fx取得極小值，其極小值為－2e，無極大值10.（2024·上海模擬）函數(shù)fx＝ex－x＋1在區(qū)間－1，1答案：e解析：因為fx＝ex－x＋1，所以f'x＝ex－1，令f'x＜0，得－1≤x＜0；令f'x＞0，得0＜x≤1，故函數(shù)fx在－1，0所以fxmax＝maxf－1，f11.（2024·江蘇無錫模擬）已知函數(shù)f（x）＝tanx＋ln（1－x），x∈－π2，1，求f（解：因為函數(shù)f（x）＝tanx＋ln（1－x），x∈－π2，1，所以f'（x）＝1cos2x＋設h（x）＝x－1＋cos2x，h'（x）＝1－2cosxsinx＝1－sin2x≥0，所以h（x）在－π2又h（0）＝0，所以當x∈－π2，0時，h（x）＜0；當x∈（0，1）時，h又因為（x－1）cos2x＜0對x∈－π所以當x∈－π2，0時，f'（x）＞0；當x∈（0，1）時，f'即f（x）在區(qū)間－π2，0上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0故f（x）極大值＝f（0）＝0，f（x）沒有極小值.12.（2024·河南洛陽模擬）已知函數(shù)fx＝12x2＋1x＋（1）求fx的圖象在點2，（2）求fx在12，解：（1）因為fx＝12x2＋1x＋12，所以f'x＝x－1x2，所以f2＝3，故所求切線方程為y－3＝74x－2，即7x－4y（2）由（1）知f'x＝x3－1x∈12令f'x＞0，得1＜x≤2；令f'x＜0，得12≤x＜1所以fx在12，1所以fxmin＝f1＝又f12＝218，f2＝所以2≤fx≤3，即fx在12，2學生用書?第306頁[B組能力提升練]13.（2024·陜西商洛模擬）若函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x無極值，則a的取值范圍為（??）A.[－3，6]B.（－3，6）C.（－∞，－3]∪[6，＋∞）D.（－∞，－3）∪（6，＋∞）答案：A解析：因為f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x，所以f'（x）＝3x2＋2ax＋a＋6.因為f（x）無極值，所以（2a）2－4×3×（a＋6）≤0，解得－3≤a≤6，所以a的取值范圍為[－3，6].14.已知函數(shù)f（x）＝a（lnx－1）－x（a∈R）在區(qū)間（e，＋∞）內(nèi)有最值，則實數(shù)a的取值范圍是（??）A.（e，＋∞） B.eC.（－∞，e] D.（－∞，－e）答案：A解析：f'（x）＝ax－1＝a－xx當a≤e時，f'（x）＜0，故f（x）在（e，＋∞）上單調(diào)遞減，此時f（x）在（e，＋∞）內(nèi)無最值.當a＞e時，若x∈e，a，則f'（x）＞0，若x∈a，＋∞，則f'故f（x）在e，a上為增函數(shù)，在故f（x）在x＝a處取最大值.故實數(shù)a的取值范圍是（e，＋∞）.15.（2024·陜西渭南模擬）已知函數(shù)fx＝－x2＋ax＋1在1，2上的最大值也是其在1，2A.2，＋∞C.2，4 答案：D解析：f'x＝a－2x，令f'x＝0，得x＝a2當x＜a2時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當x＞a2時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，因此a2是f（由題意得a2∈1，2，所以a16.（多選）已知函數(shù)f（x）＝xlnx＋x2，x0是函數(shù)f（x）的極值點，以下幾個結論中正確的是（??）A.0＜x0＜1e B.x0＞C.f（x0）＋2x0＜0 D.f（x0）＋2x0＞0答案：AD解析：f'（x）＝lnx＋1＋2x，∵x0是f（x）的極值點，∴f'（x0）＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0，∴f'1e＝2e＞0.易知f'（x）在（0，＋∞當x→0時，f'（x）→－∞，∴0＜x0＜1e，即A正確、Bf（x0）＋2x0＝x0lnx0＋x02＋2x0＝x0（lnx0＋x0＋2）＝x0（1－x0）＞0，即D正確、C17.（多選）（2022·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）＝x3－x＋1，則（??）A.f（x）有兩個極值點B.f（x）有三個零點C.點（0，1）是曲線y＝f（x）的對稱中心D.直線y＝2x是曲線y＝f（x）的切線答案：AC解析：∵f（x）＝