高中數(shù)學選擇性必修2課件：培優(yōu)課 求數(shù)列的通項(人教A版)

培優(yōu)課求數(shù)列的通項求數(shù)列的通項公式多以小題的形式出現(xiàn)，但也可作為解答題，主要考查利用累加法、累乘法、公式法等求數(shù)列的通項公式，利用通項公式求數(shù)列中的項、公差、公比等，試題較靈活.類型一利用an與Sn的關系求通項【例1】

(1)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為__________________.解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，n又a1>0，∴a1＝1.∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴an＝n(n∈N*).類型二利用遞推關系求通項【例2】

(1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，對任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求數(shù)列{an}的通項公式；解∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式兩邊同時相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，(3)在數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項公式；解因為an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＝2·3n－1－1.嘗試訓練1.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通項公式.解

因為a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.嘗試訓練1.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通項公式.解

因為a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.3.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解

由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即數(shù)列{nan}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當n≥2時，nan＝2×3n－2.備用工具&資料3.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解

由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.3.已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解

由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以數(shù)列{an－3}是首項為a1－3＝－1，公比為2的等比數(shù)列，則an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.嘗試訓練1.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通項公式.解

因為a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.嘗試訓練1.數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通項公式.解

因為a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即數(shù)列{nan}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當n≥2時，nan＝2×3n－2.類型一利用an與Sn的關系求通項【例1】

(1)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為__________________.解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－