高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末檢測(cè)卷(二)(人教A版)

章末檢測(cè)卷(二)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求)A2.函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)減區(qū)間為(

)AA.(－∞，－1)和(0，1)B.(－1，0)和(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)和(1，＋∞)解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范圍為(－∞，－1)∪(0，1)，故選A.D3.函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時(shí)取得極值，則a等于(

) A.2 B.3 C.4 D.5解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3時(shí)取得極值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，經(jīng)檢驗(yàn)a＝5合題意.B則當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，DCACC二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的不得分)BD函數(shù)y＝－2x3－x，則y′＝－6x2－1<0，所以函數(shù)y＝－2x3－x在R上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；10.如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則(

)ADA.在x＝－2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)取得極值B.在x＝1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)取得極值C.y＝f(x)的圖象在x＝0處切線的斜率小于零D.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2，2)上單調(diào)遞增解析由題圖可知，x＝－2是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值，選項(xiàng)A正確；x＝1不是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)不能取得極值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；y＝f(x)的圖象在x＝0處的切線斜率為f′(x)>0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增，選項(xiàng)D正確.故選AD.11.若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(

) A.y＝cosx B.y＝lnx C.y＝ex D.y＝x2AD對(duì)于選項(xiàng)C；因?yàn)閒′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；CDCD因?yàn)?x＋1)f′(x)－f(x)<x2＋2x，所以g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而g(1)>g(2)>g(3)，整理得2f(2)－3f(1)<5，f(3)－2f(1)<7，故A錯(cuò)誤，C正確.即結(jié)論正確的是CD，故選CD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)114.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1(單位：萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(單位：萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比.如果在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù)，y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站________km處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用為_(kāi)_______萬(wàn)元.(本題第一空3分，第二空2分)58令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞5時(shí)，y′＞0，因此，當(dāng)x＝5時(shí)，y取得極小值，也是最小值，其值為8.15.當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，x3－x2－x＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.(2，＋∞)解析記f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.所以當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，f(x)max＝2，所以m＞2.16.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出一個(gè)定理：如果函數(shù)y＝f(x)滿足條件： (1)在閉區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的； (2)在區(qū)間(a，b)上都有導(dǎo)數(shù).

則在區(qū)間(a，b)上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得f(b)－f(a)＝f′(t)(b－a)，其中t稱為“拉格朗日中值”.函數(shù)g(x)＝x2在區(qū)間[0，1]上的“拉格朗日中值”t＝________.四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函數(shù). (1)求b，c的值；解因?yàn)閒(x)＝x3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.從而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.因?yàn)間(x)是一個(gè)奇函數(shù)，且x∈R，所以g(0)＝0，得c＝0.由奇函數(shù)的定義，得b＝3.(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間.解由(1)，知g(x)＝x3－6x，從而g′(x)＝3x2－6.因此曲線y＝f(x)在(0，－1)處的切線方程是2x－y－1＝0.(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＋e≥0.證明

當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，則g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.當(dāng)x<－1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>－1時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6). (1)求a的值；解

∵f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(x>0)，令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，∴f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1).∵切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6)，(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝3.當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，2)，(3，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)2<x<3時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(2，3)上為減函數(shù).所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，3).在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln3.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝xex－x－ax2.f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1).令f′(x)＝0，則x＝－1或0，當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，f′(x)<0；故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，0).(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

f(x)＝x(ex－1－ax).令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a.若a≤1，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)＝0，從而當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，則當(dāng)x∈(0，lna)時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0，從而當(dāng)x∈(0，lna)時(shí)，g(x)<0，即f(x)<0，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].21.(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；解因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元.又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因?yàn)閞2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去).當(dāng)r∈(0，5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8.即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大.22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax.(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最值；解

當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2(x>0).顯然，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，∴f(x)沒(méi)有最大值.備用工具&資料22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax.(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最值；解

當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2(x>0).顯然，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，∴f(x)沒(méi)有最大值.21.(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；解因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元.又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)110.如圖是函數(shù)y＝